Практическая работа: Произведение двух групп
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Произведение двух групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Закревская С.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
/>1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса />
/>2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
/>3 Произведение разрешимой и циклической групп
/>3.1. Вспомогательные результаты
/>3.2. Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса />, произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.
Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема 1.1. Если /> и /> — группы с циклическими подгруппами индексов />, то конечная группа /> разрешима.
Теорема 1.2. Пусть /> — группа Шмидта, а /> — группа с циклической подгруппой индекса />. Если /> и /> — конечная неразрешимая группа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Теорема 1.3. Пусть /> — 2-разложимая группа, а группа /> имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если /> и /> — конечная неразрешимая группа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Теорема 2.1. Пусть конечная группа />, где /> и /> — группы с циклическими подгруппами индексов />. Тогда /> разрешима, /> и /> для любого простого нечетного />.
Теорема 2.2. Если группы /> и /> содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов />, то конечная группа /> сверхразрешима.
Теорема 2.3. Пусть конечная группа />, где /> — циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа /> содержит циклическую подгруппу индекса />. Если в /> нет нормальных секций, изоморфных />, то /> сверхразрешима.
Теорема 3.1. Пусть конечная группа /> является произведением разрешимой подгруппы /> и циклической подгруппы /> и пусть />. Тогда />, где /> — нормальная в /> подгруппа, /> и /> или /> для подходящего />.
Теорема 3.2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Теорема 3.3. Если /> — простая группа, где /> — холловская собственная в /> подгруппа, а /> — абелева />-группа, то /> есть расширение группы, изоморфной секции из />, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если /> циклическая, то /> есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
/>1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса />
Доказывается, что конечная группа /> разрешима, если группы /> и /> содержат циклические подгруппы индексов />. Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
--PAGE_BREAK--В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы />, допустив в качестве множителей /> и /> еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана
Теорема 1. Если /> и /> — группы с циклическими подгруппами индексов />, то конечная группа /> разрешима.
Если подгруппа /> нильпотентна, а в /> есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа /> разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.
Теорема 2. Пусть /> — группа Шмидта, а /> — группа с циклической подгруппой индекса />. Если /> и /> — конечная неразрешимая группа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
/>обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в /> подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
Теорема 3. Пусть /> — 2-разложимая группа, а группа /> имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если /> и /> — конечная неразрешимая группа, то /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для подходящего />.
Частным случаем теоремы 3, когда /> — абелева, а /> имеет порядок />, /> — простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.
Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.
Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.
Вначале докажем несколько лемм.
Лемма 1. Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса />. Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса />. Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.
Лемма 2. Пусть />, /> — собственная подгруппа группы />, /> — подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если />, то /> содержит подгруппу индекса 2.
Доказательство. Если /> содержит инвариантную в /> подгруппу />, то фактор-группа /> удовлетворяет условиям леммы. По индукции /> обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в /> есть подгруппа индекса 2.
Пусть /> не содержит инвариантных в /> подгрупп />. Тогда представление группы /> подстановками правых смежных классов по /> есть точное степени />, где />. Группу /> можно отождествить с ее образом в симметрической группе /> степени />. Так как в /> силовская 2-подгруппа /> циклическая, то />, где /> — инвариантное 2-дополнение. Пусть />, />. />, /> и />. Подстановка /> разлагается в произведение циклов
/>
т. е. подстановка /> имеет /> циклов, каждый длины />. Декремент подстановки равен /> и есть нечетное число, поэтому /> — нечетная подстановка. Теперь />, а так как индекс /> в /> равен 2, то /> — подгруппа индекса 2 в группе />.
Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.
Замечание. Простая группа /> является произведением двух подгрупп /> и />, причем />, а /> — группа порядка /> с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование /> отбросить нельзя.
Лемма 3. Пусть /> — дважды транзитивная группа подстановок на множестве /> и пусть /> — стабилизатор некоторой точки />. Тогда все инволюции из центра /> содержатся в />.
