Реферат: Определение оптимального плана замены оборудования
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра менеджмента
вотраслях ТЭК
КУРСОВАЯ РАБОТА
подисциплине: Экономико-математические модели и методы
натему: Определение оптимального плана замены оборудования
Выполнил:ст. гр. ЭП-99
Архангельская Е.А.
Научный руководитель:
Зольникова С.Н.
Тюмень,2000
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
1. Характеристика состояния хозяйствующего субъекта и выявление тенденций его развития.
2. Информационно-методическое обеспечение экономического моделирования.
2.1 Методическая база решения модели.
2.2 Информационно-методическое обеспечение метода.
3. Расчет показателей экономико-математической модели и экономическая интерпретация результатов.
Заключение.
Список литературы.
Приложения
3
4
7
7
12
17
29
31
32
ВВЕДЕНИЕ
Во всем мире существуетмножество предприятий, которые используют для производства своей продукциимашинное оборудование. Поэтому при его внедрении нужно составлять оптимальныйплан использования и замены оборудования. Задачи по замене оборудованиярассматриваются как многоэтаповый процесс, который характерен для динамическогопрограммирования.
Многие предприятия сохраняютили заменяют оборудование по своей интуиции, не применяя методы динамическогопрограммирования. Применять эти методы целесообразно, так как это позволяетнаиболее четко максимизировать прибыль или минимизировать затраты.
Цель этой курсовой работыизучить динамическое программирование для дальнейшего его использования.
Задача о заменеоборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старогооборудования. Старение оборудования включает его физический и моральный износ.В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты наобслуживание и ремонт, снижается производительность труда и ликвиднаястоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатацииоборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемогопериода.
1. ХАРАКТЕРИСТИКА СОСТОЯНИЯ ХОЗЯЙСТВУЮЩЕГО СУБЪЕКТА И ВЫЯВЛЕНИЕ ТЕНДЕНЦИЙЕГО РАЗВИТИЯ
Для осуществления своей эффективной деятельностипроизводственные объединения и предприятия должны периодически производить заменуиспользуемого ими оборудования. При этой замене учитывается производительностьиспользуемого оборудования и затраты, связанные с содержанием и ремонтомоборудования.
К началу планируемого периода на предприятииустановлено новое оборудование, позволяющее за каждый год восьмилетнего периодавыпустить готовой продукции на сумму соответственно25,24,24,23,23,23,22,21,20,20,20,20 тыс.д.ед. Ежегодные затраты предприятий,связанные с содержанием и ремонтом используемого аналогичного оборудования затот же период времени представлены в п.1.табл.1.1. Затраты, связанные сприобретением и установкой нового оборудования, идентично с установленным,составляют 10 д.ед., использованное оборудование списывается.
На основе статистической обработки, результаты которой сведены втаблицу1.2, можно построить графическую зависимость затрат на содержание иремонт оборудования в планируемом периоде.
Таблица 1.2
Зависимость затратна содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.
Порядковые годы эксплуатации оборудования Затраты, тыс.д.ед. 1 21
2
15,07
15,01
15,94
Продолжениетабл.1.1
1 23
4
5
6
7
8
9
10
16,11
16,93
16,86
17,96
18
19,11
19,86
20,19
/>
Зависимостьзатрат на содержание и ремонт оборудования в планируемом периоде.
Рис.1.1
Из графика видно, что затраты на содержание и ремонт оборудования впланируемом периоде с каждым годом растут, потому что оборудование стареет.
Характерным длядинамического программирования является подход к решению задачи по этапам, скаждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентныхвычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получениедопустимого решения задачи в целом при достижении последнего этапа.
Данная задача относится кзадачам динамического программирования, потому что выполняются два условия это:аддитивность целевой функции; отсутствие последствия, которое строится напринципе оптимальности Беллмана.
Fn-k(X(k))=max[Wk+1(X(k), uk+1)+Fn-k-1(Xk+1))](k=0, n-1).
Uk+1
2.ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
2.1. Методическая база решениямодели
В задачах динамическогопрограммирования экономический процесс зависит от времени (от несколькихпериодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений(последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всегопроцесса в целом. Задачи динамического программирования называютсямногоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляетсобой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планированиемногошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход егоразвития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждомэтапе для влияния на ход процесса. В экономических процессах управлениезаключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе.Например, выпуск продукции любым предприятием –управляемый процесс, так как онопределяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величинойфинансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого годапланируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования,размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, дляполучения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложитьмаксимально возможное количество средств и использовать на полную мощностьоборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, какследствие, к уменьшению выпуска продукции. Следовательно, выпуск продукции надоспланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимопредусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мереизнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшениюпервоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшемвозможность расширения производства. Таким образом, экономический процессвыпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), накаждом из которых осуществляется влияние на его развитие.
