Реферат: Формула Н ютона Лейбінца
Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 Реферат На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. |
|
Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x , y = x ² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що
Виберемо довільну точку x є [ a; b] і проведемо через
неї пенпендикуляр хК до осі Ох . Площа фігури а А К х
змінюється зі змінною х . Позначемо цю функцію че-
рез S ( x ) і покажемо, що існує її похідна причина, при-
чому S΄ ( x )=ƒ( x ) , де y =ƒ( x ) – підінтегральна функція,
графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше
кажечи, покажемо, що S ( x ) є первісною для ƒ( x ) .
Надамо змінній x приросту Δ x , вважаючи ( для спрощення міркування), що Δ x > 0. Тоді й фенкція S ( x ) набуде приросту Δ S ( x ) . У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку [ a ; b ] функція y =ƒ( x ) досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y =ƒ( x ) є неперервною на відрізку [ x , x + Δ x ] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,
m Δ x < Δ S ( x ) < M Δ x
Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо
За непервністю функції y =ƒ( x )
lim m =lim M = ƒ(x)
Δ x→0 Δ x→0
функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ) .
Позначимо через F ( x ) будь-яку первісну для функції y =ƒ( x ) . За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C . Тому
S ( x ) = F ( x )+ C . (1)
При x = a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A , тому S ( x ) = 0 .
Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S ( x ) число , одер-жимо C = — F ( a ) . Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо
S ( x ) = F ( x )- F ( a ). (2)
Коли x = b , то площа криволінійної трапеції дорівнює числу S = S ( b ) . Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд
S ( b ) = F ( b )- F ( a ).
Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює
b
значенню∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що
a
b
∫ ƒ(x) dx = F ( b )- F ( a ). (3)
a
Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, щозначення інтегралу на відрізку [ a ; b ]дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x = b i x = a . Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так: Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,
(кв. од.);
(кв. од.).
П р и к л а д 3.
Обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца площу фігури,
обмеженої зверху синусоїдою y = sin x , знизу – віссю Ох , а з боків – прямими .
Розв’ язання: ( кв. од.).
Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:
де тобто якщо відрізок [ a ; b ] розбито на два
відрізки точкою с , то інтеграл на відрізку [ a ; b ] дорівнює сумі інтегралів на від- різках [ a ; b ] i [ a ; c ].
де
Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.
Приклад 4. Обчислити
Розв ’ язання:
Приклад 5. Обчислити Розв ’ язання:
Приклад 6. Обчислити Розв’яззати: