Реферат: Математические методы в экономике

Задание1. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования

Постановказадачи: Необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимальногозначения функции F=c1x1+c2x2, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj – прибыль на единицу j-й продукциипри условиях ai1x1+ai2x2≤bi (i=1,…,k), xj≥0 (j=1,2).

Решение

1.Заменяем ограничения-неравенства на ограничения-равенства (привести задачу кканоническому виду).

2.Построим прямые, соответствующие полученным уравнениям.

3.Определить полуплоскости, соответствующие заданным неравенствам в системеограничений.

4.Поиск области допустимых решений задачи.

5.Построить градиент функции цели: grad F=(F’x1; F’x2).

6.Построить прямую нулевого уровня c1x1+c2x2=0, (эта прямая перпендикулярна градиенту).

7.Переместить эту прямую в направлении градиента, в результате чего будет найденаточка (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, илиже установлена неограниченность функции на множестве планов.

8.Определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевойфункции в этой точке.

Системаограничений:

/>

Целеваяфункция />.

/>                               (1)

Построимпрямые, ограничивающие многоугольник допустимых решений:

/>

 

/>

6

15

/>

2

1

<p/>

/>

 

/>

7

8

/>

3

<p/>

 

/> - прямая,параллельная оси />.

/> - линия уровня(F=0); />

/>

5

/>

-2

/> - вектор, внаправлении которого расположено оптимальное решение задачи

Изсистемы неравенств (1) следует, что многоугольник решений на графике ОАВС.

Максимальнуюдлину имеет перпендикуляр, опущенный из точки В, где пересекаются прямые />

/> - оптимальныйплан выпуска продукции.

/> -максимальное значение прибыли.

/>/>

Задание2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Постановказадачи: необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимальногозначения функции F=c1x1+c2x2+c3x3, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj  прибыль на единицу j-й продукции приусловиях ai1x1+ai2x2+…+ ainxn≤bi (i=1,…,m), xj≥0 (j=1,2,…,m).

Решение.

1.Записать математическую модель задачи

Сырье Продукция Общее количество сырья А В С

S1

15 12 15 360

S2

6 8 4 192

S3

3 2 5 180 Цена одного изделия (руб.) 9 10 16

2.Привести задачу к каноническому виду, для этого перейти отограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, для чего вводятсядополнительные переменные, которые по экономическому смыслу означают неиспользуемое при данном плане производства количество сырья того или иноговида.

3.Заполнить симплекс-таблицу.

4.Выяснить, имеется ли хотя бы одно отрицательное число Dj (в строке F, см. таблицу ниже). Если нет, тонайденный опорный план оптимален. Если же среди чисел Dj есть отрицательные, то либо устанавливаютнеразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.

5.Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяетсянаибольшим по абсолютной величине отрицательным числом Dj, а направляющая строка – минимальным из отношенийкомпонент столбца вектора Р0к положительным компонентамнаправляющего столбца.

6.Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициентыразложения векторов Pj повекторам нового базиса и числа F0’, Dj’. Все эти числа записываются в новой таблице.

7.Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален инеобходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к пункту 5, а вслучае получения оптимального плана или установления неразрешимости процессрешения задачи заканчивается.

Запишемсистему ограничений задачи.

/> />.

/> - целеваяфункция.

Дляиспользования симплекс-метода запишем задачу в следующем виде:

/>

/> - целеваяфункция.

/>

/>

/>

/>

/>

/>

b Отношения

/>

15 12 15 1 360

/>

/>

6 8 4 1 192

/>

/>

3 2 5 1 180

/>

F -9 -10 -16

/> *

1 4/5 1 1/15 24

/>

2 24/5 -4/15 1 96

/>

-2 -2 -1/3 1 60 F 7 14/5 16/15 -384

Таккак в строке F нет отрицательных элементов (кроме последнего значения), тополучен оптимальный план (0;0;24;0;96;60) и максимальное значение целевойфункции Fmax=384. Значит, план выпуска продукции составляет 24изделия вида С.

Приданном выпуске продукции полностью используется сырье S3, остаютсянеиспользованными сырье вида S1,2. Стоимость производимой продукцииравна 384 руб.

Задание3. Транспортная задача

Наоптовых складах А1, А2, А3 имеются запасынекоторого продукта в количествах 30, 60 и 10 т соответственно. Найти такой вариантприкрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат на перевозку была быминимальной.

Склады вооружения Потребители Запасы

N1

N2

N3

N4

А1

4 10 11 7 30

А2

5 3 6 8 60

А3

2 1 12 9 10 Потребности 40 20 10 30 100

Даннаязадача является закрытой транспортной задачей, так как суммы потребностей изапасов равны 100.

Решение.

Найдемопорный план методом наименьшей стоимости

Склады вооружения Потребители Запасы

N1

N2

N3

N4

А1

4 30 10 11 7

30 α1

А2

5 10 3 10 6 10 8 30

60 α2

А3

2 1 10 12 9

10 α3

Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100

Суммазатрат равна F=120+50+30+10+60+240=510.

Правильностьопорного решения N=m+n-1=3+4-1=6, это число равно количеству заполненныхклеток.

Проверимпостроенный план на оптимальность методом потенциалов.

Длязанятых ячеек:

α1+β1=4,

α2+β1=5,

α2+β2=3,

α2+β3=6,

α2+β4=8,

α3+β2=1.

Пустьα1=0, тогда получаем:

α2=1,

α3=-1,

β1=4,

β2=2,

β3=5,

β4=7.

