Реферат: Построение экономической модели c использованием симплекс-метода

Минестерство образования Украины

Днепрпетровский государственныйуниверситет

 

 

Курсовая работа

Тема:Построениеэкономической модели с использованием симплекс-метода .

 

 

                                                  

                                                             Работувыполнил:

     студент группы РС-97-1

                                                                Борщевский Егор

                                           Проверил:

Доцент кафедры АСОИ

                                                                            СаликовВ.А.

 

 

 

Днепропетровск1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Аннотация_________________________________________ 3

Введение.__________________________________________ 4

1. ОСНОВЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА_______________ 5

1.1.Основные понятия иопределения системного подхода__ 5

1.1.1. Понятие системы и среды________________________ 7

1.1.2. Понятие проблемнойситуации__________________ 11

1.1.3. Понятие цели системы_________________________ 14

1.1.4. Понятие функций системы______________________ 16

1.1.5. Структура системы____________________________ 17

1.1.6. Внешние условия системы______________________ 20

1.1.7. Основные этапы системнойдеятельности__________ 21

1.2. Модели систем_________________________________ 22

1.2.1. Определение иклассификация моделей систем______ 22

1.2.2. Уровни моделей системы*______________________ 25

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ___________________________ 28

Словесное описание________________________________ 28

Математическое описание .__________________________ 29

Ограничения______________________________________ 30

Переменные_______________________________________ 31

Целевая функция___________________________________ 32

Симплекс-метод .__________________________________ 33

Представление пространства решенийстандартной задачи

 линейногопрограммирования.______________________ 34

Вычислительныепроцедуры симплекс-метода .__________ 37

Оптимальное решение______________________________ 42

Статус ресурсов___________________________________ 43

Ценность ресурса__________________________________ 45

Максимальное изменение запасаресурса_______________ 47

Максимальное изменениекоэффициентов удельной_______ 50

прибыли ( стоимости )______________________________ 50

Заключение_______________________________________ 52

Список литературы :________________________________ 53

 Аннотация

В данной курсовой работерассматриваются основные принципы построения системы, а также практическоеприменение полученных знаний на примере распределения финансов фирмы.

Введение.

        Сегодня в для любого гражданина Украины не секрет,что экономика его страны практически перешла на рыночные рельсы и функционируетисключительно по законам рынка. Каждое предприятие отвечает за свою работу самои само принимает решения о дальнейшем развитии. Современные условия рыночногохозяйствования предъявляют к методам прогнозирования очень высокие требования,ввиду все возрастающей важности правильного прогноза для судьбы предприятия, даи экономики страны в целом.

       Именно прогнозирования функционирования экономикирегионов или даже страны, на мой взгляд нужно уделять пристальное внимание наданный момент, потому что за пеленой сиюминутных собственных проблем всепочему-то забыли о том, что экономика страны тоже должна управляться, аследовательно и прогнозирование показателей ее развития должно быть поставленона твердую научную основу.

Целью данной курсовой работы явилось изучение практическогоопыта использования экономико-статистических методов прогнозирования.

     Моделирование в научных исследованиях  стало применяться еще в  глубокой  древности  ипостепенно захватывало все новые областинаучных знаний :  техническое  конструирование ,  строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки .  Большие успехии признание практически во всех отраслях современной науки принес методумоделирования ХХ в .  Однако методология моделированиядолгое время развивалась независимо отдельныминауками .  Отсутствовала единая системапонятий, единая терминология. Лишь постепенностала осознаваться  роль  моделирования как универсального метода научного познания

     Термин «модель» широко  используется  в различных сферах человеческойдеятельности и имеет множество  смысловых  значений. Рассмотрим  только такие «модели»,  которыеявляются инструментами получения знаний .

     Модель — это такой материальныйили мысленно представляемый объект,  который в  процессе  исследования замещает  объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале .

     Под моделирование понимаетсяпроцесс построения, изучения и применениямоделей .  Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процессмоделирования обязательно включает и построениеабстракций ,  и умозаключения по аналогии,  и конструирование научных гипотез.

     Главная особенностьмоделирования в том ,  что  это  метод опосредованногопознания с помощью объектов-заместителей .  Модель выступает как своеобразныйинструмент  познания ,  который исследовательставит  между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий егообъект .  Именно эта  особенность методамоделирования  определяет специфические формы использования абстракций , аналогий, гипотез, других категорий и методов познания .

     Необходимость использованияметода моделирования  определяется тем,  что  многие объекты ( или проблемы , относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно,или же это исследование требует много времени и средств.

     Моделирование — циклическийпроцесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последоватьвторой ,  третий и т.д.  При этом знания об исследуемом объекте  расширяются  иточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки,обнаруженные  после  первого  цикла   моделирования, бусловленные малым знанием  объекта  и ошибками в построении модели, можно исправить впоследующих  циклах .  В  методологии моделирования, таким образом, заложеныбольшие возможности саморазвития .

 

/> 1. ОСНОВЫСИСТЕМНОГО ПОДХОДА/>1.1.Основные понятия иопределения системного подхода

Окружающие нас производственные, социальные, организационныеи природные объекты обладают множеством различных свойств: они достаточносложны, распределены в пространстве, динамичны во времени, поведение ихописывается как детерминированными, так и стохастическими законами и т.д.

В управлении такими системами задействовано большоеколичество людей, громадные природные, материальные и энергетические ресурсы. Вэтой связи подход к объектам управления как к сложным системам выражает одну изглавных особенностей современного этапа развития общества.

Умение распознать систему, декомпозировать ее на элементарныесоставляющие, определить законы управления каждой подсистемой и вновьсинтезировать систему требует разработки ряда специальных формальных моделей,процедур алгоритмов. Еще философ Древнего Рима Квиантилиан утверждал, что любуюсколь угодно сложную ситуацию можно полностью структурировать и описать,руководствуясь следующими семью вопросами [2] (рис. 1.1).

/>

Рис. 1.1. Основные факторы системы

Наука, в рамках которой получили развитие исследования,направленные на решение вышеобозначенных проблем, получила название«теория систем» — «системный подход» — «системныйанализ». Эта теория зародилась в 30-х годах ХХ века и в 50-е годысформировалась как самостоятельное на-учное направление. У ее истоков стоялибиологи Берталанфи, Р, Жерар, специалист по математическим проблемам в областибиологии и психологии — А.Рапопорт, экономист — К. Боулдинг [8].

В дальнейшем эти исследования были продолжены вмногочисленных работах зарубежных и отечественных ученых.: М. Месарочича, С.Оптнера, С. Янга, Я. Такахару, Р. Акоффа, А.А. Богданова, В.Н. Садовского, А.И.Уемова, Ю.И.Черняка, А.А. Денисова и др.

/>1.1.1. Понятие системы и среды

 

Понятие системы уточняется и развивается на протяженииразвития самого системного анализа. Так, основоположник теории систем Людвигфон Берталанфи определил систему как комплекс взаимодействующих элементов,находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой.

Таким образом исходным моментом в определении системыявляется ее противопоставление среде, т.е. среда — это все то, что не входит всистему, а система — это конечное множество объектов, каким-то образомвыделенное из среды. Между средой и системой существует бесконечное множествовзаимных связей, с помощью которых реализуется процесс взаимодей-ствия среды исистемы. Выделение системы из среды и определение границ их взаимодействия являетсяодной из первоочередных задач системного анализа. От правильности определенияграниц зависят не только выполняемые функции, эффективность и качество системы,но и нередко сама ее жизнедеятельность. С другой со стороны, диалектическойосновой системных исследований является принцип системности, суть которогосводится к тому, что система как нечто целое обладает свойствами, не присущимисоставляющим ее элементам. В этом случае при определении системы необходимоисходить из двух основополагающих понятий:

•система как совокупность взаимодействующих элементов;•система как целостная среда, обладающая новыми системообразую-щими свойствами.

С учетом вышеизложенного перечислим следующие отличительныекачества системы:

•система есть нечто целое;

•система есть множество элементов, свойств и отношений;

•система есть организованное множество элементов;

 •система есть динамическое множество элементов.

Тогда определение системы можно сконструировать следующимобразом: система есть конечное множество функциональных элементов и отношениймежду ними, выделяемое из среды в соответствии с определен-ной целью, в рамкахопределенного временного интервала.

В этом случае под элементом принято понимать простейшуюнеделимую часть системы — подсистему. При этом ответ на вопрос, что являетсятакой частью не может быть однозначным и зависит от целей рассмотрения объектакак системы.

Объективно, с точки зрения внешней среды, любая системасуществует как источник удовлетворения ее потребностей. Из этого следует, чтопростейшая модель взаимодействия между системой и средой выглядит следующимобразом (рис.1.2).

/>

Рис.1.2. Модель взаимодействиясистемы и среды

На вход системы из среды поступают:

•множество целей и ограничений — Z = {Zk} •множество ресурсов- X = {Xj}

Выводом из системы является множество конечных продуктов,благ и услуг ориентированных на удовлетворение потребностей внешней среды — Y ={Yi} .

При этом множество конечных продуктов и ресурсов можноклассифицировать на следующие группы: материальные, информационные, финансовые,трудовые, энергетические.

В ряде случаев в классификаторе выходов системы помимополезных конечных продуктов необходимо выделять отходы, т.е. конечные продукты,оказывающие негативное влияние на внешнюю среду.

На рис. 1.3 представлена обобщенная модель взаимодействияпредприятия «как системы» с элементами ее внешней среды.

