Реферат: Взаимозаменяемость продовольственных продуктов: масла животного и масла растительного. Их потребление

тема: Взаимозаменяемостьпродовольственных продуктов: масла животного и масла растительного. Ихпотребление.

Этап1 Постановочный

Цельюэтой работы является изучение взаимозаменяемости продовольственных товаров: маслаживотного и масла растительного. А затем построение модели, которую можно былобы использовать для прогнозирования взаимозаменяемости товаров.

Этап2 Априорный

Изучив сложившуюсяситуацию на рынке продовольственных товаров, я пришла к выводу, что взаимозаменяемостьвышеуказанных продуктов зависит от цент на эти продукты, от национальныхпредпочтений, от удаленности от производства, сезонных особенностей употребления этих продуктов.

Итак,результативный признак Y – потребление животного масла кг., факторХ – потребление растительного масла кг.

Этап3 Информационный

Дляизучения влияния именно фактора Х (потребление растительного масла),постараемся отобрать в выборку однородные участки, т.е. с примерно одинаковымихарактеристиками, и за один и тот же период времени.

Ввыборку отобрано 55 регионов РФ, расположенных в Южном федеральном округе, Приволжскомфедеральном округе, Уральском федеральном округе, Сибирском федеральном округеи Дальневосточном федеральном округе на январь – февраль 2007 года.

Источникстатистических данных – сайт Госкомстата РФ, распечатки прилагаются.

№ У (потребление животного масла), кг Х (потребление растительного масла), кг Республика Адыгея 50,8 138,4 Республика Дагестан 50,8 147,5 Республика Ингушетия 46,3 113 Кабардино-Балкарская Республика 65,1 167 Республика Калмыкия 45,5 105,6 Карачаево-Черкесская Республика 66,9 167,2 Республика Северная Осетия — Алания 76,1 198,7 Краснодарский край 83,1 252,1 Ставропольский край 63,9 197 Астраханская область 108,4 217,8 Волгоградская область 91,5 243,1 Ростовская область 86,5 242,1 Республика Башкортостан 105,6 261,3 Республика Марий Эл 64,4 149,4 Республика Мордовия 59,5 151,1 Республика Татарстан 118,5 266,8 № У (потребление животного масла), кг Х (потребление растительного масла), кг Удмуртская Республика 68,1 172,7 Чувашская Республика 55,9 149,7 Пермский край 118,9 294,5 Кировская область 53 168,3 Нижегородская область 80,2 227,2 Оренбургская область 74,4 209,6 Пензенская область 82,8 183,8 Самарская область 85,2 237,1 Саратовская область 90,5 190,3 Ульяновская область 80,3 196,7 Курганская область 68,6 194 Свердловская область 104,2 285,1 Тюменская область 173,3 455 Ханты-Мансийский авт.округ-Югра 221,4 547,8 Ямало-Ненецкий авт. округ 195,9 546,1 Челябинская область 87 230,8 Республика Алтай 63,7 154,7 Республика Бурятия 80,2 190,4 Республика Тыва 41 88 Республика Хакасия 66,9 171,8 Алтайский край 66,4 202,9 Забайкальский край 79,9 167,3 Агинский Бурятский авт. округ 73,2 162,8 Красноярский край 103,2 276,9 Иркутская область 89,5 210,3 Усть-Ордынский Бурятский авт. округ 43,7 82,7 Кемеровская область 93,3 258,4 Новосибирская область 90,5 229,9 Омская область 102,7 272,3 Томская область 107 273,5 Республика Саха (Якутия) 116,6 254,6 Камчатский край 90,8 293,2 Приморский край 73,9 208,3 Хабаровский край 83,5 294 Амурская область 56,4 185,2 Магаданская область 99 290,6 Сахалинская область 113,4 372,2 Еврейская автономная область 65,5 174 Чукотский авт. округ 108,2 285,8

Предварительныйанализ статистических данных

Основныерасчёты были проведены с помощью программы MathCAD (распечаткиприлагаются).

(Или:Дляудобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных довспомогательной таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неёпромежуточные результаты).

Полекорреляции и линия регрессии

Сначалапостроим поле корреляции – точки с координатами (хi, уi), и по ихрасположению сформулируем предположение о связи Y(потреблениеживотного масла) и X(потребление растительного масла).

/>

Визуальныйанализ полученного поля корреляции показывает, что точки располагаются вдольнекоторой воображаемой возрастающей прямой линии, причём достаточно плотно,слабо рассеиваясь около неё.

Т.е.можно сказать, что прослеживается тесная прямая (положительная) зависимость,т.к. чем больше потребление растительного масла, тем больше потребление животногомасла, которое зависит от сезонных особенностей.

Такжеможно заметить, что варьирование (дисперсия) потребление животного масласильнее при малом потреблении растительного масла, а при большем потреблении –дисперсия потребления животного масла мала. Следовательно,можно предположить, что в модели будет гетероскедастичность.

Проверимнаши предположения аналитически, с помощью расчётов на следующих этапах.

Основныехарактеристики выборки

Средниезначения: /> и />.

Стандартныеотклонения: /> и />

(где /> и />).

Итак,в данной выборке рассматриваются взаимозаменяемость потребления растительногомасла в среднем на 225,275 кг. со стандартным отклонением 91,273 кг., потребленияживотного масла в среднем составила 86,02 кг. со стандартным отклонением 33,777кг.

Линейныйкоэффициент корреляции:

/>

(где />).

Этоподтверждает сделанные ранее выводы.

Т.к. />, то взаимозаменяемостьживотного масла«растительного масла действительно можносчитать линейной. Эта линейная зависимость положительна. Теснота связи оченьсильная. А значит, линейная парная регрессионная модель вполне подойдёт дляисследования и описания взаимозаменяемость животного масла«растительного масла.

 

Этап4 Спецификация и параметризация

 

Линейнаяпарная регрессионная модель

Наоснове предыдущих этапов можем с большой уверенностью предположить, что взаимозаменяемостьживотного масла и растительного масла – линейна.

Тогдадля моделирования используем линейную парную регрессионную модель /> для генеральнойсовокупности.

Длявыборки модель также линейна: />.

Найдёмобъяснённую часть модели — линейное уравнение регрессии по выборке: />. Для этого нужно найтикоэффициенты регрессии а0 и а1, являющиесяоценками параметров aи a1 линейной модели. А затем оценим случайнуюсоставляющую e с помощью остатков ei и проверимвыполнение для них предпосылок МНК.

Этап5 Идентификация

 

Дляпостроения модели используем классический подход — метод наименьших квадратовМНК.

Изсистемы нормальных уравнений:

/> находим коэффициенты регрессии а0и а1.

Всенеобходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу),подставим их в систему нормальных уравнений: />емунормальных уравнений: бюджет льуплений от налога на прибыль предприятий о сувеличением размера среднемесячной зарплаты Х н

ирешим её относительно а0, а1. Получимкоэффициенты регрессии: а0=6,622 и />.

Итак,уравнение регрессии имеет вид: />.

Коэффициента0=6,622 формально интерпретируется как взаимозаменяемостьпотребление животного масла, равным нулю, т.е. при х=0. Это вполне имеетсмысл. Т.о., взаимозаменяемость животного масла в среднем в январе – декабре2007 г. составляла 6,622 кг.

Акоэффициент /> показывает, что полученнаялинейная связь взаимозаменяемости потребления животного масла (результативногопризнака Y) и растительного масла (фактора Х) – положительна, тоесть при увеличении потребления растительного масла на 1 кг. от среднегозначения, то потребление животного масла вырастит на 0,352 от среднегозначения.

Вдекартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим и график линиирегрессии по найденному уравнению.

/>

Действительно,видим, что точки поля корреляции плотно расположены вдоль прямой регрессии. Азначит, построенная линейная модель хорошо описывает стат. данные. Проведёмподробный анализ её качества.

Этап6 Верификация

 

Линейныйкоэффициент корреляции

Вычислимегопо другой формуле, проверим правильность расчётов:

/> - совпадает с вычисленным ранее(небольшое различие – из-за округления).

Коэффициентдетерминации

Посвойству: />.

Онпоказывает, что вариация результативного признака Y (потреблениеживотного масла) на 90,6% объясняется вариацией фактора X (потреблениерастительного масла). То есть потребление животного масла на 78,6% обусловлены взаимозаменяемостьюрастительного масла. А в остальном – на 9,4% потребления животного маслаобусловлено колебаниями и изменениями других факторов и условий.

Т.е.,подтвердилось предположение о взаимозаменяемости потребления животного масла ирастительного масла.

Среднийкоэффициент эластичности

Длялинейной регрессии: />.

Среднийкоэффициент эластичности показывает, что в среднем при увеличении потребленияживотного масла на 1% от своего среднего значения, потребление растительногомасла увеличится в среднем на 0,923% от своего среднего значения.

Эластичностьвзаимозаменяемых товаров достаточно велика, что вполне согласуется со сложившейсяситуацией на рынке продовольствия в РФ. Чем выше продажа растительного масла,тем сильнее и заметнее растет продажа животного масла. Проверим правильностьвычислений: /> (см. расчётную табл. — действительно).

Оценкастатистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции

Оценимстатистическую значимость полученных коэффициентов регрессии а0и а1, коэффициента корреляции rух с помощью t-критерияСтьюдента на уровне значимости d=0,05.

Этапроверка проводится по единой схеме, с помощью гипотез.

Выдвигаетсянулевая гипотеза Н0о случайной природе полученного коэффициента, онезначимом его отличии от нуля, то есть гипотеза Н0состоит в том,что коэффициент=0. Альтернативная ей гипотеза Н1 состоит втом, что /> неслучайно, то естьполученный коэффициент статистически значим. Чтобы опровергнуть гипотезу Н0и подтвердить гипотезу Н1 должно выполняться неравенство /> на уровне значимости /> и с (n–2) степенямисвободы, где n – количество наблюдений, уровень значимости –вероятность совершить ошибку, отвергнув гипотезу Н0, когда онаверна.

Дляа1: Н0: а1=0, Н1: />.

Рассчитаемстандартную ошибку коэффициента регрессии а1 – />.