Доказательство. Пусть />. Допустим, что существует />, причем />. Так как /> транзитивна на />, то />. Ho />, поэтому /> и /> — тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно, /> фиксирует только />. Теперь подстановка /> содержит только один цикл длины 1, а так как /> — инволюция, то /> нечетен. Но />, поэтому существует силовская 2-подгруппа /> из /> с /> и />. Если />, то />, отсюда /> и />, т. е. />. Теперь /> и из теоремы Глаубермана следует, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма 4. Пусть центр группы /> имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из /> либо циклическая, либо инвариантна в />. Если /> — группа с циклической подгруппой индекса />, то группа /> непроста.
Доказательство. Пусть /> — циклическая подгруппа в />, для которой />, а /> — максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Тогда />. Если />, то /> и по лемме С. А. Чунихина группа /> непроста. Значит, />.
Допустим, что порядок /> нечетен. Если />, то />. Если />, то ввиду леммы 2 /> и поэтому опять />. Рассмотрим представление /> подстановками смежных классов по />. Так как /> — максимальная в /> подгруппа, то /> — примитивная группа подстановок степени />. Если /> — простое число, то /> либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если /> — составное число, то, так как /> — регулярная группа подстановок при этом представлении, /> — опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что /> непроста.
Пусть порядок /> четен. Если />, то /> непроста по лемме 2. Значит, /> и />. Пусть /> — силовская 2-подгруппа из />. Если /> инвариантна в />, то /> инвариантна и в />. Следовательно, /> — циклическая группа. Но /> не является силовской в />, поэтому /> содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе />. Теперь для инволюции /> из центра /> имеем />, т. е. /> не максимальная в />. Противоречие.
Следствие. Пусть группа />, где группа /> содержит циклическую подгруппу индекса />. Если /> — 2-разложимая группа четного порядка, то группа /> непроста.
Лемма 5. Пусть группа /> содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если /> — 2-разложимая группа, то группа /> разрешима.
Доказательство. Применим индукцию к порядку />. Если />, то ввиду леммы 1 фактор-группа /> удовлетворяет условиям леммы. По индукции, /> разрешима, отсюда разрешима и />.
Пусть />. Если /> — циклическая, то /> разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому />, /> — циклическая подгруппа индекса 2, />. Пусть />, где /> — силовская 2-подгруппа из />, /> — ее дополнение. Если />, то /> разрешима. Теперь /> и /> можно считать силовской 2-подгруппой в />. Так как /> и />, то />. Пусть /> и />. Тогда /> и />. По лемме С. А. Чунихина подгруппа /> максимальна в /> и />. Представление группы /> подстановками смежных классов по подгруппе /> дважды транзитивное: если /> — простое число, если /> — составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что />.Противоречие.
Доказательство теоремы 1. Применим индукцию к порядку группы G. Пусть /> и /> — циклические инвариантные подгруппы в /> и в /> соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а /> и /> — те силовские 2-подгруппы из /> и />, для которых /> и /> есть силовская 2-подгруппа />. Будем считать, что />. Если />, то /> и /> разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что />. Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому />
Допустим, что />. Если />, то /> и />. Так как /> разрешима, то />. Если />, то /> и /> разрешима.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть теперь />. Тогда и />. Так как /> не является силовской подгруппой в />, то /> содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе />. Обозначим через /> силовскую 2-подгруппу из />. Очевидно, что /> инвариантна в />.
Предположим, что /> и пусть /> — инволюция из />. В /> все подгруппы характеристические и /> инвариантна в />, поэтому /> и />. Пусть /> — максимальная в /> подгруппа, которая содержит />. Тогда /> разрешима по индукции. Если />, то /> содержится в /> и />. Значит, />. Так как /> — собственная в /> подгруппа, то />, /> и />. Теперь /> — дважды транзитивная группа степени /> на множестве смежных классов по />: если /> — простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если /> составное. Из леммы 3 получаем, что />. Противоречие.
Следовательно, />. Если />, то /> и />.Так как /> не содержит подгрупп, инвариантных в />, то представление группы /> подстановками по подгруппе /> — точное степени 4. Поэтому /> — группа диэдра порядка 8, /> и />. В этом случае /> неабелева. Напомним, что /> и />. Таким образом, для силовской 2-подгруппы /> из /> имеем: /> — группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если />).