/>

Рис. 1.3. Модель взаимодействияпредприятия с элементами внешней среды

В качестве примера рассмотрим фрагмент модели взаимодействияучебного заведения с элементами внешней среды.

В качестве конечных продуктов учебного заведения можнорассмат-ривать следующие множества:

Y1- инженерные кадры;

Y11- инженерные кадры, подготовленные по типовым программам;

Y12- инженерные кадры, подготовленные по заказам органоввласти и управления;

Y13- инженерные кадры, подготовленные по заказам финансовыхин-ститутов;

Y14- инженерные кадры, подготовленные по заказам конкретногопредприятия и т.д.;

Y2- информационная продукция вуза;

Y21- учебно-методическая литература;

Y22- научно-техническая литература;

Y23- отчетная информация о деятельности вуза;

Y3- научно-технические разработки вуза;

Y4- кадры высшей квалификации.

В качестве входных ресурсов учебного заведения выделим:

X1 — финансовые ресурсы для организации учебного процесса;

X11 — федеральный бюджет;

X12 — местный бюджет;

X13 — внебюджетные фонды;

X14 — благотворительные фонды;

X15 — кредиты банков;

X2 — финансовые ресурсы для организациинаучно-исследовательской деятельности;

X3 — финансовые ресурсы для организацииадминистративно-хозяй-ственной деятельности;

X4 — абитуриенты, поступающие в вуз;

X41 — на основе госбюджетного финансирования;

X42 — по заказам органов власти и управления;

X43 — по заказам финансовых институтов;

X44 — по заказам конкретных промышленных предприятий.

В качестве множества целей и ограничений, определяющихдеятельность вуза, можно рассматривать:

•по учебной деятельности —

Z11 — требования ГОС на подготовку специалистов по конкретнойспе-циальности;

Z12 — требования органов власти и управления на подготовкуспециа-листов;

Z13 — требования финансовых структур на подготовкуспециалистов;

•по научно-исследовательской деятельности —

Z21 — требования федеральных органов к качеству выполнениягосбюд-жетных тем;

Z22 — требования заказчиков к качеству выполненияхоздоговорных тем.

 
1.1.2. Понятие проблемной ситуации

Как было показано в предыдущем разделе, взаимодействие междусистемой и средой построено по следующей схеме: среда поставляет системересурсы, устанавливает цели, ограничения, а получает из системы и потребляет ееконечные продукты. Характерно, что КП системы принципиально не могут бытьсозданы в среде (в противном случае нет необходимости выделять систему изсреды).

Возникшая либо назревающая степень неудовлетворения элементоввнешней среды конечными продуктами системы, либо низкая эффективностьвзаимодействия элементов внешней среды с системой порождают новое по-нятиесистемного подхода — «проблемная ситуация» — возникшая либоназревающая степень неудовлетворения взаимосвязи между системой и средой. Вэтом случае очевидно, что перечень проблемных ситуаций можно определить исходяиз анализа взаимосвязи элементов множеств:

Y={Yip}; X={Xjp}; Z={Zkp}

При проведении данного этапа системных исследованийрекомендуется прежде всего четко сформулировать сущность проблемы и описатьситуацию, в которой она имеет место [4]. При этом содержание деятельностивключает следующие этапы:

•установление содержания проблемы, т.е. уяснение, есть ли вдействительности проблема либо она является надуманной;

•определение новизны проблемной ситуации;

 •установление причин возникновения проблемной ситуации;

 •определение степени взаимосвязи проблемных ситуаций;

 •определение полноты и достоверности информации о проблемнойситуации; •определение возможности разрешения проблемы.

Определение существования проблемы предполагает проверкуистинности или ложности формулировки проблемы и ее принадлежности. Проверкаистинности существования проблемы должна осуществляться прежде всего по наличиюв системе совокупности экономических и социальных потерь, а ее значимость — покритерию экономического, либо социального эффекта, получаемого в системе послеликвидации проблемной ситуации. Оценка же степени проблемности должнапроизводится на сопоставлении фактических (в данный момент либо в будущем)значений целей с их плановыми либо нормативными значениями.

Определение новизны проблемной ситуации необходимо длявыявления и установления возможных прецедентов или аналогий. Наличие прошлогоопыта или нормативных рекомендаций позволяют существенно облегчить работуэкспертов по выработке и принятию решений по ликвидации проблемы.

Установление причин (как в системе, так и во внешней среде)возникновения проблемы позволяет глубже понять закономерности функционированияобъекта управления, вскрыть наиболее существенные факторы, приведшие кпроблемной ситуации.

При анализе проблемной ситуации необходимо установитьвозможные взаимосвязи рассматриваемой проблемы с другими проблемами. При этомнеобходимо провести классификацию этих проблем на главные и второстепенные,общие и частные, срочные и несрочные. Анализ взаимосвязей проблем позволитчетко и глубоко выявить причинно-следственные зависимости и способствоватьвыработке комплексного решения. Комплексность предполагает при выработкерешения выдавать рекомендации по изменению не только исследуемой системы, но ивнешней среды.

Большое значение в анализе имеет определение степени полнотыи достоверности информации о проблемной ситуации. В случае полной информациинетрудно сформулировать сущность проблемы и комплекс характеризующих ееусловий. Если же имеет место неопределенность информации, то необходиморассмотреть две альтернативы: провести работу по получению недостающейинформации; отказаться от получения дополнитель-ной информации и приниматьрешение в условиях имеющейся неопределенности. Выбор той или иной альтернативыв каждом конкретном случае надо производить исходя из схемы «затраты — эффект».

Важной составной частью анализа проблемной ситуации являетсяоп-ределение степени разрешимости проблемы. В данном случае уже напредварительном этапе необходимо хотя бы приблизительно оценить возмож-ностьразрешения проблемы, поскольку не имеет смысла заниматься поис-ком решений длянеразрешимых в данный момент времени проблем.

Сложность и многообразие систем и проблемных ситуаций требуютразработки формальных процедур организации такого рода деятельности. В [3]предлагается следующий перечень методов, позволяющих систематизировать анализ иоценку проблемных ситуаций:

•анкетное обследование;

•прогнозирование на базе временных рядов;

 •производное прогнозирование (использование уже полученныхпрогнозов для оценки каких-либо ситуаций, например, компания, производящаязапчасти к автомобилям может воспользоваться прогнозами об объемах про-дажавтомобилей);

 •моделирование на базе факторного и регрессионного анализа(уста-новление причинно-следственных связей между некоторыми факторами ипеременной величиной, которую необходимо определить);

 •метод мозгового штурма;

 •метод Дельфи;

 •метод разработки сценариев.

Продолжая рассматривать пример анализа взаимодействияучебного заведения с элементами внешней среды, выделим следующий переченьпроблемных ситуаций:

•на взаимосвязи X14 — низкое качество подготовки специалистовпод требования современного производства;

•на взаимосвязи X11 — низкий уровень финансирования учебногопроцесса со стороны государства;

 •на взаимосвязи X13 — низкие объемы и темпы привлечениявнебюджетных средств при организации целевой и коммерческой подготовкистудентов;

•на взаимосвязи X41 — низкий конкурс при поступлении в вуз поряду специальностей и т.д.

/>1.1.3. Понятие цели системы

Понятие цели и связанные с ней понятия целенаправленности,целеустремленности, целесообразности трудно сформулировать виду иходно-значного толкования. Так, в БСЭ цель определяется как «заранеемыслимый результат созидательной деятельности человека». Кроме того, влитературе имеется еще ряд альтернативных вариантов определения цели системы:

•«желаемое состояние выходов системы»;

•«определенное извне или установленное самой системойсостояние ее выходов»; •«идеальный образ того, чего человек либогруппа людей хочет достичь»; •«предвосхищение в сознании результата,на достижение которого направлены действия»;

 •«требуемые внешней средой результаты деятельностисистемы, за-данные на множестве выходных конечных продуктов».

В данном случае при определении понятия цели будем исходитьиз следующих предпосылок. Поскольку проблемная ситуация идентифицируется санализом взаимоотношений системы с элементами внешней среды, то цели системыдолжны выражаться через идеальный информационный образ этих взаимоотношений.Таким образом, главная трудность формирования целей связана с тем, что цели являютсякак бы антиподом проблем. Форму-лируя проблемы, мы говорим в явном виде, чтонам не нравится. Говоря о целях, мы пытаемся сформулировать, что мы хотим. Приформулировке цели не следует подменять ее средствами. Предположим вы хотите«улучшить информационное обслуживание своей фирмы» — приобретениенеобходимого количества ПЭВМ является лишь одним из возможных действий в этомна-правлении.

Дальнейшее изложение материала будем проводить исходя изследующей классификации целей (рис. 1.4).

/>

Рис. 1.4. Классификации целей

Конечные цели характеризуют вполне определенный результат,кото-рый может быть получен в заданном времени и пространстве. Бесконечные целиопределяют, как правило, общее направление деятельности. Выбор того или иногокласса целей зависит от характера решаемой проблемы. Очевидно, что приопределении целей необходимо исходить из общественных интере-сов системы. Приэтом формулировка целей может выражаться как в качест-венной, так и вколичественной форме, быть четкой и компактной, носить повелительный характер.

