Лекция: Задача коммивояжера. Общее описание

Задача коммивояжера (в дальнейшем сокращённо — ЗК) является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) ЗК служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы.

Постановка задачи следующая.

Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2,1,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами jÎТ=(1,2,3..n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j1,j2,..,jn,j1), причём все j1..jn – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j1, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин Сij образуют матрицу С. Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать функционал

Относительно математизированной формулировки ЗК уместно сделать два замечания.

Во-первых, в постановке Сij означали расстояния, поэтому они должны быть неотрицательными, т.е. для всех jÎТ:

(последнее равенство означает запрет на петли в туре), симметричными, т.е. для всех i,j:

и удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:

В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так: Дана полная сеть с n вершинами, длина ребра (i,j)= Сij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины.

Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми.