Реферат: Исследование зависимости между объемом производства, капитальными вложениями и выполнением норм выработки

ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

БЕЛГОРОДСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.Г.ШУХОВА

КафедраЭкономики и Организации производства

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА

по дисциплине

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ»

Студентка: гр.ЭКд-21В

Н.В. Гребенникова

Руководитель: к.т.н.,доц.

О.В.Доможирова

Белгород 2009

ЧАСТЬ 1

Постановказадачи

Для производства двух видовпродукции А и Б используются три типа ресурсов. Нормы затрат ресурсов на производствоединицы продукции каждого вида, цена единицы продукции каждого вида, а также запасыресурсов, которые могут быть использованы предприятием, приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Типы ресурсов

Нормы затрат ресурсов на единицу продукции

Запасы ресурсов

Электроэнергия 1 7 24 Сырье 2 2 24 Оборудование 9 2 16 Цена ед. продукции 15 20 Прибыль ед продукц 3 9

Требуется:

I. Cформулировать экономико-математическую модель задачи в видеОЗЛП.

II. Привести ОЗЛП кканонической форме.

III. Сформулироватьэкономико-математическую модель задачи двойственной к исходной.

IV. Построитьмногогранник решений (область допустимых решений) и найти оптимальнуюпроизводственную программу путем перебора его вершин и геометрическим способом.

V. Решить задачу спомощью симплекс-таблиц.

Решение:

I.Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом

а) целевая функция />

б) ограничения: />

в) условиянеотрицательности переменных х1≥0; х2≥0.

II. Приведем ОЗЛП к канонической форме. Для этого введемдополнительные переменные x3, x4 и x5.

а) целевая функция />

б) ограничения: />

в) условиянеотрицательности переменных />

III. Сформулируем экономико-математическую модель задачидвойственную к исходной. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ –транспонированная матрица В – имеют следующий вид:

1 7

1 2 9

2 2

B’=

7 2 2

9 2

Zmin

Fmax

В двойственной задаченужно найти минимум функции

Z = 24y1 + 24y2+16y3, при ограничениях />

Системуограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:

Компоненты у1,у2, у3 оптимального решения двойственной задачиоценивают добавочные переменные х3, х4, х5прямой задачи.

1)х1+7х2≥24 (0;3,43) (24;0)

2)2х1+2х2≥24 (0;12) (12;0)

3)9х1+2х2≥16 (0:8) (1,78;0)

Однако нам необходимонайти такую точку, в которой достигался бы max целевой функции.

Оптимальнуюпроизводственную программу можно найти двумя способами:

1) путем перебораего вершин

Находим координаты вершинмногоугольника ABCDE и подставляяв целевую функцию находим ее значение.

А: А (0; 0) Z(A) =3×0+9×0=0

В: В (0; 3,43) Z(B) = 3×0+9×3,43=30,87

D: D (1,78; 0) Z(B) = 3×1,78+9×8=5,38

С: – это пересечениепервого и второго уравнений

/>;/>;216-63x2+2x2=16; x2=1,04.

С (1,04; 3,28) Z(C) = 3×1,04+9×3,28=32,64

Находим max значение целевой функции. Ононаходится в точке

С (1,04; 3,28). Такимобразом max прибыль составит 32,68у.д.е. привыпуске продукта Р в количестве 1,04 у.е. и R – 3,28 у.е.

2) геометрическимспособом

Целевая функциягеометрически изображается с помощью прямой уровня, т.е. прямой на которой Z=3X1+9X2 – принимает постоянное значение.

Если С – произвольная const, то уравнение прямой имеет вид

3X1+9X2=С

При изменении const С получаем различные прямые,параллельные друг другу. При увеличении С прямая уровня перемещается в направлениинаискорейшего возрастания функции Z, т.е. в направлении ее градиента. Вектор градиента />

Точкой min Z будет точка первого касания линии уровня с допустимыммногоугольником. Точкой max –точка отрыва линии уровня от допустимого многоугольника. Эти точки чаще всегосовпадают с некоторыми вершинами допустимого многоугольника, хотя их может бытьи бесчисленное множество, если линия уровня Z параллельна одной из сторон допустимого многоугольника. Этоточка С (1,04; 3,28) Z=32,68у.д.е.