По отношению к состоянию целей система может находиться вдвух режимах: функционирования и развития. В первом случае считается, что системаполностью удовлетворяет потребности внешней среды и процесс перехода ее и ееотдельных элементов из состояния в состояние происходит при постоянствезаданных целей. Во втором случае считается, что система в некоторый моментвремени перестает удовлетворять потребностям внешней среды, и требуетсякорректировка прежних целевых установок.

Учитывая, что практически все системы относятся к классумногопродуктовых (многоцелевых) систем, следует рассматривать простые (частные)цели системы и сложные (комплексные) цели. Так, например, для достиже-нияуспеха в бизнесе можно ограничиться заданием целей в следующих областяхдеятельности [2]:

•эффективность;

•производительность;

•организация функционирования;

•инновации;

•материальные ресурсы;

•финансовые ресурсы;

•социальная ответственность.

Этот пример показывает, что если вы при организации бизнесазадаетесь только одной целью, например, в области эффективности — «максимальное получение прибыли», ваша деятельность являетсяпаразитирующей. В конечном счете, любой бизнес должен иметь свое определенноеобщественное предназначение, быть полезным обществу с точки зрения производствакаких-либо конечных продуктов и услуг.

 
 1.1.4. Понятиефункций системы

Наличие проблемной ситуации и объективной цели системы, какпрообраза ее будущего состояния, требует реализации определенных действий подостижению заданных целевых результатов.

В этом случае, определим функцию системы как способ(совокупность действий) достижения системой поставленных целей.

Для определения множества функции с успехом могут бытьиспользованы уже упоминавшиеся:

•метод мозгового штурма;

•метод Дельфи;

 •метод разработки сценариев.

В ряде случаев для генерации множества функций рекомендуетсяпривлекать внешних экспертов, специалистов, не обремененных прошлым системы, незнающих ее внутренних ограничений и противоречий.

Например, при реализации цели «Обеспечить качествоподготовки специалистов под требования конкретного предприятия» можносформулировать следующие функции (виды деятельности):

1.заключение договоров по целевой подготовке специалистов;

2.перевод студентов на индивидуальное обучение;

3.подготовка цикла специализированных занятий под требованияпредприятия; 4.развитие материальной базы учебного процесса и т.д.

 
1.1.5. Структура системы

Рассмотренные выше этапы создания системы под проблемнуюситуацию (формирование целей и способов их достижения, т.е. функций) объективнотребуют следующего логического шага — выявления таких элементов и отношениймежду ними (внутреннего устройства системы), которые реализуют целенаправленноефункционирование системы. Элементы любого содержания, необходимые дляреализации функции, назовем частями или ком-понентами системы. Совокупностьчастей (компонентов) системы образует ее элементный (компонентный) состав. Приэтом те элементы системы, которые рассматриваются как неделимые, будутназываться элементарными. Часть системы, состоящая более чем из одного элементаобразует подсистему. Вместе с тем каждую из подсистем, реализующих конкретнуюфункцию, можно, в свою очередь, рассматривать как новую систему и т.д.Упорядоченное множество отношений между частями, существенное по отношению кцели, необходимое для реализации функции, образует структуру системы.

Понятие структуры происходит от латинского слова structure,означающего строение, расположение, порядок, а наиболее точное определениеструктуры выглядит следующим образом: «Под структурой понимаетсясовокупность элементов системы и взаимосвязей между ними». При этомпонятие «связи» может характеризовать одновременно и строение(статику), и функционирование (динамику) системы. Кроме того, при проведениианализа используются два определяющих понятия структуры: материальная структураи формальная структура.

В общем случае под формальной структурой понимаетсясовокуп-ность функциональных элементов и их отношений, необходимых идостаточных для достижения системой поставленных целей. Из определения следует,что формальная структура описывает нечто общее, присущее системам одного типа.

В свою очередь материальная структура является носителемконкретных типов и параметров элементов системы и их взаимосвязей.

Приведенные рассуждения позволяют сделать два выводаотносительно сущности формальных структур: фиксированной цели соответствует какправило одна и только одна формальная структура; одной формальной структуреможет соответствовать множество материальных структур.

При проведении системного анализа на этапе изученияформальных и материальных структур системы аналитики решают обычно следующиезадачи:

•соответствует ли существующая структура новым целям ифункциям системы; •требуется ли реорганизация существующей структуры либонеобходимо спроектировать принципиально новую структуру;

•каким образом распределить (перераспределить) новые и старыефункции системы по элементам структуры.

Все эти задачи во многом зависят от типов используемых всистеме структур. В этой связи кратко рассмотрим ряд типовых структур систем,использующихся при описании организационно-экономических, производст-венных итехнических объектов (рис. 1.5).

/>

Рис. 1.5. Типы (виды) структур

Линейная структура (рис.1.5, а) характеризуется тем, чтокаждая вершина связана с двумя соседними. При выходе из строя хотя бы одногоэлемента (связи) структура разрушается.

Кольцевая структура (рис.1.5, б) отличается замкнутостью, любыедва элемента обладают двумя направлениями связи. Это повышает скорость общения,делает структуру более живучей.

Сотовая структура (рис.1.5, в) характеризуется наличиемрезервных связей, что повышает надежность (живучесть) функционированияструктуры, но приводит к повышению ее стоимости.

Многосвязная структура (рис.1.5, г) имеет структуру полногографа. Надежность функционирования максимальная, эффективностьфункциони-рования высокая, за счет наличия кратчайших путей, стоимость — максимальная. Частным случаем многосвязной структуры является«колесо» — (рис.1.5, д).

Иерархическая структура (рис.1.5, е) получила наиболее широкоераспространение при проектировании систем управления, чем выше уровень иерархиитем меньшим числом связей обладают его элементы. Все элементы кроме верхнего инижнего уровней обладают как командными, так и подчиненными функциямиуправления. Каждый уровень такой системы характе-ризуется уровнем иерархии,который определяется как отношение числа исходящих связей к числу входящих.

Звездная структура (рис.1.5, ж) имеет центральный узел,который выполняет роль центра, все остальные элементы системы являютсяподчиненными.

Графовая структура (рис.1.5, з) является инвариантной поотношению к иерархической и используется обычно при описаниипроизводственно-технологических систем.

В целом структура является материальным носителем целевойдеятельности по ликвидации проблемной ситуации и от ее эффективности во многомзависит конечный результат этой деятельности. В этом случае при выборе тоголибо иного варианта структур, целесообразно использовать не-которые показателиэффективности, например: оперативность, централизация, периферийность,живучесть, объем.

Оперативность оценивается временем реакции системы навоздействие внешней среды либо скоростью ее изменения и зависит в основном отобщей схемы соединения элементов и их расположения.

Централизация определяет возможности выполнения одного изэлементов системы руководящих функций. Численно централизация определяетсясредним числом связей центрального (руководящего) элемента со всеми остальными.

Периферийность характеризует пространственные свойстваструктур. Численно периферийность характеризуется показателем центра тяжестиструктуры, при этом в качестве единичной оценки меры связности выступает«относительный вес» элемента структуры.

Живучесть системы определяет способность сохранять значенияпоказателей при повреждении части системы. Этот показатель можетхарактеризоваться относительным числом элементов (или связей), при уничтожениикоторых остальные показатели не выходят за допустимые пределы.

Объем является количественной характеристикой структуры иопределяется обычно общим количеством элементов либо средней плотностью.

Задача оптимизации структуры с целью получения наибольшей эффективностисистемы является актуальной и требует определенного математического аппаратадля своего решения. В качестве такого аппарата обычно используется теорияграфов и целочисленное программирование.

/>1.1.6. Внешние условия системы

Применение указанных выше этапов формирования системы подпроблемную ситуацию (определение целей, функций и структуры системы) позволяютсоздать идеально-нормативную систему, которая может служить эталоном реальныхсистем, функционирующих в условиях ограничений, накладываемых внешней средой.При несоответствии существующей структуры системы нормативному набору функций,приводящему к достижению целей и невозможности ее реорганизации за счетвнутренних ресурсов системы, должны рассматриваться варианты привлечения всистему элементов внешней среды. В большинстве случаев в качестве элементоввнешней среды, активно воздействующих на систему, рассматриваются:

•внешние ресурсы: финансовые, материальные, трудовые;

 •ограничения: законодательные акты, нормативно-правовыедокументы и т.д.

Очевидно, и те и другие воздействия могут оказывать влияниекак на структуру, так и на функции системы.

Иногда, после определения множества необходимых ресурсовстановится очевидным нереальность заданных целевых результатов и требуетсякорректировка исходных целей либо множества функций по их реализации.

Однако этап постановки «оптимальных целей» неявляется потерей, так как стратегия «это лучшее, что можно сделать»может быть подменена стратегией «это лучшее, что может бытьсделано».В случае, если внешних ресурсов достаточно, то можно говорить оликвидации анализируемой проблемной ситуации. В противном случае речь должнапойти о переосмысление проблемы и формулировании новой системы целей.

Пример. В качестве ресурсов внешней среды при реализациифункции «подготовка специалистов под требования конкретногопредприятия» можно рассматривать:

•финансовые ресурсы, поступающие от предприятия в видеденежной компенсации за дополнительную подготовку;

•материальные ресурсы, представленные в виде оригинальногообо-рудования, приборов и устройств, которые студент должен изучить и уметьпользоваться; •постановления министерства общего и профессиональногообразования Российской Федерации, регламентирующие права и обязанности вуза,предприятия и студента.