Потребуетсясделать промежуточные вычисления: подставляя фактические значения хi в уравнениерегрессии найдем смоделированные значения />,затем вычислим разность между фактическими и смоделированными значениями, т.е.остатки />, затем возведём остатки вквадрат еi2 и просуммируем;результаты представлены в расчетной таблице. Теперь подставим необходимыеданные в формулу для расчёта />: /> иt-статистики помодулю: />.

Затемсравним наблюдаемое значение /> стабличным значением t-критерия Стьюдента. Табличное значениепо таблице распределения Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53степенями свободы: tтабл=2,01.Наблюдаемое значение t-статистики превышает табличное значение t-критерия: 22 >2,01, то есть выполнено неравенство />, азначит, гипотеза Н0о случайной природе полученного коэффициентаотвергается и принимается альтернативная ей гипотеза Н1, свидетельствующаяв 95% случаев о<sub/>статистической значимости полученного коэффициентарегрессии а1. Т.о., можно считать, что взаимозаменяемостьтоваров подтвердилась и статистически установлена.

Дляа0: Н0: а0=0,  Н1: />.

Рассчитаемстандартную ошибку коэффициента регрессии а0<sub/>– />. Все необходимые цифры ужеимеются в расчетной таблице, подставим эти данные в формулу: />, а затем рассчитаем t-статистику помодулю: />.

Сравниваярассчитанное значение с табличным значением t-критерияСтьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53степенямисвободы: tтабл=2,01, где 2<ta< 3 (tтабл > ta) можно сделатьвывод, что коэффициент регрессии а0<sub/>можно признатьстатистически значимым в 90% случаев.

Дляrух: Н0: rух=0, Н1:/>.

Дляэтого рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции rух<sub/>– />: /> иt-статистику помодулю: />.

Сравниваярассчитанное значение с табличным значением t-критерияСтьюдента на уровне значимости d=0,05 с n–2=55-2=53степенямисвободы: tтабл=2,01, можносделать вывод о<sub/>статистической значимости полученного коэффициента корреляцииrух<sub/>в 95% случаев, предполагаемая взаимозаменяемостьтоваров подтвердилась.

 Проверимправильность вычислений: />,действительно 22»22,7.

Доверительныеинтервалы для параметров регрессионной модели aи a1

Доверительныйинтервал для aс надежностью g=1-d: />. Выбравуровень значимости d=0,05, получаем надежность g=0,95. Все необходимые цифровые значения уже рассчитаны ранее, тогда />, откуда получаем (0,4312; 12,813).ыберемрительной вероятностью ров регрессионной модели

Доверительныйинтервал для a1 с надежностью g=1-d: />. Привыбранной надежности g=0,95: />,откуда (0,32; 0,384).

Такимобразом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра aбудет заключено в пределах от 0,4312 до12,813, а истинное значение параметра a1 — в границах от0,32 до 0,384.

Следуетотметить, что доверительные интервалы узкие, т.к. значения стандартных ошибок /> и /> малы. А это подтверждает,что другие факторы оказывают несущественное влияние на покупательскуюспособность товаров. Основным фактором является выбранный фактор Х – заменарастительным маслом. Значит, точность модели будет вполне приемлемой.

Оценкакачества уравнения регрессии в целом

F-критерий Фишера

Выдвигаетсянулевая гипотеза Н0о статистической незначимости уравнениярегрессии. Альтернативная ей гипотеза Н1 о статистическойзначимости. Чтобы опровергнуть гипотезу Н0и подтвердить гипотезу Н1должно выполняться неравенство />.

Рассчитаемнаблюдаемое значение F-критерия (воспользуемся свойством длялинейной парной регрессии): />.

Табличноезначение по таблице распределения Фишера на уровне значимости d=0,05 с k1=1 и k2=n–2=23-2=21степенямисвободы: Fтабл=4,03.Наблюдаемое значение F–критерия превышает табличное: 510,83 >4,03, то есть выполнено неравенство />, азначит, гипотеза Н0о случайной природе полученного уравнениярегрессии отклоняется в пользу гипотезы Н1, свидетельствующей в 95%случаев о<sub/>его статистической значимости и взаимозаменяемости товаров.Уравнение по данным выборки можно признать надежным и значимым, доказывающимналичие исследуемой зависимости.

Оценкааппроксимации модели

Потребуетсясделать промежуточные вычисления: остатки еi разделим нафактические значения уi, полученныечастные от этих делений возьмем по модулю /> ипросуммируем; результаты представлены в расчетной таблице.

Средниеошибки аппроксимации: />, />. Ошибки почти совпадают иравны »25%.

Всреднем смоделированные значения взаимозаменяемость животного масла отклоняютсяот фактических на 9-12%. Подбор модели к фактическим данным можно оценить какне точный, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 20%.

Но,учитывая высокое качество модели и сильную линейную зависимость между Y (потреблениеживотного масла) и Х (потребление растительного масла), эту модель можноиспользовать для прогнозирования с осторожностью.

Т.к.большую погрешность. Только при этом следует помнить, что в некоторых случаяхпрогнозы могут быть вполне точны, а в некоторых содержать немаленькуюпогрешность, до 12% в среднем.

