Реферат: Математические методы в экономике
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Реферат на тему:
Математические методы в экономике.
Выполнила: О.В. Ивченко
Проверил:
Тюмень – 2006
Содержание.
Введение. 3
ГЛАВА 1. Линейное программирование. 4
§1. «Геометрическаяинтерпретация ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП» 5§2. «Симплексный методрешения ЗЛП». 7
§3. «Метод искусственногобазиса». 11
§4. «Транспортнаязадача». 13
П.1 Алгоритм метода минимального элемента. 14
П. 2 Алгоритм метода Фогеля. 14
П.3 Алгоритм метода двойного предпочтения. 15
П.4. Алгоритм метода северо-западного угла. 15
П.5. Алгоритм метода потенциалов. 15
§5. «Задачицелочисленного программирования. Метод Гомори». 18
Заключение. 20
Используемая литература: 25
Введение.
Историческиматематическая экономика началась с моделей простого и расширенноговоспроизводства. В них отражались потоки денег и потоки товаров и продуктов.Это, например, модель Ф. Кенэ. Позднее эти модели подробно и болееглубоко изучались в экономической кибернетике — здесь можно указать на работыО. Ланге. Рассмотрены схемы денежных и материальных потоков, обеспечивающихпростое и расширенное воспроизводство, их идентификацию, модели математическойстатистики. Далее возникли концепции производственных функций, предельных имаргинальных значений, предельных полезностей и субъективных полезностей.Дальнейшее развитие — в рамках линейного и выпуклого программирования,выпуклого анализа.
Далее:развитие тонких техник моделирования: имитационное моделирование, экспертныесистемы, нейронные сети.
Понятиесубъективной полезности ввел в 18-ом веке Ф.Галиани. Затем это понятие ипонятие предельной полезности развивали с середины 19-ого века: в рамкахавстрийской школы — К.Менгер, В.Бем-Баверк, Ф.Визер.
Этиже понятия, а также углубленное развитие модели экономического равновесия — врамках математической школы: Л.Вальрас, У.Джевонс, Эджворт.
Иавстрийская, и математическая школы связаны с маржиналистской концепцией.Точный вид маргинальные оценки получили в теории двойственности вматематическом программировании.
ГЛАВА 1. Линейное программирование.
Исследование операций вэкономике – это научная дисциплина, целью которой является количественноеобоснование принимаемых решений. С помощью специальных математических методоврешается определенный класс экономических задач. К таким задачам относятся:
• задача об оптимальном использованииограниченных ресурсов (сырьевых, трудовых, временных);
• задача сетевого планирования иуправления;
• задачи массового обслуживания;
• задачи составления расписания(календарного планирования);
• задачи выбора маршрута и другие.
Оптимизационная задача, вкоторой целевая функция и неравенства (уравнения), входящие в системуограничений являются линейными функциями, называется задачей линейногопрограммирования.
Общая задача линейногопрограммирования имеет вид:
(1.1)
(1.2)
/>/> (1.3)
Функция (1.1) называетсяцелевой функцией. Система (1.2) называется системой ограничений, а условие(1.3) – условием неотрицательности.
§1.«Геометрическаяинтерпретация ЗЛП. Графический метод решения ЗЛП»Графический метод решенияЗЛП основан на следующих утверждениях.
Система ограничений ЗЛПгеометрически представляет собой выпуклый многоугольник или выпуклую многоугольнуюобласть как пересечение полуплоскостей — геометрических образов неравенствсистемы.
Целевая функция Z = c1x1 + c2x2 геометрически изображает семействопараллельных прямых, перпендикулярных вектору нормали N(с1, с2). Эти прямые называются линиямиуровня.
Линия уровня – это прямая, вдолькоторой целевая функция принимает фиксированное значение.
Теорема. При перемещении линии уровня внаправлении вектора нормали Nзначение целевой функции возрастает, в противоположном направлении — убывает.
Алгоритм графического метода решенияЗЛП.