Началом этапа (шага)управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальныхвложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычнопонимают хозяйственный год.
Динамическоепрограммирование, используя поэтапное планирование, позволяет не толькоупростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применитьметоды математического анализа. Упрощение решения достигается за счетзначительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того,чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапногопланирования предполагает многократное решение относительно простых задач.
Планируя поэтапныйпроцесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решенияна отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.
Однако динамическоепрограммирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейногопрограммирования, в котором симплексный метод является универсальным, вдинамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеетсвои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методикурешения. Недостаток динамического программирования заключается также втрудоемкости решения многомерных задач. При очень большом числе переменныхрешение задачи даже на современных ЭВМ ограничивается памятью и быстродействиеммашины. Например, если для исследования каждой переменной одномерной задачи требуется10 шагов, то в двумерной задаче их количество увеличивается до 100, втрехмерной –до 1000 и т.д.<sup/>[7].
Предположим, какая-тосистема S находится в некотором начальном состоянии S0и является управляемой. Таким образом,благодаря осуществлению некоторого управления Uуказанная система переходит из начального состояния S0в конечное состояние Sк. При этомкачество каждого из реализуемых управлений Uхарактеризуется соответствующим значением функции W(U). Задача состоит в том, чтобы из множества возможныхуправлений U найти такое U*,при котором функция W(U)принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение W(U*).
Задачи динамическогопрограммирования имеют геометрическую интерпретацию. Состояние физическойсистемы S можно описать числовыми параметрами, напримеррасходом горючего и скоростью, количеством вложенных средств и т.д. Назовем этипараметры координатами системы; тогда состояние системы можно изобразить точкойS, а переход из одного состояния S1в другое S2 –траекторией точки S. Управление U означает выборопределенной траектории перемещения точки S из S1 в S2, т.е.установление определенного закона движения точки S.
/>/>/>/> S0 S Sk
/>
/>/> 0 x
Областьвозможных состояний системы
Графическое изображение перехода системы S
Рис.2.1
Совокупность состояний, вкоторые может переходить система, называется областью возможных состояний. Взависимости от числа параметров, характеризующих состояние системы, областьвозможных состояний системы
может быть различной. Пусть, например, состояниесистемы S характеризуется одним параметром, — координатойx. В этом случае изменение координаты, если на нееналожены некоторые ограничения, изобразится перемещением точки S по оси Оx или по ее участку.Следовательно, областью возможных состояний системы является совокупностьзначений x, а управлением –закон движения точки S из начального состояния S0 вконечное Sk по оси Ox или ее части (рис.2.1).
Если состояние системы S характеризуется двумя параметрами (x1и x2 ), то областью возможныхсостояний системы служит плоскость x1Ox2 или ее часть, а управление изобразится линиейна плоскости, по которой точка S перемещается из S0 в Sk<sub/>(рис. 2.2).
/> х2
/> S0
/>
S Sk
/> 0 х1
Управление системы S в графическомизображении
рис.2.2
В общем случае, когда состояние системы описывается nпараметрами xi<sub/> (i=1,2,…,n), областью возможныхсостояний служит n-мерное пространство, а уравлениеизображается перемещением точкиS из какой-то начальнойобласти S0 в конечную Sk<sub/>по некоторой “траектории” этого пространства.
Таким образом, задаче динамического программирования можно дать следующуюгеометрическую интерпретацию. Из всех траекторий, принадлежащих областивозможных состояний системы и соединяющих области S0и Sk, необходимо выбрать такую, накоторой критерий W принимает оптимальное значение.<sup/>[7].
Чтобы рассмотреть общеерешение задач динамического программирования, введем обозначения и сделаем длядальнейших изложений предположения.
Будем считать, что состояние рассматриваемой системы Sна K-м шаге (k=1,n) определяется совокупностью чисел X(k) =(x1 (k), x2(k) ,…, xn(k) ), которые получены в результате реализации управленияuk, обеспечившего переход системы S из состояния X(k-1) в состояние X(k). При этом будем предполагать, что состояние X(k) , вкоторое перешла система S, зависит от данногосостояния
X(k-1) ивыбранного управления uk и не зависит оттого, каким образом система S пришла в состояние X(k-1) .