Этап7 Выводы, предложения. Прогнозирование

 

Прогнозированиепо полученному уравнению регрессии

Полученныеоценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для качественногопрогноза взаимозаменяемости товаров. Как уже говорилось, точность моделиневысока. Можно её использовать лишь для того, чтобы составить приблизительноемнение о взаимозаменяемости и только в рассмотренный период.

Пустьпрогнозное значение фактора х=300 кг (при этом реальное потреблениеживотного масла в январе-феврале 2007 г. — 100 кг.) Точечный прогноз: />кг.

Каквидим, прогноз непригоден, сильно завышен.

Пустьпрогнозное значение фактора х=90 кг (при этом реальная потреблениеживотного масла в январе-феврале 2007 г. — 43 кг.)) Точечный прогноз: />кг.

Каквидим, в этом случае прогноз занижен, но более-менее соответствуетдействительности, особенно если учесть, что его погрешность 9-12%. Можно сделатьпоправку на эту погрешность, и тогда получим 32,902 кг., тоже не равнореальному значению. Реальное значение 43 кг., оказалось как раз между ними. Нокак это угадать при неизвестном значении Y (продажаживотного масла)?

Доверительныйинтервал для средней продажи животного масла при условии, при условиивзаимозаменяемости растительным маслом, х=90 км с надежностью g=0,95: /> />,

гдестандартная ошибка для средних значений: />.

И дажеэтот доверительный интервал продаж животного масла от 34,242 до 42,362 кг. не включаетв себя реального значения, занижает прогноз.

 Доверительныйинтервал для индивидуальной продажи животного масла при условии, при условиивзаимозаменяемости растительным маслом, х=90 кг с надежностью g=0,95: />/>,

гдестандартная ошибка для индивидуальных значений:

/>.

Вэтот интервал продажи животного масла попало. Но интервал получился оченьшироким.

Такимобразом, если продажа растительного масла равнялась 90 кг, то продажа животногомасла в январе — феврале 2007 г. могла составлять от 15,374 до 61,23 кг. Этотинтервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5%значений цен, которые могли быть зафиксированы для взаимозаменяемых товаров.

Выводы,сделанные ранее о прогнозах по этой модели подтвердились. Ни точечный, ниинтервальный прогноз не отличаются точностью, и с трудом пригодны дляпрактического использования в отдельных случаях.

Расчетная таблица

№

xi2

yi xi

yi2

ei

ei2

/>

<p/> Республика Адыгея 19154,56 7030,72 2580,64 4,5388 20,601 0,08934646 Республика Дагестан 21756,25 7493 2580,64 7,742 59,939 0,15240157 Республика Ингушетия 12769 5231,9 2143,69 0,098 0,010 0,00211663 Кабардино-Балкарская Республика 27889 10871,7 4238,01 0,306 0,094 0,00470046 Республика Калмыкия 11151,36 4804,8 2070,25 -1,7068 2,913 0,03751209 Карачаево-Черкесская Республика 27955,84 11185,68 4475,61 -1,4236 2,027 0,02127952 Республика Северная Осетия — Алания 39481,69 15121,07 5791,21 0,4644 0,216 0,0061025 Краснодарский край 63554,41 20949,51 6905,61 12,2612 150,337 0,14754753 Ставропольский край 38809 12588,3 4083,21 12,066 145,588 0,18882629 Астраханская область 47436,84 23609,52 11750,56 -25,1124 630,633 0,23166421 Волгоградская область 59097,61 22243,65 8372,25 0,6932 0,481 0,00757596 Ростовская область 58612,41 20941,65 7482,25 5,3412 28,528 0,06174798 Республика Башкортостан 68277,69 27593,28 11151,36 -7,0004 49,006 0,06629167 Республика Марий Эл 22320,36 9621,36 4147,36 -5,1892 26,928 0,08057764 Республика Мордовия 22831,21 8990,45 3540,25 0,3092 0,096 0,00519664 Республика Татарстан 71182,24 31615,8 14042,25 -17,9644 322,720 0,15159831 Удмуртская Республика 29825,29 11760,87 4637,61 -0,6876 0,473 0,01009692 Чувашская Республика 22410,09 8368,23 3124,81 3,4164 11,672 0,06111628 Пермский край 86730,25 35016,05 14137,21 -8,614 74,201 0,07244743 Кировская область 28324,89 8919,9 2809 12,8636 165,472 0,24270943 Нижегородская область 51619,84 18221,44 6432,04 6,3964 40,914 0,07975561 Оренбургская область 43932,16 15594,24 5535,36 6,0012 36,014 0,08066129 Пензенская область 33782,44 15218,64 6855,84 -11,4804 131,800 0,13865217 Самарская область 56216,41 20200,92 7259,04 4,8812 23,826 0,05729108 Саратовская область 36214,09 17222,15 8190,25 -16,8924 285,353 0,18665635 Ульяновская область 38690,89 15795,01 6448,09 -4,4396 19,710 0,05528767 Курганская область 37636 13308,4 4705,96 6,31 39,816 0,09198251 №

