Реферат: Свойства функции многих переменных, необходимые и достаточные условия минимума функции многих переменных. Классический метод оптимизации.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных. z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение:Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение:Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие MM0<r также верно и условие |f(x,y)-A|<ε.

Записывают:

Определение: Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если

причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Свойство 1: Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство 2: Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = m.

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция, по крайней мере, один раз обращается в ноль.

Свойство 3: Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство

Свойство 4: Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство. matkb.ru/arf2/arf37.htm

Необходимое условие экстремума многомерной функции:

Т.е. градиент функции

Достаточное условие экстремума многомерной функции:

Если матрица ГессеH(x0) положительно определена в x0, то x0– минимум.

Матрица Гессе положительно определена, когда все миноры положительны.

;; …

Матрица Гессе – это матрица вторых частных производных

Классический метод оптимизации, пример:

д.б. x1=0; x2=0; =(0; 0)

Находим H:

точка (0; 0) — минимум