Лекция: Многокритериальная оптимизация. Проблемы многокритериальной оптимизации

Многокритериальная оптимизацияили программирование — это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения.

Задача многокритериальной оптимизации формулируется следующим образом:[3]

где это ( ) целевых функций. Векторы решений относятся к непустой области определения .

Задача многокритериальной оптимизации состоит в поиске вектора целевых переменных, удовлетворяющего наложенным ограничениям и оптимизирующего векторную функцию, элементы которой соответствуют целевым функциям. Эти функции образуют математическое описание критерия удовлетворительности и, как правило, взаимно конфликтуют. Отсюда, «оптимизировать» означает найти такое решение, при котором значение целевых функций были бы приемлемыми для постановщика задачи.

Принятие решения — это выбор альтернативы, которая одновременно удовлетворяет и нечетким целям, и нечетким ограничениям. В этом смысле, цели и ограничения являются симметричными относительно решения, что стирает различия между ними и позволяет представить решение как слияние нечетких целей и ограничений.

Рис. 14.1 — К примеру 14.1: принятие решения по принципу Беллмана-Заде

При принятии решений по схеме Беллмана-Заде не делается никакого различия между целью и ограничениями. Всякое разделение на цель и ограничения является условным.

Нечеткий многокритериальный анализ вариантов

Будем считать известными:

— множество вариантов, которые подлежат многокритериальному анализу;

— множество количественных и качественных критериев, которыми оцениваются варианты.

Задача многокритериального анализа состоит в упорядочивании элементов множества X по критериям из множества G.

Пусть — число в диапазоне [0,1], которое характеризирует уровень оценки варианта по критерию: чем больше число, тем выше оценка варианта по критерию,,. Тогда критерий можно представить в виде нечеткого множества на универсальном множестве вариантов X:

где — степень принадлежности элемента нечеткому множеству .

Находить степени принадлежности нечеткого множества (14.5) удобно методом построения функций принадлежности на основе парных сравнений. При использовании этого метода необходимо сформировать матрицы парных сравнений вариантов по каждому критерию. Общее количество таких матриц совпадает с количеством критериев и равняется n.

Наилучшим вариантом будем тот, который одновременно лучший по всем критериям. Нечеткое решение находится как пересечения частных критериев:

Согласно с полученным нечетким множеством ‚ наилучшим вариантом следует считать тот‚ для которого степень принадлежности является наибольшей.

При неравновесных критериях формула (14.6) принимает вид:

где — коэффициент относительной важности критерия, .

Показатель степень в формуле (14.7) свидетельствует о концентрации нечеткого множества в соответствии с мерой важности критерия. Коэффициенты относительной важности критериев могут быть определены различными методами, например, с помощью парных сравнений по шкале Саати.