1. В системекоординат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенствусистемы ограничений;
2. найтиполуплоскость решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками). Дляопределения полуплоскости необходимо выбрать любую контрольную точку, нележащую на данной прямой. Подставить ее координаты в систему ограничений. Еслинеравенство выполняется, то нужно выбрать полуплоскость, содержащую контрольнуюточку. Если неравенство не выполняется нужно выбрать полуплоскость, несодержащую контрольную точку. В качестве контрольной точки рекомендуетсявыбирать точку с координатами (0;0);
3. найтимногоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений какпересечение полуплоскостей;
4. построить векторнормали N. Начало вектора нормали в точке скоординатами (0;0), конец вектора в точке с координатами (с1, с2);
5. через начало координатпостроить линию уровня, перпендикулярно к вектору нормали;
6. перемещать линиюуровня параллельно самой себе по области решения в угловые точки, достигая max f при движении вектора N (min f при движении в противоположномнаправлении);
7. найти координатыточки max (min). Для этого необходимо решить систему уравненийпрямых, которые пересекаются в этой точке или определить координаты по графику;
8. вычислить значениецелевой функции в этой точке (ответ).
§2.«Симплексный метод решения ЗЛП»Симплексный методпредставляет собой схему получения оптимального плана за конечное число шагов.
Для использованиясимплексного метода ЗЛП должна быть приведена к каноническому виду, т.е.система ограничений должна быть представлена в виде уравнений.
Оптимизационныеисследования ЗЛП удобно проводить, пользуясь симплекс-таблицами. Существуетдостаточно большое количество форм симплекс-таблиц. Воспользуемся одной изформ, по которой рекомендуется следующий порядок решения ЗЛП:
1. Математическая модель задачиприводится к канонической форме с помощью дополнительных неотрицательныхпеременных.
2. Определяется начальное базисноедопустимое решение. Для этого переменные разбивают на две группы – основные(базисные) и неосновные. В качестве основных переменных следует выбрать (есливозможно) переменные, каждая из которых входит только в одно из уравненийсистемы ограничений. Дополнительные переменные удовлетворяют этому правилу.
3. Составляется исходнаясимплекс-таблица (таблица 1), в которую записывают параметры, соответствующиеначальному базисному допустимому решению:
3.1. Весовые коэффициенты cjпри переменных xj (j = 1,...,n) целевой функции (строка C).
3.2. Весовые коэффициенты ci при базисных переменных xi (i= 1,...,m) целевой функции (столбец Cb).
3.3. Переменные xi (i = 1,…,m), которые входят в текущий базис (столбец Ab ).
3.4. Свободные коэффициенты bi (i=1,… ,m) уравнений ограничений (столбец B). В этом же столбце находимоптимальный план задачи.
3.5. Элементы aij (i = 1,…,m; j = 1,… ,n) матрицы условий задачи (столбцы A1, .., An).
Таблица 1
Аб
Сб
В
c1
...
cj
...
ck
...
cn
A1
...Aj
...Ak
...An
А1
c1
b1
a11
...a1j
...a1k
...a1n
… ... ... ... ... ... ... ... ... ...Аi
ci
bi
ai1
...aij
...aik
...ain
… ... ... ... ... ... ... ... ... ...Ar
cr
br
ar1
...arj
...ark
...arn
… ... ... ... ... ... ... ... ... ...Am
cm
bm
am1
...amj
...amk
...amn
m+1 SS1
...Sj
...Sk
...Sn
3.6. Оценки Sj (j=1,…,n) векторов условий Aj, которые определяются по формуле:
/>
где ci — весовые коэффициенты при базисныхпеременных.
Из этой формулы следует,что коэффициенты zj вычисляются для каждого столбца как суммапочленных произведений коэффициентов ci на одноименные коэффициентыj-го столбца. При заполнении симплекс-таблицы при условии, что рассматриваетсязадача максимизации целевой функции, необходимо иметь в виду:
• если Sj ³ 0 для всех j = 1, ..., n, то полученное решение является оптимальным;
• если имеются Sj < 0и в столбцах Aj,соответствующих этим отрицательным оценкам, существует хотя бы один элемент aij><sub/>0, то возможен переход к новому решению, связанному сбольшим значением целевой функции;
• Из отрицательных оценок выбирают ту,у которой значение по абсолютной величине больше. Если имеется несколько одинаковыхотрицательных оценок, то выбирают ту, которой соответствует максимальныйкоэффициент целевой функции ci.
• если имеются Sk<0 и в столбце Ak все элементы aik £<sub/>0, то в области допустимых решений целевая функция неограничена сверху.
4. Определяется вектор Ak,который необходимо ввести в базис для улучшения решения, по наибольшемузначению Sk. Переменная этого столбца xk будет новойбазисной переменной, которая вводится в базис. Столбец, содержащий этупеременную, называетсянаправляющим столбцом.
5. Определяется вектор, который нужновывести из базиса, используя равенство:
/>
Это условие позволяетнайти направляющую строку. Переменная xr, соответствующаяэтой строке, выводится из базисного решения и заменяется переменной xk<sub/>направляющего столбца. Элемент ark, который стоит напересечении направляющего столбца и направляющей строки, называется разрешающимэлементом.
6. Заполняется таблица соответствующаяновому базисному решению. В этой таблице, прежде всего заполняются клеткистроки r с вводимой переменной xk. Для этого все элементы этойстроки делятся на направляющий элемент. Получаются элементы новой строки:
br/ark, ar1/ark,…, arn/ark.
Остальные элементы новой таблицы определяются по правилупрямоугольника:
/> <td/> />Процесс вычисленийзаканчивается, когда найдено оптимальное решение см. п.п.3.6.
Критерий оптимальностирешения для нахождения максимального значения целевой функции: если ввыражении линейной функции через неосновные переменные отсутствуют положительныекоэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.
Критерий оптимальностирешения для нахождения минимального значения целевой функции: если в выражениилинейной функции через неосновные переменные отсутствуют отрицательныекоэффициенты при неосновных переменных, то решение оптимально.
§3.«Метод искусственного базиса».Если ограничения исходнойзадачи содержат единичную матрицу порядка М, то при неотрицательности правыхчастей уравнений определен первоначальный план, из которого с помощью симплекс– таблиц находится оптимальный план.
Если ограничения можнопривести к виду:
Ах≤А0при А0≥0, то система ограничений содержит единичную матрицувсегда.
Если задача не содержитединичной матрицы и не приводится к указанному виду, то для решения задачииспользуется метод искусственного базиса.
Для получения единичнойматрицы к каждому ограничению прибавляют по одной неотрицательной переменной,которые называются искусственными. Единичные вектора, соответствующиеискусственным переменным, образуют искусственный базис.
В целевую функциюискусственные переменные добавляются с коэффициентом М, если задана задача нанахождение минимума. В этом случае величина М предполагается достаточно большимположительным числом. Если необходимо найти минимальное значение целевойфункции, то искусственные переменные записывают с коэффициентом (-М), которыйпредполагается достаточно малым отрицательным числом. Для нахожденияоптимального плана в случае, если заранее не задана величина М, применяетсясимплекс-метод, который в таблице имеет на одну строку больше, чем обычнаясимплекс-таблица.
Строка оценок разбиваетсяна две:
(m+1) – оценка, не зависящая от М;
(m+2) – коэффициент при М.
По (m+2) строке определяют вектор,подлежащий включению в базис. Итерационный процесс проводят до исключения избазиса всех искусственных векторов. Затем процесс продолжают по (m+1) строке обычным симплекс-методом.
§4.«Транспортная задача»Классическая транспортнаязадача формулируется следующим образом:
Имеется m пунктовотправления (производства) A1, A2,… ,Am, вкоторых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объём этогопродукта в пункте Ai составляет ai единиц. Кроме того,имеется n пунктов потребления B1, B2,… ,Bn.Объём потребления в пункте Bj составляет bjединиц. Предполагается, что из каждого пункта отправления возможнатранспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость cijперевозки единицы продукта из пункта Ai в пункт Bj .
Требуется составить такойплан перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностьювыполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость перевозок быламинимальной.