Решим задачу с помощьюсимплекс-таблиц.

Пусть необходимо найтиоптимальный план производства двух видов продукции P и R.

1. Построим оптимизационнуюмодель:

F(X)=3X1+9X2→max />

2. Преобразуемзадачу в приведенную каноническую форму. Для этого введем дополнительныепеременные X3, X4 и X5.

F(X)=3X1+9X2→max />

Построим исходнуюсимплекс-таблицу и найдем начальное базисное решение.

Баз. пер. Своб. член

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х3

24 1 7 1

Х4

24 2

Х5

16 9 2 1 F – 3 – 9

Базисное решение (0; 0; 24;24; 16). F=0.

Находим генеральный столбец и генеральную строку

/>. Генеральныйэлемент 7

Баз. пер.

Своб. член

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х3

3,23

Х2

17,14 1

Х5

9,14 1 F 30,86

Базисное решение (0; 8; 4; 0; 10). F=40.

/>2,22222. Генеральный элемент 1,8.

Баз. пер. Своб. член

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х1

2,22 1 0,55 1,11

Х2

7,56 1 -0,11 1,77

Х5

2,74 1,82 5,63 1 F 46,65 -1,665 -13,3

Базисное решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74). F=46,65.

Эта таблица является последней,по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (2,22; 7,56; 0; 0; 2,74),при котором Fmax =46,65, т.е. для получения наибольшей прибыли,равной 46,65 денежных единиц, предприятие должно выпустить 2,22 единицпродукции вида P и 7,56 единицпродукции вида R, при этомресурсы A и B будут использованы полностью, а 2,74 единиц ресурса Состанутся неизрасходованными.

ЧАСТЬ 2

Постановказадачи

Исследовать зависимостьмежду объемом производства, капитальными вложениями и выполнением нормвыработки. Для построения модели собраны данные по исследуемым переменным на12-ти предприятиях объединения.

Предполагая, чтозависимость между переменными имеет линейный характер, анализ провести вследующей последовательности:

а)построить уравнение регрессии />;

б)построить уравнение регрессии />;

в)исследовать модели />, /> и сделатьсоответствующие выводы;

г)построить уравнение регрессии /> ивыполнить исследование множественной модели в полном объеме (см.п.3.2).

Решение:

А).Строим уравнение регрессии/>;

1.Экономическая теория и расположение точек на диаграмме рассеяния (Приложение 2)позволяют предположить линейную связь между переменными

СМ.ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Диаграмма рассеяния, отражающая зависимость производства откапиталовложений.

Поформулам (3.34) и (3.35) или (3.36) вычислим оценки параметров функциирегрессии /> и />.

/> (3.34)

/> (3.35)

/>Для упрощение расчетов и их наглядности составляют рабочуютаблицу, которая содержит все исходные данные и промежуточные результаты,необходимые для вычисления оценок параметров (см. прил 1). В таблице приведенызначения />, которые не нужнынепосредственно для вычисления /> и />, но потребуются нам в дальнейшем.

Итак, поформулам(3.34) и (3.36) вычисляем /> и />:

/>622

Оцениваемоесоотношение можно записать в виде

Подставляяв полученное уравнение значения /> изтаблицы в приложении 1, вычислим значения регрессии />.Совокупность этих значений называемых также предсказанными, образуют прямую регрессии(см. прил 2) отражающую зависимость объёма производств от капиталовложений, приусловии, что остальные неучтенные факторы и случайности не оказывают влияния напроизводительность труда.

СМ.ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Диаграмма рассеяния, отражающая зависимость производства отсреднего процента выполнения норм..

