Реферат: Расчет максимального значения восстанавливающей силы

Сибирский государственный университетпутей сообщения

Домашнее задание по дисциплине«Математическое моделирование»

Задачи №1, №2

Разработал: студент гр. М-511

Ревнивцев

2008

Задача№1

В тупикежелезнодорожного пути установлен буфер (рисунок 1), имеющий упругий элемент снелинейной жесткостью, восстанавливающая сила которого изменяется по закону

/>.

1 – вагон; 2 – буфер;3 – демпфер

Рисунок 1 – Схемак решения задачи.

В направлениитупика движется вагон массой mи скоростью X. При столкновении вагона с упругим элементом, последнийсмещается на величину X1.В задаче также приняты следующие допущения: 1) масса буфера мала по сравнению смассой вагона; 2) после удара контакт между этими объектами сохраняется.

Восстанавливающаясила (закон изменения):

/> (1)

В задачетребуется определить:

— максимальноеперемещение буфера;

— максимальноезначение восстанавливающей силы;

— время, закоторое восстанавливающая сила достигнет максимального значения.

На данную систему(рисунок 1) действуют силы: сила инерции движущегося вагона; сила демпфирования(или сила вязкого трения), пропорциональная скорости движения вагона; а такжевосстанавливающая сила упругого элемента-демпфера.

Сила инерции:

/> , (2)

Силадемпфирования:

/>, (3)

Сила упругости:

/> (4)

Для решенияпоставленной задачи следует решить обыкновенное дифференциальное уравнениевторого порядка вида:

/> (5)

Заменим уравнение(5) системой уравнений первого порядка, для этого введем новую неизвестнуюфункцию /> и перепишем исходное уравнение, представивего в виде системы из двух уравнений:

/> (6)

Решение проводимв системе MathCad с построением графическихзависимостей: 1) скорости движения вагона от времени; 2) перемещения буфера отвремени; 3) восстанавливающей силы от времени. Неизвестные выше исходные данныезаписываются непосредственно в программе.

Исходноеуравнение имеет вид:

/> , (7)

где /> - коэффициент демпфирования, />;

/> - масса вагона, кг;

/> — жесткость упругого элемента, Н/м;

/> - численный коэффициент, />;

/> - скорость вагона при подходе к тупику, м/с;

Начальныеусловия:

/> (8)

Уравнение (8)решается в системе MathCadпосредствам встроенной функцией – rkfixed:

Z:=rkfixed (y, 0, t, n. D) (9)

где Z – вектор неизвестных;

y– вектор начальных условий;

0 и t – интервал, на котором ищется решение;

n– количество точек на интервале.

В ходе вычисленийполучена следующая система ответов:

Колонка «0» — промежутки времени; колонка «1» — перемещение в каждый момент времени; колонка«2» — скорость вагона в каждый момент времени.

Определениевосстанавливающей силы.

Расчет ведетсяпри разбиении — />

Функциональнаязависимость в программе:

Колонка «0» — значениявосстанавливающей силы.

Далее в программеведется построение необходимых графиков на интервале: />.

График зависимостиперемещения от времени

График зависимостискорости от времени

Графикзависимости силы от перемещения

После проведения решенийвыведены лишь шестнадцать рассчитанных значений. В общем же получено 300значений, что соответствую числу интервалов.

Проанализироваврезультаты получаем:

— максимальноеперемещение буфера – 0,0782 метра;

— максимальноезначение восстанавливающей силы — />;

— время, закоторое восстанавливающая сила достигнет максимального значения – 0,725 сек.

Задача №2

Данный планетарныйредуктор (рисунок 2) представляет собой механическую вращательную систему,которая состоит из четырех подсистем. Связь между подсистемами осуществляетсячерез зубчатое зацепление.

Опишем каждую изподсистем. Первая подсистема включает зубчатое колесо 1 (рисунок 2), котороенаходиться во внешнем зацеплении с сателлитом 2, вал «а» вращающийся в опоре 7от привода 5, имеющий крутящий момент Мвх. Вторая подсистемавключает: сателлит 2, который имеет внешнее зацепление с подвижным зубчатымколесом 1 и внутреннее зацепление с неподвижным зубчатым колесом 3. Третьяподсистема это неподвижное зубчатое колесо 3, которое находиться во внутреннемзацеплении с сателлитом 2. Четвертая подсистема состоит из сателлита 2,вращающегося вокруг оси вала «в» вместе с водилом 4, вала «б», вала «в», опор8,9 и нагрузки 6.

Рисунок 2 – Схемапланетарног редуктор 1- подвижное центральное колесо; 2 — сателлит; 3 — неподвижное центральное колесо; 4 — водило; 5 — привод; 6 — нагрузка; 7, 8, 9 — опоры валов; а, б, в – валы.

Исходные данные:

/> - радиусы делительных окружностей зубчатыхколес 1-3;

/> — моменты инерции зубчатых колес 1-3 и водилаотносительно осей вращения;

/> - моменты инерции привода и нагрузки;

/> - моменты вращения сателлита 2 при вращениивместе с водилом;

/> - коэффициенты вязкого трения в опорах 7-9.

Потерямив опоре 9, массой вала «а» и податливостью вала «в» пренебречь.

Сателлит2 совершает сложное движение: его абсолютное движение складывается из относительного– вокруг собственной оси и переносного – вращение вместе с водилом относительнооси вала «в». Пользуясь методом Виллиса, определим направление переносногодвижения, т.е направление вращения водило. Допустим, что все звенья передачи1,2,3 и 4 жестко соединены друг с другом. Сообщая этой жесткой системепереносное вращательное движение вокруг оси вала «в» с угловой скоростью /> равной скорости вращения водила, но обратнопо знаку. При таком движении водило окажется остановленным />, в результате относительные угловые скоростизубчатых колес 1 и 3 будут равны:

/>(1)

/>(2)

где/>абсолютные угловые скорости колес 1 и 3; />относительные угловые скорости колес 1 и 3; /> скорость вращения водила.

При/> планетарная передача превращается в простуюзубчатую передачу в которой оси всех зубчатых колес неподвижны.

Тогдапередаточное отношение передачи будет иметь вид:

/> (3)

Преобразуемданное уравнение:

Апоскольку колесо 3 является неподвижным />, то

/>(4)

Из(4) следует, что направление вращения водила совпадает с направлением вращенияколеса 1, то есть скорости относительного и переносного вращения сателлита 2противоположны по знаку.

Используяметод аналогий представим механическую систему в виде эквивалентных схем каждойиз подсистемы (рисунок 3).

Запишемуравнения для источника />:

/>,

где/>;

Запишемуравнение равновесия моментов:

/>;

/>,

Аналогичнозапишем уравнение для />, />, />. Так,

/>,

где/>;

Запишемуравнение равновесия моментов:

/>;