Реферат: Шпоры по эконометрике

№ 1. СПЕЦИФИКАЦИЯМОДЕЛИ

Простая регрессия представляет собой регрессиюмежду двумя переменными—у и х, т.е. модель вида />,где у — результативный признак; х — признак-фактор.

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большимчислом факторов, т. е. модель вида />   

Специ­фикациямодели -формулировка вида модели, исходя из со­ответствующей теории связи между переменными. В урав­нении регрессии корреляционная посути связь признаков представляетсяв виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией. /> где  yj—   фактическое значениерезультативного признака;

yxj -теоретическое значение результативногопризнака.

/> — случайная величина, характеризующая отклоненияреального значения результативного признака от теоретического.

Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.

 От правильновыбранной спецификации модели за­висит величина случайных ошибок: онитем меньше, чем в боль­шей меретеоретические значения результативного признака /> подходят к фактическим данным у.

К ошибкам спецификации относятся непра­вильный выбор той или иной математической функциидля/>, и недоучет в уравнении регрессии какого-либосущественного фактора, т. е.использование парной регрессии вместо множест­венной.

Ошиб­ки выборки — исследовательчаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерной связи между признаками.

Ошибки измерения практически сводят на нет все усилия по количественной оценке связимежду признаками. Основное внимание в эконометрических исследованияхуделяется ошибкам спецификации модели.

В парной регрессии выбор видаматематической функции /> может быть осуществлен тремяметодами: графическим, аналитическим и экспериментальным.

Графи­ческий метод основан на поле корреляции. Аналитический метод  основан на изучении материальной природы связи исследуемых признаков.

Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величиныостаточной дисперсии Dост, рассчитанной при разных моделях.Если фактические значения результативного признака совпадаютс теоретическими у =/>, то Docm=0. Если имеют место отклонения фактическихданных оттеоретических (у — />) то/>.

 Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучшеуравнение регрессии подходит к исходнымданным. Число наблюдений должно в 6— 7 раз превышать число рассчитывае­мыхпараметров при переменной х.

№ 2 ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ИКОРРЕЛЯЦИЯ: СМЫСЛ И ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ.

Линейная регрессия сводится к нахождениюуравнения вида /> или />.

Уравнение вида /> позволяетпо заданным значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака,подставляя в него фактические значения фактора х.

Построение линейной регрессиисводится к оценке ее пара­метров а и в.

Оценки параметров линейной регрессии могут быть найденыразными методами.

1./>

2./>

Параметр bназывается коэффициентомрегрессии. Его вели­чина показываетсреднее изменение результата с изменением факторана одну единицу.

Формально а — значение у прих = 0. Если признак-фактор
не имеет и не может иметь нулевогозначения, то вышеуказанная
трактовка свободного члена, а неимеет смысла. Параметр, а может
не иметь экономического содержания.Попытки экономически
интерпретировать параметр, а могутпривести к абсурду, особенно при а < 0.                                                                                   

Интерпретировать можно лишь знакпри параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходитмедленнее, чем изменение фактора.

Уравнение регрессиивсегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестветакого показателявыступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют разные модификацииформулы линейного коэф­фициентакорреляции.

/>

Линейный коэффициенткорреляции находитсяи границах: -1≤.rxy<sub/>≤ 1. При этом чем ближе r к 0 тем слабее корреляция инаоборот чем ближе r к 1 или -1,тем сильнее корреляция, т.е. зависимость х и у близка к линейной. Если r в точности =1или -1 все точкилежат на одной прямой. Если коэф. регрессии b>0 то 0 ≤.rxy<sub/>≤ 1 и наоборот при b<0  -1≤.rxy<sub/>≤0.   Коэф. корреляции отражает степени линейнойзависимости м/у величинами при наличии ярко выраженной зависимости др. вида.

Для оценки качестваподбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции />, называемыйкоэффициентом детерминации. Коэффициент детермина­ции характеризует долю дисперсиирезультативного признака y, объясняемую регрессией. Соответствующая величина /> характеризует долю дисперсии у, вызванную влияниемостальных не учтенных в модели факторов.

№ 3. МНК.

МНК позволяет получить такие оценкипараметров а и b, которых суммаквадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) отрасчетных (теоретических) /> ми­нимальна:

/> Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы суммаквадратов расстояний повертикали между точками и этой линией была бы минималь­ной. />Решается система нормальныхуравнений

/>

№ 4.  ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ И КОРРЕЛЯЦИИ.

Оценка значимости уравнения регрессии вцелом дается с по­мощью F-критерия Фишера. При этомвыдвигается нулевая ги­потеза,что коэффициент регрессии равен нулю, т. е. b= 0, и следовательно, фактор х не оказываетвлияния на результат у.

Непосредственному  расчету    F-критерия    предшествует анализ дисперсии. Центральноеместо в нем занимает разложе­ние общей суммы квадратов отклонений переменной у от средне го значения у на две части- «объясненную» и «необъясненную»:

/>

/> — общая сумма квадратов отклонений

/> — сумма квадратов отклонения объясненная регрессией /> — остаточная сумма квадратовотклонения.

Любая сумма квадратовотклонений связана с числом степе­ней свободы, т. е. с числом свободы независимого варьирования признака.Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности  nис числомопределяемых по ней констант.Применительно к исследуемой проблеме число cтепеней свободы должно показать, скольконезависимых откло­ненийиз п возможных требуется для образования данной суммы квадратов.

Дисперсия  наодну степень свободы D.

/>           

F-отношения (F-критерий): />                  />

Ecлинулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н0необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную внесколько раз. Английским статистиком Снедекором раз­работаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровняхсущественностинулевой гипотезы и различном числе степенейсвободы. Табличное значение F-критерия — это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметьместо прислучайном их расхождении дляданного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным, если о больше табличного. В этом случаенулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: Fфакт > Fтабл  Н0отклоняется.

Если же величина окажется меньшетабличной Fфакт ‹, Fтабл  , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня и она не может быть отклонена безсерьезного риска сделатьнеправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считаетсястатистически незначимым. Но   не отклоняется.

Стандартная ошибка коэффициентарегрессии

/>

Для оценки существенностикоэффициента регрессии его ве­личина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерияСтьюдентa: />которое

затем сравнивается с табличным значением приопределенном уровне значимости /> ичисле степеней свободы (n- 2).