xi2

yi xi

yi2

ei

ei2

/>

<p/> Свердловская область 81282,01 29707,42 10857,64 2,7772 7,713 0,02665259 Тюменская область 207025 78851,5 30032,89 -6,518 42,484 0,03761108 Ханты-Мансийский авт. округ-Югра 300084,84 121282,92 49017,96 -21,9524 481,908 0,09915266 Ямало-Ненецкий авт. округ 298225,21 106980,99 38376,81 2,9492 8,698 0,01505462 Челябинская область 53268,64 20079,6 7569 0,8636 0,746 0,00992644 Республика Алтай 23932,09 9854,39 4057,69 -2,6236 6,883 0,04118681 Республика Бурятия 36252,16 15270,08 6432,04 -6,5572 42,997 0,0817606 Республика Тыва 7744 3608 1681 -3,402 11,574 0,08297561 Республика Хакасия 29515,24 11493,42 4475,61 0,1956 0,038 0,00292377 Алтайский край 41168,41 13472,56 4408,96 11,6428 135,555 0,17534337 Забайкальский край 27989,29 13367,27 6384,01 -14,3884 207,026 0,1800801 Агинский Бурятский авт. округ 26503,84 11916,96 5358,24 -9,2724 85,977 0,12667213 Красноярский край 76673,61 28576,08 10650,24 0,8908 0,794 0,00863178 Иркутская область 44226,09 18821,85 8010,25 -8,8524 78,365 0,0989095 Усть-Ордынский Бурятский авт. округ 6839,29 3613,99 1909,69 -7,9676 63,483 0,18232494 Кемеровская область 66770,56 24108,72 8704,89 4,2788 18,308 0,04586066 Новосибирская область 52854,01 20805,95 8190,25 -2,9532 8,721 0,03263204 Омская область 74147,29 27965,21 10547,29 -0,2284 0,052 0,00222395 Томская область 74802,25 29264,5 11449 -4,106 16,859 0,03837383 Республика Саха (Якутия) 64821,16 29686,36 13595,56 -20,3588 414,481 0,17460377 Камчатский край 85966,24 26622,56 8244,64 19,0284 362,080 0,20956388 Приморский край 43388,89 15393,37 5461,21 6,0436 36,525 0,08178078 Хабаровский край 86436 24549 6972,25 26,61 708,092 0,31868263 Амурская область 34299,04 10445,28 3180,96 15,4124 237,542 0,2732695 Магаданская область 84448,36 28769,4 9801 9,9132 98,272 0,10013333 Сахалинская область 138532,84 42207,48 12859,56 24,2364 587,403 0,21372487 Еврейская автономная область 30276 11397 4290,25 2,37 5,617 0,03618321 Чукотский авт. округ 81681,64 30923,56 11707,24 -0,9764 0,953 0,00902403 Сумма 3256815,82 1228553,66 469716,49 »0 5938,511 5,036

 

Проверка выполненияпредпосылок МНК

 

Предпосылка 2. Огомоскедастичности остатков.

На Этапе 3 по полюкорреляции и характеру стат. данных было сделано предположение о наличиигетероскедастичности. Проверим его с помощью теста Голдфельда-Квандта.

1.         Упорядочиваем выборку по возрастанию фактора Х.

№ У (продажа животного масла) Х (продажа растительного масла) Усть-Ордынский Бурятский авт. округ 43,7 82,7 Республика Тыва 41 88 Республика Калмыкия 45,5 105,6 Республика Ингушетия 46,3 113 Республика Адыгея 50,8 138,4 Республика Дагестан 50,8 147,5 Республика Марий Эл 64,4 149,4 Чувашская Республика 55,9 149,7 Республика Мордовия 59,5 151,1 Республика Алтай 63,7 154,7 Агинский Бурятский авт. округ 73,2 162,8 Кабардино-Балкарская Республика 65,1 167 Карачаево-Черкесская Республика 66,9 167,2 Забайкальский край 79,9 167,3 Кировская область 53 168,3 Республика Хакасия 66,9 171,8 Удмуртская Республика 68,1 172,7 Еврейская автономная область 65,5 174 Пензенская область 82,8 183,8 Амурская область 56,4 185,2 Саратовская область 90,5 190,3 Республика Бурятия 80,2 190,4 Курганская область 68,6 194 Ульяновская область 80,3 196,7 Ставропольский край 63,9 197 Республика Северная Осетия — Алания 76,1 198,7 Алтайский край 66,4 202,9 № У (продажа животного масла) Х (продажа растительного масла) Приморский край 73,9 208,3 Оренбургская область 74,4 209,6 Иркутская область 89,5 210,3 Астраханская область 108,4 217,8 Нижегородская область 80,2 227,2 Новосибирская область 90,5 229,9 Челябинская область 87 230,8 Самарская область 85,2 237,1 Ростовская область 86,5 242,1 Волгоградская область 91,5 243,1 Краснодарский край 83,1 252,1 Республика Саха (Якутия) 116,6 254,6 Кемеровская область 93,3 258,4 Республика Башкортостан 105,6 261,3 Республика Татарстан 118,5 266,8 Омская область 102,7 272,3 Томская область 107 273,5 Красноярский край 103,2 276,9 Свердловская область 104,2 285,1 Чукотский авт. округ 108,2 285,8 Магаданская область 99 290,6 Камчатский край 90,8 293,2 Хабаровский край 83,5 294 Пермский край 118,9 294,5 Сахалинская область 113,4 372,2 Тюменская область 173,3 455 Ямало-Ненецкий авт. округ 195,9 546,1 Ханты-Мансийский авт. округ-Югра 221,4 547,8

2. Полученнуюупорядоченную выборку делим на 3 примерно одинаковые части />. Тогда 8 первыхнаблюдений, соответствующих малым значениям Х (потребление растительного масла),и 8 последних, соответствующих большим значениям Х (потребление растительногомасла), оставляем. А 17 центральных данных удаляем из рассмотрения.