Предположим, что порядки групп /> и /> делятся одновременно на нечетное простое число /> и пусть /> и /> — силовские />-подгруппы из /> и /> соответственно. Так как /> инвариантна в />, a /> инвариантна в />, то /> и /> — силовская />-подгруппа в />. Без ограничения общности можно считать, что />. По теореме VI.10.1 из группа /> содержит неединичную подгруппу />, инвариантную в />. Но теперь /> и />, а так как /> инвариантна в />, a /> разрешима, то /> по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки /> и /> не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе /> силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.
Пусть /> — минимальная инвариантная в /> подгруппа и /> — силовская 2-подгруппа из />, которая содержится в />. Так как />, то /> неразрешима и />. Подгруппа /> даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.
Пусть вначале />. Тогда /> и /> неабелева. По теореме П. Фонга из группа /> диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях />. Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.
Предположим теперь что />. Тогда /> — элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если /> абелева, то /> или группа Янко /> порядка 175560. Так как /> неабелева, то /> и индекс /> в /> четен. Группа /> разрешима, поэтому /> и /> или />. Ho /> группа порядка 3, a />. Противоречие. Если /> — диэдральная группа порядка 8, то /> — нечетное простое число или />. Но группы /> и /> не допускают нужной факторизации, поэтому /> — собственная в /> подгруппа. Теперь /> или />. Если />, то /> — диэдральная группа порядка 16, а так как />, то />. Противоречие. Если />, то /> и в /> существует подгруппа порядка /> или />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть, наконец, />. Тогда /> и />. Так как фактор-группа /> разрешима по индукции, то /> и />. Используя самоцентрализуемость силовской />-подгруппы в />, нетрудно показать, что /> не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2. Допустим, что теорема неверна и группа /> — контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая />-группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что />. Пусть /> — произвольная минимальная инвариантная в /> подгруппа. Если />, то />, а так как /> — нильпотентная группа, то /> разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и />. Противоречие. Значит, />, в частности, /> разрешима. Допустим, что />. Тогда /> и /> удовлетворяет условиям леммы. Поэтому /> изоморфна подгруппе группы />, содержащей /> для подходящего />. Так как /> есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то /> и />. Отсюда />. Подгруппа /> инвариантна в /> так как />, то /> разрешима и />. Теперь /> изоморфна некоторой группе автоморфизмов />, т. е. /> из заключения теоремы. Противоречие. Значит, />.
Таким образом, если /> — произвольная инвариантная в /> подгруппа, то />.
Пусть />, /> — инвариантная силовская />-подгруппа, /> — силовская />-подгруппа. Через /> обозначим циклическую подгруппу в />, для которой />. Допустим, что />. В этом случае /> и если /> — подгруппа индекса 2 в />, то /> — циклическая подгруппа индекса 2 в />. По теореме 1 группа /> разрешима. Противоречие. Значит, />. Теперь, если в /> есть инвариантная подгруппа /> четного индекса, то /> есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.
Следовательно, /> и в /> нет инвариантных подгрупп четного индекса.
Допустим, что />, тогда /> — группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа /> из /> является силовской подгруппой в /> и по результату В. Д. Мазурова группа /> диэдральная или полудиэдральная. Если /> диэдральная, то по теореме 16.3 группа /> изоморфна /> или подгруппе группы />. Так как /> не допускает требуемой факторизации, то /> следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит, /> — полудиэдральная группа. Если /> — центральная инволюция из />, то />, поэтому /> и /> разрешима. По теореме Мазурова группа /> изоморфна /> или />. Нетрудно проверить, что /> и /> не допускают требуемой факторизации. Значит, />.
Пусть /> — максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Тогда, если />, то /> и /> содержит подгруппу />, инвариантную в /> по лемме Чунихина. В этом случае, /> и />. Противоречие. Следовательно, />.
Допустим, что /> не является силовской 2-подгруппой в />. Тогда /> немаксимальна в />, а так как /> и />, то по лемме 2 порядок /> нечетен. Теперь /> и /> содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.
Таким образом, /> — силовская 2-подгруппа группы />. Теперь, /> и /> — максимальная в /> подгруппа. Представление подстановками смежных классов по /> дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра /> нечетен. Отсюда следует, что /> — абелева группа.