/> 1.1.7. Основныеэтапы системной деятельности

Использование приведенных понятий и определений в системнойдеятельности позволяет ответить на совокупность взаимосвязанных вопросов:«что?», «как?», «кто?» и «чем?».Другими словами следует ответить на вопросы: наличие либо отсутствие проблемнойситуации и определить основные направления (цели) ее ликвидации; какие функциисистемы при этом надо реализовать и какой структурой; и, наконец, есть ли дляэтой реализации соответствующие ресурсы.

Легко заметить, что цепочка «проблемная ситуация, цели,функция, структура, внешние ресурсы» образует логически обоснованную (насодержательном уровне) последовательность системной деятельности (рис.1.6), иможет использоваться как на этапах анализа (исследования), так и синтеза(проектирования) систем.

/>

Рис.1.6. Модель этапов системнойдеятельности

В данном случае сплошной линией показаны этапы синтеза, апунктирной — анализа.

/>1.2. Модели систем/>1.2.1. Определение иклассификация моделей систем

Множество окружающих нас предметов и явлений обладаютналичием входных свойств. Процесс познания этих свойств состоит в том, что мысоздаем для себя некоторое представление об изучаемом объекте, помогающее лучшепонять его внутреннее состояние, законы функционирования, основныехарактеристики. Такое представление, выраженное в той либо иной форменазывается моделью. Как отмечается в [1], под моделью следует понимать любуюдругую систему, обладающую той же формальной структурой при условии, если:

•между системными характеристиками модели и оригиналомсуществует соответствие; •модель более проста и доступна для изучения иисследования основных свойств объекта-оригинала.

Любая модель есть объект-заменитель объекта-оригинала,обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Замещение одного объекта другим с целью получения информациио важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели можно назватьмоделированием, т.е. моделирование — это представление объекта моделью дляполучения информации об объекте путем проведения эксперимента с его моделью.

С точки зрения философии моделирование следует рассматриватькак эффективное средство познания природы. При этом процесс моделированияпредполагает наличие: объекта исследования, исследователя-экспериментатора,модели.

В автоматизированных системах обработки информации иуправления в качестве объекта моделирования могут выступать:

•производственные процессы; процессы административногоуправления; процессы функционирования комплекса технических средств; процессыорганизации и функционирования информационного

•обеспечения АСУ; процессы функционирования программногообеспечения АСУ. Преимущества моделирования состоят в том, что появляется

•возможность сравнительно простыми средствами изучатьсвойства системы, изменять ее параметры, вводить целевые и ресурсныехарактеристики внешней среды.

Как правило, моделирование используется:

1.для исследования системы до того, как она спроектирована сцелью определения ее основных характеристик и правил взаимодействия элементовмежду собой и с внешней средой;

2.на этапе проектирования для анализа и синтеза различныхвидов структур и выбора наилучшего варианта реализации с учетомсформулированных критериев оптимальности и ограничений;

3.на этапе эксплуатации системы для получения оптимальныхрежимов функционирования и прогнозных оценок ее развития.

При этом одну и ту же систему можно описать различными типамимоделей. Например, транспортную сеть некоторого района можно промоделироватьэлектрической схемой, гидравлической системой, математической моделью сиспользованием аппарата теории графов.

Кратко остановимся на классификации используемых на практикемоделей:

•по способу описания модели подразделяются на описательные(не-формализованные) и формализованные;

•по природе возникновения целей системы модели подразделяютсяна познавательные (теоретические цели) и прагматические (практические цели).При этом познавательные цели являются формой организации и пред-ставлениязнаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Прагматические моделиявляются, как правило, средством управления, средством организации практическихдействий, способом представления образцово правильных действий. Следуетзаметить, что при возникновении различий между моделью и реальнойдействительностью, в первом случае речь идет о корректировке модели, а вовтором случае — к изменению реальности, т.е. в соответствии с полученным намодели решением изменить свойству и структуре системы;

•по природе используемых элементов модели подразделяются нафизические (аналоговые, электрические, графические, чертеж, фотографии) иматематические.

В дальнейшем будем изучать только класс математическихмоделей, под которыми понимают совокупность математических выражений,описывающих поведение (структуру) системы и те условия (возмущения,ограничения), в которых она работает. В совою очередь, математические модели взависимости от используемого математического аппарата подразделяются на:

•статистические и динамические;

•детерминированные и вероятностные;

•дискретные и непрерывные;

•аналитические и численные.

Статистические модели описывают поведение объекта вкакой-либо момент времени, а динамические отражают поведение объекта вовремени. Детерминированные модели описывают процессы, в которых отсутствуют (неучитываются) случайные факторы, в свою очередь, вероятностные модели отражаютслучайные процессы — события. Дискретные модели описывают процессы, описываемыедискретными переменными, в свою очередь, непрерывные — непрерывными.Аналитические модели описывают процесс в виде некоторых функциональныхотношений или (и) логических условий. Численные модели отражают элементарныеявления с сохранением их логической структуры и последовательности протеканияво времени.

/>1.2.2. Уровни моделей системы*

Первым наиболее простым и абстрактным уровнем описаниясистемы является модель, так называемого «черного ящика». В этомслучае предполагается, что выделенная система связана со средой черезсовокупность входов и выходов. Выходы модели соответствуют понятиям целейсистемы, а входы — соответственно понятиям ресурсов и ограничений (рис. 1.7).При этом предполагается, что мы ничего не знаем и не хотим знать о внутреннемсодержании системы. Модель в этом случае отражает два важных и существенных еесвойства: целостность и обособленность от среды.

Такая модель, несмотря на ее внешнюю простоту и отсутствиесведений о внутренней структуре, оказывается часто полезной на первом этапесистемного анализа.

Например, для анализа работоспособности бытового телевизоранеобходимо проверить входы (шнур электропитания, антенну, ручки управления инастройки) и выходы (экран кинескопа и выходные динамики); системное описаниекакого-либо производственного процесса необходимо начинать с анализа егоинформационного и материального входов и выходов — планируемых и результирующихпоказателей деятельности, качество входных ресурсов и конечных продуктов и т.д.

/>

Рис. 1.7

Следует отметить, что существует множество систем, внутреннееустройство которых невозможно либо нецелесообразно описывать, и в этом случаемодель «черного ящика» является единственным вариантом ихисследования. Например, мы не знаем как устроен организм человека; в то жевремя необходимо изучать влияние и поведенческий аспект средств массовойинформации, влияние на живой организм лекарственным препаратов и т.д.Формализация модели «черного ящика» основывается на задании двухмножеств входных и выходных переменных, и никаких других отношений междумножествами не фиксируется.

Вместе с тем следует отметить, что построение модели«черного ящика» не является тривиальной задачей, так как ответ навопрос о содержании множеств не всегда однозначен.

Построение модели основывается на выборе из бесконечногомножества связей системы со средой их конечного множества, адекватноотражающего цели исследования. Очевидно. Что такие модели не надо сводить кмоносистеме (т.е. системе с одним входом и выходом), а для обоснованиянеобходимого и достаточного количества параметров множеств X и Y широкоиспользовать методы математической статистики, привлекать опытных экспертов.

/> <td/> />
Следующим уровнем моделированиясложных систем являются модели состава систем. При рассмотрении любой системыпрежде всего обнаруживается, что ее целостность и обособленность выступают каквнешнее свойство. Вместе с тем внутренняя структура системы также являетсямногообразной, неоднородной и состоит из множества неделимых функциональныхэлементов. Декомпозиция внутренней структуры «черного ящика» на болеемелкие составляющие (подсистемы, отдельные элементы) позволяют строить моделисостава систем (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Модель состава системы

Например, если в качестве системы рассматриватьпроизводственное подразделение, то в качестве подсистемы выступаютпроизводственные участки, а в качестве отдельных элементов — оборудование,сырье, рабочие; сис-тема телевидения состоит из аппаратуры передачи, каналовсвязи, аппаратуры приема.

Построение модели состава в силу многообразия природы и формэлементов также не является простым делом. Это можно объяснить тремя факторами:

1.неоднозначностью понятия «элементарногоэлемента»;

2.многоцелевым характером объекта, объективно требующимвыделить под каждую цель соответствующий ей состав;

3.условностью (субъективностью) процедуры деления целого начасти (системы на подсистемы, элементы).

Простота и доступность моделей «черного ящика» исостава позволяет решать с их использованием множество практических задач.Вместе с тем для более детального (глубокого) изучения систем необходимоустанавливать в модели состав отношения (связи) между элементами. Описаниесистемы через совокупность необходимых и достаточных для достижения целейотношений между элементами назовем моделью структуры системы.

Перечень связей между элементами, на первый взгляд, являетсяне-сколько отвлеченной, абстрактной моделью. На самом деле как рассматриватьсвязи, если не рассмотрены сами элементы.

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ/>Словесное описание

            Фирма, производящаянекоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть ичерез телевидение. Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $, а стоимость телерекламы — в 100$  за минуту.

            Фирма готова тратить нарекламу по 1000 $ в месяц. Так жеизвестно ,  что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайнеймере в 2 раза чаще, чем по телевидению.

             Опыт предыдущих летпоказал, что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежелирадиореклама.

              Задача заключается вправильном распределении финансовых средств фирмы.

/>Математическое описание .

 

 

X1 — время потраченное на радиорекламу .

X2 — время потраченное на телерекламу   .

Z — искомая целевая функция, оражающаямаксимальный сбыт от 2-ух видов рекламы .

