Лекция: Метод анализа иерархий.

Метод анализа иерархий (МАИ) предложен Т. Саати в конце се­мидесятых годов прошлого века. Основные принципы МАИ основываются на том, что для практических целей система часто рассматривается в терминах ее структуры и функций. Струк­тура системы позволяет анализировать ее функции, а в процессе функционирования может измениться структура системы. Иерархия является некоторой абстракцией структуры системы, предназначен­ной для изучения функциональных взаимодействий ее компонент и их воздействий на систему в целом.

Иерархия есть определенный тип системы, особенность которой заключается в том, что элементы системы могут группироваться в связанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием другой вполне определенной группы элементов и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Будем счи­тать, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером) независимы.

Оценка вариантов решений методом анализа иерархий сводится к следующему:

1. Изучаемую систему представляют в виде иерархии, которая изображается графом связей (в простейшем случае типа дерево) ме­жду элементами уровней — первый и очень важный этап решения за­дачи.

Нулевой уровень иерархии (фокус иерархии) — глобальный кри­терий (цель) системы. Следующими уровнями иерархии могут слу­жить: акторы (1-уровень) — участники процесса, действующие силы, организации, коллективы, поведение и предпочтения которых могут воздействовать на результаты (исходы), виды критериев; цели или критерии, определяющие действие акторов; возможные действия акторов — стратегии; альтернативные варианты решений — сцена­рии прогнозируемого или желаемого будущего, варианты проектов, программ и т.д.

2. Входной информацией для расчетов, выполняемых СППР, служат матрицы парных сравнений приоритетов элементов нижнего уровня иерархии, с точки зрения элементов верхнего (предыдущего) уровня, составляемые экспертами (или руководителями). По этим матрицам СППР рассчитывает вектор относительных приоритетов, являющийся собственным нормированным вектором матрицы суж­дений, который чаще всего, однако, вычисляется по следующему приближенному алгоритму: в матрице суждений необходимо сумми­ровать элементы каждой строки и нормализовать сумму делением ее на сумму всех элементов матрицы; сумма полученных результатов будет равна единице; первый элемент результирующего вектора бу­дет приоритетом первого объекта, второй — второго и т.д.

Для парных сравнений эффективнее всего исполь­зовать 9-балльную шкалу, исходя из которой, составляется матрица приоритетов (суждений), хотя при необходимости, могут бить ис­пользованы и лингвистические переменные.

Матрица суждений составляется таким образом, что если при­оритет i-го объекта перед j-м есть bij, то приоритет j-го объекта перед i-м – 1/bij, а bii=1 и biiне равно нулю.

Для контроля согласованности матриц приоритетов вычисляют­ся две характеристики этой матрицы: индекс согласованности (ИС) и отношений согласованности (ОС):

ИС = (λmax — n)/(n -1), где n- размерность матрицы приоритетов (число сравниваемых объ­ектов);

λmax — наибольшее собственное значение (число) матрицы суж­дений, которое чаще всего вычисляется по следующему алгоритму: сначала суммируется каждый столбец матрицы суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты, рассчитанного вектора приоритетов, сумма второго столбца на вто­рую и т.д.; затем полученные числа суммируются, и получается зна­чение λmax

Можно показать, что при λmax=n обратно симметрическая матри­ца, которой является матрица суждений, является идеально согласо­ванной.

Индекс согласованности, сгенерированный случайным образом, называется случайным индексом согласованности (СИ).

Отношение ИС к СИ называется отношением согласованности (ОС) ОС=ИС/СИ. Значение ОС меньшее или равное 0.10 считается приемлемым, если нет, то руководителю необходимо пере­смотреть свои приоритеты или даже саму иерархию.

3. Из векторов приоритетов, оценивающих влияние элементов i+1 го уровня на каждый связанный с ним элемент i-го уровня (связь фиксируется наличием соответствующей дуги в графе иерархии), образуется матрицу приоритетов, которая умножается справа на век­тор приоритетов полученный на i-м уровне иерархии и получается вектор приоритетов i+1-го уровня.

4. Последовательное вычисление приоритетов элементов от верхних уровней к нижним позволяет численно оценить влияние всех включенных в иерархию элементов (акторов, стратегий, видов критериев, критериев, сценариев, действий и т. д.) на возможные ис­ходя (терминальные вершины графа иерархии).

5. Сравнивая полученные приоритеты для элементов последнего уровня можно установить соотношения в их значимости (выгодно­сти, эффективности) с точки зрения руководителя. Если задача со­стоит в выборе одного из альтернативных решений, то предпочтение следует отдать варианту с наибольшим приоритетом.