Пусть /> — минимальная инвариантная в /> подгруппа. Группа /> не является />-группой, поэтому некоторая силовская в /> подгруппа циклическая и /> — простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа /> и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок />, a />, то /> изоморфна />, где /> или />. Фактор-группа /> разрешима, поэтому /> и /> изоморфна некоторой группе автоморфизмов />, т. е. /> из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство теоремы 3. Пусть группа /> — контрпример минимального порядка, /> — циклическая подгруппа в /> и />, где />. Пусть />, где /> — силовская 2-подгруппа />, а /> — ее 2-дополнение в />. Если /> — силовская 2-подгруппа />, то /> и /> разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь /> можно считать силовской 2-подгруппой группы />.
Предположим, что />. Фактор-группа /> и /> — 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа /> нечетного порядка инвариантна в /> и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа /> разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и />. Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что />, получаем: группа /> изоморфна подгруппе />, содержащей /> для некоторых />. Противоречие. Следовательно, в /> нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.
Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа /> является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если />, то />, и так как /> неразрешима, то /> диэдральная. Пусть /> не содержится в />.
Предположим, что /> и пусть />, где /> — инволюция из />. Теперь /> и />. Пусть вначале /> и /> максимальна в />. Тогда /> — дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе />: если /> — простое число; если /> — непростое число. Из леммы 3 получаем, что />. Противоречие. Пусть /> — максимальная в /> подгруппа, которая содержит />. Тогда /> и />. Кроме того, />. Пусть /> — минимальная инвариантная в /> подгруппа, которая содержится в />, /> существует по лемме Чунихина, а так как />, то />, а следовательно, и /> неразрешимы. По индукции /> изоморфна подгруппе />, содержащей />, для некоторых />. Все инвариантные в /> подгруппы неразрешимы, поэтому />, а так как /> — минимальная инвариантная в /> подгруппа, то />. B силу леммы 5 />, поэтому /> разрешима. Но тогда /> и /> изоморфна группе автоморфизмов группы />, т. е. /> из заключения теоремы. Противоречие.
Значит, />, поэтому /> не содержит инвариантных в /> подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы /> подстановками смежных классов по подгруппе /> точное степени 4. Отсюда группа /> есть группа диэдра порядка 8.
Таким образом, силовская 2-подгруппа /> в группе /> есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна — Уолтера группа /> изоморфна />, или подгруппе группы />. Так как />, не допускает требуемой факторизации, то группа /> — из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.
В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп /> при условии, что /> — 2-разложимая группа, а в группе /> существует циклическая подгруппа индекса />.
/>2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2
В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы />, допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.
В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы /> при условии, что факторы /> и /> содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а />-длина равна 1 для любого нечетного />. Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы />. Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.
Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности, /> — множество простых делителей порядка />, a /> — циклическая группа порядка />.
Лемма 1. Метациклическая группа порядка /> для нечетного простого /> неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка /> и подгруппы порядка />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство. Допустим противное и пусть /> — метациклическая группа порядка />, разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы /> порядка /> и подгруппы /> порядка />, /> — нечетное простое число. Ясно, что /> неабелева. Если /> содержит нормальную подгруппу /> порядка /> с циклической фактор-группой />, то /> содержится в центре /> и /> абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно, /> содержит циклическую подгруппу индекса /> и подгруппа />, порожденная элементами порядка />, является элементарной абелевой подгруппой порядка /> по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь />, и подгруппы /> порядка /> не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.
При /> утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.
Лемма 2. Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.
Доказательство. Пусть /> — конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга />. Так как />, то /> как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому /> сверхразрешима.
Лемма 3. Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.
Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.
Напомним, что /> — наибольшая нормальная в />/>-подгруппа, /> — центр группы />, а /> — наименьшая нормальная в /> подгруппа, содержащая />. Через /> обозначается />-длина группы />.
Лемма 4. Пусть /> и /> — подгруппы конечной группы />, обладающие, следующими свойствами:
1) /> для всех />;
2) />, где />.
Тогда />.
Доказательство. См. лемму 1.
Теорема 1. Пусть конечная группа />, где /> и /> — группы с циклическими подгруппами индексов />. Тогда /> разрешима, /> и /> для любого простого нечетного />.