Далее будем считать, что если в результате реализации k-го шага обеспечен определенный доход или выигрыш, также зависящий от исходного
состояниясистемы X(k-1)и выбранного управления uk и равный Wk(X(k-1), uk<sub/>), то общий доход или выигрыш за nшагов составляет
n
F=∑ Wk(X(k-1), uk ). (2.1)
k=1
Таким образом, задача динамического программирования должна удовлетворятьдва условия. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия,а второе – условием аддитивности целевой функции задачи.
2.2 Информационно-методическое обеспечение метода
Выполнение для задачи динамического программирования первого условияпозволяет сформулировать для нее принцип оптимальности Беллмана. Прежде чемсделать это, надо дать определение оптимальной стратегии управления. Под такойстратегией понимается совокупность управлений U*=(u1*, u2*, …, un*), в результате реализации которых система S за n шагов переходит из начальногосостояния X(0) в конечное X(k) и при этом функция (2.1) принимает наибольшеезначение.
Принцип оптимальности: какое бы не было состояние системы перед очереднымшагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шагеплюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.
Отсюда следует, что оптимальную стратегию управления можно получить, еслисначала найти оптимальную стратегию управления на n-мшаге, затем на двух последних шагах, затем на трех последних шагах и т.д.,вплоть до первого шага. Таким образом, решение рассматриваемой задачидинамического программирования целесообразно начинать с определенияоптимального решения на последнем, n-м шаге. Для того чтобынайти это решение, очевидно, нужно сделать различные предположения о том, какмог окончиться предпоследний шаг, и с учетом этого выбрать управление un0, обеспечивающее максимальноезначение функции Wn(X(n-1), un<sub/>). Такое управление un0выбранное при определенных предположениях о том, как окончился предыдущийшаг, называется условно оптимальным управлением. Следовательно, принципоптимальности требует находить на каждом шаге условно оптимальное управлениедля любого из возможных исходов предшествующего шага.
Чтобы это можно было осуществить практически, необходимо датьматематическую формулировку принципа оптимальности. Для этого введем некоторыедополнительные обозначения. Обозначим через Fn(X0) максимальный доход, получаемый за n шагов при переходе системы S изначального состояния X(0) в конечноесостояние X(k)при реализации оптимальной стратегии управления U=(u1, u2, …, un), а через Fn-k(X(k)) –максимальный доход, получаемый при переходе излюбого состояния X(k)в конечное состояние X(n) при оптимальной стратегии управления на оставшихся n-k шагах. Тогда:
Fn(X0)=max[W1(X(0), u1)+…+Wn(X(n-1), un)]; (2.2)
Uk+j
Fn-k(X(k))=max[Wk+1(X(k), uk+1)+Fn-k-1(Xk+1))](k=0, n-1). (2.3)
Uk+1
Последнее выражениепредставляет собой математическую запись принципа оптимальности и носитназвание основного функционального уравнения Беллмана или рекуррентногосоотношения. Используя данное уравнение можно найти решение задачидинамического программирования.
Полагая k=n-1 врекуррентном соотношении (2.3), получим следующее функциональное уравнение:
F1(X(n-1)=max[Wn(X(n-1),un)+F0(X(n))]. (2.4)
un
В этом уравнении F0(X(n)) будем считать известным. Используя теперьуравнение (1.4) и рассматривая всевозможные допустимые состояния системы S на (n-1)-м шаге X1(n-1), X2(n-1), …, Xm(n-1), …, находим условные оптимальные решения
un0(x1(n-1)),un0(x2(n-1)),…, un0(xm(n-1)),…
исоответствующие значения функции (2.4)
F10 (X1(n-1)), F10(X2(n-1)), …, F10 (Xm(n-1)),….
Таким образом, на n-м шаге находим условнооптимальное управление при любом допустимом состоянии системы Sпосле (n-1)-го шага. То есть, в каком бы состояниисистема ни оказалась после (n-1)-го шага, будетизвестно, какое следует принять решение на n-м шаге.Известно также и соответствующее значение функции (2.4). Рассмотримфункциональное уравнение при k=n-2:
F2(X(n-1))=max[Wn-1(X(n-2),un-1)+F1(X(n-1))]. (2.5)
Un-1
Для того чтобы найти значения F2 длявсех допустимых значений X(n-2), необходимо знать Wn-1(X(n-2), un-1) и F1(X(n-1)). Чтокасается значений F1(X(n-1)), то они уже определены.Поэтому нужно произвестивычисления для Wn-1(X(n-2), un-1) при некотором отборе допустимыхзначений X(n-2)и соответствующих управлений un-1.Эти вычисления позволят определить условно оптимальное управление u0n-1 длякаждого X(n-2).Каждое из таких управлений совместно с уже выбранным управлением на последнемшаге обеспечивает максимальное значение дохода на двух последних шагах.