При такой постановкеданную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.
В общем виде исходные данные представлены в таблице9.
Таблица 9
/>
Транспортная задача называется закрытой,если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности вэтих грузах по пунктам назначения
/>
Если такого равенства нет (потребности выше запасовили наоборот), задачу называют открытой.
П.1 Алгоритмметода минимального элемента.1. Израспределительной таблицы 9 выбирают наименьшую стоимость и в клетку, котораяей соответствует, помещают меньшее из чисел ai или bj (если таких клеток несколько, товыбирают любую);
2. Из рассмотренияисключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностьюизрасходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которогополностью удовлетворены, либо и то и другое;
3. Из оставшейсячасти таблицы снова выбирают наименьшую стоимость и процесс продолжается до техпор, пока все запасы не будут вывезены, а потребности удовлетворены;
4. Рассчитываюттранспортные расходы: сумма произведений количества перевезенной продукции настоимость для занятых клеток.
П. 2 Алгоритм методаФогеля.1. В каждой строкенаходят разность между двумя наименьшими стоимостями и записывают ее околосоответствующей строки справа;
2. В каждом столбценаходят разность между двумя наименьшими стоимостями и записывают ее подсоответствующим столбцом;
3. Среди всехполученных разностей находят максимальную и распределяют объем перевозки вклетку строки или столбца с наименьшей стоимостью;
4. Исключают израссмотрения строку или столбец с распределенными поставками и возвращаются кпункту 1. Процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут вывезены, апотребности удовлетворены;
5. Когда планпостроен, рассчитываются транспортные расходы.
П.3Алгоритм метода двойного предпочтения.1. В таблице 9 вкаждом столбце отмечают галочкой клетку с наименьшей стоимостью и в каждойстроке отмечают галочкой клетку с наименьшей стоимостью;
2. В клетки с двумягалочками записывают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз,исключая соответствующий столбец или строку;
3. Распределяютперевозки по клеткам с одной галочкой;
4. В оставшейсячасти таблицы перевозки распределяют в клетки с наименьшей стоимостью.
5. Когда планпостроен, рассчитываются транспортные расходы.
П.4. Алгоритм методасеверо-западного угла.1. Пользуясьтаблицей 9 распределяют груз, начиная с левой верхней, условно называемойсеверо-западной, клетки (1,1). Необходимо удовлетворить потребности В1за счет поставщика А1;
2. а). Если b1>a1, в клетку (1,1) записывают a1 и строку 1 вычеркивают из рассмотрения;
b). Если a1>b1, в клетку (1,1) записывают b1 и столбец 1 вычеркивают из рассмотрения;
3. а). Если b1>a1, ∆= b1 — a1 – неудовлетворенные потребности.Спускаются на клетку вниз и сравнивают ∆ с a2;
b). Если a1>b1, ∆=a1 — b1– не вывезенныезапасы. Двигаются по строке вправо и сравнивают ∆ с b2;
4. Необходимовернуться к пункту 2;
5. Рассчитываютсятранспортные расходы.
П.5. Алгоритм методапотенциалов.1. проверяется типмодели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;
2. находится опорныйплан перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов — северо-западного угла или наименьшей стоимости;
3. проверяем план(таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случаевырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью « 0 »;
4. для опорногоплана определяются потенциалы ui и vj, соответствующиебазисным клеткам, по условию:
ui + vj = cij
Таких уравнений будет m + n — 1, а переменных будет m + n. Для их определения одну изпеременных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u1= 0.
После этого для небазисных клетокопорного плана определяются оценки />,
где />
При этом если /> £0, то опорный план оптимален, если жесреди /> окажется хотя бы одинположительный элемент, то опорный план можно улучшить.
Улучшение опорного планаосуществляется путем целенаправленного переноса из клетки в клетку транспортной таблицы отдельных перевозок без нарушения баланса по некоторомузамкнутому циклу.
Циклом транспортной таблицы называетсяпоследовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток,расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном рядудолжно быть равно двум.