Стандартная ошибка параметра а:

/>          />

Значимость линейного коэффициентакорреляции проверя­етсяна основе величины ошибки коэффициента корреляции тr:

/>                                         />   

Общаядисперсия признака х:  />

Коэф. регрессии /> Еговеличина показывает ср. изменение результата с изменением фактора на 1 ед.

Ошибка аппроксимации: />

№ 5. ИНТЕРВАЛЫПРОГНОЗА ПОЛИНЕЙНОМУ УРАВНЕНИЮ

РЕГРЕССИИ

Оценка стат. значимостипараметров регрессии проводится с помощью t – статистики Стьюдента и путем расчетадоверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0о статистически значимом отличие показателей от 0  a = b= r = 0. Рассчитываются стандартные ошибкипараметров a,b, rи фактич. знач. t – критерияСтьюдента.

/>

/>   

 /> 

/>              />              />

Определяется стат.значимость параметров.

ta<sub/>›Tтабл     - a стат. значим

tb<sub/>›Tтабл     - b стат. значим

Находятся границыдоверительных интервалов.

/>            />                     />Анализ верхней и нижнейграниц доверительных интервалов приводит к выводу о том, что параметры a и b находясь в указанных границах не принимают нулевыхзначений, т.е. не явл… стат. незначимыми и существенно отличается от 0.

№ 6. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ. ВИДЫМОДЕЛЕЙ

Если между экономическимиявлениями существуют нели­нейные соотношения, то они выражаются с помощью соответ­ствующих нелинейных функций:например, равносторонней ги­перболы />,   параболывторой степени />и д.р.

Различают два класса нелинейныхрегрессий:

•          регрессии, нелинейные относительно включенных в анализобъясняющих переменных, но линейные по оцениваемым па­раметрам;

•          регрессии, нелинейные по оцениваемымпараметрам.
Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объ­ясняющим переменным могутслужить следующие функции:

•    полиномы разных степеней

•    равносторонняя гипербола

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам от­носятсяфункции:

•    степенная

•    показательная

•    экспоненциальная

№ 7.СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИ.

/>

Параметрbназывается коэффициентомрегрессии. Его вели­чина показываетсреднее изменение результата с изменением факторана одну единицу. Оценку коэффициентарегрессии можно получить не  обращаяськ методу наименьших квадратов. Альтернативную оценку параметра bможно найтиисходя из содержания данного  коэффициента:изменение результата /> сопоставляютс  изменением фактора />

Общаясумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у отсреднего значения /> вызвана влиянием множества причин. Условноразделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы.

Если фактор не оказывает влияния на результат, то линиярегрес­сии на графикепараллельна оси ох и />.Тогдався дисперсия результативногопризнака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет состаточной. Если жепрочие факторы не влияют на результат, то у связан  с х функциональнои остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией,совпадает с общей суммой квадратов.

Посколькуне все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место ихразброс как обусловленный вли­янием фактора х, т. е.регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин(необъясненная вариация). Пригод­ностьлинии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объясненнуювариа­цию

Очевидно,что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет большеостаточной суммы квадратов, то уравнениерегрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенноевоздействие на результат у

Любаясумма квадратов отклонений связана с числом степе­ней свободы , т. е. счислом свободы независимоговарьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n ис числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, скольконезависимых откло­нений из п возможных требуется для образования даннойсуммы квадратов.

№8. ПРИМЕНЕНИЕ МНК К МОДЕЛЯМ НЕЛИНЕЙНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНОВКЛЮЧАЕМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОЦЕНИВАЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ.

Нелинейнаярегрессия по включенным переменным не таит каких-либосложностей в оценке ее параметров. Она определяет­ся, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК),ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в парабо­ле второй степени y=a0+a1x+a2x2+ε заменяя переменные x=x1,x2=x2, получим двухфакторное урав­нение линейной регрессии: у=а0+а1х1+а2х2+ ε

Параболавторой степени целесообразна к применению, если для определенного интервалазначений фактора меняется харак­тер связи рассматриваемых признаков: прямаясвязь меняется на обратную или обратная напрямую. В этом случае определяется значениефактора, при котором достигается максимальное (или минимальное), значение результативного признака:приравнива­ем к нулю первую производную параболы второй степени: />, т.е. b+2cx=0 и x=-b/2c

Применение МНК для оценки параметровпараболы второй степениприводит к следующей системе нормальных уравнений:

/>/> Решение еевозможно методом определителей:

/> /> />
В моделях, нелинейныхпо оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразо­ванным уравнениям. Если в линейноймодели и моделях, нели­нейныхпо переменным, при оценке параметров исходят из кри­терия />min, то в моделях, нелинейных пооцениваемым параметрам,требование МНК применяется не к исходным дан­ным результативного признака, а к их преобразованным величи­нам, т. е.ln y, 1/y. Так, встепенной функции /> МНК применяется к преобразованномууравнению lny = lnα + β ln x ln ε. Этозначит, что оценка параметров основывается на миними­зации суммы квадратов отклонений в логарифмах./> Соответственно еслив линейных моделях /> то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, />. Вследствие этого оценка параметров оказываютсянесколько смещенной.

№9. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЛАСТИЧНОСТИ ПО РАЗНЫМ ВИДАМРЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

1. Линейная y = a + bx + />,y′ = b, Э = />.

2. Парабола 2 порядка y = a +bx + c/> +/>, y′= b + 2cx, Э = />.

3. Гипербола y = a+b/x +/>,y′=-b//>, Э = />.

4. Показательная y=a/>, y′ = ln />,Э = x ln b.

5. Степенная y = a/>/>, y′ = />,Э = b.

6. Полулогарифмическая y = a + b ln x +ε, y′= b/x, Э = />.

7. Логистическая />, y′ = />, Э = />.

8. Обратная y = />,y′ = />, Э = />.

№ 10  ПОКАЗАТЕЛИ КОРРЕЛЯЦИИ

1.    индекскорреляции (R): />

Величина данногопоказателя находится в границах: 0 ≤ R≤ 1, чем ближе к 1, тем теснее связь рассматриваемых призна­ков, тем более надежно найденное уравнениерегрессии.

2.    индексдетерминации используется для проверки существенности в целом ур-ия нелинейнойрегрессии по F- критериюФишера:

/>, где R2 — индекс детерминации, n-число наблюдений, m – числопараметров при переменной х.

№11.МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ. СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. ОТБОР ФАКТОРОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИИМОДЕЛИ.