Последовательно осуществляя описанный выше итерационный процесс, дойдемдо первого шага. На этом шаге известно, в каком состоянии может находитьсясистема. Поэтому уже не требуется делать предположений о допустимых состоянияхсистемы, а остается лишь только выбрать управление, которое является наилучшимс учетом условно оптимальных управлений, уже принятых на всех последующихшагах.
Таким образом, в результате последовательного прохождения всех этапов отконца к началу определяется максимальное значение выигрыша за n шагов и для каждого из них находим условно оптимальноеуправление.
Чтобы найти оптимальную стратегию управления, то есть определить искомоерешение задачи, нужно теперь пройти всю последовательность шагов, только наэтот раз от начала к концу. А именно: на первом шаге в качестве оптимальногоуправления u1* возьмем найденное условнооптимальное управление u10. Навтором шаге найдем состояние X1*, в котороепереводит систему управление u1*. Этосостояние определяет найденное условно оптимальное u20, которое теперь считается оптимальным. Зная u2*,находим X2*, а значит, определяем u3* и т.д. В результате этого найдется решениезадачи, то есть максимально возможный доход и оптимальную стратегию управления U*, включающую оптимальные управления на отдельных шагах: U*= (u1*, u2*, …, un*).
Итак, из нахождения решения задачи динамического программирования видно,что этот процесс является довольно громоздким. Поэтому более сложные задачирешают с помощью ЭВМ.<sup/>[1].
Динамическую задачу по замене оборудования возможно также решить играфическим методом. На оси Х откладывают номер шага (к). на оси У – возрастоборудования (t). Точка (к-1;t)на плоскости соответствует началу К-ого шага по эксплуатации оборудования ввозрасте t лет.
/>Любая траектория переводящаяточку S(k-1;t)из состояния S0 S,. Состоит из отрезков,то есть из шагов соответствующих годам эксплуатации. Нужно выбрать такуютраекторию при которой затраты на эксплуатацию будут минимальны. Если известнызависимость производительности установленного на предприятии оборудования отвремени его использования R(t)и зависимость затрат на ремонт оборудования при различном времени егоиспользования S(t) и затратысвязанные с приобретением нового оборудования, то показателем эффективности вэтом случае является прибыль которая максимизируется.
3.РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЭКОНОМИЧЕСКАЯИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
В этой задаче в качестве системы S выступаетоборудование. Состояние этой системы определяются фактическим временемиспользования оборудования (его возрастом) t, то естьописываются единственным параметром t.
В качестве управлений выступают решения о замене и сохранении оборудования,принимаемые в начале каждого года. Обозначим через Xcрешение о сохранении оборудования, а через Xз–решение о замене оборудования. Тогда задача состоит в нахождении такойстратегии управления, определяемой решениями, принимаемыми к началу каждогогода, при которой общая прибыль предприятия за восемь лет являетсямаксимальной.
Эта задача обладает свойствами аддитивности и отсутствия последействия.Следовательно, ее решение можно найти с помощью алгоритма, реализуемого в дваэтапа. На первом этапе при движении от начала 10-го года периода к началу 1-гогода для каждого допустимого состояния оборудования найдем условное оптимальноеуправление (решение), а на втором этапе при движении от начала 1-го годапериода к началу 10-года из условных оптимальных решений для каждого годасоставим оптимальный план замены оборудования на десять лет.
Для определения условных оптимальных решений сначала необходимо составитьфункциональное уравнение Беллмана. Так как было предположено, что к началу k-го года (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)может приниматься только одно из двух решений – заменять или не заменятьоборудование, то прибыль предприятия за k-ый годсоставит:
/>Z*k= max r(t)-s(t)+Zk+1(t+1) ; Xc
r(0)-s(0)-P0+Zk+1(1) ; Xз (3.1)
где t –возраст оборудования к началу k-гогода (k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10); Xk–управление, реализуемое к началу k-го года; P0–стоимость нового оборудования.
Используя теперьуравнение (3.1), находим решение исходной задачи. Это решение начинается сопределения условно оптимального управления (решения) для последнего (10-го)года периода, в связи с чем находим множество допустимых состояний оборудованияк началу данного года. Так как к началу периода имеется новое оборудование (t =0), то возраст оборудования к началу 10-го года можетсоставлять 1,2,3,4,5,6,7,8,9 лет. Для каждого из этих состояний найдем условнооптимальное решение и соответствующее значение функции Z*10(t).