Каждый цикл имеет четное числовершин, одна из которых в клетке с небазисной переменной, другие вершины вклетках с базисными переменными. Клетки отмечаются знаком «+», если перевозки вданной клетке увеличиваются и знаком «–» в противном случае. Цикл начинается изаканчивается на выбранной небазисной переменной и отмечается знаком «+». Далеезнаки чередуются.
Количество единиц продукта,перемещаемого из клетки в клетку по циклу, постоянно, поэтому сумма перевозокв каждой строке и в каждом столбце остаются неизменными. Стоимость всего планаизменяется на цену цикла.
Цена цикла – это стоимость перевозки единицыпродукта по циклу с учетом знаков вершин.
Улучшение опорного планаосуществляется путем нахождения цикла с отрицательной ценой.
5. Если критерийоптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу. Для этого:
а) в качестве начальной небазиснойпеременной принимается та, у которой оценка /> имеетмаксимальное значение;
б) составляется цикл пересчета;
в) находится число перерасчета поциклу: число X=min{Xij}, где Xij<sub/>- числа в заполненных клетках со знаком « — »;
г) составляется новая таблица,добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла;
6. Возвращаются кпункту 3 и т.д.
7. Через конечноечисло шагов (циклов) обязательно приходят к ответу, так как транспортная задачавсегда имеет решение.
§5.«Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори»Задачалинейного целочисленного программирования формулируется следующим образом:
Найти такоерешение (план) Х=(х1, х2,…, хn), при котором линейная функция
/> (5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
принимает максимальноезначение при ограничениях:/>
Методыцелочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы:
a. методы отсечения;
b. комбинаторныеметоды;
c. приближенныеметоды.
Подробнееостановимся на методах отсечения. Сущность методов отсечения состоит в том, чтосначала задача решается без условий целочисленности. Если полученный планцелочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляетсяновое ограничение, обладающее следующими свойствами:
• оно должно быть линейным;
• должно отсекать найденный оптимальныйнецелочисленный план;
• не должно отсекать ни одногоцелочисленного плана.
Дополнительноеограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильнымотсечением.
Далее задачарешается с учетом нового ограничения. После этого в случае необходимостидобавляется еще одно ограничение и т.д.
Один изалгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования, предложенныйГомори, основан на симплексном методе и использует достаточно простой способпостроения правильного отсечения.
Алгоритм метода Гомори:
1. Симплекснымметодом решается задача (5.1)-(5.3) без учета условия целочисленности. Если всекомпоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачицелочисленного программирования (5.1)-(5.4). Если первая задача (8.1)-(8.3)неразрешима (т.е. не имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), тои вторая задача (5.1)-(5.4) также неразрешима.
2. Если средикомпонент оптимального решения есть нецелые, то выбирают компоненту снаибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы ограниченийформируется правильное отсечение:
/> (5.5)
3. Неравенство (5.5)введением дополнительной неотрицательной целочисленной переменнойпреобразовывают в равносильное уравнение
/> (5.6)
и включить его в систему ограничений (5.2).
4. Полученнуюрасширенную задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный планбудет целочисленным, то задача целочисленного программирования (5.1)-(5.4)решена. В противном случае возвратиться к пункту 2.
Если задача разрешима в целых числах, то послеконечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.
Заключение.
Задачиэкономической науки, требующие применения математики
Имеетсяряд определений предмета экономической теории. Из них вытекает необходимостьэкономико-математических методов, причем требуется самая изощренная современнаяматематика, как теоретическая, так и прикладная. Фактически существует такаядисциплина, как математическая экономика, которая у ряда авторов представляетсобой чисто математическую теорию с типичным для нее построением: формальныеопределения с соответствующими примерами реальных объектов, затем теоремы, ихточные доказательства, интерпретация этих теорем. Такой способ построенияэкономической теории напоминает о некоторых реализациях такой дисциплины, какматематическая физика, в виде чисто математической абстрактной теории. Все этокрайности, которые необходимы для интенсивного развития математическогоаппарата, но они должны быть лишь частью теории, служащей некоторымсодержательным, жизненно необходимым и в конечном счеты неформализуемымзадачам.