Регрессия может датьхороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Поведение отдельных экономи­ческихпеременных контролировать нельзя, т. е. не удается обес­печить равенство всехпрочих условий для оценки влияния одно­гоисследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их вмодель, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии: y=a+b1x1+b2+…+bpxp+e; Такого рода уравнение можетиспользоваться при изучении потребления. Тогда коэффициенты bj— частныепроизводные потребления у по соответствующим факторам xi:/>, в предположении, что все остальные хiпостоянны. В 30-е гг. XX в.Кейнс сформулировал свою гипотезу потребительскойфункции. С того времени исследователи неод­нократно обращались к проблеме еесовершенствования. Совре­меннаяпотребительская функция чаще всего рассматривается как модель вида: C=j(y,P,M,Z), где   С — потребление; у  — доход; Р —  цена, индекс стоимости жизни; М — наличные деньги; Z— ликвидные активы. При этом />… Основная цель множественнойрегрессии — построитьмодель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное ихвоздействие на моделируемый показатель. Спецификация модели включает в себя двакруга вопросов: отбор фак­торов и выбор вида уравнения регрессии. Требования кфакторам.1 Они должны быть количественно измеримы. Если необхо­димо включить в модель качественный фактор, неимеющий ко­личественного измерения, тоему нужно придать количествен­нуюопределенность (например, в модели урожайности качество почвы задается в виде баллов) 2.Факторы не должны быть интеркоррелированы итем более находиться в точнойфункциональной связи. Включение в модель факторов с высокойинтеркорреляцией, когда Ryx1/>Rx1x2.Для зависимостиy=a+b1x1+b2+…+bpxp+eможет привести к нежелательным последствиям,повлечь за собой неустойчивость иненадежность оценок коэффициентов регрессии. Если между факторамисуществует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированноевлияние на результативный показатель ипараметры уравнения регрессии оказываются не интерпретированными.

Включаемыево множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором р-факторов, то для неерассчитывается показа­тель детерминации R2, которыйфиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счетрассматриваемых в ре­грессии р-факторов. Влияние других не учтенных вмодели фак­торов оценивается как 1 — R2с соответствующей остаточной дис­персией S2.При дополнительном включении врегрессию (р + 1) фактора коэффициент детерминации должен возрастать, аостаточная дисперсияуменьшаться:/>. Насыщение модели лишними факторами не только не снижа­ет величину остаточной дисперсии и не увеличиваетпоказатель детерминации, но и приводитк статистической незначимости параметроврегрессии по t-критериюСтьюдента.

Такимобразом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практическив этом нет необходимости. Отбор факторовпроизводится на основе качест­венноготеоретико-экономического анализа, который обычно осуществляется в двестадии: на первой подби­раются факторыисходя из сущности проблемы; на второй – на основе показателей корреляцииопределяют t-статистики дляпараметров регрессии. Коэффициентыинтеркорреляции (т. е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается,что две переменных явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если />. Ес­ли факторы явно коллинеарны, то онидублируют друг друга и один из нихрекомендуется исключить из регрессии. Предпочте­ние при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, атому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеетнаименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляетсяспецифика множест­венной регрессии как методаисследования комплексного воз­действия факторов в условиях ихнезависимости друг от друга. Наибольшие труд­ностив использовании аппарата множественной регрессии воз­никают при наличии мультиколлинеарностифакторов, когда более чем два факторасвязаны между собой линейной зависимос­тью. Наличие мультиколлинеарности факторов может озна­чать, что некоторыефакторы будут всегда действовать в унисон. Врезультате вариация в исходных данных перестает быть полно­стьюнезависимой, и нельзя оценить воздействие каждого факто­ра в отдельности. Чемсильнее мультиколлинеарность факторов, темменее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью методанаименьших квадратов (МНК).Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежела­тельно в силу следующих последствий:1.затрудняется интерпретация параметровмножественной  ре­грессии как характеристик действия факторов в «чистом»ви­де, ибо факторы коррелированы; параметрылинейной регрессии теряютэкономический смысл;2оценкипараметров ненадежны, обнаруживают большие стан­дартные ошибки и меняются с изменением объема наблюде­ний.Для оценки мультиколлинеарности факторовможет исполь­зоваться определительматрицы парных коэффициентов корреля­ции между факторами.

Если бы факторы некоррелировали между собой, то матрица парныхкоэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей. Длявключающего три объ­ясняющихпеременных уравнения:y=a+b1x1+b2+b3x3+e.Матрица коэф-в корреляции м/уфакторами имела бы определитель равный 1. Det />=1, т.к. rx1x1=rx2x2=1 и rx1x2=rx1x3=rx2x3=0. Если м/у факторами сущ-етполная линейная зависимость и все коэф-ты корреляции =1, то определитель такойматрицы =0. Чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнеемультиколлинеарность факторов и ненадежнеерезультаты множественной регрессии. И, наоборот, чем ближе к единицеопределитель матрицы межфакторной кор­реляции,тем меньше мультиколлинеарность факторов.

№12. ЧТО ОЗНОЧАЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФАКТОРОВ И КАК ОНО МОЖЕТ БЫТЬПРЕДСТАВЛЕНО ГРАФИЧЕСКИ?

Однимиз путей учета внутренней корреляции факторов является переход к совмещенным уравнениямрегрессии, т. е. к уравнениям,которые отражают не только влияние факторов, но и их взаимодействие. Так, если y=f(x1,x2,x3), то возможно пост­роение следующего совмещенного уравнения: y=a+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+e.Рассматриваемоеуравнение включает взаимодействие перво­го порядка (взаимодействие двухфакторов). Возможно включе­ние в модель ивзаимодействий более высокого порядка, если будет доказана их статистическая значимость по F-критерию Фи­шера. Если анализ совмещенногоуравнения показал значи­мость тольковзаимодействия факторов х1 и х3, то уравнение бу­дет иметь вид: y=a+b1x1+b2x2+b3x3+b13x1x3+e.Взаимодействие факторов х1и х3 означает, что на разных уровнях фактора х3 влияние фактора х1на у будет неодинаково, т. е. оно зависит от значений фактора х3. На рис. взаимодейст­вие факторов представляетсянепараллельными линиями связи с результатому. И, наоборот, параллельные линии влияния факто­ра x1 на у при разных уровняхфактора х3 означают отсутствие вза­имодействия факторов х1 и х3. Графики:

 а—х1влияет на у, причем это влияние одинаково как при х3=В1,так и при х3=В2(одинаковыйнаклон линий регрессии), что означает отсутствие взаи­модействия факторов х1и х3;б— с ростом х1результативный признак yвозрастает при х3 = В1; с ростом х1 результативныйпризнак у снижается при х3 = В2… Между х1и х3 существу­ет взаимодей-вие. Совмещенные уравнения регрессии строятся, например, при исследовании эффекта влияния наурожайность разных видов удобрений.Решению проблемы устранения мультиколлинеарности фак­торов может помочь и переход куравнениям приведенной фор­мы. С этой целью в уравнение регрессии производится подста­новка рассматриваемого факторачерез выражение его из другого уравнения.

№13. ИНТЕРПРИТАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ.СМЫСЛ СУММЫ biВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ИЗНАЧЕНИЕ СУММЫbi>1. КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯОЦЕНКИ СРАВНИТЕЛЬНОЙ СИЛЫ ВОЗДЕЙСТВИЯ ФАКТОРОВ НА РЕЗУЛЬТАТ.

Функцияпотребления: С=К*у+L, гдеС-потребление, у-доход, К и L-параметры функции.(у=С+I, I-размер инвистиций). Предположим, что функцияпотребления составила :С= 1,9 + 0,65 *у .Коэффициент регрессии характеризует склонность кпотреблению. Он показывает, что из каждойтысячи дохода на потреб­лениерасходуется в среднем 650 руб., а 350 руб. инвестируются. В производственныхфункциях: />

где Р — количествопродукта, изготавливаемого с помощью т производст­венных факторов (F1, F2,...,Fm);b-параметр,являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количествусоответствующих производственных факторов.

Экономическийсмысл имеют не только коэффициенты bкаждого фактора, но и их сумма, т. е. суммаэластичностей: В=b1+ b2+...+ Ьт. Эта величина фиксирует обобщеннуюхарак­теристику эластичности производства.

Припрактических расчетах не всегда />.Она может быть как больше, так и меньше единицы. В  этом случаевеличина В фиксируетприближенную оценку эластичности выпуска с рос­том каждого фактора производства на 1 % в условиях увеличива­ющейся (В > 1) или уменьшающейся (В <1) отдачи на масштаб. Так, если Р= 2,4* F/> *F20,7 * F30,2, то с ростом значений каж­дого фактора производства на 1 % выпуск продукции вцелом возрастает приблизительно на 1,2 %.

№14. НАЗНАЧЕНИЕЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛИ МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИИ.  Ранжирование факторов, участву­ющих во множественной линейной регрессии, может бытьпрове­дено через стандартизованныекоэффициенты регрессии, с помо­щью частных коэффициентов корреляции — длялинейных связей. При нелинейнойвзаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексыдетерминации. Кроме того, частные показателикорреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов:целесообразность включе­ния того илииного фактора в модель доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (илииндексы) корреляции характери­зуют тесноту связи междурезультатом и соответствующим фак­тором приустранении влияния других факторов, включенных в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляциипредставляют собой отно­шение сокращения остаточной дисперсии за счетдополнитель­ного включения в анализ нового фактора к остаточной диспер­сии, имевшей место до введения его в модель.

Частныекоэффициенты корреляции измеряющие влияние на у фактора хi  при неизменном уровне др.факторов можно определить по формуле:

/> ;  />

При  двух факторах и i=1данная формула примет вид:

/>

Частные коэффициентыкорреляции изменяются в пределах от -1 до 1.

№15. ЧАСТНЫЙ F-КРИТЕРИЙ,  ЕГООТЛИЧИЕ ОТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО F-КРИТЕРИЯ,СВЯЗЬ МЕЖДУ СОБОЙ t— КРИТЕРИЯ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ ОЦЕНКИ ЗНАЧИМОСТИ biИ ЧАСТНЫМ F-КРИТЕРИЕМ.

Ввидукорреляции м/у факторами значимость одного и того же фактора м/б различной взависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценкивключения фактора в модель служит частый F-критерий, т.е. Fxi. В общем виде для фактора xiчастый F-критерий определяется как :

/>/>

Если рас­сматривается уравнение y=a+b1x1+b2+b3x3+e, то определяютсяпоследовательно F-критерийдля уравнения с од­нимфактором х1, далее F-критерий для дополнительного включе­ния в модель фактора х2, т. е. дляперехода от однофакторного уравнениярегрессии к двухфакторному, и, наконец, F-критерий для дополнительного включения в модель фактора х3,т. е. дается оценка значимости фактора х3 после включения вмодель факто­ров x1 их2. В этом случае F-критерий для дополнительного вклю­чения фактора х2 послех1 является последовательнымв отличие от F-критерия для дополнительноговключения в модель фактора х3, которыйявляется частнымF-критерием, ибо оценивает значи­мость фактора в предположении, что он включен в модель по­следним. С t-критерием Стьюдента связан именночастный F-критерий. Последовательный F-критерий можетинтересовать исследователя на стадииформирования модели. Для уравненияy=a+b1x1+b2+b3x3+e оценка значимости коэффициентов регрессии Ь1, Ь2,,b3предпола­гает расчет трех межфакторных коэффициентовдетерминации, а именно: />,/>,/> и можно убедиться, что существует связьмеждусобой t- критерия Стьюдента для оценки значимости bi и частным F-критерием:

 /> Наоснове соотношения bi и /> получим:

/>/>

№16 ПРЕДПОСЫЛКИ МНК.

При оценке параметров уравнения регрессии применяетсяМНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей />, которая представляет собойненаблюдаемую величину.

Исследования остатков /> — предполагают проверку наличия сле­дующих пятипредпосылок МНК:1.случайный характер остатков; 2.нулевая средняя величинаостатков, не зависящая от хi;

3.гомоскедастичность—дисперсия каждогоотклонения />, одинакова длявсех значений х; 4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков/>, распределенынезависимо друг от друга; 5.остатки подчиняются нормальному распределению.

1. Проверяется случайный характер остатков />, с этой целью строитсяграфик зависимости остатков /> оттеоретических значений результативного признака.  Если на графике полученагоризонтальная полоса, то остатки/>,представляют собой случайные величины и МНК оправдан, те­оретические значения уххорошо аппроксимируют фактические значения y. В другихслучаях необходимо либо применять дру­гуюфункцию, либо вводить дополнительную информацию и за­ново строить уравнениерегрессии до тех пор, пока остатки/>, небудут случайными величинами.