/>Z*10(1)=max 8,99 = 8,99; Xc
-0,07
/>Z*10(2)=max 8,06 = 8,06; Xc
-0,07
/>Z*10(3)=max 6,89 = 6,89; Xc
-0,07
/>Z*10(4)=max 6,07 = 6,07; Xc
-0,07
/>Z*10(5)=max 6,14 = 6,14; Xc
-0,07
/>Z*10(6)=max 4,04 = 4,04; Xc
-0,07
/>Z*10(7)=max 3,00 = 3,00; Xc
-0,07
/>Z*10(8)=max 0,89 = 0,89; Xc
-0,07
/>Z*10(9)=max 0,14 = 0,14; Xc
-0,07
Полученные результаты сведены втаблицу 3.1
Таблица 3.1
Возможное состояниеоборудование к началу 10-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*10(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 8,99Xc
2 8,06Xc
3 6,89Xc
4 6,07Xc
5 6,14Xc
6 4,04Xс
7 3Xс
8 0,89Xс
9 0,14Xс
Рассмотрим возможное состояние оборудование к началу 9-го года периода инайдем соответствующие значения функции Z*9(t).
/>Z*9(1)=max 17,05 = 17,05; Xc
8,92
/>Z*9(2)=max 14,95 = 14,95; Xc
8,92
/>Z*9(3)=max 12,96 = 12,96; Xc
8,92
/>Z*9(4)=max 12,21 = 12,21; Xc
8,92
/>Z*9(5)=max 10,18 = 10,18; Xc
8,92
/>Z*9(6)=max 7,04 = 8,92; Xc
8,92
/>Z*9(7)=max 3,89 = 8,92; Xc
8,92
/>Z*9(8)=max 4,04 = 8,92; Xc
8,92
Полученные результаты записаны втаблице 3.2
Таблица 3.2
возможное состояниеоборудование к началу 9-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*9(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 17,05Xc
2 14,95Xc
3 12,96Xс
4 12,21Xс
5 10,18Xс
6 8,92Xз
7 8,92Xз
8 8,92Xз
Определимусловно оптимальное решение для каждого из допустимых состояний оборудования кначалу 8-го года периода.
В соответствии с уравнением 3.1имеем:
/>Z*8(1)=max 23,94 = 23,94 ; Xc
/> 16,98
Z*8(2)=max 21,02 = 21,02 ; Xc
16,98
/>Z*8(3)=max 19,10 =19,10 ; Xc
16,98
/>Z*8(4)=max 16,25 =16,98 ; Xз
16,98
/>Z*8<sup/>(5)=max 15,06 = 16,98 ; Xз
16,98
/>
Z*8(6)=max 12,96 =<sup/>16,98 ; Xз
/> 16,98
Z*8(7)=max 16,98 = 16,98 ; Xз,Xс
16,98
Полученные результаты сведены втаблицу 3.3
Таблица 3.3
Возможное состояниеоборудование к началу 8-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*8(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 23,94Xc
2 21,02Xc
3 19,10Xc
4 16,98Xз
5 16,98Xз
6 16,98Xз
7 16,98Xc,Xз
Рассмотрим возможное состояние оборудование к началу 7-го года периода инайдем соответствующие значения функции Z*7(t).
/>Z*7(1)=max 8,99 +21,02 = 30,01 ; Xc
/> 9,93-10+23,94
Z*7(2)=max 8,06+19,10 = 27,16 ; Xc
/> 23,87
Z*7(3)=max 6,89+16,98 = 23,87 ; Xз ,Xс
23,87
/>Z*7(4)=max 6,07+16,98 = 23,87 ; Xз
23,87
/>Z*7(5)=max 6,14+16,98 = 23,87 ; Xз
23,87
/>
Z*7(6)=max 4,04+16,98 = 23,87 ; Xз
23,87
Полученные результаты записаны втаблице 3.4
Таблица 3.4
возможное состояниеоборудование к началу 7-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*7(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 30,01Xc
2 27,16Xc
3 23,87Xз,Xс
4 23,87Xз
5 23,87Xз
6 23,87Xз
Определимусловно оптимальное решение для каждого из допустимых состояний оборудования кначалу 6-го года периода.