3. Сформировались две подвыборки:

№ У (потребление животное масло) Х (потребление растительное масло) Усть-Ордынский Бурятский авт. округ 43,7 82,7 Республика Тыва 41 88 № У (потребление животное масло) Х(потребление растительное масло) Республика Калмыкия 45,5 105,6 Республика Ингушетия 46,3 113 Республика Адыгея 50,8 138,4 Республика Дагестан 50,8 147,5 Республика Марий Эл 64,4 149,4 Чувашская Республика 55,9 149,7 Республика Мордовия 59,5 151,1 Республика Алтай 63,7 154,7 Агинский Бурятский авт. округ 73,2 162,8 Кабардино-Балкарская Республика 65,1 167 Карачаево-Черкесская Республика 66,9 167,2 Забайкальский край 79,9 167,3 Кировская область 53 168,3 Республика Хакасия 66,9 171,8 Удмуртская Республика 68,1 172,7 Еврейская автономная область 65,5 174 № У (потребление животное масло) Х(потребление растительное масло) Краснодарский край 83,1 252,1 Республика Саха (Якутия) 116,6 254,6 Кемеровская область 93,3 258,4 Республика Башкортостан 105,6 261,3 Республика Татарстан 118,5 266,8 Омская область 102,7 272,3 Томская область 107 273,5 Красноярский край 103,2 276,9 Свердловская область 104,2 285,1 Чукотский авт. округ 108,2 285,8 Магаданская область 99 290,6 Камчатский край 90,8 293,2 Хабаровский край 83,5 294 Пермский край 118,9 294,5 Сахалинская область 113,4 372,2 Тюменская область 173,3 455 Ямало-Ненецкий авт. округ 195,9 546,1 № У (потребление животное масло) Х (потребление растительное масло) Ханты-Мансийский авт. округ-Югра 221,4 547,8

4. По известной процедуреМНК строим уравнения линейной парной регрессии для каждой из этих частей.

Получаем для первойчасти: />, для последней части: />.

Уже видим, чтокоэффициенты и а0, и а1 в этих уравненияхзаметно отличаются. Это говорит о неоднородности вариации стат. данных, а,значит, о гетероскедастичности.

5. Находим остатки длякаждого из этих уравнений, возводим их в квадрат и суммируем:

Первая часть выборки

 

№ Потребление животного масла Потребление растительное масло

/>

<p/>

ei

ei2

 

Усть-Ордынский Бурятский авт. округ 43,7 82,7 39,061 -4,639 21,521

 

Республика Тыва 41 88 40,717 -0,283 0,080

 

Республика Калмыкия 45,5 105,6 46,218 0,718 0,516

 

Республика Ингушетия 46,3 113 48,531 2,231 4,976

 

Республика Адыгея 50,8 138,4 56,469 5,669 32,139

 

Республика Дагестан 50,8 147,5 59,313 8,513 72,475

 

Республика Марий Эл 64,4 149,4 59,907 -4,493 20,187

 

Чувашская Республика 55,9 149,7 60,001 4,101 16,817

 

Республика Мордовия 59,5 151,1 60,438 0,938 0,881

 

Республика Алтай 63,7 154,7 61,563 -2,137 4,565

 

Агинский Бурятский авт. округ 73,2 162,8 64,095 -9,105 82,900

 

Кабардино-Балкарская Республика 65,1 167 65,408 0,308 0,095

 

Карачаево-Черкесская Республика 66,9 167,2 65,470 -1,430 2,044

 

Забайкальский край 79,9 167,3 65,501 -14,399 207,319

 

Кировская область 53 168,3 65,814 12,814 164,198

 

Республика Хакасия 66,9 171,8 66,908 0,008 0,000

 

Удмуртская Республика 68,1 172,7 67,189 -0,911 0,830

 

Еврейская автономная область 65,5 174 67,595 2,095 4,391

 

Сумма 1060,2 2631,2 1060,2 0,000 635,932

 

 

№ Употребление животного масла потребление растительного масла

/>

<p/>

ei

ei2

Краснодарский край 83,1 252,1 92,935 9,835 96,725 Республика Саха (Якутия) 116,6 254,6 93,872 -22,728 516,556 Кемеровская область 93,3 258,4 95,297 1,997 3,987 Республика Башкортостан 105,6 261,3 96,384 -9,216 84,936 Республика Татарстан 118,5 266,8 98,446 -20,054 402,168 Омская область 102,7 272,3 100,508 -2,192 4,806 Томская область 107 273,5 100,958 -6,042 36,510 Красноярский край 103,2 276,9 102,232 -0,968 0,936 Свердловская область 104,2 285,1 105,306 1,106 1,224 Чукотский авт. округ 108,2 285,8 105,569 -2,631 6,923 Магаданская область 99 290,6 107,368 8,368 70,031 Камчатский край 90,8 293,2 108,343 17,543 307,763 Хабаровский край 83,5 294 108,643 25,143 632,174 Пермский край 118,9 294,5 108,831 -10,069 101,394 Сахалинская область 113,4 372,2 137,960 24,560 603,196 Тюменская область 173,3 455 169,002 -4,298 18,477 Ямало-Ненецкий авт. округ 195,9 546,1 203,155 7,255 52,631 Ханты-Мансийский авт. округ-Югра 221,4 547,8 203,792 -17,608 310,040 Сумма 2138,6 5780,2 2138,600 0,000 3250,477 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