Доказательство. По теореме из группа /> разрешима. Для вычисления />-длины воспользуемся индукцией по порядку группы />. Вначале рассмотрим случай нечетного />. По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе /> единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга /> — минимальная нормальная подгруппа. Так как />, то /> — />-группа. Если />, то /> — абелева группа порядка, делящего />, а так как />, то />. Силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теореме III.11.5, поэтому /> — элементарная абелева порядка /> и /> изоморфна подгруппе из />, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальной в /> подгруппы />, то из леммы 1 получаем что /> — силовская в /> подгруппа и />.
Рассмотрим теперь 2-длину группы />. Ясно, что /> и /> — единственная минимальная нормальная в /> подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть /> и /> — />-холловские подгруппы из /> и /> соответственно. По условию теоремы /> — циклическая нормальная в /> подгруппа, /> — циклическая нормальная в /> подгруппа. Теперь /> — />-холловская в /> подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что />. Для любого элемента /> имеем: />, a по лемме 4 либо />, либо />. Но если />, то /> и /> централизует />, что невозможно. Значит, />, а так как в /> только одна минимальная нормальная подгруппа, то /> и /> — 2-группа. Фактор-группа /> не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга /> имеет нечетный порядок. Но />-холловская в /> подгруппа /> циклическая, а по лемме 2 фактор-группа /> сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в /> абелева по лемме 3, Теперь /> по теореме VI.6.6 и />. Теорема доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма 5. Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса /> сверхразрешима.
Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть /> — конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга /> имеет индекс />. По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе /> только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F — минимальная нормальная в /> подгруппа. Пусть /> — инволюция из />. Если />, то /> — нормальная в /> подгруппа. Если />, то /> и /> — неединичная нормальная в /> подгруппа. Итак, в группе /> имеется нормальная подгруппа /> простого порядка. По индукции /> сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа />.
Лемма 6. Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих />, сверхразрешима.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа />, где подгруппы /> и /> имеют порядки, делящие />, /> — простое число. Все фактор-группы группы /> удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы /> сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы /> единична, а подгруппа Фиттинга /> — минимальная нормальная в /> подгруппа. По лемме 2 подгруппа /> нециклическая.
Если /> — 2-группа, то /> и /> изоморфна подгруппе группы />, поэтому /> — группа порядка 3, а группа /> имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно, /> сверхразрешима.
Пусть теперь /> — />-группа. Так как /> сверхразрешима по индукции, то /> 2-нильпотентна. Но />, так как />, значит, /> — 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа /> неприводимо действует на подгруппе />, поэтому /> циклическая по теореме Машке. С другой стороны, /> и силовская 2-подгруппа /> из /> есть произведение двух подгрупп /> и /> порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.
Теорема 2. Если группы /> и /> содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов />, то конечная группа /> сверхразрешима.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа /> разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы /> сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы /> единична, а подгруппа Фиттинга /> — единственная минимальная нормальная в /> подгруппа. Ясно, что /> имеет непростой порядок. Если /> — 2-группа, то /> порядка 4 и /> изоморфна подгруппе группы />. Но теперь порядок /> делит 12, и /> сверхразрешима по лемме 6.
Следовательно, /> — />-группа порядка />. Силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теореме III.11.5, поэтому /> — элементарная абелева порядка /> и /> изоморфна подгруппе группы />, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальной в /> подгруппы />, то из леммы 1 получаем, что /> — силовская в /> подгруппа и можно считать, что />, где />.
Через /> — обозначим разность />. Так как />-холловские подгруппы /> из /> и /> из /> нормальны в /> и /> соответственно, то /> — />-холловская в /> подгруппа. Если />, то /> сверхразрешима по лемме 6. Пусть />. Для любого элемента /> имеем: /> и по лемме 4 либо />, либо />. Если />, то из минимальности /> получаем, что /> и /> централизует />, что невозможно. Значит, /> и />. Но в /> единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому /> и /> делит />. Но если />, то /> нормальна в />, противоречие. Значит, />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Так как /> сверхразрешима и /> — />-холловская подгруппа в />, то /> нормальна в /> и по лемме Фраттини /> содержит силовскую 2-подгруппу /> из />. Ясно, что />. Подгруппа /> ненормальна в />, значит, />, но теперь /> нормальна в /> и нормальна в />, противоречие. Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть конечная группа />, где /> — циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа /> содержит циклическую подгруппу индекса />. Если в /> нет нормальных секций, изоморфных />, то /> сверхразрешима.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа /> разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга /> — единственная минимальная нормальная в /> подгруппа. Если /> — 2-группа, то /> содержится в /> и поэтому порядок /> равен 4, a /> изоморфна подгруппе группы />. Если силовская 3-подгруппа /> из /> неединична, то /> действует на /> неприводимо и /> — нормальная в /> подгруппа, изоморфная />, противоречие. Если />, то /> — 2-группа и /> сверхразрешима.