Определенияэкономической теории, синтезированные из работ ряда авторов (таких, как Э.Маленво,П.Самуэльсон, Г.Саймон, И.Экланд):
Экономическаятеория — это наука, которая:
Во-первых,изучает проблемы наилучшего использования ограниченных возможностейчеловеческой деятельности.
Нотак как люди редко действуют рационально и эффективно, то:
Во-вторых,она изучает РЕАЛЬНОЕ поведение человека, который В ПРИНЦИПЕ умеет связыватьэкономические цели и средства их достижения.
Дальшеидёт конкретизация:
В-третьих,она изучает, как ограниченные ресурсы используются для удовлетворенияпотребностей людей, живущих в обществе. И потому предмет её исследований — этоосновные экономические процессы, такие, как производство, распределение благ иих потребление. С другой стороны, экономическая теория изучаетинституциональные структуры и процессы, преследующие цель организацииупорядоченного прохождения этих операций и процессов.
В-четвёртых,экономическая теория описывает и изучает человеческий выбор, в том числе —обмен в условиях ограничений. Ограниченные ресурсы, которые здесь существенны —это материальные, трудовые, финансовые, технологические, информационные идругие. Информационная сторона экономических процессов становится все болееважной, в связи с чем все большее значение приобретает экономическаяинформатика.
В-пятых,теория изучает, как из индивидуальных способов поведения, рассматриваемых, какисходные, как заданные, выводятся закономерности на уровне общества; какиндивидуальные решения синтезируются в коллективные.
Приэтом следует сказать, что экономическая теория может быть как дескриптивной,так и нормативной.
Дескриптивная- описательная — экономическая теория описывает поведение людей при выбореэкономических действий (на основе оценок текущего состояния, его диагностики ипрогнозирования его развития).
Нормативнаятеория даёт рекомендации по оптимальному экономическому поведению.
Такимобразом, в абстрактной форме основные задачи экономики суть математическиезадачи выбора и диагностики (сюда включаются и прогнозирование, и оценкиситуаций), усложнённые неформализованными элементами, противоречивыми,сингулярными моделями и т.д.
Математикав экономической науке, в экономической информатике применяется во все большихмасштабах. Сейчас очевидно, что она — необходимая часть экономической теории.Однако она недостаточна, так как и чисто экономическая содержательнаясоставляющая становится все более сложной, а неформализованная сторона описанияэкономических явлений всегда будет присутствовать.
Исуществует не только рациональный выбор индивидуумами их решений, который естьпредмет неоклассической экономической теории. Рациональное целесообразноеповедение ограничено в своих возможностях — с точки зрения ресурсов,организационных возможностей, степени охвата разнообразных, разноплановых, втом числе и неформализованных, связей, с точки зрения возможности учётатрадиций, психологии и так далее.
Оноограничено также потенциалом вычислительных средств для вычисления эффективногоповедения и учёта поведения других субъектов. Это и требует дополнениянеклассической теории (основанной на принципах целесообразного поведения)другими средствами моделирования. Неоклассическая теория базируется наконцепции выбора из множества альтернатив с использованием функции полезности.
Ноэто нужно дополнить средствами решения таких проблем:
1. какобнаруживать и записывать эти альтернативы, их множество и способы выбора изних;
2. какописывать и идентифицировать функцию полезности или отношения предпочтения;
3. Каксвязывать альтернативы, полезности, действия, выбора и реализации альтернатив(причем и чисто эмпирические реализации);
4. какучитывать реальную и нормативную рациональную эмпирику;
5. какучитывать ограничения на передачу информации (скорость, объемы) и навычислительную сложность.
Вотношении экономики можно сказать, что это динамическая система — множество,обладающее целостностью, в котором эволюционируют и элементы множества, и ихсвойства, и отношения между ними.
Систему,в том числе алгебраическую, можно рассматривать и как инструмент принятиярешений, и как модель, как способ восприятия реальных феноменов.