6. Находим отношение большейсуммы квадратов остатков к меньшей, оно подчиняется F-распределению Фишера. В данном случае />, поэтому />.

7. Сравниваем его стабличным значением F-критерия Фишерана уровне значимости d с(k-1) и (k-1) степенями свободы, где k – объёмы оставшихся частей выборки.

На уровне значимости d=0,05 с 17 и 17 степенями свободытабличное значение />.

8. Выдвигаем гипотезу Н0об отсутствии гетероскедастичности (выполнении предпосылки 2). Альтернативнаяей Н1 о наличии гетероскедастичности (нарушении предпосылки 2).

9. Т.к. наблюдаемоезначение превышает табличное: />, то мывынуждены принять гипотезу о наличии гетероскедастичности, подтвердив своипредположения о нарушении предпосылки 2.

Возможно,этим объясняется большая ошибка аппроксимации.

Т.к. Fe не намногопревышает Fтабл, то можносказать, что последствия гетероскедастичности выражены несильно, и несильносказываются на качестве модели. В данном случае эффективнее будет пренебречьэтим несильным нарушением предпосылки 2, чем корректировать модель.

Предпосылка3 О некоррелированности остатков

Т.к.выборка – пространственная, то для таких выборок нарушения этой предпосылкиобычно несвойственно, т.к. не участвует фактор времени. Но чтобы убедиться вэтом проверим Автокорреляцию остатков хотя бы 1-го уровня.

Полученныеостатки сместим на 1 наблюдение – получим остатки 1-го уровня.

№

ei

ei-1

ei* ei-1

Республика Адыгея 4,5388 Республика Дагестан 7,742 4,5388 35,139 Республика Ингушетия 0,098 7,742 0,759 Кабардино-Балкарская Республика 0,306 0,098 0,030 Республика Калмыкия -1,7068 0,306 -0,522 Карачаево-Черкесская Республика -1,4236 -1,7068 2,430 Республика Северная Осетия — Алания 0,4644 -1,4236 -0,661 Краснодарский край 12,2612 0,4644 5,694 Ставропольский край 12,066 12,2612 147,944 Астраханская область -25,1124 12,066 -303,006 Волгоградская область 0,6932 -25,1124 -17,408 Ростовская область 5,3412 0,6932 3,703 Республика Башкортостан -7,0004 5,3412 -37,391 Республика Марий Эл -5,1892 -7,0004 36,326 Республика Мордовия 0,3092 -5,1892 -1,605 Республика Татарстан -17,9644 0,3092 -5,555 Удмуртская Республика -0,6876 -17,9644 12,352 Чувашская Республика 3,4164 -0,6876 -2,349 Пермский край -8,614 3,4164 -29,429 Кировская область 12,8636 -8,614 -110,807 Нижегородская область 6,3964 12,8636 82,281 Оренбургская область 6,0012 6,3964 38,386 Пензенская область -11,4804 6,0012 -68,896 Самарская область 4,8812 -11,4804 -56,038 Саратовская область -16,8924 4,8812 -82,455 Ульяновская область -4,4396 -16,8924 74,995 Курганская область 6,31 -4,4396 -28,014 Свердловская область 2,7772 6,31 17,524 Тюменская область -6,518 2,7772 -18,102 Ханты-Мансийский авт. округ-Югра -21,9524 -6,518 143,086 Ямало-Ненецкий авт. округ 2,9492 -21,9524 -64,742 №

ei

ei-1

ei* ei-1

Челябинская область 0,8636 2,9492 2,547 Республика Алтай -2,6236 0,8636 -2,266 Республика Бурятия -6,5572 -2,6236 17,203 Республика Тыва -3,402 -6,5572 22,308 Республика Хакасия 0,1956 -3,402 -0,665 Алтайский край 11,6428 0,1956 2,277 Забайкальский край -14,3884 11,6428 -167,521 Агинский Бурятский авт. округ -9,2724 -14,3884 133,415 Красноярский край 0,8908 -9,2724 -8,260 Иркутская область -8,8524 0,8908 -7,886 Усть-Ордынский Бурятский авт. округ -7,9676 -8,8524 70,532 Кемеровская область 4,2788 -7,9676 -34,092 Новосибирская область -2,9532 4,2788 -12,636 Омская область -0,2284 -2,9532 0,675 Томская область -4,106 -0,2284 0,938 Республика Саха (Якутия) -20,3588 -4,106 83,593 Камчатский край 19,0284 -20,3588 -387,395 Приморский край 6,0436 19,0284 115,000 Хабаровский край 26,61 6,0436 160,820 Амурская область 15,4124 26,61 410,124 Магаданская область 9,9132 15,4124 152,786 Сахалинская область 24,2364 9,9132 240,260 Еврейская автономная область 2,37 24,2364 57,440 Чукотский авт. округ -0,9764 2,37 -2,314 -0,9764 Сумма от 2-го по 55-й -4,3056 1,2099 620,554 Ср. знач. -0,080 0,022 11,4917331 Станд. откл. 10,36 10,486