2. Втораяпредпосылка МНК относительно нулевой средней ве­личины остатков означает, что />(у — ух) =0. Это выполнимо для линейных моделейи моделей, нелинейных относительно вклю­чаемых переменных. С этой цельюнаряду с изложенным графиком зависимости остатков /> от теоретических значений ре­зультативного признака ухстроится график зависимостислучай­ных остатков/>  от факторов, включенных в регрессию хi. Если остатки на графике расположены в видегоризонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличиезависимости /> и хjто модель неадек­ватна. Причины неадекватности могут быть разные.

3. В соответствии стретьей предпосылкой МНК требуется, что­бы дисперсия остатков былагомоскедастичной. Это значит, что длякаждого значения фактора xjостатки/>, имеют одинаковую дисперсию. Если это условиеприменения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из полякорреляции. Гомоскедастичность остатковозначает, что дисперсия остат­ков/> -одинакова для каждого значения х.

4.Отсутствие автокор­реляцииостатков, т. е. значения остатков /> распределены неза­висимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличиекорреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих)наблюдений. Отсутствие автокорреляцииостаточных величин обеспечива­етсостоятельность и эффективность оценок коэффициентов ре­грессии.

№17. СУЩНОСТЬ АНАЛИЗА ОСТАТКОВ ПРИНАЛИЧИИ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ. КАК МОЖНО ПРОВЕРИТЬ НАЛИЧИЕ ГОМО- ИЛИГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ ОСТАТКОВ. ОЦЕНКА ОТСУТСТВИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ ОСТАТКОВ ПРИПОСТРОЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИОННОЙ  МОДЕЛИ.

 С этой целью строиться графикзависимости остатков ei от теоретических значений результативного признака:

Если на графике получена горизонтальная полоса, тоостатки ei представляют собой случайные величины и МНК оправдан,те­оретические значения уххорошо аппроксимируют фактическиезначения у.

Возможны следующие случаи: если ei зависит от  уx, то:   1.остаткиeiне случайны.2. остатки ei, не имеют постоянной дисперсии. 3. Остатки  ei носят систематический характер  в дан­ном случае отрицательные значения ei, соответствуют низким значениям ух, аположительные — высоким значениям. В этихслучаях необходимо либо применять дру­гую функцию, либо вводитьдополнительную информацию.

Как можно проверить наличие гомо- илигетероскедастичноси остатков? Гомоскедастичностьостатков означает, что дисперсия остатков eiодинакова длякаждого значения х.Если  это условие применения МНК не соблюдается, тоимеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядновидеть из поля корреляции. а — дисперсия остатков растет помере увеличения х; б — дисперсияостатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной х и уменьшается приминимальных и максимальных значенияхх; в — максимальная дисперсия остатков при

малых значениях х  идисперсия остатков однородна по мере увеличения значений х. Графики гомо- и гетеро-ти.

Оценка отсутствия автокорреляции остатков(т.е. значения остатковei распределены независимо друг от друга). Автокорреляция остатков означаетналичие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Коэффициент корреляции между ei и ej , где ei — остатки текущих наблюдений,ej   — остатки предыдущих наблю­дений, может быть определен  по обычной формуле линейного коэффициентакорреляции />. Если этот коэффициентокажется существенно отличным от ну­ля, то остатки автокоррелированы и функцияплотности вероят­ности F(e) зависит j-й точки наблюдения и от распределения значений остатков в других точках наблюдения. Для регрессионных моделей по статическойинформации ав­токорреляция остатковможет быть подсчитана, если наблюдения упорядочены по фактору х. Отсутствие автокорреляции остаточных величинобеспечива­ет состоятельность иэффективность оценок коэффициентов ре­грессии. Особенно актуально соблюдениеданной предпосылки МНК при построениирегрессионных моделей по рядам динами­ки,где ввиду наличия тенденции последующие уровни динами­ческого ряда, как правило, зависят от своихпредыдущих уров­ней.

№18 СМЫСЛ ОБОБЩЕННОГО МНК.

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреля­ции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом. Обобщенный МНК применяется к преобразованнымданным и позволяет получать оценки, которые обладаютне только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.Обобщенный МНК для корректировки гетерос-ти. В общем виде для уравнения  yi=a+bxi+ei при /> где Ki – коэф-т пропор-ти. Модельпримет вид: yi=/>+/>xi+/>ei. В ней остаточные величины гетероскедастичны.Предполагая в них отсутствиеавтокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками,поделив все переменные, зафик­сированные входе i-го наблюдения на />. Тогда дисперсия остатков будет величинойпостоянной. Отрегрессии у по х мы перейдем к регрессии на новых переменных: y//> и х//>.Уравнение регрессии примет вид: />. По отношению к обычной регрессииуравнение с новыми, преобразованнымипеременными представляет собой взвешен­нуюрегрессию, в которой переменные уих взяты с весами />. Коэф-трегрессии b можноопределить как />Как видим, при использовании обобщенного МНК с цельюкорректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии bпредставляетсобой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.Аналогичныйподход возможен не только для уравнения парной, но и для множественнойрегрессии. Модель примет вид: />. Модельс преобразованными переменными составит

/>.Это уравнение не содер-т свобод-го члена, применяя обычный МНК получим: /> Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к то­му, чтонаблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют приопределении параметров регрессии относительно больший вес, чем спервоначальными переменны­ми.

№19. СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОБЛЕМАИДЕНТИФИКАЦИИ.

/>Сложныеэкономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных  уравнений.Различают несколько видов систем уравнений: 1. Система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного итого же набора факторов х:

 y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1              Для решения этой системы и нахождения ее параметров

yn=an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en           используется МНК.

2.Система рекурсивных уравнений – когда зависимаяпеременная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другомуравнении:

/>y1=a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1

y2=b21*y1+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2

y3=b31*y1+b32*y2+a31*x1+a32*x2+…+a3m*xm+e3

yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en

Для решения этой системы и нахождения ее параметровиспользуется МНК.

3 Система взаимосвязанных уравнений – когда одни и теже зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – вправую.

/>y1=b12*y2+b13*y3+…+b1n*yn+a11*x1+a12*x2+…+a1m*xm+e1

y2=b21*y1+b23*y3+…+b2n*yn+a21*x1+a22*x2+…+a2m*xm+e2

yn=bn1*y1+bn2*y2+…+bnn-1*yn-1+an1*x1+an2*x2+…+anm*xm+en

Такая система уравнений называется структурной формоймодели. Эндогенные переменные – взаимосвязанные переменные, которыеопределяются внутри модели (системы) у. Экзогенные переменные – независимыепеременные, которые определяются вне системы х. Предопределенные переменные –экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменныесистемы. Коэффициенты a и b при переменных – структурные коэффициенты модели.Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенныхпеременных системы  — приведенная форма модели.