X1=>0, X2=>0, Z=>0;

Max Z = X1 + 25X2 ;

5X1 + 100X2 <=1000 ;

X1 -2X2 => 0

Использование графическогоспособа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными. При большемчисле переменных необходимо применение алгебраического аппарата. В даннойглаве рассматривается общий метод решения задач ЛП, называемыйсимплекс-методом .

            Информация, которуюможно получить с помощью симплекс-метода, не ограничивается лишь оптимальнымизначениями переменных. Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическуюинтерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность.

           Процесс решения задачилинейного программирования носит итерационный характер: однотипныевычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до техпор, пока не будет получено оптимальноерешение. Процедуры, реализуемые в рамках симплекс-метода, требуют применениявычислительных машин — мощного средства решения задач линейногопрограммирования .

           Симлекс-метод — этохарактерный пример итерационных вычислений, используемых при решениибольшинства оптимизационных задач. В данной главе рассматриваются итерационныепроцедуры такого рода, обеспечивающие решение задач с помощью моделейисследования операций . 

          В гл 2 было показано, чтоправая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками <=, = и =>. Кроме того, переменные,фигурирующие в задачах ЛП, могут быть неотрицательными или не иметьограничения в знаке. Для построения общего метода решения задач ЛПсоответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме, которуюназовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей. При стандартнойформе линейной модели

1.   Все ограничения записываются в видеравенств с неотрицательной правой частью ;

2.   Значения всех переменных моделинеотрицательны ;

3.   Целевая функция подлежит максимизацииили минимизации .

Покажем, каким образом любуюлинейную модель можно привести к стандартной .

/>Ограничения

 

1.   Исходное ограничение, записанное ввиде неравенства типа <= ( =>) ,

можно представить в виде равенства,прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточнуюпеременную из левой части ).

      Например, в левую частьисходного ограничения

5X1 + 100X2 <= 1000

вводистя остаточная переменная S1 > 0, в результате чего исходное неравенство обращается вравенство

5X1 + 100X2 + S1 = 1000,S1 => 0

Если исходное ограничение определяетрасход некоторого ресурса, переменную S1 следует интерпретировать как остаток, илинеиспользованную часть, данного ресурса .

      Рассмотрим исходное ограничениедругого типа :

X1 — 2X2 => 0

Так как левая часть этого ограниченияне может быть меньше правой, для обращения исходного неравенства в равенствовычтем из его левой части избыточную переменную S2 > 0. В результате получим

X1 — 2X2 — S2 = 0, S2 => 0

2.  Правую часть равенства всегда можносделать неотрицательной, умножая оби части на -1 .

Например равенство  X1 — 2X2 — S2 = 0 эквивалентно равенству — X1 + 2X2 + S2 = 0

3.  Знак неравенства изменяется напротивоположный при умножении обеих частей на -1 .

     Например можно вместо 2 < 4 записать — 2 > — 4, неравенство X1 — 2X2 <= 0 заменить на — X1 + 2X2 => 0

/>Переменные

 

      Любую переменную Yi, не имеющую ограничение в знаке,можно представить как разность двух неотрицательных переменных:

Yi=Yi’-Yi’’, где Yi’,Yi’’=>0.

Такую подстановку следует использоватьво всех ограничениях, которые содержат исходную переменную Yi, а также в выражении для целевойфункции.

      Обычно находят решение задачиЛП, в котором фигурируют переменные Yi’ и Yi’’, а затем с помощью обратнойподстановки определяют величину Yi.Важная особенность переменных Yi’ и Yi’’ состоит в том, что при любомдопустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительноезначение, т.е. если Yi’>0, то Yi’’=0, и наоборот. Это позволяетрассматривать Yi’как остаточнуюпеременную, а Yi’’ — какизбыточную переменную, причем лишь одна из этих переменных может приниматьположительное значение. Указанная закономерность широко используется в целевомпрограммировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующихпреобразований в задаче 2.30

/>Целевая функция

 

      Целевая функция линейнойоптимизационной модели, представлена в стандартной форме, может подлежать какмаксимизации, так и минимизации. В некоторых случаях оказывается полезнымизменить исходную целевую функцию .

      Максимизация некоторой функцииэквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, инаоборот. Например максимизация функции

Z = X1 + 25X2

эквивалентна минимизации функции

( -Z ) = -X1 — 25X2

Эквивалентность означает, что приодной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X1, X2, в обоих случаях будут одинаковы.Отличие заключается только в том, что при одинаковых числовых значенияхцелевых функций их знаки будут противоположны .

/>Симплекс-метод .

              В вычислительной схемесимплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная снекоторой  исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ),осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальнойточки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующаяоптимальному решению.

               Общую идеюсимплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели, посроенной длянашей задачи. Пространство решений  этой задачи представим на рис. 1.Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ).Решение, соответствующее этой точке, обычно называют начальным решением. Отисходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке.

     Выборкаждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-методаопределяется следующими двумя правилами.

1.   Каждая последующая угловая точкадолжна быть смежной с предыдущей. Этот переход осуществляется по границам (ребрам ) пространства решений.

2.   Обратный переход к предшествующейэкстремальной точке не может производиться.

Таким образом, отыскание  оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловойточки, и все переходы осуществляются только к смежным точкам, причем передновым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность .

Определимпространство решений и угловые точки агебраически. Требуемые соотнощшенияустанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических иалгебраических определений

.

Геометрическое определение Алгебраическое определение              ( симплекс метод ) Пространство решений Ограничения модели стандартной формы Угловые точки Базисное решение задачи в стандартной форме

 

 

/> Представлениепространства решений стандартной задачи линейногопрограммирования .

Линейнаямодель, построенная для нашей задачи и приведенная к стандартной форме, имеетследующий вид :

Максимизировать

                             Z = X1  +  25X2 +  0S1 + 0S2

При ограничениях

            5X1 + 100X2+    S1              = 1000

      — X1   +     2X2                   + S2 = 0

X1=>0, X2=>0,S1=>0, S2=>0

Каждую точкупространства решений данной задачи, представленную на рис.1, можно определитьс помощью переменных X1, X2, S1 и S2,фигурирующими в модели стандартной формы. При S1 = 0 и S2 = 0ограничения модели эквивалентны равенствам, которые представляютсясоответствующими ребрами пространства решений. Увеличение переменных S1 и S2 будет соответствовать смещению допустимых точек с границпространства решений в его внутреннюю область. Переменные X1, X2, S1 и S2, ассоциированные с экстремальнымиточками А, В ,  и С можно упорядочить,исходя из того, какое значение ( нулевое или ненулевое ) имеет даннаяпеременная в экстремальной точке .

Экстремальная точка Нулевые переменные Ненулевые переменные А S2, X2 S1, X1 В S1, X2 S2, X1 С S1, S2 X1, X2

 Анализируя таблицу, легко заметить две закономерности:

1. Стандартная модель содержит два уравнения и четыре
неизвестных, поэтому в каждой из экстремальных точек две ( = 4 — 2 ) переменные должны иметь нулевыезначения .

2. Смежные экстремальные точкиотличаются только однойпе-
ременной в каждой группе ( нулевых и ненулевых переменных ),

Первая закономерность свидетельствует о возможности опре-
деления экстремальных точек алгебраическим способомпутем при-
равнивания нулю такого количества переменных, которое равно
разности между количеством неизвестных и числом уравнений .
В этом состоит сущностьсвойства однозначности экстремальных
точе на рис 1 каждой неэкстремальной точкесоответствует
не более одной нулевой переменной. Так, любая точка внутренней
области пространства решений вообще не имеет ниодной нулевой
переменной, а любая неэкстремальная точка,лежащая на границе ,
всегда имеет лишь одну нулевую переменную .

Свойство однозначностиэкстремальных точек позволяет опре-
делить их алгебраическим методом. Будем считать, что линейная
модель стандартной формы содержит т уравнений и п(т<= п) не-
известных (правые части ограничений— неотрицательные ). Тогда
все допустимые экстремальные точки определяются как всеодно-
значные неотрицательные решения системы m уравнений, в ко-
торых п—m  переменных равны нулю.

Однозначные решения такойсистемы уравнений, получаемые
путем приравнивания кнулю (п — т) переменных,называются
базисными решениями. Если базисное решение удовлетворяет
требованию неотрицательности правых частей, оно называется
допустимым базисным решением. Переменные,имеющие нулевое
значение, называютсянебазисными переменными, остальные —
базисными переменными.

Из вышеизложенного следует, чтопри реализации симплекс-
метода алгебраическое определение базисных решений соответст-
вует идентификацииэкстремальных точек, осуществляемой при
геометрическом представлении пространства решений. Таким об-
разом, максимальное число итераций при использованиисимплекс-
метода равно максимальному числу базисных решений задачи ЛП ,
представленной встандартной форме. Это означает, чтоколичество
итерационных процедур симплекс-метода не превышает

Cпт= n! / [ ( n — m )!m! ]     

Вторая из ранее отмеченных закономерностей оказывается
весьма полезной для построениявычислительных процедур симп-
лекс-метода, при реализации которого осуществляетсяпоследова-
тельный переход от одной экстремальной точки к другой, смежной с ней. Так как смежные экстремальные точки отличаются только
одной переменной,можно определить каждую последующую ( смеж-
ную) экстремальную точку путем замены одной из текущих не-
базисных ( нулевых ) переменных текущей базиснойпеременной.
В нашем случае получено решение, соответствующее точке А, откуда следует осуществить переход в точку В . Для этого нужно увеличивать небазисную переменную X2 от исходного нулевого значения до значе-
ния, соответствующего точке В (см. рис. 1 ). В точке B переменная
S1 ( которая в точке А была базисной ) автоматическиобращается в
нуль и, следовательно, становится небазисной переменной. Таким
образом, между множеством небазисных и множеством базисных
переменных происходит взаимообмен переменными X2 и S1. Этот
процесс можно наглядно представить в виде следующей таблицы.