В соответствии с уравнением 3.1имеем:
/>
Z*6(1)=max 8,99+ 27,16 = 36,15 ; Xc
29,94
/>
Z*6(2)=max 8,06+23,87 = 31,93 ; Xc
29,94
/>
Z*6(3)=max 6,89+23,87 = 30,76 ; Xс
29,94
/>Z*6(4)=max 6,07+23,87 = 29,94; Xз, Xс
29,94
/>
Z*6(5)=max 6,14+23,87 = 30,01 ; Xс
29,94
Из значения функции Z*6(4)видно, что если к началу 6-го года периода возраст оборудования составляет 4года, то независимо от того, будет ли принято решение Xc<sup/> или Xз, величинаприбыли окажется одной и той же. Это означает, что в качестве условнооптимального решения можно взять любое. Полученные значения для Z*6(t) записаныв таблице 3.5
Таблица3.5
возможноесостояние оборудование к началу 6-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*6(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 36,15Xc
2 31,93Xc
3 30,76Xс
4 29,94Xс,Xз
5 30,01Xс
Рассмотримвозможное состояние оборудования к началу 5-го года и найдем для каждого из нихусловно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z*5(t).
/>Z*5(1)=max 8,99+31,93 = 40,92 ; Xc
36,08
/>Z*5(2)=max 8,06+30,76 = 38,82 ; Xc
36,08
/>Z*5(3)=max 6,89+29,94 = 36,83 ; Xс
36,08
/>Z*5(4)=max 6,07+30,01 = 36,08 ; Xз ,Xс
36,08
Полученные результаты записаны в таблице 3.6.
Таблица 3.6
возможное состояниеоборудование к началу 5-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*5(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 40,92Xc
2 38,82Xc
3 36,83Xс
4 36,08Xс,Xз
Определим условно оптимальное решение для каждого из допустимых состоянийоборудования к началу 4-го года периода. В соответствии с уравнением (3.1):
/>Z*4(1)=max 8,99+38,82 = 47,81 ; Xc
40,85
/>Z*4(2)=max 8,06+ 36,83 = 44,89 ; Xc
40,85
/>Z*4(3)=max 6,89+36,08 = 42,97 ; Xс
40,85
Полученные результаты записаны втаблице 3.7.
Таблица 3.7
возможное состояниеоборудование к началу 4-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*4(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 47,81Xc
2 44,89Xc
3 42,97Xс
Рассмотримвозможное состояние оборудования к началу 3-го года и найдем для каждого из нихусловно оптимальное решение и соответствующее значение функции Z*3(t).
/>
Z*3(1)=max 8,99+44,89 = 53,88 ; Xc
47,74
/>Z*3(2)=max 8,06+42,97 = 51,03 ; Xc
47,74
Полученные результаты записаны втаблице 3.8.
Таблица 3.8
Возможное состояниеоборудование к началу 3-го года периода
Возраст оборудования
t (лет)
Значения функции Z*3(t)
(тыс.д.ед.)
Условно оптимальное решение Х 1 53,88Xc
2 51,03Xc
Теперь рассматриваются допустимые состояния оборудования к началу 2-гогода периода. На данный момент времени возраст оборудования может быть равентолько лишь одному году. Поэтому предстоит сравнить лишь два возможных решения:сохранить оборудование или произвести замену.
/>Z*2(1)=max 8,99+51,03 = 60,02 ; Xc
53,81
К началу второго года периода оборудование требуется сохранить.
Согласно условию к началу периода установлено новое оборудование (t=0). Поэтому проблема выбора между сохранением и заменойоборудования не существует: оборудование следует сохранить. Значит, условнооптимальным решением является Xc, а значениефункции: Z*1(1)=9,93+60,02=69,95.
Таким образом, максимальная прибыль предприятия может быть равной 69,95тыс.д.ед. Она соответствует оптимальным планам замены оборудования, т.к. оптимальныйплан не единственный. Оптимальные планы получаются на основе данных таблиц 3.1,3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, то есть в результате вычислительногопроцесса, состоящего в прохождении всех рассмотренных шагов с начала 1-го доначала 10-го года периода. Для 1-го года периода решение единственно – следуетсохранить оборудование. Значит возраст оборудования к началу 2-го года периодаравен одному году. Тогда оптимальным решением для 2-го года периода являетсярешение о сохранении оборудования. Реализация такого решения приводит к тому,что возраст оборудования к началу 3-го года периода становится равным двумгодам. При таком возрасте (см. табл.3.8) оборудование в 3-м году периодаследует сохранить. После сохранения оборудования его возраст к началу 4-го годапериода составит три года. Как видно из таблицы 3.7, при таком возрастеоборудование следует сохранить. Поэтому возраст оборудования к началу 5-го годапериода составит четыре года. Из таблицы 3.6 следует, что оборудование следуетсохранить или заменить и в случае сохранения его возраст к началу 6-го периодасоставит пять лет, и оборудование вновь следует сохранить (см. таблицу 3.5).Если мы оборудование сохраняем к началу 7-го года периода, то возрастоборудования будет шесть лет, а из таблицы 3.4 следует, что оборудованиеследует заменить. К началу 8-го года периода возраст оборудования составит одингод, а это значит, оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.3). К началу9-го года периода возраст оборудования составит два года и в соответствие стаблицей 3.2 оно опять сохраняется. К началу 10-го года периода оборудованиесохраняется (см. таблицу 3.1).