/>/> где /> — коэффициенты приведеннойформы модели.

/>

Необходимое условие идентификации –выполнение счетного правила:

D+1=H –уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

Где Н – число эндогенных переменных вуравнении, D – число предопределенных переменных, отсутствующих вуравнении, но присутствующих в системе.

 Достаточное условие идентификации-определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных,отсутствующих в исследуемом  уравнении на равен нулю и ранг этой матрицы неменее эндогенных переменных без единицы. Для решения идентифицируемогоуравнения применяется  КМНК, для решения сверхидентифицируемых — двухшаговыйМНК.

№20 КМНК.Применяется в случае точно идентифицируемой модели. Процедура применения КМНКпредполагает выполнение следующих этапов: 1. Составляют приведенную формумодели и определяют численные значения параметров для каждого ее уравнения обычнымМНК. 2. путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы куравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценкиструктурных параметров.

№21 ДВУХШАГОВЫЙ  МНК. (ДМНК)

Основнаяидея ДМНК — на основе приведенной формы моделиполучить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой частиуравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной формесверхидентифи­цируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК,ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок   теоретических   значений   эндогенной  переменной />

и на втором шагеприменительно кструктурному сверхидентифицируемому уравнению при опре­делении структурныхкоэффициентов модели по данным теоре­тических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурнаямодель может быть двухтипов:

•     все уравнениясистемы сверхидентифицируемы;

•     системасодержит наряду со сверхидентифицируемыми точно
идентифицируемыеуравнения.

Если все уравнения системысверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждогоуравнения исполь­зуется ДМНК. Если в системеесть точно идентифицируемые уравнения,то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенныхуравнений.

Применим ДМНК к простейшейсверхидентифицируемой

модели:  

/> 

Данная модель может быть полученаиз предыдущей иденти­фицируемоймодели:  

/>

 если наложитьограничения на ее параметры, а именно: b12 =a11

В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н=1 (у1),

D=1(х2)  и D+1 > Н.  Второе уравнение неизме­нилось иявляется точно идентифицируемым: Н = 2 и D=1

На первом шаге найдем приведеннуюформу модели, а

именно:

/>

ДМНК является наиболее общим ишироко распространен­нымметодом решения системы одновременных уравнений.   

Несмотря на важность системыэконометрических уравнений, на практике часто не принимают во вниманиенекоторые взаимосвязи,применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широкораспространено в эконометрике. Вчастности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.

№22 ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВРЕМЕННОГОРЯДА.  

Временной ряд — это совокупность значенийкакого-либо по­казателяза несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровеньвременного ряда формируется под воздействиембольшого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

•     факторы,формирующие тенденцию ряда;

•     факторы,формирующие циклические колебания ряда;

•     случайныефакторы.

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда отвремени может принимать различные формы. Во-первых, большинство времен­ныхрядов экономических показателей имеют тенденцию, харак­теризующую совокупное долговременное воздействиемножества факторов на динамикуизучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могутоказывать разнонаправ­ленное воздействие на исследуемый показатель. Однако всово­купности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию.  Рис1

Во-вторых, изучаемый показатель может бытьподвержен циклическимколебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельностьряда от­раслей экономики зависит от времени года рис2 Некоторые временные ряды несодержат тенденции и цикли­ческой компоненты, а каждый следующий их уровеньобразуется как суммасреднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайнойкомпоненты.  Рис3

 В большинстве случаев фактический уровень временного ря­да можно представить как сумму или произведениетрендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой вре­менной рядпредставлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в ко­торойвременной ряд представлен как произведение перечислен­ных компонент, называется мультипликативной моделью времен­ногоряда. Основная задача эконометрического исследования от дельного временного ряда — выявление и придание количествен­ного выражения каждой из перечисленных вышекомпонент с тем, чтобы использоватьполученную информацию для прогно­зирования будущих значений ряда или припостроении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

№23.АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА

 Корреляционную зависимость междупоследова­тельнымиуровнями временного ряда называют автокорреляциейуровней ряда. Количественно ее можноизмерить с помощью линейного ко­эффициентакорреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда,сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид: />

можно определить коэффициентыавтокорреля­ции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент авто­корреляции второго порядка характеризует тесноту связимежду уровнями уtи yt-1  и определяется по формуле:

/>Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорре­ляции,уменьшается. 

Отметим два важных свойствакоэффициента автокорреляции. Во-первых,он строится по аналогии с линейнымкоэффициентом корреляции и таким образомхарактеризует тесноту только линейнойсвязи текущего и предыдущего уровней ряда. 

Во-вторых, по знаку коэффициентаавтокорреляции нельзя делать вывод овозрастающей или убывающей тенденции в уров­няхряда. 

Последовательность коэффициентовавтокорреляции уров­нейпервого, второго и т. д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага на­зывается коррелограммой.

№24. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА (АНАЛИТИЧЕСКОЕВЫРАВНИВАНИЕ ВРЕМЕННОГО РЯДА)

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровнейряда от времени, или тренда. Этотспособ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда.

Посколькузависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всегоприменяются следующие функции:

•     линейный тренд: /> 

•     гипербола:/>                                                                                 ,

•     экспоненциальныйтренд: /> 

•     тренд в форместепенной функции: />

•     параболавторого и более высоких порядков: />

Параметры каждого из перечисленныхвыше трендов можно определить обычным МНК,используя в качестве независимой переменной время t=1,2,..., n, а в качествезависимой перемен- 1 ной — фактическиеуровни временного ряда yt. Существуетнесколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятсякачественный анализизучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени,расчет некоторыхосновных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляцииуровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэф­фициентов автокорреляции первогопорядка, рассчитанных по исходным ипреобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, тоего соседние уровни уtи уt-1   тес­но коррелируют. В этом случае коэффициентавтокорреляции первого порядка уровнейисходного ряда должен быть высоким. Есливременной ряд содержит нелинейную тенденцию, напри­мер, в форме экспоненты, то коэффициентавтокорреляции пер­вого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет вы­ше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанныйпо уров­ням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изуча­емом временно м ряде, тем в большей степени будутразличаться значения указанныхкоэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения вслучае, если ряд содержит не­линейную тенденцию, можно осуществить путем перебора ос­новных форм тренда, расчета по каждому уравнениюскорректи­рованного коэффициента детерминацииR2и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффи­циента детерминации. 