Экстремальная точка Нулевые переменные Ненулевые переменные А S2, X2 S1, X1 В S1, X2 S2, X1

Применяя аналогичнуюпроцедуру ко всем экстремальным точкам
рис. 1, можно убедиться в том, что любуюпоследующую экстре-
мальную точку всегда можно определить путем взаимной замены
по одной переменной в составе базисных и небазисных переменных
( предыдущей смежной точки ). Этот фактор существенно упрощает
реализацию вычислительных процедур симплекс-метода.

Рассмотренныйпроцесс взаимной замены переменных приводит
к необходимости введения двух новых терминов.Включаемой пе-
ременной называется небазисная в данный момент переменная ,
которая будет включена в множество базисных переменных на сле-
дующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) .
Исключаемая переменная — это та базисная переменная, которая
на следующей итерации подлежит исключению из множества ба-
зисных переменных .

/>/>Вычислительныепроцедуры симплекс-метода .

 симплекс-алгоритм состоит из следующихшагов.

Шаг0. Используялинейную модель стандартной формы, опреде-
ляют начальное допустимое базисное решение путем приравнива-
ния к нулю п — т ( небазисных ) переменных.

Шаг1. Из числа текущихнебазисных ( равных нулю ) перемен-
ных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение
которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если
такой переменной нет, вычисления прекращаются, так как текущее
базисное решение оптимально. В противном случае осуществляется
переход к шагу 2.

Шаг2. Из числапеременных текущего базиса выбирается исклю-
чаемая переменная, которая должна принять нулевое значение ( стать
небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной .

Шаг3. Находится новоебазисное решение, соответствующее
новым составам небазисных и базисных переменных. Осуществляется переход к шагу1.

Пояснимпроцедуры симплекс-метода на примере решения нашей зада-
чи. Сначала необходимо представитьцелевую функцию и ограничения модели в стандартной форме:

                        Z -    X1    -    25X2 +0S1 -0S2=   0 ( Целевая функция)

          5X1  +  100X2 +  S1           = 1000 ( Ограничение )

           -X1    +     2X2          + S2 = 0 ( Ограничение )   

Как отмечалось ранее, в качественачального пробного решения
используется решение системы уравнений, в которой две переменные принимаютсяравными нулю. Это обеспечивает единст-
венность и допустимость получаемого решения. В рассматриваемом
случае очевидно, что подстановка X1 = X2 = 0 сразу же приводит к следующему результату: S1 = 1000, S2 = 0 ( т. е.решению, соответствующему точке А на рис. 1 ). Поэтому точку А можноиспользовать как начальное допустимое решение. Величина Z в этой точке равна нулю, так как и X1 и X2  имеют нулевое значение. Поэтому, преобразовав уравнениецелевой функции так, чтобы его правая часть стала равной нулю, можноубедиться в том, что правые части уравнений целевой функции и ограниченийполностью характеризуют начальное решение. Это имеет место во всех случаях, когда начальный базис состоит из остаточныхпеременных.            

Полученныерезультаты удобно представить в виде таблицы :

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z 1 -1 — 25 Z – уравнение S1 5 100 1 1000 S1 –уравнение S2 -1 2 1 S2 – уравнение

Этатаблица интерпретируется следующим образом. Столбец
« Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S1 ,
S2,  значения которых приведены в столбце « Решение». При
этом подразумевается, что небазисные переменные X1 и X2 (не пред-
ставленные в первом столбце ) равны нулю. Значение целевой функ-
ции Z = 1*0 +25*0 + 0*1000 + 0*1  равнонулю, что и показано в последнем столбце таблицы.

 Определим, является липолученное пробное решение наи-
лучшим ( оптимальным ). Анализируя Z — уравнение, нетрудно заме-
тить, что обе небазисные переменные X1 и X2, равные нулю,имеют
отрицательные коэффициенты.Всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательногокоэффициента ( в Z — уравнении ), так как практическийопыт вычислений показывает, что в этомслучае оптимум достигается быстрее .

Это правило составляетоснову используемого в вычислительной
схеме симплекс-метода условия оптимальности,которое состоит в
том, что, если в задаче максимизации все небазисные переменные в
Z — Уравнение имеют неотрицательныекоэффициенты, полученное пробное решение является оптимальным. В противном случае в ка-
честве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет
наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент .

Применяя условие оптимальности кисходной таблице, выберем
в качестве переменной, включаемой в базис, переменную Х2.Исклю-
чаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных
переменных S1, S2. Процедура выбораисключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та изпере-
менных текущего базиса, которая первой обращается в нуль при уве-
личении включаемой переменной X2вплоть до значения, соответствующего смежнойэкстремальной точке.

Интересующее насотношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и идентифицирующееисключаемую переменную ) можно
определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце, соответствующем вводимойпеременной X2, вычеркиваются отрицательные инулевые элементы ограничений. Затемвычисляются отношения постоянных,фигурирующих в правых частях этих ограничений, к оставшимся элементам столбца,соответствующего вводимой переменной X2 . Исключаемойпеременной будет та переменная текущего базиса, для которой указанное вышеотношение минимально.

Начальнаясимплекс-таблица для нашей задачи, получаемая после проверки условиядопустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений иопределения исключаемой переменной ), воспроизведена ниже. Для удобстваописания вычислительных процедур, осуществляемых на следующей итерации,введем ряд необходимых определений. Столбец симплекс-таблицы, ассоциированныйс вводимой переменной, будем называть ведущим столбцом. Строку,соответствующую исключаемой переменной, назовем ведущей строкой ( уравнением ), а элемент таблицы, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущейстроки, будем называть ведущим элементом .

Послетого как определены включаемая и исключаемая пере-
менные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) ,
следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществля-
ется методом исключения переменных, или методом Гаусса — Жордана. Этотпроцесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов.

Тип 1( формирование ведущего уравнения ) .

Новаяведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент

Тип 2 ( формирование всехостальных уравнений, включая Z — yравнение).

Новое уравнение = Предыдущее уравнение —

é Коэффициент       ù

ê ведущего столбца  ê * ( Новая ведущая строка ).   

êпредыдущего          ê

ëуравнения              û

Выполнение процедуры типа 1 приводитк тому, что в новом
ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице .
В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэф-
фициенты, фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными
нулю. Это эквивалентно получению базисного решения путем ис-
ключения вводимой переменной из всех уравнений, кроме ведущего .
Применяя к исходной таблице процедуру 1, мы делим S2 — уравнение наведущий элемент, равный 1.

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z S1 S2

-1/2

1

1/2

Чтобы составить новуюсимплекс-таблицу, выполним необходимые вычислительныепроцедуры типа 2 .

1.Новое Z — уравнение .

староеZ — уравнение: ( 1   -1      -25    0    0     0 )

                     ( — ( -25 ) *  ( 0   -1/2     1     0   1/2    0 )

                                        ( 1   -131/2  0     0  121/2  0 )

2.  Новое S1 — уравнение

     старое S1 — уравнение: ( 0    5   100   1    0    1000 )

                           (- 100 ) *    ( 0   -1/2   1      0    1/2       0   )

                                              (0   55    0     1   -50   1000 )      

        

   

Новая симплекс-таблицабудет иметь вид :

             

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z 1

-131/2

121/2

Z – уравнение S1 55 1 -50 1000 S1 –уравнение X2

-1/2

1

1/2

X2 – уравнение

       

В новом решении X1 = 0 и S2 = 0. Значение Z не изменяется.

Заметим, что новая симплекс-таблица обладает такими же ха-
рактеристиками, как и предыдущая: только небазисные переменные
 X1 и S2 равны нулю, а значения базисных переменных, как и раньше ,
представлены в столбце « Решение ». Этов точности соответствует
результатам, получаемым при использовании методаГаусса—Жор-
дана .

Из последней таблицыследует, что на очередной итерации в со-
ответствии с условием оптимальности в качестве вводимой перемен-
ной следует выбрать X1, таккак коэффициент при этой переменной в

Z-ypaвнении равен -131/2. Исходя из условия допустимости, определяем, чтоисключаемой переменной будет S1. Отношения, фигурирующие вправой части таблицы, показывают, что в новом базисном решении значениевключаемой переменной X1 будет равно 1000/55 ( = минимальному отношению ). Это приводит к увеличению целевой функции на ( 1000/55 ) *    (   -131/2) = ( 2455/11) .

Кполучению симплекс-таблицы, соответствующейновой итерации, приводят следующие вычислительные операции метода Гаусса—Жордана.

1)  Новое ведущее  S1<sub/>- уравнение = Предыдущее S1 — уравнение / ( 55 ) .