Следовательно, /> — />-группа порядка />. Так как силовская />-подгруппа в /> метациклическая по теореме III.11.5, то /> — элементарная абелева порядка /> и /> изоморфна подгруппе из />, в которой силовская />-подгруппа имеет порядок />. Так как /> для некоторой максимальной в /> подгруппы />, то из леммы 1 получаем, что /> — силовская в /> подгруппа и можно считать, что />, где />, a />.
Через /> обозначим />. Как и в теореме 2, легко показать, что />-холловская подгруппа /> из /> неединична, а />. Так как /> — />-холловская в /> подгруппа и /> сверхразрешима, то /> нормальна в /> и /> содержит силовскую 2-подгруппу /> из />, которая совпадает с силовской 2-подгруппой в />. Подгруппа /> ненормальна в />, поэтому />. Но теперь /> нормальна в />, а значит, и в />, противоречие. Теорема доказана.
/>3. Произведение разрешимой и циклической групп
В настоящей заметке доказывается следующая
Теорема 1. Пусть конечная группа /> является произведением разрешимой подгруппы /> и циклической подгруппы /> и пусть />. Тогда />, где /> — нормальная в /> подгруппа, /> и /> или /> для подходящего />.
/>означает произведение всех разрешимых нормальных в /> подгрупп.
Следствие. Если простая группа /> является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то />.
Несмотря на то, что среди /> при нечетном /> нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы /> допускают указанную факторизацию для каждого />.
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В />3.2 доказываются теоремы 1 и 2.
Все обозначения и определения стандартны. Запись /> означает, что конечная группа /> является произведением своих подгрупп /> и />.
/>3.1 Вспомогательные результаты
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — подгруппа группы />. Тогда /> означает наибольшую нормальную в /> подгруппу, которая содержится в />, a /> — наименьшую нормальную в /> подгруппу, которая содержит />.
Лемма 1. Если /> и /> содержит подгруппу />, нормальную в />, то />.
Лемма 2. Пусть /> и /> — нормальная в /> подгруппа. Если />, то />.
Доказательство. Поскольку />, то />. Так как />, то />
Лемма 3. Если /> и /> абелева, то />.
Доказательство. Пусть />. Ясно, что /> и />. Если />, то /> и />. Таким образом, /> и />.
Лемма 4. Пусть /> и /> не делит />. Тогда /> не сопряжен ни с одним элементом из />.
Доказательство. Если />, то /> и /> делит />. Но /> по лемме VI.4.5 из, поэтому />. Противоречие.
Лемма 5. Пусть /> — минимальная нормальная подгруппа группы /> и />. Если /> разрешима, то /> и /> изоморфна подгруппе из />.
Доказательство. />. Так как /> разрешима, то /> и />. По лемме 1.4.5 из группа /> есть группа автоморфизмов />.
Лемма 6. Пусть />, где /> — собственная подгруппа />, а /> циклическая. Если />, то справедливо одно из следующих утверждений:
1) /> и /> — нормализатор силовской 2-подгруппы, а />;
2) />, а />;
3) />, а />.
Доказательство. См. теорему 0.8 из.
Лемма 7. Группа /> при любом /> является произведением разрешимой подгруппы и циклической.
Доказательство. Если />, то утверждение следует из леммы 6. Пусть />, и /> — силовская />-подгруппа в />. Известно, что /> циклическая и в /> есть циклическая подгруппа /> порядка />. Так как /> и />, то />.
Лемма 8. Если />, то /> является произведением разрешимой и циклической подгрупп.
Доказательство. Известно, что />, где /> — циклическая группа порядка, делящего />, и /> нормализует подгруппу />, где /> — силовская 2-подгруппа в />. Так как />, где /> — циклическая группа порядка />, то /> и /> разрешима.
Лемма 9. Группа /> является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа /> не допускает указанной факторизации.