Поформулам (3.34) и (3.35) или (3.36) вычислим оценки параметров функциирегрессии /> и />.

Оцениваемоесоотношение можно записать в виде

Подставляяв полученное уравнение значения /> изтаблицы в приложении 1, вычислим значения регрессии />.Совокупность этих значений называемых также предсказанными, образуют прямую регрессии(см. прил 3) отражающую зависимость объёма производств от среднего процентавыполнения норм, при условии, что остальные неучтенные факторы и случайности неоказывают влияния на производительность труда.

В) Исследование регрессивноймодели. />, />

1. />

Коэффициентрегрессии b11показывает, что объём производства в среднем возрастает на 2,1622*10000 = 21622руб, если капиталовложения увеличатся на 1000 рублей.

Послеопределения значений /> можно вычислитьостатки />. и их квадраты, которыебудут характеризовать точность оценки регрессии или степень согласованностирасчетных значений и наблюдаемых значений переменной />.

Дляоценки тесноты связи между исследуемыми явлениями вычислим коэффициенткорреляции по формуле (3.15)(необходимые промежуточные результаты заимствуем изтабл.приложение1)

/> (3.15)

Чембольше />, тем теснее связь междуизучаемыми количественными признаками.

Полученочень высокий коэффициент корреляции. Это свидетельствует о том, что связьмежду объёмом производства и уровнем капиталовложения очень тесная, хотя и нефункциональная. Очевидно, что к действию объясняющей переменной примешиваетсявлияние побочных факторов. Чем меньше это влияние и ограниченнее воздействиеслучайностей, тем ближе коэффициент корреляции к ±1. Отсюда видна связь междувеличиной /> и регрессией Функция линейнойрегрессии отражает линейное соотношение между переменными тем лучше, чем большекоэффициент корреляции приближается к ±1. В этом смысле коэффициент корреляциичасто служит критерием при выборе вида регрессии. С его помощью устанавливают,действительно ли переменная /> зависитот /> и в какой степени.

Содержаниеэтого этапа заключается в статистической проверке значимости (надежности):уравнения регрессии, коэффициентов регрессии и корреляции.

1.Значимость уравнения регрессии определяется возможностью надежно прогнозироватьсреднее отклика по заданным значениям факторной переменной. Так как /> – случайные величины, тополученное уравнение регрессии может существенно отличаться от того «истинного»уравнения, которое соответствует генеральной совокупности.

Дляоценки надёжности выборочного уравнения регрессии применяется /> - критерий Фишера,рассчитываемый по формуле:

/> (3.37)

/> (3.38)

где /> – дисперсиярезультативного признака, обусловленная регрессией, т.е. влиянием на/> факторных переменных,включенных в модель; /> – дисперсиярезультативного признака, обусловленная влиянием второстепенных факторов ислучайных помех; /> – объём выборки;/> – количество факторныхпеременных.

Дляоценки надежности выборочного уравнения регрессии воспользуемся формулой (3.37)

Постатистическим таблицам распределения Фишера (приложение 4) на />-ном уровне значимости причисле степеней свободы /> и /> находим критическую точку />

Так как /> делаем вывод о значимостиполученного уравнения регрессии.

Дляоценки надёжности парного коэффициента корреляции /> применимформулу (3.43)

Потаблице распределения Стьюдента (приложение 5) на />-номуровне значимости при числе степеней свободы /> находимкритическую точку />

Так как /> делаем вывод о значимости /> т. е., отклоняем гипотезу /> об отсутствиилинейной корреляционной связи в генеральнойсовокупности, рискуя ошибиться при этом лишь в />-хслучаев.

Вычислимтеперь коэффициент детерминации (квадрат смешанной корреляции) /> Отсюда заключаем, что вслучае простой регрессии /> общейдисперсии объём производства на 55,16 % зависит от капиталовложений.