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z S1 1

1/55

— 50/55

1000/55

X2

2) Новое  Z — уравнение = Предыдущее  Z — уравнение — ( -131/2 ) * Новое /ведущее уравнение :

                                        ( 1   -131/2  0     0     121/2      0     )

                    — ( -131/2 ) *  (  0      1    0    1/55   -50/55    1000/55 )

                                         ( 1      0     0    27/110  5/22   2455/11 )

3) Новое X2 — уравнение= Предыдущее  X2 — уравнение — ( -1/2 ) * Новое ведущее уравнение :

                                              ( 0  -1/2   1     0       1/2        0    )

                         — ( — 1/2 ) *     ( 0    1     0    1/55  -50/55    1000/55 )

                                        (0    0    1   1/110   1/22    91/11  )

Врезультате указанных преобразований получим следующую симп-
лекс-таблицу .

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z 1

27/110

5/22

2455/11

X1 1

1/55

-50/55

1000/55

X2 1

1/110

1/22

91/11

Вновом базисном решении X1=1000/55 и X2=91/11. Значение Z увеличилось с 0 ( предыдущаясимплекс-таблица ) до 2455/11  ( последняя симплекс-таблица ). Этот результирующий прирост целевой функции  обусловлен увеличением X1 от О до 1000/55, так как из Z — строки предыдущей симплекс-таблицы следует, что возрастанию данной переменной наединицу соответствует увеличение целевой функции на( -131/2 ) .

Последняясимплекс-таблица соответствует оптимальному реше-
нию задачи, так как в Z — уравнении ни одна из небазисных переменных не фигурирует сотрицательным коэффициентом. Получением этой pезультирующей таблицы и завершаютсявычислительные процедуры симплекс-метода .

В рассмотренном вышепримере алгоритм симплекс-метода ис-
пользован при решении задачи, в которой целевая функция подлежала максимизации. В случае минимизации целевой функции в этом
алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности :
в качестве новой базисной переменнойследует выбирать ту переменную, которая в Z — уравненииимеет наибольший положительный коэффициент.Условия допустимости в обоих случаях ( максимизации и минимизации ) одинаковы. Представляется целесообразным дать теперь окончательные формулировки обоим условиям, используемым всимплекс-методе .

Условиеоптимальности. Вводимой переменной в задаче максимизации ( минимизации ) является небазисная переменная, имеющая в Z -уравнениинаибольший отрицательный ( положительный ) коэффициент, В случае равенства таких коэффициентов для нескольких небазисных переменных выбор делаетсяпроизвольно, если все коэффициенты принебазисных переменных в Z — уравнении неотрицательны (неположительны), полученное решение является оптимальным .

Условиедопустимости, в задачах максимизации иминимизации в качестве исключаемой переменной выбирается та базисная переменная, для которой отношение постоянной в правой части соответствующего ограниченияк ( положительному ) коэффициенту ведущего столбца минимально. В случае равенстваэтого отношения для нескольких базисных переменных выбор делается произвольно .

/> 
Оптимальное решение

Сточки зрения практического использования результатов ре-
шения задач ЛП классификация переменных, предусматривающая
их разделение на базисные и небазнсные, не имеет значения и при
анализе данных, характеризующих оптимальное решение, может
не учитываться. Переменные, отсутствующие в столбце « Базисные
переменные », обязательно имеют нулевое значение. Значения ос-
тальных переменных приводятся в столбце « Решение ». При интер-
претации результатов оптимизации в нашей задаче нас прежде всего интересуетколичество времени, которое закажет наша фирма на радио и телевидение ,  т. е. значения управляемых переменных X1 и X2. Используя данные, содержащиеся всимплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можнопредставить в следующем виде :

Управляемые переменные Оптимальные значения Решение

X1

1000/55

Время выделяемое фирмой на телерекламу

X2

91/11

Время выделяемое фирмой на радиорекламу Z

2455/11

Прибыль получаемая от рекламы .

Заметим, что Z = X1 + 25X2 = 1000/55 + 25* 91/11 = 2455/11. Это решение соответствует даннымзаключительной симплекс-таблицы .

/>Статус ресурсов

 

Будемотносить ресурсы к дефицитным или недифицитным в зависимости оттого, полное или частичное их использо-
вание предусматривает оптимальное решение задачи. Сейчас цель
состоит в том, чтобы получить соответствующую информацию непос-
редственно из симплекс-таблицы для оптимального решения. Од-
нако сначала следует четко уяснить следующее. Говоря о ресурсах ,
фигурирующих в задаче ЛП, мы подразумеваем, что установлены
некоторые максимальные пределы их запасов, поэтому в соответст-
вующих исходных ограничениях должен использоваться знак <= .
Следовательно, ограничения со знаком => не могут рассматриваться
как ограничения на ресурсы. Скорее, ограничения такого типа отра-
жают то обстоятельство, что решение должно удовлетворятьопре-
деленным требованиям, например обеспечению минимальногоспро-
са или минимальных отклонений от установленных структурных
характеристик производства ( сбыта ) .

Вмодели, построенной для нашей задачи,фигурирует ограничение со знаком <=.Это требование можно рассматривать как ограничение на соответствующий « ресурс», так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению «представительства » фирмы на рынке сбыта.

Извышеизложенного следует, что статус ресурсов ( дефицитный
или недефицитный ) для любой модели ЛП можно установить не-
посредственно из результирующей симплекс-таблицы, обращая вни-
мание на значения остаточных переменных. Применительно к нашей задаче можнопривести следующую сводку результатов

:

Ресурсы Остаточная переменная Статус ресурса Ограничение по бюджету

S1

Дефицитный Превышение времени рекламы радио над теле

S2

Дефицитный

Положительноезначение остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный
ресурс является недефицятным. Если же остаточная переменная рав-
на нулю, это свидетельствует о полном потреблении соответствующе-
го ресурса. Из таблицы видно, что наши ресурсы являются дефицитными. В случаенедефицитности  любое увиличение ресурсов сверх установленного максимальногозначения привело бы лишь к тому, что они стали бы еще более недефнинтными.Оптимальное решение задачи при этом осталось бы неизменным.

Ресурсы, увеличениезапасов которых позволяет улучшить ре-
шение ( увеличить прибыль ), — это остаточные переменные S1 и S2, по-
скольку из симплекс-таблицы для оптимального решения видно ,
что они дефицитные. В связи с этим логично поставитьследующий
вопрос: какому из дефицитных ресурсов следует отдать предпочте-
ние при вложении дополнительных средств на увеличение их запа-
сов, с тем чтобы получить от них максимальную отдачу? Ответ на
этот вопрос будет дан в следующем подразделе этой главы, где рас-
сматривается ценность различных ресурсов .

/>Ценность ресурса

 

Ценностьресурсахарактеризуется величиной улучшения опти-
мального значения Z , приходящегося на единицу приростаобъема
данного ресурса.

Информациядля оптимального решения задачи представлена в симплекс-таблице. Обратимвнимание на значения коэффициентовZ — уравнения, стоящих припеременных начального базиса S1и S2 . Выделим для удобства соответстзующую часть симплекс-таблицы :

Базисные переменные Z X1 X2 S1 S2 Решение Z 1

27/110

5/22

2455/11

Как следует из теории решения задач ЛП, ценность ресурсов всегда можно определить по значениям коэффициентовпри переменных начального базиса , фигурирующих в Z — уравнении оптимальной симплекс-таблицы, таким образом Y1 = 27/110, а Y2 = 5/22.

Покажем, каким образоманалогичный результат можно получить непосредственно из симплекс-таблицы для оптимальногорешения. Рассмотрим Z — уравнение симплекс-таблицы для оптимального решениянашей задачи />

Z= 2455/11/>- ( 27/110S1+  5/22S2 ) .

Положительное приращение переменной S1относительно ее текущего
нулевого значения приводит к пропорциональномууменьшению Z ,
причем коэффициент пропорциональности равен 27/110. Но, какследует из первого ограничения модели :

5X1 + 100X2  + S1= 1000

увеличение S1 эквивалентно снижению количества денег выделеных нарекламу ( далее мы будем использовать в тексте, как первый ресурс ).

Отсюда следует, что уменьшение количества денег выделеных на рекламувызывает пропорциональное уменьшение целевой функции с тем же коэффициентом пропорциональности, равным27/110.Так как
мы оперируем с линейными функциями, полученный вывод можно
обобщить, считая, что и увеличениеколичества денег выделеных на рекламу ( эквивалентноевведению избыточнойпеременной S1 < 0 ) приводит к пропорциональному увеличениюZ с тем же коэффициентом пропорциональности, равным 27/110. Аналогичные рассуждения справед-
ливы для ограничения 2 .

Несмотря на то чтоценность различных ресурсов, определяемая
значениями переменных Yi , была представлена в стоимостном выражении, ее нельзя отождествлять с действительными це-
нами, покоторым возможна закупка соответствующих ресурсов .
На самом деле речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую
природу н количественно характеризующей ценностьресурса только относительно полученного оптимального значения целевой функции .
При изменении ограничении модели соответствующие экономические
оценки будут меняться даже тогда, когда оптимизируемый процесс
предполагает применение тех же ресурсов. Поэтому при характерис-
тике ценности ресурсов экономисты предпочитают использовать
такие терминыт, как теневая цена, скрытая цена, или более специ-
фичный термин — двойственная оценка .

Заметим, чтотеневая цена ( ценность ресурса ) характеризует ин-
тенсивность улучшения оптимального значения Z. Однако при этом
не фиксируется интервал значений увеличения запасов ресурса ,
при которых интенсивность улучшения целевой функции остается
постоянной. Для большинства практических ситуаций логично пред-
положить наличие верхнего предела увеличения запасов, при пре-
вышении которого соответствующее ограничение становится избы-
точным, что в свою очередь приводит к новому базисному решению
и соответствующим ему новым теневым ценам. Ниже определяется
нитервал значений запасов ресурса, при которых соответствую-
щее ограничение не становится избыточным .

