Реферат: Формирование эконом-математической модели
Формирование экономико-математической модели.
Постановка задачи.
Пусть имеется пять предприятий-изготовителей и одиннадцать потребителейодинаковой продукции. Известны производственные мощности изготовителей ипотребности потребителей. Суммарные мощности предприятий больше потребностипотребителей.
Производственные мощности изготовителясоставляют Ai. Потребность потребителя продукции равна Bj.
На выпуск единицы продукции изготовитель i расходует Ri затрат.
Известны затраты на доставку единицы продукции изпункта i в пункт j – Cij.
Издержки транспорта значительны и должны бытьвключены в целевую функцию.
Требуется составить такой план производстваи поставок, чтобы суммарные расходы на производство и транспортировку былиминимальны.
Математическая формулировка задачи.
Удовлетворение всехпотребностей:
Xij = Bj
Неотрицательность грузовых потоков:
Xij >= 0
Соблюдение ограничений мощности:
Xij <= Ai
Целевая функция:
(Ri + Cij)*Xij -> min
От обычной транспортной задачи поставленнаязадача отличается тем, что показатель оптимальности складывается из двухсоставляющих. Однако, общие затраты на производство и транспортировкуопределяются простым суммированием.
Таким образом, поставленная задача являетсяоткрытой транспортной задачей.
Исходные данные
Предприятие А1 А2 А3 А4 А5 Производственные мощности 135 160 140 175 165 Затраты на ед. продукции в рублях 119 93 81 70 62 Потребители В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 Спрос потребителей 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30Матрица транспортных затрат, руб.
(получена на основе данных по сети)
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 Отправители Номера вершин 3 12 24 35 19 30 16 9 31 5 A1 2 41 34 45 64 41 46 31 38 41 18 A2 33 47 22 12 21 13 7 12 36 2 36 A3 26 35 14 7 33 1 5 16 24 10 24 A4 21 40 40 38 39 31 37 42 29 42 51 A5 13 21 16 19 47 13 19 18 10 24 19Суммированием затрат напроизводство и транспортных затрат в каждой клетке матрицы получаем расчетнуюматрицу.
Расчетная матрица стоимостных затрат.
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 Отправи тели Ресурсы A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
Так как транспортная задача открытая, то мощностипревышают потребности. Часть поставщиков в оптимальном плане остаетсянедозагруженной. Для решения задачи в матричной форме вводится фиктивныйпотребитель – дополнительный столбец с потребностью, равной избытку ресурсовнад реальными потребностями.
Решение транспортной задачи.
Исходные данные.
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 В10 В11 Отправи тели Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81Итого 775
Решение
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 Отправи тели Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129
49
44
67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105
45
65
30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121
20
87
30
38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
30
45
60
30
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Итого 775
Для подтверждения правильности решения оптимальныйплан, полученный в данной таблице проверяется методом потенциалов на соблюдениеусловий оптимальности .
Условие оптимальностивыглядит следующим образом:
Vij – Uij<= Cij
Vij – Uij =Cij , если Xij > 0
Для всех клеток матрицы разность потенциалов столбца истроки меньше или равна показателю оптимальности, для занятых клеток точноравна его значению.
Первыйпотенциал может быть присвоен любой строке или столбцу. В данном случае первыйпотенциал присвоен базисной клетке, где затраты на транспортировку максимальны(А4 – В10).
Проверка решенияметодом потенциалов.
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11Отправител Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137
150
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129
150
49
44
67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105
158
45
65
30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121
150
20
87
30
38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
150
30
45
60
30
233
228
231
259
240
244
255
249
245
271
150
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 Отправител Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 50 48 62 74 64 65 45 51 50 35
135
A2 160 30 10 3 5 10 30 27
30
79
44
7
A3 140 20 4 19 6 20 10 17 20
60
45
35
A4 175 5 6 5 6 7 17 19
50
27
98
A5 165 27 2 2 18 27
30
45
60
30
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Далее следует сравнитьЦелевую функцию в решении задачи (F1) и целевую функцию, полученнуюпри решении потенциалов (F2), если F1 > F2, то план оптимален.
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 Отправите Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129
49
44
67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105
45
65
30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121
20
87
30
38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
30
45
60
30
Цел. Ф-ия (F1)
2490
3510
4860
5450
3690
5590
8055
8613
4180
3630
Цел. Ф-ия (F1)
50068
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 Отправител Ресурсы 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240 A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129
30
79
44
7
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105
60
45
35
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121
50
27
98
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81
30
45
60
30
Цел. Ф-ия (F2)
2490
3510
5280
5450
3690
6010
8295
6993
4180
2430
Цел. Ф-ия (F2)
48328
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Т.к. 50068 >48328,то план оптимален, т.е. условие оптимальности соблюдается во всех клеткахматрицы, следовательно задача решена правильно.
Вывод.
Разработанный оптимальный план обеспечиваетминимальные затраты на производство и транспортировку продукции из пяти пунктовпроизводства в десять пунктов потребления.
На основе решения транспортной задачиопределены поставки каждого пункта производства в пункты потребления,производственные программы по заводам изготовителям и резервы производственныхмощностей.
Резерв производственной мощности на заводе А1составляет 135 единиц (поставки фиктивному потребителю), на заводе А2 –7 единиц, на заводе А4 – 98 единиц, остальные предприятия резервов не имеют.
Минимальные затраты на транспортировку ипроизводство составили 48328 рублей. Затраты на производство продукции в составе суммарных затратопределяются умножением затрат на производство единицы продукции напроизводственную программу и составят:
119*0+93*153+81*140+70*77+62*165=14229+11340+5390+10230=41189 рублей или 85,2%.
Затратына транспортировку составляют 7139 рублей или 14,8%. Такую долютранспортных затрат для готовой продукции следует считать довольно высокой,хотя по отдельным видам дешевых массовых грузов эта доля может быть значительновыше.