Доказательство. Группа /> имеет порядок /> и в ней содержится подгруппа /> индекса 2. Так как /> дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок /> и является разрешимой группой. Поэтому /> является произведением разрешимой подгруппы порядка /> и циклической подгруппы порядка 13.
Покажем, что /> не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть /> — подгруппа порядка />. Так как /> дважды транзитивна на смежных классах по />, то центр /> имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда />, где />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> — подгруппа Фиттинга группы />, где />. Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в /> имеет порядок />, поэтому />. Так как /> разрешима, то /> и /> изоморфна подгруппе из />.
Предположим, что />. Тогда /> делит порядок />, а значит и />. Но это невозможно, так как />. Противоречие.
Следовательно, />. Далее />, так как /> — подгруппа нечетного порядка, поэтому />. Ясно, что />, a /> и />. Силовская 2-подгруппа /> из /> является силовской в />, значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен /> порядка />. Поэтому />. /> как подгруппа из /> полудиэдральна при />, либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок /> не делится на 9. Таким образом, />. Противоречие. Итак, /> не содержит подгруппы индекса 13.
Пусть />, где /> — разрешимая подгруппа, а /> — циклическая. В /> силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок />. Так как в /> нет /> — холловской подгруппы, то 3 делит порядок />. Но в /> силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в /> есть подгруппа /> порядка />. Теперь силовская 13-подгруппа из /> не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.
Теорема 3. Если /> — простая группа, где /> — холловская собственная в /> подгруппа, а /> — абелева />-группа, то /> есть расширение группы, изоморфной секции из />, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если /> циклическая, то /> есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство. Из простоты /> и леммы Чунихина вытекает, что /> и /> максишльна в />. Представление группы /> перестановками на смежных классах подгруппы /> будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку />. Так как /> — регулярная и транзитивная группа и />, то /> также транзитивна. Но /> по теореме 1.6.5, поэтому /> самоцентрализуема в />.
Группа автоморфизмов />, индуцированная элементами из />, называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно />, а по теореме 3 подгруппа /> нормальна в /> и /> — элементарная абелева 2-группа.
По лемме Фраттини />, поэтому обозначив /> будем иметь />. Так как />, то /> изоморфна секции из />. В частности, если /> циклическая, то /> абелева и /> есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
/>3.2 Доказательства теорем 1 и 2
Доказательство теоремы 1. Предположим, что теорема неверна и пусть /> — контрпример минимального порядка. Так как />, то /> и /> по лемме 3.
Допустим, что /> не максимальна в /> и пусть /> — прямое произведение минимальных нормальных в /> подгрупп и /> — наибольшее. Очевидно, /> содержит все минимальные нормальные в /> подгруппы. Так как />, то /> и />. Поэтому /> изоморфна подгруппе из />.
Допустим, что /> для некоторого />. Тогда /> и /> разрешима. Значит, />. Пусть /> — подгруппа в />, собственно содержащая />. Так как /> и /> — нормальная в /> неединичкая подгруппа, то />. Теперь минимальная нормальная в /> подгруппа из /> совпадает с /> и />, противоречие. Таким образом, /> для любого />. По индукции /> изоморфна подгруппе />, где /> — есть прямое произведение, построенное из групп />. Очевидно, что />, поэтому /> также есть прямое произведение, построенное из групп />. Следовательно, /> обладает этим же свойством и /> — подгруппа из />. Противоречие.
продолжение--PAGE_BREAK--
Итак, /> максимальна в />. Поэтому представление /> перестановками на множестве смежных классов подгруппы /> будет точным и примитивным. Так как />, то /> в этом представлении регулярна и /> дважды транзитивна. Пусть /> минимальная нормальная в /> подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что /> проста и примитивна, т.е. /> максимальна в />. Так как />, то /> разрешима и /> по лемме 5. Таким образом, /> изоморфна подгруппе из />.
Предположим, что />. Тогда /> неразрешима, /> и />. Так как />, то по индукции /> изоморфна подгруппе из />, а /> или /> и /> из заключения теоремы. Следовательно, /> и /> по лемме 2.
Пусть порядок /> четен. Тогда /> содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа /> 2-транзитивна и изоморфна /> — степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если />, то /> из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому /> не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.