/>Максимальное изменение запасаресурса

При решениивопроса о том, запас какого из ресурсов следует
увеличивать в первую очередь, обычно используются теневые цены
Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса ,
при которых теневая цена данного ресурса, ( фигурирующая в заклю-
чительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряддополнительных вычислений. Рассмотрим сначала
 соответствующие вычислительные процедуры, а затем покажем, как
требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы
для оптимального решения .

В нашейзадаче запас первого ресурса изменился на D1 т. е. запас бюджета  составит 1000 +D1. Приположительной величине D1 запас данного ресурса увеличивается, при отрицательной — уменьшается. Как правило, исследуетсяситуация, когда объем ресурса увеличивается            ( D1> 0), однако, чтобыполучить результат в общем виде, рассмотрим оба случая .

Какизменится симплекс-таблица при изменении величины за-
паса ресурса на D1<sub/>? Проще всего получить ответ на этот вопрос .
если ввести D1<sub/>в правую часть первого ограниченияначальной сим-
плекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразова-
ния, соответствующие последовательности итераций. Поскольку
правые части ограничений никогда не используются в качестве
ведущих элементов , то очевидно, что на каждой итерации D1<sub/>будет
оказывать влияние только на правые части ограничений.

Уравнение Значения элементов правой части на соответствующих итерациях ( начало вычислений ) 1 2 ( оптимум ) Z

2455/11

1 1000

1000 + D1

1000/55 + D1

2

91/11

Фактически вce измененияправых частей ограничений, обуслов-
ленные введением D1<sub/>, можно определить непосредственно по данным ,
содержащимся в симплекс-таблицах. Прежде всего заметим, что
на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения пред-
ставляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена, ли-
нейно зависящего от D1<sub/>. Постоянные соответствуют числам, которые
фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения D1<sub/>. Коэффициенты при D1<sub/>во вторых слагаемых равныкоэффициентам при S1 натой же итерации. Так, например, на последнеи итерации ( оптимальное решение) постоянные       ( 2455/11; 1000/55; 91/11) представляют собоичисла, фигурирующиев правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения D1.Коэффициенты ( 27/110; 1/55; 1/110 ) равны коэффициентам при S1  в той же симплекс-таблице потому,что эта переменная связана только с первым ограничением. Другими словами, прианализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоватьсякоэффициентами при переменной S2 .

       Какиевыводы можно сделать из полученных результатов?
Так как введение D1 сказывается лишь на правой части симплекс-
таблицы, изменение запаса ресурса можетповлиять только на
допустимость решения. Поэтому D1 не может принимать значений ,
при которых какая-либо из ( базисных ) переменных становится отри-
цательной. Из этого следует, что величина D1 должна быть огра-
ничена таким интервалом значений, прикоторых выполняется ус-
ловие неотрицательности правых частей ограничений в результи-
рующей симплекс-таблице, т. е .

X1 = 1000/55  + ( 1/55 )D1=> 0                                 ( 1)

X2 = 91/11 + ( 1/110)D1 => 0                                   ( 2 )

Дляопределения допустимого интервала изменения D1<sub/>рассмо-
трим два случая .

Случай1: D1=> 0 Очевидно, что оба неравнества приэтом условии всегда будут неотрицательными .

 

 

Случай2: D1<sub/>< 0.

( 1/55 )D1 => — 1000/55. Из этого следует, что D1 => — 1000

                                                                         ( 2 )        

( 1/110 )D1 => — 91/11. Из этого следует, чтоD1 => — 1000

Объединяярезультаты, полученные для обоих случаев, можно
сделать вывод, что при — 1000 <= D1 <= + ¥ решение рассматриваемой зада-
чи всегда будет допустимым, любое значение D1, выходящее за
пределы указанного интервала, приведет к недопустимости решения и
новой совокупности базисных переменных .

            Теперьрассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2 анализ проведем по аналогичной схеме :

Запас 2-ого ресурсаизменился на D2 т. е. запас рекламного времени составит 0 + D2. Как изменилась симплекс-таблица приизменении величины запаса ресурса на D2<sub/>.

Уравнение Значения элементов правой части на соответствующих итерациях ( начало вычислений ) 1 2 ( оптимум ) Z

2455/11

1 1000 1000

1000/55

2

0 + D2

91/11 + D2

    

Найдеминтервал ограничивающий величину D2

X1 = 1000/55 — ( 50/55)D2                        ( 1 )

X2= 91/11+ ( 1/22 )D2                          ( 2)

            Дляопределения допустимого интервала изменения D1<sub/>рассмо-
трим два случая .

       Случай1: D2=> 0:  (1  )

( 50/55 )D2 <= 1000/55 из этого неравенства следует, что D2 <=20

                                                                                (2 )

Очевидно, что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке .

Объединяя2 уравнения для Случая 1 мы получим интервал для D2<sub/>.

D2 Î [ 0; 20 ]

Случай2: D2<sub/>< 0. :  ( 1 )

( 50/55 )D2 => — 1000/55. Из этого следует, что D2 <= 20

                                                                                 (2 ) 

( 1/22 )D2 => — 91/11. Из этого следует, чтоD2 => — 200

Объединяя2 уравнения для Случая 2 мы получим интервал для D2<sub/>.

      D2 Î [ — 200; 0 ]

      Объединяя 2 случая мы получиминтервал [ — 200; 20 ]

/>Максимальное изменениекоэффициентов удельной/>прибыли ( стоимости )

Нарядус определением допустимых изменений запасов ресур-
сов представляет интерес и установление интервала допустимых
изменений коэффициентов удельной прибыли ( или стоимости ) .
     Следует отметить, что уравнение целевой функцииникогда не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому лю-
бые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние
только на Z-уравнение результирующейсимплекс-таблицы. Это
означает, что такие изменения могут сделатьполученное решение
неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интер-
валы значений изменений коэффициентов целевой функции ( рас-
сматривая каждый из коэффициентов отдельно ), при которых оп-
тимальные значенияпеременных остаются неизменными .

Чтобы показать, как выполняютсясоответствующие вычисле-
ния, положим, что удельный объем сбыта,ассоциированной с переменной

X1 изменяется от 1 до 1 + d1 где d1 может быть как положительным, так иотрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 1 + d1 )X1 + 25X2

Есливоспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и
выполнить все вычисления, необходимые для ( получения заключн-
тельной симплекс-таблицы, то последнее Z-уравнение будет выгля-
деть следующим образом:

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение Z

27/110+1/55d1

5/22-50/55d1

2455/11+1000/55d1

/>

Коэффициенты при базисныхпеременных X1, X2 и остаточных я равными нулю. Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения d1, только наличием членов,содержащих d1<sub/>.Коэффициенты при d1 равны Коэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы дляполученного ранее оптимального решения

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение X1 1

1/55

-50/55

1000/55

Мы рассматриваем X1 — уравнение, так как коэффициент именно при
этон переменной в выражении для целевои функции изменился
на d1.

Оптимальные значенияпеременных будут оставаться неизмен-
ными при значениях d1, удовлетворяющих условию неотрицатель-
ности ( задача на отыскание максимума ) всех коэффициентов при не-
базисных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства :

27/110<sub/>+ 1/55d1 => 0

5/22 — 50/55d1=> 0

Из первого неравенстваполучаем, что d1 => — 13,5, а из второго следует что d1 <= 1/4. Эти результатыопределяют пределы изменения коэффициента C1 в виде следующего соотношения: — 13,5 <= d1 <= 1/4. Та-
ким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при
переменной X1 до значения, равного 1 + ( — 13,5 ) = — 12,5   или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменныхостаются
неизменными. Однако оптимальное значение Z будет изменяться ( всоответствии с выражением 2455/11 + 1000/55d1, где — 13,5 <= d1 <= 1/4

            X2  изменяется от 25 до 25 + d2 где d2 может быть как положительным, так иотрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = ( 25 + d2 )X2 + X1

            Всепредыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента припеременной, которой поставлено в соответствие ограничение, фигурирующее всимплекс-таблице. Однако такое ограничение имеется лишь в том случае, когдаданная переменная является базисной ( например X1 и X2 ). Если переменная небазисная, то встолбце, содержащем базисные переменные, она не будет представлена .

            Любоеизменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишьк тому, что в заключительной симплкс-таблице изменяется только этоткоэффициент. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент припеременной S1( первой остаточнойпеременной ) изменяется от 0 до d3<sub/>. Выполнение преобразований,необходимых для получения заключительной симплекс таблицы, приводит кследующему результирующему Z-уравнению :

Базисные переменные X1 X2 S1 S2 Решение Z

27/110+1/55d1

5/22

2455/11

Заключение

Врезультате проведенного исследования, было получено подтверждение о выгодностииспользования математико-экономического проектирования и методов системногоанализа для анализа и планирования экономических систем.

Списоклитературы :

В этом местедолжна указываться литература использованная в курсовой работе, но прогресспривел к тому, что вся информация черпалась на страницах INTERNET, а следовательно

Список серверов:

www.citforum.ru

www.rambler.ru

www.msu.ru

www.ntcf.ru

www.yandex.ru