№;25.  ММЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯТЕНДЕНЦИЙ. МЕТОД ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ТРЕНДА.

Сущность всех методов исключениятенденции заключается в том, чтобы устранить или зафиксировать воздействие фактора времени на формирование уровнейряда. Основные методы исклю­чения тенденции можно разделить на две группы:

•     методы,основанные на преобразовании уровней исходного
ряда в новыепеременные, не содержащие тенденции. Полу­ченные переменные используются далее для анализа взаимо­связиизучаемых временных рядов. Эти методы предполага­ют непосредственное устранение трендовой компонентыТ из каждогоуровня временного ряда. Два основных метода в
данной группе — этометод последовательных разностей и
метод отклонений оттрендов;

•     методы,основанные на изучении взаимосвязи исходных
уровней временныхрядов при элиминировании воздействия
фактора времени назависимую и независимые переменные
модели. В первуюочередь это метод включения в модель рег­рессии по временным рядам фактора времени.
Рассмотрим подробнееметодику применения, преимущества инедостатки каждого из перечисленных выше методов.  Метод отклонений оттренда

Пусть имеются два временных ряда  xtи ytкаждый из которых содержит трендовую компоненту Ти случайную компоненту е. Проведение аналитического выравнивания по каждому из этих рядов позволяет найти параметрысоответствующих уравнений трендов и определить расчетные по тренду уровни  /> соответственно. Эти расчетные значения можно принять за оценкутрендовой компоненты  Т каждого ряда.Поэтому влияние тенденции можно устранить путем вычитания расчетныхзначений уровней ряда из фактических. Этупроцедуру проделывают для каждого временного ряда в модели. Дальнейший анализвзаимосвязи ря­дов проводят с использованием не исходных уровней, аотклонений от тренда /> и /> при условии, чтопоследние не содержат тенденции.

№26. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХРАЗНОСТЕЙ.

Вряде случаев вместоаналитического выравнивания времен­ного ряда с целью устранения тенденции можноприменить более простой метод — метод последовательных разностей.

Если временной ряд содержит ярковыраженную линейную  тенденцию,ее можно устранить путем замены исходных уровней рядацепными абсолютнымиприростами (первыми разностями).

Пусть (1)/> ; />

Тогда />                                                                                                      (6.3)Тогда

Коэффициент b— константа, которая не зависит отвремени.  

Если временной ряд содержит тенденцию в форме параболывторого порядка, то для ее устранения можнозаменить исходные уровни ряда на вторые разности.

Пусть имеет место соотношение (1),однако />

Тогда />

Как показывает это соотношение,первые разности ∆t, непо­средственно зависят от фактора времени tи, следовательно, со­держат тенденцию.

Определим вторые разности:

/>

Очевидно, что вторые разности ∆t2, не содержат тенденции, поэтому при наличии в исходных уровнях тренда вформе пара­болы второго порядка их можно использовать для дальнейшего анализа.Если тенденции временного ряда соответствует экспо­ненциальный или степенной тренд, методпоследовательных раз­ностей следуетприменять не к исходным уровням ряда, а к их ло­гарифмам.

№27. ВКЛЮЧЕНИЕ В МОДЕЛЬ РЕГРЕССИИФАКТОРА ВРЕМЕНИ.

В корреляционно-регрессионном анализеустранить воздей­ствие какого-либо фактора можно, если зафиксировать воздейст­виеэтого фактора на результат и другие включенные в модель факторы. Этот приемшироко используется в анализе временных рядов, когда тенденция фиксируется через включениефактора времени в модель в качественезависимой переменной.

Модель вида />относится к группе моделей, включающих фактор времени.Оче­видно, что число независимых переменныхв такой модели может быть больше единицы. Кроме того, это могут быть нетолько те­кущие, но и лаговые значениянезависимой переменной, а также лаговые значения результативной переменной.Преимущество данной модели по сравнению с методами от­клонений от трендов и последовательных разностей втом, что она позволяет учесть всюинформацию, содержащуюся в исход­ных данных, поскольку значения ytи хtесть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всейсовокуп­ности данных за рассматриваемыйпериод в отличие от метода последовательных разностей, который приводит кпотере числа наблюдений. Параметры аи bмоделис включением фактора вре­мени определяютсяобычным МНК.  

Система нормальных уравнений имеетвид: />

№28.АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ В ОСТАТКАХ.КРИТЕРИЙ ДАРБИНА-УОТСОНА.

Существуют два наиболеераспространенных метода опреде­ления автокорреляции остатков. Первый метод — это построение графика зависимости остатков отвремени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод — использо­вание критерия Дарбина — Уотсона ирасчет величины

/> (1)

Таким образом, d есть отношениесуммы квадратов разностей последовательныхзначений остатков к остаточной сумме квадра­тов по модели регрессии. Можно предположить  что: /> , предположим также />

Коэффициентавтокорреляции остатков оп­ределяется как

/>С учетом (3) имеем: />

Таким образом, если востатках существует полная положи­тельная автокорреляция и /> ,то d= 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то /> и, следовательно, d= 4.Если автокорреляция остатковотсутствует, то /> и d= 2. Следовательно, 0≤d≤4

Алгоритм выявленияавтокорреляции остатков на основе критерия Дарбина — Уотсона следующий.Выдвигается гипотеза Н0оботсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные ги­потезы Н1 Н1* состоят, соответственно, в наличии положитель­ной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далеепо спе­циальным таблицам определяютсякритичес­кие значения критерияДарбина — Уотсона dlи duдлязаданного числа наблюдений n, числанезависимых переменных модели к и уровнязначимости α. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбиваютна пять отрезков. Если фактическое значениекритерия Дарбина — Уотсона по­падаетв зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняютгипотезу Hо.

№29. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМЛАГОМ. ИНТЕРПРИТАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ. 

Величину L, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом,а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один ил более моментов времени, — лаговыми переменными.

 Эконометрическое моделирование  осуществляетсяс применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значенияфакторных переменных. Эти моделиназываются моделями с распределенным лагом. Модель вида

/>

являетсяпримером модели с распределенным лагом.