Рассмотрим следующий оптимальный план:
Для этого вернемся к началу 5-го года периода, когда возрастоборудования будет равным четырём годам. При таком возрасте (см. табл.3.6)оборудование в 5-м году периода следует сохранить или заменить. В отличие отпредыдущего оптимального плана, заменим оборудование. После замены оборудованияего возраст к началу 6-го года периода составит один год. Как видно из таблицы3.5, при таком возрасте оборудование следует сохранить. Поэтому возрастоборудования к началу 7-го года периода составит два года. Из таблицы 3.4следует, что оборудование следует сохранить и его возраст составит три года,значит, к началу 8-го года оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.3).Если мы оборудование сохраняем к началу 9-го года периода, то возрастоборудования будет четыре года, а из таблицы 3.2 следует, что оборудованиеследует сохранить. К началу 10-го года периода возраст оборудования составитпять лет, а это значит, оборудование следует сохранить (см. таблицу 3.1).
Таблица3.9
Оптимальныепланы замены оборудования
Возраст оборудования t Оптимальные планы I II 1 Сохранить 2 Сохранить 3 Сохранить 4 Сохранить 5 Сохранить Заменить 6 Сохранить 7 Заменить Сохранить 8 Сохранить 9 Сохранить 10 СохранитьЗапишем в таблицу 3.9 данные нашей задачи, и на основании этой таблицыпостроим график зависимости производительности оборудования от времени егоиспользования предприятием.
Таблица 3.10
Данные задачизамены оборудования
Годы эксплуатации Затраты S(t) Годовая продукция r(t) r(t)-S(t) 15,07 25 9,93 1 15,01 24 8,99 2 15,94 24 8,06 3 16,11 23 6,89 4 16,93 23 6,07 5 16,86 23 6,14 6 17,96 22 4,04 7 18 21 3 8 19,11 20 0,89 9 19,86 20 0,14/> <td/> />
10 20,18 20 -0,18
Зависимостьпроизводительности оборудования от времени его использования предприятием
Рис.3.1
Из графикавидно, что производительность оборудования со временем падает, то естьоборудование стареет и требует ремонта или замены.
В таблице3.10 сведены значения оптимальных планов замены оборудования.
Таблица 3.10
Значенияоптимальных планов замены оборудования
I
II
69,95 69,95 60,02 60,02 51,03 51,03 42,97 42,97 36,08 36,08 30,01 36,15 23,87 27,16 23,94 19,10 14,95 12,21 6,89 6,14/>
Зависимостьполучаемой прибыли предприятием от времени использования эксплуатируемогооборудования при оптимальных планах его замены
Рис.3.2
На рисунке 3.2 изображено два оптимальных плана. Из рисунка видно, что кначалу 5-го года значения всех оптимальных планов одинаковы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Динамическоепрограммирование – это область математического программирования, включающаясовокупность приемов и средств для нахождения оптимального решения, а такжеоптимизации каждого шага в системе и выработке стратегии управления, то естьпроцесс управления можно представить как многошаговый процесс. Динамическоепрограммирование, используя поэтапное планирование, позволяет не толькоупростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применитьметоды математического анализа. Упрощение решения достигается за счетзначительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того,чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планированияпредполагает многократное решение относительно простых задач. Планируяпоэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. припринятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечнуюцель.
Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличиеот линейного программирования, в котором симплексный метод являетсяуниверсальным, в динамическом программировании такого метода не существует.Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболееподходящую методику решения. Недостаток динамического программированиязаключается также в трудоемкости решения многомерных задач. Задачадинамического программирования должна удовлетворять два условия. Первое условиеобычно называют условием отсутствия последействия, а второе –условиемаддитивности целевой функции задачи.