Длясвободных клеток:

D12=с12-(α1+β2)=10-(0+2)=8>0,

D13=с13-(α1+β3)=11-(0+5)=6>0,

D14=с14-(α1+β4)=7-(0+7)=0≥0,

D31=с31-(α3+β1)=2-(-1+4)=-1<0,

D33=с33-(α3+β3)=12-(-1+5)=6>0,

D34=с34-(α3+β4)=9-(-1+7)=3>0.

Здесьимеются отрицательные значения, в частности, для клетки с тарифом c31.Следовательно, построенный план нуждается в оптимизации, для чего построим циклпересчета.

Склады вооружения Потребители Запасы

N1

N2

N3

N4

А1

4 30 10 11 7

30 α1

А2

/>/>5 10 -

/>3 10 +

6 10 8 30

60 α2

А3

/>2 +

1 10 - 12 9

10 α3

Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100

Используяцикл пересчета получаем новый опорный план. Проверим правильность опорногорешения N=m+n-1=3+4-1=6<5, это число меньше количества заполненных клеток (5клеток).

Склады вооружения Потребители Запасы

N1

N2

N3

N4

А1

4 30 10 11 7

30 α1

А2

5 3 20 6 10 8 30

60 α2

А3

2 10 1 12 9

10 α3

Потребности

40

β1

20

β2

10

β3

30

β4

100

Такимобразом, мы получили план, матрица которого является вырожденной, то есть ееопределитель равен нулю.

Задание4. Системы массового обслуживания

Контрольготовой продукции фирмы осуществляют А контролеров. Если изделие поступает наконтроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оноостается не проверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляютВ изд./час. Среднее время на проверку одного изделия – С мин.

Определить:

· вероятность того,что изделие пройдет проверку;

· насколькозагружены контролеры;

· сколькоконтролеров необходимо поставить, чтобы Робс.≥D.

Решение.

A=5, B=24, C=6, D=0,98,n=5.

1.Вероятность того, что изделие пройдет проверку.

/> -интенсивность нагрузки, /> — интенсивность потока заявок, /> - интенсивностьпотока обслуживания.

Поусловию задачи />дет./ч.=0,4 дет./мин.;

/>мин., />, />.

Вероятностьпростоя канала обслуживания: />.

/>

Вероятностьотказа в обслуживании: />.

Вероятностьобслуживания: Робс.=1-Ротк.=1-0,062=0,938.

2.Среднее число каналов, занятых обслуживанием:

/>

Доляканалов, занятых обслуживанием:

/>

3.При n=5 Робс.=0,938<0,95.

Произведемрасчеты аналогично п. 1, 2 для n=6.

/>

/>.

Робс.=1-Ротк.=1-0,024=0,98.

Робс.=0,98>0,95.

Ответ:вероятность того, что при n=5 изделие не пройдет проверку составляет (Ротк.)6,2% и контролеры будут заняты обслуживанием (kз) 45%. Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%,необходимо иметь не менее 6-ти контролеров.

Задание6. Элементы теории игр

Фирмапроизводит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которыхзависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля – мая на единицупродукции составят: платья – А ден.ед., костюмы – В ден.ед. Цена реализациисоставит С и D ден.ед. соответственно.

Поданным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать вусловиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде –М шт. платьев и N шт. костюмов.

Всвязи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпускепродукции, обеспечивающую ей максимальный доход. Задачу решить, используяразличные критерии игр с природой, приняв степень оптимизма α.

Решение

1)Если фирма примет стратегию А1 и погода будет в действительности теплая, топродукция будет реализована и доход составит:

/>

2)Если погода будет прохладной при стратегии А1, то костюмы будут проданыполностью, а платья – только в количестве 490 усл.ед. Тогда доход составит:

/>

3)Если реальная погода совпадет со стратегией А2, то прибыль составит:

/>

4)Если же реальная погода будет теплой при стратегии А2, то прибыль составит:

/>

Рассматриваяфирму и погоду в виде двух игроков, составим матрицу:

/>

/>

/>

/>

Ценаигры лежит в диапазоне

/>

Изплатежной матрицы видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше12540 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доходфирмы может составить 29340 р.

Вусловиях непределенности не представляется возможным фирме использоватьсмешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определенияоптимальной стратегии используем следующие критерии.

1.Критерий Вальде: /> - фирме целесообразноиспользовать стратегию А1.

2.Критерий максимума: /> - фирме целесообразноиспользовать стратегию А2.

3.Критерий Гурвица:

— для стратегии А1:

/>;

— для стратегии А2:

/>

/> - фирмецелесообразно выбрать стратегию А2.

4.Критерий Сэвиджа: максимальный элемент в первом столбце – 29340 р., во втором –12540 р. Элементы матрицы рисков:

/>.

/>

/>

/>

/>

Матрицарисков: />.

/>

Фирмецелесообразно применять стратегию А1.

Списоклитературы

1. Экономико-математическоемоделирование. Учебник для вузов / Под общ. ред. И.Н. Дрогобыцкого. – М.: Изд.«Экзамен», 2004.

2. Орехов Н.А., ЛевинА.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. Учебное пособиедля вузов / Под ред. проф. Н.А. Орехова – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

3. Лунгу К.Н. Линейноепрограммирование. Руководство к решению задач. – М.: Физматлит, 2005.

4. Малыхин В.И.Математика в экономике: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2002.

5. Самаров К.Л., ШапкинА.С. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам вэкономике: Учебное пособие – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко»,2007.

6. Солодовников А.С.,Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: в 2-хч. Ч. 2. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 376 с.: ил.

7. Колемаев В.А.Математическая экономика. Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.