Чтобыоценить отсутствие или наличие Автокорреляции 1-го уровня, выясним, есть лизависимость между остатками модели и остатками 1-го уровня. Из-за смещенияостанется на 1 значение меньше – 22: со 2-го по 23-е наблюдение. Вычислимкоэффициент корреляции междуei и ei-1 по его известнойформуле:

/>

(где />).

Итак,коэффициент корреляции показывает, что зависимость слабая. Т.е. автокорреляцияостатков 1-го уровня слабая. И т.к. выборка пространственная, то этим небольшимнарушением предпосылки 3 можно пренебречь.

Предпосылка4 О некоррелированности значений фактора и остатков

/>

 

Построимполе корреляции между фактором Х и остатками е.

Поэтому расположению точек /> делаемвывод о том, ни закономерности, ни систематического смещения их не наблюдается.

Рассчитываемкоэффициент корреляции между фактором Х и остатками е (по обычной формуле): />.

Значит,фактор Х и остатки е – некоррелированы. Предпосылка 4 не нарушена.

Предпосылки1 и 5. О нормальном распределении остатков с нулевым матем. ожиданием

Позначениям остатков модели построим интервальный вариационный ряд частот.Значения остатков изменяются от min(е)= --25,1124 до max(е)=24,2364.Тогда нижней границей будет -25, а верхней 24, длина всего этого интервала 25+24=49.Его удобно разбить на 7 интервалов. Пусть будет 7 интервалов, их длины 49/7=7.Считаем сколько значений еiпопадает в каждыйиз них. И выписываем интервальный вариационный ряд в виде таблицы:

Границы [-25; -18) [-18; -11) [-11; -4) [-4; 3) [3; 10) [10; 17) [17; 24) Частоты 3 3 11 19 11 5 3

Строимпо нему гистограмму частот.

/>

Наэтом же графике построим график кривой плотности нормального распределения (всоответствующем масштабе) с матем. ожиданием = 0 и сравним форму гистограммы инормальной кривой.

Дляданной выборки можно увидеть, что гистограмма частот остатков более-менееблизка по форме к нормальной кривой. Но говорить уверенно о том, что остаткиточно распределены нормально, нельзя. Возможно, при большем объёме выборкиформа гистограммы была бы более понятной и однозначной.

Вданном же исследовании на основании этого графика примем предположение онормальности остатков. И будем считать, что предпосылки 1 и 5 не нарушены.

/>

/>

 

Выводы:

 

Высокостатистически значимые коэффициенты регрессии а0 и а1,коэффициент корреляции rух свидетельствуюто наличии сильной положительной взаимозаменяемости товаров. Это подтверждаетсяи проверкой качества уравнения регрессии по F-критерию Фишера.Т.е., можно считать, что наличие взаимозаменяемости статистически доказано,направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуетсяс состоянием рынка продовольственных товаров. Значения стандартных ошибок /> и /> для коэффициентов а0и а1 малы, и доверительные интервалы для параметров модели aи a1 не широки, атакже высокое значение коэффициента детерминации R2 указывают, чтовзаимозаменяемость потребления животного масла растительным маслом доказана.Влияние же других экономических (и случайных, в том числе) факторов – намногоменее существенно.

Носредняя ошибка аппроксимации свидетельствует, что в среднем смоделированныеданные отличаются от фактических на 9-12%. И в данном исследовании этот уровеньможно признать условно приемлемым и только для изученного периода.

Вданной модели обнаружена гетероскедастичность остатков. Она обусловленарыночной ситуацией. Но она несильно нарушает предпосылку 2. Поэтому приняторешение, не подвергать модель излишней корректировке, которая вряд ли улучшитеё качество.

Порезультатам проверки остальных предпосылок МНК можно считать, что онивыполнены, или, по крайней мере, их негативные последствия минимальны. Дляболее однозначного ответа требуется увеличение выборки.

Всёэто означает, что применение полученного уравнения на другие периоды или другиерегионы, и пр. для качественного и реального прогнозирования возможно только сопределёнными поправками. И было бы целесообразным для повышенияпрогностической силы и практической ценности этой модели добавление в неедругих факторов, изучение данных и за другие периоды.

Рекомендациипо улучшению качества этой модели:

Увеличитьвыборку для повышения точности.

Добавить в модель идругие факторы (напр., цены на эти продукты, национальные предпочтения,удаленность от производства, сезонныеособенности употребления этих продуктов и т. д.), чтобыулучшить аппроксимацию модели.

Внестикорректировку для периода времени, чтобы модель была применима не только дляизученного периода, ни и для других лет.

Из-загетероскедастичности можно построить 5 модели: для каждого федерального округа.