Абстрактнаясистема — это совокупность взаимосвязанных переменных (разной алгебраическойприроды), отражающих характеристики описываемого явления или объекта.Фактически это математическая модель. Опишем структуру системы. В системувходят:
· совокупностьвзаимосвязанных элементов;
· субъектисследования — исследователь;
· формулировказадачи — отношения наблюдателя, исследователя, к совокупности элементов,соответствующий отбор элементов и их существенных свойств;
· отношениямежду элементами;
· описаниенаборов элементов, переменных, параметров и констант, а также связей междуними.
Итеперь нужно обратиться к понятию структуализма в экономической теории.Структуралистская идея заключается в аксиоматическом формальном заданииотношений и связей между элементами системы, включая как идентифицированные,так и неизвестные элементы, первоначально заданные чисто символически. Крометого задается логика анализа следствий из имеющихся посылок и правил вывода. Врезультате многократного применения (иногда в бесконечном процессе) этих правилпроисходит частичная или полная идентификация искомых блоков модели.
Структурноеисследование экономики — это:
· логико-математическоеописание реальных или абстрактных процессов и явлений;
· еслиже имеет место дополнение постструктуалистской методологией, то к этомудобавляется подобное изучение во всей многоплановости и полноте экономическихявлений, в их противоречивости и возможной неформализованности.
Моделиматематической экономики
Математическаяэкономика изучает свойства экономической динамики и равновесия с помощьюматематических моделей этих феноменов и точного исследования моделей. При этомполучены условия положительного экономического роста и условия равновесияэкономики при различных предположениях о природе производства. и распределенияпродуктов, о механизме рынка и установления цен, ренты и других экономическихвеличин.
Классическиемодели математической экономики таковы:
· модельоптимального использования ограниченных ресурсов в технологических способах.Это модель оптимального выбора;
· модельЛеонтьева — модель межотраслевого баланса — как в статической, так и вдинамической формах. Это модель прямых, косвенных и полных взаимосвязейподразделений экономики;
· теоретико-игровыемодели;
· модельфон Неймана о росте капитала и натурального производства, об образованииценностей товаров и о вычислении объективно обоснованной ренты;
· моделитехнологических множеств и теоремы о магистралях как образцовых траекторияхэкономического развития;
· моделиравновесия: Вальраса, Эрроу, Дебре и других;
· моделиобмена, в том числе международного;
· моделисогласования предпочтений экономических субъектов;
· моделипрямого и расширенного воспроизводства национальной экономики;
Внастоящее время интенсивно развиваются модели финансовой и актуарнойматематики, которые включают в себя в качестве блоков математическую статистикуи распознавание образов.
Модели исследованияопераций являются граничащими с математической экономикой моделями, онидополняют теоретические исследования и позволяют строить и исследовать болеепрактические модели — такие, например, как модели управления запасами, моделикалендарного планирования и другие.
Используемая литература:
1. Е.С. Вентцель. Исследование операций:задачи, принципы, методология. — М.: 2004.
2. О.А. Косоруков, А.В. Мищенко. Учебникдля ВУЗов. — М.: «Экзамен», 2003.
3. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин,М.Н. Фридман.- М.: ЮНИТИ, 2002.
4. Хемди А. Таха. Введение висследование операций. 6-е издание: пер. с англ.-М.: Издательский дом«Вильямс», 2001.
5. П.В. Конюховский. Математическиеметоды исследования операций. — М.: Питер, 2000.
6. Н.Ш. Кремер. Исследование операций вэкономике. — М.: «Банки и биржи» Издательское объединение «ЮНИТИ», 1997.
7. А. Б. Аронович, М.Ю.Афанасьев, Б.П.Суворов. Сборник задач по исследованию операций. – М.: Издательство МГУ, 1997.
8. Ю.И. Дегтярев. Системный анализ иисследование операций. Учебник для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1996.
9. Г. Вагнер. Основы исследованийопераций. Т.1-3. — М.: Мир, 1972.
10. Исследование операций. Учебник дляВУЗов под общей редакцией д.э.н. Н.П. Тихомирова.