Дальнейшееисследование модели связано с указанием доверительных интервалов для параметроврегрессии и генерального коэффициента корреляции. Для уяснения сути этихпроцедур необходимы предварительные пояснения.

Задачарегрессионного анализа состоит в нахождении истинных значений параметров, т.е.в определении соотношения между /> и /> в генеральной совокупности />

где /> — генеральные коэффициентырегрессии.

Мы женаходим оценки параметров регрессии /> наиболеехорошо согласующиеся с опытными данными. Эти реализации /> являются случайнымивеличинами, которые более или менее удалены от значения параметра />.

Иначеговоря, возможные значения оценок /> рассеиваютсявокруг истинного значения параметра />.Разность между /> и/> возникающая за счетоценивания на основе имеющихся данных, называется ошибкой оценки. Дляхарактеристики рассеяния выборочных оценок /> вокруггенерального параметра /> используются стандартныеошибки или дисперсии оценок параметров регрессии. Мера рассеяния оценкипараметра регрессии определяется по формуле (3.44). Стандартная ошибкакоэффициента регрессии зависит:

1) отрассеяния остатков />. Чем больше долявариации значений — переменной />,необъясненной её зависимостью от /> тембольше />;

2) отрассеяния значений объясняющей переменной />.Чем сильнее это рассеяние, тем меньше />.Отсюда следует, что при вытянутом облаке точек на диаграмме рассеяния получаемболее надежную оценку функции регрессии, чем при небольшое скоплении точек,близко расположенных друг к другу;

3) отобъёма выборки. Чем больше объём выборки, тем меньше стандартная ошибкакоэффициента регрессии.

Знаниестандартных сшибок коэффициентов регрессии позволяет построить для параметровинтервальные оценки. Надежность оценки определяется вероятностью, с которойутверждается, что построенный по результатам выборки доверительный интервалсодержит неизвестный параметр генеральной совокупности. Эта вероятность называетсядоверительной. Её обычно выбирают близкой к единице: /> и т. д. Тогда можноожидать, что при серии наблюдений параметр генеральной совокупности будетправильно оценен (т.е. доверительный интервал покроет истинное значение этого параметра)приблизительно в /> случаев илишь в (/>)%случаев оценкабудет ошибочной. Если /> близка к единице,то риск ошибки ничтожен. Риск ошибки определяется уровнем значимости />. В экономическихисследованиях чаще всего />.

Тогдариск ошибки составляет /> (/>). При этом такжеговорят о />-ном доверительноминтервале.

Доверительныйинтервал для параметров регрессии /> записываемсяв виде следующей формулы (3.45):

/> .(3.45):

Определимдоверительные границы для параметра регрессии />,(/> обычно не рассматривается,т. к. лишен экономического смысла).

Пользуясьтабл. 3.6. по формуле (3.44) вычислим стандартную ошибку оценки параметрарегрессии:

Зададимсяуровнем значимости /> Числостепеней свободы для нашего примера />. По приложению5 находим, что />.Всоответствии с формулой (3.45) получаем следующие доверительные границы для />

или

Итак, свероятностью 0,588 можно утверждать, что неизвестное знамение параметрарегрессии /> содержится в интервале

Припостроении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности /> прибегают кпреобразованию Фишера по формуле (3.46):

Подставляявыборочный коэффициент корреляции /> получаемзначение />:

Стандартнуюошибку /> вычисляем поприближенной формуле (3.47):

/>0,333.

Доверительныеграницы для величины /> на заданномуровне значимости /> определяются поформуле (3.48): />.

Приуровне значимости />. Таким образом,доверительные границы для величины /> при /> будут следующими:

или

идоверительный интервал для />

Доверительныеграницы для коэффициента корреляции /> находятпутем обратного пересчета величины /> поформуле (3.49):

/> = />

Итак, свероятностью 0,55 можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральнойсовокупности содержится в интервале

2. />

Коэффициентрегрессии /> показывает, что объёмпроизводства в среднем возрастает на 5,5514*10000 = 55514 т/ч, если среднийпроцент выполнения норм увеличился на 1%

КоэффициентКорреляции

Полученочень высокий коэффициент корреляции. Это свидетельствует о том, что связьмежду объёмом производства и средним процентом выполнения норм.