Пусть теперь /> изоморфна /> — простое нечетное число. Тогда />, где /> и />, где /> — силовская />-подгруппа из /> и />. Из леммы 2 получаем />. Так как в /> все инволюции сопряжены и /> имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа /> имеет нечетный порядок, в частности /> не делит />.
Предположим, что существует простое число />, делящее /> и />. Если />, то по лемме 2.5 порядок /> делит />, а так как />, то /> делит />. Если />, то /> делит /> и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что /> делит />. Так как />, то в любом случае />. Известно, что />, поэтому /> и />. Противоречие с леммой 2.5.
Следовательно, /> не может быть изоморфна />. Случай, когда порядок /> четен, рассмотрен полностью.
Пусть порядок подгруппы /> нечетен. Тогда /> содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из />. По теореме О'Нэна подгруппа /> изоморфна /> или /> и /> нечетное число.
Пусть /> изоморфна />.Тогда /> и /> делит />. Поэтому /> содержит силовскую 2-подгруппу из /> и, используя информацию о подгруппах в />, получаем, что /> делит />, a /> делит /> или />. Теперь /> делится на />, которое делится на /> или на />. Противоречие.
Пусть /> изоморфна />. Так как /> имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа /> из /> содержится в />. Если />, то /> и по лемме 3.3 имеем />. Если />, то /> нормальна в />, так как разрешимая группа с силовской 2-подгруппой /> имеет 2-длину 1. Итак, в любом случае />. Но /> дважды транзитивна на смежных классах по />, поэтому /> и /> нормальна в />.
Поскольку /> и />. Кроме того, />, поэтому /> — нечетное число, делящее />. Так как /> — циклическая группа нечетного порядка в />, то либо /> делит />, либо /> делит />. Поэтому /> делится на />, либо на />. Очевидно, /> при />. Случай /> исключается непосредственно. Следовательно, /> неизоморфна />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Предположим, что /> — нечетное и />. Так как /> — стабилизатор точки и /> разрешима индекса />, то />, либо />. Группа /> не допускает требуемой факторизации по лемме 9. Поэтому либо />, либо />. Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Пусть /> — 2-нильпотентная группа и /> — ее силовская 2-подгруппа, /> — циклическая. Очевидно, мы можем считать, что />. Пусть /> — максимальная в /> подгруппа, содержащая />. Так как />, то />. Предположим, что />. Тогда /> и группа /> непроста. Если порядок /> нечетен, то по индукции /> разрешима и />, противоречие. Таким образом, />, кроме того, /> максимальна в />. Теперь /> — дважды транзитивна на множестве смежных классов по />. Если порядок /> четен, то группа /> непроста по лемме 4.1. Пусть порядок /> нечетен. Тогда /> — силовская в /> подгруппа. По теореме Виландта-Кегеля />, а по лемме 3.3 /> и /> 2-разложимая подгруппа. По теореме 1V.2.6 подгруппа /> неабелева. Так как из теоремы 1 в случае, когда порядок /> нечетен следует, что силовская 2-подгруппа в /> абелева, то имеем противоречие. Теорема доказана.
Симметрическая группа пяти символов факторизуется 2-нильпотентной подгруппой порядка 20 и циклической подгруппой порядка 6. Поэтому условие нечетности порядка циклического фактора существенно.
Заключение
В данной курсовой работе были приведены некоторые результаты, полученные Монаховым В. С. (Гомельская лаборатория института математики), проливающие свет на такие важные вопросы в теории конечных групп, как разрешимость и сверхразрешимость конечных групп, являющихся произведением двух групп с различными свойствами, а именно содержащих циклическую подгруппу индекса />, содержащих циклические подгруппы индекса 2, разрешимые и циклические группы.
Эти полученные данные изложены в теоремах 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1, 3.2 и 3.3. Так же представляют интерес данные изложенные в леммах, которые были использованы при доказательстве выше упомянутых теорем. В особенности следует выделить лемму 1.2, которая обобщает лемму А. В. Романоского и теорему 1.3, являющеюся обобщением теоремы Б. Хупперта.
Список использванных источников
1. Монахов В.С. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса />.// Математические заметки.-1974.-Т.16, №2-с. 285-295
2. Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп// Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с.189-195
3. Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2// Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук.-1996, №3-с.21-24