Реферат: Математическая модель системы в переменных пространства состояний

МАТЕМАТИЧЕСКОЕОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Математическая модельсистемы в переменных пространства состояний имеет вид

/>, (2.1.1)

/> (2.1.2)

где />мерный вектор параметровсостояний; /> мерныйвектор управляющих воздействий; /> мерный вектор возмущающихвоздействий; />l-мерный вектор выходов; А – матрица состояний системы размерности />; В – матрица управленийразмерности />;Г – матрица возмущений размерности />; С – матрица выходов размерности l/>n; D – матрицакомпенсаций (обходов) размерности l/>m.

Решение векторногодифференциального уравнения (2.1.1) имеет следующий вид:

/>, (2.1.3)

где /> - экспоненциал матрицыА.

Подставляя выражение(2.1.3) в формулу (2.1.2), получаем интегральное уравнение движения системы впеременных «вход – выход».

Рассмотрение движениясистемы в переменных пространства состояний связано с трудностью решениядифференциальных уравнений n-гопорядка, описывающих движение системы в переменных «вход – выход», и с хорошоразработанными методами решения систем дифференциальных уравнений первогопорядка.

2.2.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 2.2.1

Определить переходныепроцессы в системе

/> (2.2.1)

/>, (2.2.2)

под действием ступенчатыхвоздействий по каналам управления

/> и возмущения />.

Решение

В соответствии свыражениями (2.1.2), (2.1.3) запишем уравнение движения системы в интегральнойформе

/>. (2.2.3)

Учитывая, что u(t)=u*1(t)=u, r(t)=r*1(t)=r и t0=0, представим выражение (2.2.3) в виде

/>. (2.2.4)

Для нахожденияэкспоненциала матрицы А определим корни характеристического уравнения />, то есть

/> и />.

Так как корни различныедействительные и матрица А диагональная, то ее экспоненциал равен

/>. (2.2.5)

Подставляя выражения(2.2.5) в формулу (2.2.4) и последовательно проводя преобразования, получаем

/>/>

=/>

/>.

Следовательно, уравнениедвижения рассматриваемой системы в переменных «вход – выход» имеет вид:

/>.

УСТОЙЧИВОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Устойчивость илинеустойчивость линейной многомерной системы (2.1.1) определяется ее свободнымдвижением (/>/>), котороехарактеризуется собственными числами матрицы А, определяемыми из характеристическогоуравнения

/> (3.1.1)

Линейная система (2.1.1)устойчива тогда и только тогда, когда все вещественные части собственных(характеристических) чисел λj=λj(A) (j=1,…,n)имеют неположительные значения, т.е. Reλj/>. Если Reλj<0, то система асимптотически устойчива.

Характеристическоеуравнение (3.1.1) можно записать в виде

nn-1nn0. (3.1.2)

Условия устойчивости длясистемы n-го порядка записываются в видеопределителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентовхарактеристического уравнения (3.1.2).

/>.

Для устойчивости линейнойсистемы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при α0>0были положительными и все nдиагональных определителей Гурвица, то есть ΔI>0 (i=l,...,n). Положительность последнего определителя Гурвица

Δn=αnΔn-1 (3.1.3)

при Δn-1>0 сводится к положительностисвободного члена αnхарактеристического уравнения.

3.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 3.2.1

Определить устойчивость ихарактер свободного движения динамической системы, заданной в пространствесостояний векторными уравнениями

/>, (3.2.1)

/>. (3.2.2)

Решение.

Запишем для системы(3.2.1) характеристическое уравнение (3.1.1)

/>, (3.2.3)

решение которого дает следующиекорни:

/>.

Рассматриваемаядинамическая система является устойчивой. Ее свободное движение носитапериодический сходящийся характер, так как вещественные части корнейхарактеристического уравнения отрицательные.

Задача 3.2.2

Определить устойчивостьдинамической системы, заданной в пространстве состояний векторно-матричнымиуравнениями

/>, />, (3.2.4)

/>. (3.2.5)

Решение.

Запишем для системы(3.2.4) характеристическое уравнение (3.1.1)

/>. (3.2.6)

Раскроем скобки иприведем подобные члены, получим следующее характеристическое уравнение:

/>. (3.2.7)

Устойчивость системыбудем определять на основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица, составивдля этого по уравнению (3.2.7) матрицу Гурвица

/>. (3.2.8)

Для устойчивости линейнойсистемы по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы при положительностикоэффициента при старшей степени (в нашем случае коэффициент при λ3равен 1) были положительными и все n диагональных определителей Гурвица, то есть Δi>0 (i=1,2,3)

/>, />.

В соответствии свышеизложенным находим, что свободный член характеристического уравнения(3.2.7) равный 54 — положительный.

Следовательно, система(3.2.4) является устойчивой.

УПРАВЛЯЕМОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Управляемость системы(2.1.1), (2.1.2) по состояниям определяется теоремой (критерием) Калмана: системабудет управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости Lc размерности /> равен n, то есть

rank/>n, (4.1.1)

где

/>. (4.1.2)

Если rank/><n, то система будет частично управляемой, а при rank/>=0 – полностью неуправляемой.

Управляемость системы(2.1.1), (2.1.2) по выходам (критерий Калмана): система будет управляемой тогдаи только тогда, когда ранг матрицы управляемости /> размерности /> равен l то есть

rank/>=l, (4.1.3)

где

/>. (4.1.4)

Если rank/><l, то система будет частично управляемой по выходам, а при rank/>=0 – полностью неуправляемой.

Показатель степени n в выражениях (4.1.2), (4.1.4)соответствует размерности вектора состояний.

4.2. ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 4.2.1

Определить управляемостьдинамической системы по состояниям, заданной векторными уравнениями

/>,

(4.2.1)

/>. (4.2.2)

Решение.

В соответствии свыражением (4.1.2) запишем матрицу управляемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состоянийn=2

/>.

Найдем произведениематриц

/>.

Следовательно, матрицауправляемости имеет вид

/>,

и ее ранг rank/>2, то есть настоящая системаполностью управляема по состояниям.

Задача 4.2.2

Определить управляемостьпо выходам динамической системы, заданной векторными уравнениями

/>,

/>.

Решение.

/>.

Найдем произведениематриц

/>.

Следовательно, матрицауправляемости имеет вид

/>,

и ее ранг rank/>=2, то есть настоящая система полностью управляема по выходам.

5. НАБЛЮДАЕМОСТЬ

5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕФОРМУЛЫ

Наблюдаемость системы(2.1.1), (2.1.2) определяется теоремой (критерием) Калмана: система будетвполне наблюдаемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости L0размерности /> равен n, то есть

rank/>n, (5.1.1)

где

/>. (5.1.2)

Если rank/><n, то система будет не вполне наблюдаемой, а при rank/>=0 – полностью ненаблюдаемой.

5.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 5.2.1

Определить наблюдаемостьдинамической системы, заданной векторными уравнениями

/>.

Решение.

В соответствии свыражением (5.1.2) запишем матрицу наблюдаемости для n=2, так как в рассматриваемом случае размерность вектора состоянийn=2

/>.

Найдем произведениематриц

/>.