Наряду слаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущегопериода могутоказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих вкачестве факторов лаговые значения зависимойпеременной, которые называются моделямиавторегрессии.  Модель вида

/>

относится к моделямавторегрессии. Построение моделей сраспределенным лагом и моделей ав­торегрессии имеет свою специфику. Во-первых,оценка парамет­ров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделейс распределенным лагом не может бытьпроизведена с помощью обычного МНКввиду нарушения его предпосылок и требует спе­циальных статистическихметодов. Во-вторых, исследователям приходитсярешать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения егоструктуры. Наконец, в-третьих, между моделямис распределенным лагом и моделями авторегрессии су­ществует определеннаявзаимосвязь, и в некоторых случаях необ­ходимо осуществлять переход от одноготипа моделей к другому.Интерпретация параметров моделей с распределительным лагом.  Рассмотриммодель с распределенным лагом в ее общем виде впредположении, что максимальная величина лага конечна:

/>

Эта модель говорит о том, чтоесли в некоторый момент вре­мени tпроисходит изменение независимойпеременной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у втечение l следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b0припеременной xt  характеризуетсреднее абсолютное изменение уtпри изменении хtна 1 ед. свое­го измерения в некоторый фиксированный момент времени t,без учета воздействия лаговых значенийфактора x. Этот коэффици­ентназывают краткосрочным мультипликатором.

В момент (t+1) совокупное воздействие факторной перемен­ной xtна результат уt<sub/>, составит (b0+ b1) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можноохарактеризовать суммой (b+b1+b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточнымимультипликаторами.

 Введем следующее обозначение:

b0 +b1 +…+bl =b

Величину bназывают долгосрочныммультипликатором. Он по­казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+ lре­зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

ßj =bj  /b, j=0:1

Назовемполученные величины относительными коэффициен­тами модели с распределенным лагом.   Сред­ний лаг определяется по формуле среднейарифметической взве­шенной: /> и представляет собой средний период, в течение которогобудет происходить изменение результата подвоздействием изменения фактора в момент времени t.Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстромреагировании резуль­тата на изменение фактора, тогда как высокое его значениегово­рит о том, что воздействиефактора на результат будет сказывать­сяв течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого  />

Это тотпериод времени, в течение которого с момента време­ни tбудетреализована половина общего воздействия фактора на результат.

№ 30 МЕТОД АЛМОНА.

В методе А. предполагается, что веса текущих лаговыхзначений объясняющих переменных подчиняются палениальному распределению. bj<sub/>= c0+c1j+ c2j2 +…+ ckjk

Уравнение регрессии примет вид yt = a+c0z0+c1z1+ c2z2 + ckzk +εt<sub/>, где zi<sub/>=/>; i=1,…,k; j=1,…,p.Расчет параметров модели с распределенным лагом проводится по следующей схеме:

1.          Устанавливается макси. величиналага l.

2.          Определяется степень паленома k, описывающегоструктуру лага.

3.          Рассчитывается значение переменныхс z0  до zk.

4.          Определяются параметры уравнениялинейной регрессии yt(zi).

5.          Рассчитываются параметры исходноймодели с распределенным лагом.

№ 31 МЕТОД КОЙКА.

В распределение Койка делается предположение, чтокоэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрическойпрогрессии. bl=b0λl;l=0,1,2,3; 0 ≤ λ ≤ 1. Уравнение регрессиипреобразовывается к виду:

yt=a+b0xt+b0λxt-1+b0λ2xt-2+…+ εt. Посленесложных преобразований получаем ур-ие  оценки параметров исходящего ур-ия.

№ 32  МЕТОДГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ.

Суть метода —сократить число объясняющих пе­ременных до наиболее существенно влияющих факторов. Метод главныхкомпонент применяется для исключе­ния илиуменьшения мультиколлинеарности объясняющих пере­менных регрессии. Основная идея заключается в сокращении числаобъясняющих переменных до наиболее существенно влия­ющих факторов. Это достигается путем линейного преобразова­ния всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n)в новые пере­менные, так называемые главные компоненты. При этом требу­ется, чтобы выделению первойглавной компоненты соответство­вал максимум общей дисперсии всех объясняющих переменных xi (i=0,..,n). Второй компоненте — максимум оставшейся дис­персии, после того как влияние первой главнойкомпоненты ис­ключается и т. д.

№ 33 МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙАВТОРЕГРЕССИИ.

Модели содержащие в качестве факторов лаговые знач.зависимой переменной называются моделями авторегрессии. Н-р yt=a+b0xt+c1yt-1+ εt. Как и в модели сраспределенным лагом b0и в этоймодели характеризует краткосрочные изменения yt подвоздействием изменения х1 на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор вмодели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточныхмультипликаторов b = b0+b0c1+b0c12+b0 c13+…=b0(1+c1+c12+c13+…)=b0/1-c1

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов моделиавторегрессии  и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке оналичие бесконечного лага в воздействии текущего знач. зависимой переменной наее будущее знач.

Одним из возможных методов расчетапараметров уравнения авторегрессии являетсяметод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоитв том, чтобы заменить перемен­ную из правойчасти модели, для которой нарушаются предпо­сылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии неприводит к нарушению его предпосылок. Примени­тельно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную yt-1. Искомая новая переменная, кото­раябудет введена в модель вместо yt-1ьдолжна иметь два свойст­ва. Во-первых, она должна тесно коррелировать сyt-1ь  во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ur.

Еще один метод, который можно применятьдля оценки пара­метров моделей авторегрессии типа  — это метод максималь­ногоправдоподобия

№34 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ.????????????????????

№ 35 МЕТОД ПОДВИЖНОГО (СКОЛЬЗЯЩЕГО)СРЕДНЕГО.                                                

Метод простого скользящего ср. состоит в том, чторасчет показателя на прогнозируемый момент времени строится путем усреднениязначения этого показателя за несколько предшествующих моментов времени. 

/>

/>

где хk-i<sub/>– реальноезнач. показателя в момент времени tn-1.

n-число предшествующих моментов времени использующих при расчете.

fk<sub/>– прогнозна момент времени tk.

№ 36 МЕТОД ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ.

Учитываются отклонения предыдущего прогноза отреального показателя а сам расчет проводится по след. формуле:

/>

где xk-1 –реальное значение показателя в момент времени tk-1.

fk – прогноз на момент времени tk.

α – постоянное сглаживание.

Замечание: знач.α подчиняется условию 0‹ α ‹1, определяет степень сглаживания и обычно выбирается универсальным методомпроб и ошибок.

№ 37 МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ  ТРЕНДА.

Основной идеей метода проецирования линейного трендаявляется построение прямой, которая в среднем наименее уклоняется от массиваточек заданного временным рядом. Прямая ищется в виде: x = at + b (a и b-постоянные). Величины a и b удовлетворяют. следующей линейной системе:

/>/>

№38. КАЗУАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. ????????????????