Для оценкинадёжности выборочного уравнения регрессии применяется /> - критерий Фишера,рассчитываемый по формуле:

/> (3.37)

/> (3.38)

Дляоценки надежности выборочного уравнения регрессии воспользуемся формулой (3.37)

Постатистическим таблицам распределения Фишера на />-номуровне значимости при числе степеней свободы /> и/> находим критическую точку />

Так как /> делаем вывод о значимостиполученного уравнения регрессии.

Дляоценки надёжности парного коэффициента корреляции /> применимформулу (3.43)

Потаблице распределения Стьюдента на />-номуровне значимости при числе степеней свободы /> находимкритическую точку

Вычислимтеперь коэффициент детерминации (квадрат смешанной корреляции) /> Отсюда заключаем, что вслучае простой регрессии /> общейдисперсии объём производства на 52,50 % зависит от среднего процента выполнениянормы.

где /> — генеральные коэффициентырегрессии.

3) отобъёма выборки. Чем больше объём выборки, тем меньше стандартная ошибкакоэффициента регрессии.

Тогдариск ошибки составляет /> (/>). При этом такжеговорят о />-ном доверительноминтервале.

Доверительныйинтервал для параметров регрессии /> записываемсяв виде следующей формулы (3.45):

/> .(3.45):

Пользуясьтабл. 3.6. по формуле (3.44) вычислим стандартную ошибку оценки параметрарегрессии:

Зададимсяуровнем значимости /> Числостепеней свободы для нашего примера />. Поприложению 5 находим, что />.Всоответствии с формулой (3.45) получаем следующие доверительные границы для />

или

Итак, свероятностью 0,52 можно утверждать, что неизвестное знамение параметрарегрессии /> содержится в интервале

Припостроении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности /> прибегают кпреобразованию Фишера по формуле (3.46): />

Подставляявыборочный коэффициент корреляции /> получаемзначение />:

Стандартнуюошибку /> вычисляем поприближенной формуле (3.47):

/>0,333.

Доверительныеграницы для величины /> на заданномуровне значимости /> определяются поформуле (3.48): />.

Приуровне значимости />. Таким образом,доверительные границы для величины /> при /> будут следующими:

или

идоверительный интервал для />

/> = />

Итак, свероятностью 0,5% можно утверждать, что коэффициент корреляции в генеральнойсовокупности содержится в интервале

Г)Построим уравнение регрессии /> ивыполнить исследование множественной модели в полном объеме (см.п.3.2).

Будемискать зависимость объёма производства, капиталовложениями и выполнением нормвыработки в виде линейной множественной регрессии.

/> (3.55)

Объясняющиепеременные Х1и Х2 оказывают совместноеодновременное влияние на зависимую переменную У.

Приведемформулы для вычисления /> по МНК

/> (3.56)

/> (3.57)

/> (3.58)

Используяпромежуточные результаты из табл. 3.4 и 3.7, по формулам (3.56), (3.57) и(3.58) вычисляем коэффициенты регрессии:

/>/>

Итак, всоответствии с (3.55) уравнение регрессии запишем в виде

/> (3.59)

Подставляяв это уравнение значения /> и /> получим />, а затем вычислим остатки />(см. приложение 1).

Такимобразом, если рассматривать зависимость Объёма производства от капиталовложенийи от среднего процента выполнения норм, то объем производства в среднем изменитсяна 1,7209*10000 рублей при условии, что капиталовложения изменится на 1000рублей при исключении влияния среднего процента выполнения норм. Если исключитьвлияние капиталовложений, то обьем производства в среднем изменится на 4,3389 *10000рублей при изменении среднего процента выполнения норм на один процент.