На практике встречаются такие задачи планирования, в которых заметнуюроль играют случайные факторы, влияющие как на состояние системы, так и навыигрыш. Существует разница между детерминированной и стохастической задачамидинамического программирования. В детерминированной задаче оптимальноеуправление является единственным и указывается заранее как жесткая программадействий. В стохастической задаче оптимальное управление является случайным ивыбирается в ходе самого процесса в зависимости от случайно сложившейсяситуации. В детерминированной схеме, проходя процесс по этапам от конца кначалу, тоже находится на каждом этапе целый ряд условных оптимальных управлений,но из всех этих управлений, в конечном счете осуществлялось только одно. Встохастической схеме это не так. Каждое из условных оптимальных управленийможет оказаться фактически осуществленным, если предшествующий ход случайногопроцесса приведет систему в соответствующее состояние.
Принцип оптимальностиявляется основой поэтапного решения задач динамического программирования.Типичными представителями экономических задач динамического программированияявляются так называемые задачи производства и хранения, задачи распределениякапиталовложений, задачи календарного производственного планирования идругие. Задачи динамического программирования применяются в планированиидеятельности предприятия с учетом изменения потребности в продукции во времени.В оптимальном распределении ресурсов между предприятиями в направлении или вовремени.
Описание характеристикдинамического программирования и типов задач, которые могут быть сформулированыв его рамках, по необходимости должно быть очень общим и нескольконеопределенным, так как существует необозримое множество различных задач,укладывающихся в схему динамического программирования. Только изучение большогочисла примеров дает отчетливое понимание структуры динамическогопрограммирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Акулич И.Л.Математическое программирование в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 1993.
2.Вентцель Е.С. Элементыдинамического программирования.- М.: Наука, 1964.
3. Дудорин В.И. Моделирование в задачах управления производством.-М.:Статистика, 1980.
4. Исследования операций в экономике: учебное пособие для ВУЗов / подред. Кремера Н.Ш. –М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1997.
5. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы имодели в планировании.-М.: Экономика, 1987.
6. Карманов В.Г. Математическое программирование. –М.: Наука, 1986.
7.Колемаев В.А.Математическая экономика.- М.: Юнити,1998.
8. Лотов А.В. введение в экономико-математическое моделирование.-М.:Наука, 1984.
9. Ромакин М.И. Оптимизация планирования производства: экономико-математическиемодели и методы.-М.: Финансы и статистика, 1981.
10. Таха Х.А. Введение висследование операций. Кн.1 и2.-М.: Мир, 1985.
11. Терехов Л.Л.Экономико-математические методы.- М.: Статистика, 1972.
12. Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения. Учебноепособие.-М.: Интер-Синтез, 1997.
13. Фатхутдинов Р.А. Система менеджмента.-М.: Интер-Синтез, 1996.
14. Хедли Дж. Нелинейное идинамическое программирование.- М.: Мир, 1967.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица 1.1
Затраты на содержание и ремонт аналогичного оборудования другихпредприятий
Порядковые годы эксплу-атации оборудования Показатели 1 2 3 4 5 6 7 Затраты, тыс. д.ед. 14,7-14,9 14,9-15,1 15,1-15,3 15,3-15,5 15,5 и более Коли-чество пред-приятий 4 5 2 2 1 1 Затраты, тыс. д.ед. 14,6-14,8 14,8-15,0 15,0-15,2 15,2-15,4 15,4 и более Коли-чество пред-приятий 3 4 4 2 1 2 Затраты, тыс. д.ед. 15,4-15,6 15,6-15,8 15,8-16,0 16,0-16,2 16,2 и более Коли-чество пред-приятий 2 3 2 4 3 3 Затраты, тыс. д.ед. До 15 15,5-16,0 16,0-16,5 16,5-17,0 17,0 и более Коли-чество пред-приятий 3 4 3 2 2 4 Затраты, тыс. д.ед. 16,5-16,7 16,7-16,9 16,9-17,1 17,1 и более Коли-чество пред-приятий 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 7 5 Затраты, тыс. д.ед. До 16,0 16,0-16,5 16,5-17,0 17,-17,5 17,5 и более Коли-чество пред-приятий 2 2 4 3 3 6 Затраты, тыс. д.ед. 17,5-17,7 17,7-17,9 17,9-18,1 18,1-18,3 18,3 и более Коли-чество пред-приятий 3 3 4 2 2 7 Затраты, тыс. д.ед. До17,8 17,8-18,0 18,0-18,2 18,2 и более Коли-чество пред-приятий 3 4 4 3 8 Затраты, тыс. д.ед. 18,0-18,5 18,5-19,0 19,0-19,5 19,5-20,0 20,0 и более Коли-чество пред-приятий 3 4 3 2 2