Лекция: Многочлены и действия над ними.
Определение. Для действительной переменной x функция вида, где a и x –действительные числа, а n – натуральное число или 0 (по-другому это можно записать как ), называется одночленом с действительным коэффициентом.
Определение. Многочлен‑ это сумма одночленов, т.е. функция вида
.
При этом называется старшим коэффициентом и, ‑ свободным членом, n ‑ степенью многочлена.
Многочлен тождественно равен 0 тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны 0.
Если в записи многочлена нет какой-либо степени неизвестного, это значит, что коэффициент при этой степени равен 0.
На множестве многочленов определены следующие действия:
1. Сложение.
2. Умножение.
3. Деление с остатком.
Разделить на ‑ значит записать в виде, или. Последняя запись аналогична записи для чисел:, или 17 = 5 × 3 + 2.
Теорема (о делении с остатком)[Для любых многочленов и существуют, и притом единственные, многочлены и, такие, что
. (11.1)
При этом степень меньше степени, ‑ неполное частное, ‑ остаток. Разделить на ‑ значит записать в виде (11.1).
Для практического нахождения частного и остатка существует метод деления «уголком».
Пример 11.1.Выполнить «уголком» деление с остатком:
= на = .