Обратимвнимание, что по сравнению с коэффициентом регрессии в уравнении с однойобъясняющей переменной данный коэффициент регрессии /> несколькоуменьшился. Это можно объяснить тем, что переменная /> коррелируетс />, в чем мы ещё убедимся привыполнении корреляционного анализа. Поэтому переменная /> влияет на /> через />, что приводит к ослаблениюсилы зависимости /> от />.

Коэффициентырегрессии отражают зависимость объёма производства от соответствующей переменнойпри исключении влияния на зависимую переменную двух других объясняющихпеременных.

Стандартизированныекоэффициенты регрессий />; вычисляютсяпо формуле:

/> (3.61)

где />— обычныйкоэффициент регрессии, а /> и /> - стандартные отклоненияпеременных /> и /> соответственно.

Поформуле (3.61) вычислим стандартизированные коэффициенты регрессии

Уравнениемножественной регрессии в стандартизированном масштабе примет вид

/> (3.62)

где />

Длявычисления множественного коэффициента корреляции можно воспользоваться идругой формулой, если вспомнить, чтоон непосредственно связан с коэффициентом детерминации />

/> (3.65)

Полученочень высокий коэффициент корреляции. Это свидетельствует о том, что зависимостьобъема производства от капиталовложений и среднего процента выполнения нормочень высокая..

Оценимзначимость уравнений регрессии

Значимостьуравнения регрессии определяется возможностью надежно прогнозировать среднееотклика по заданным значениям факторной переменной. Так как /> – случайные величины, тополученное уравнение регрессии может существенно отличаться от того «истинного»уравнения, которое соответствует генеральной совокупности.

/> (3.37)

/>/> (3.38)

Уравнениерегрессии считается значимым (т.е., выделенные факторные переменные«хорошо», «надёжно» описывают исследуемую зависимость, еслизначение

/> (3.40)

где /> – табличное значение F-критерия Фишера-Снедекора на уровнезначимости/> при числестепеней свободы /> и />. Критическая точканаходится по статистическим таблицам «Критические точки распределения Фишера на%5-ном уровне значимости».

Вывод:Уравнение регрессии считается значимым (т.е., выделенные факторные переменные«хорошо», «надёжно» описывают исследуемую зависимость.

Дляоценки надежности множественного коэффициента корреляции также применяется /> - критерий Фишера,рассчитываемый по формуле:

/> (3.41)

где/> — множественныйкоэффициент корреляции.

Множественныйкоэффициент корреляции значим (т.е. надежно отличается от нуля), если

/> (3.42)

Коэффициентыдетерминации /> Делаем Вывод:Общий объём производства зависит на 85,27% от капиталовложений и среднеговыполнения норм.

Припроверке гипотезы /> используетсястатистика

/> (3.68)

имеющая /> — распределение с /> степенями свободы.Если />, то гипотеза /> считается ипринимается альтернативная гипотеза />.

Оценимзначимость коэффициентов регрессии, рассматривая зависимость производительноститруда от уровня механизация работ, и среднего возраста работников и среднегопроцента выполнения нормы. Воспользуемся для этого формулами (3.44), (3.68), идвусторонней критической областью:

Потаблице /> - распределения для /> и /> находим критическоезначение />.

Поскольку/> существенно отлично отнуля и отражает. таким образом, отметим значимое влияние капиталовложений наобъём производства., />, отметимзначимое влияние среднего процентного выполнения норм на объём производства.

Процедурурасчета доверительных интервалов мы опускаем, поскольку она не содержит ничегонового по сравнению со схемой, изложенной в 3.2.

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Исследование и компьютерная реализация экономико-математической модели зависимости поступлений в бюджет от величины налоговой ставки

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Исследование издержек предприятия

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Исследование моделей

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Исследование операций

1 Сентября 2013