Лекция: Интерполирование: постановка задачи, геометрическая интерпретация. Интерполяционный член Ньютона Алгоритм для реализации на ЭВМ выбранного многочлена.

Постановка задачи: пусть на отрезке [x0,xn] задана таблица значений функции y=f(x)

Требуется построить приближающую функцию F(x)=F(x,a0,a1,…,an), которая принадлежит некоторому известному классу функций и принимает в точках xi те же значения, что и данная функция y=(x).

F(xi)=yi—для любых i=0,1,…,n—условие интерполяции.

F(xi,a0,a1,…,an)=yi—для любых i=[0;n].

Поставленная таким образом задача называется – интерполяцией. F(x) – интерполирующая функция, (интерполярная). Значение аргумента xi в таблице – узлы интерполяции. xÎ[x0;xn]¹xi—промежуточные значения аргумента. В общем случае для промежуточных значений аргументов в отличии от узлов интерполяции будет иметь место f(x)»F(x)—эта формула называеся интерполяционной формулой. R(x)=F(x)-f(x)—остаточный член интерполяционной формулы. R(xi)=0—в узлах интерполяции.

Геометрически задача интерполирования означает, что графики двух функций y=f(x) и y=F(x) проходят через одни и те же точки (xi;yi).

Возникает вопрос, как выбрать функцию F(x) и как оценить остаточный член R(x). Интерполирующая функция F(x) как правило, выбирается в виде линейной комбинации некоторых элементарных функций. F(x)=åakФк(x)

Фк(x)—фиксированные линейно независимые функции.

ak—пока неопределённые коэффициенты.

В качестве Фк(x) чаще всего выбирают: 1. Степенные функции— Фк(x)=xn. 2. Тригонометрические функции— Фк(x)=sin(kx),cos(kx).

В первом случае Фк(x) является алгебраической суммой:

F(x)=Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

Во втором случае Фк(x)—тригонометрический многочлен.

Пусть известные значения некоторой функции y = f(x) образуют следующую таблицу:

Будем искать интерполирующую функцию Ln(x) в виде многочлена: Ln(x)=l0(x)+l1(x)+…+ln(x), где li(x) – многочлен степени n, причём

Очевидно, что это требование вполне обеспечивает выполнение условия совпадения интерполяционного многочлена в узловых точках с исходной функцией. Многочлены li(x) составим следующим образом:

li(x)=ci(x-x0)(x-x1)..(x-xi-1)(x-xi+1)..(x-xn) (2),

где ci – постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (1): Подставим в формулу (2) и окончательно получим:

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции f формула позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.

Этот метод не применим для большого количества точек.

Оценка остаточного члена:

Задача: 1) пусть известные знач-я некот функции представлены таблично y=f(x)

треб-ся получить знач-е ф-ии f для аргумента х ко входит в отрезок [x0, xn], но не совпадает ни с одним из значений xi. Для этого применяется построение по исходной инф-ии приближающей ф-ии F, кот близка к ф-ии f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно что f(x)=F(x). Решение задачи основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках xi.

f(х)@ а0×xn+а1×xn-1+...+аn-1×x+аn×x0= Pn(x), интерполирующая функция в виде многочлена.

2) Функция известна, но достаточно сложна.

Принцип интерполирования: построить многочлен так, чтобы в заданной системе точек он совпадал со значением исходной функции.

x0, х1,x2,…,xn – узлы, Pn(xi)=f(xi), i=0,1,…,n.

система равенств относительно{аy}ny=0

Система разрешима единственным образом, если определитель отличен от нуля.

D= – определитель Ван–дер–Монда = ¹0

Определителем системы является определитель Ван–дер–Монда, он всегда отличен от 0. ТО алгебраическое интерполирование всегда приводит к решению, причем единственному.