Реферат: Математические методы экономики

Математические методы экономики.Моделирование сферы потребления. Потребительские предпочтения. Кривыебезразличия. Предельная норма замещения благ. Функция полезности и её свойства.Бюджетное ограничение. Равновесие потребителя. Реакция потребителя на изменениецен и дохода. Уравнение Слуцкого. Эффекты дохода и замены. Классификация благ.Индивидуальный и рыночный спрос. Эластичность спроса по ценам и доходупотребителя. Построение функции спроса по опытным данным.

В условиях рыночной системы управления производственной исбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственныхрешений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынкомв ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе основойпредпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса.

Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Уровень потребления общества можно выразить целевойфункцией потребления U = U(Y), где Y />О — вектор переменных разнообразныхтоваров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометрическуюинтерпретацию уравнений U(Y) = С, где С — меняющийся параметр,характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления (например, доходили уровень материального благосостояния).

В совокупности потребительских благ каждому уравнению U(Y)= С соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных,наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Длянаглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двухагрегированных групп товаров: продукты питания (y1) и непродовольственныетовары, включая услуги (у2 ). Тогда уровни целевой функциипотребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия,соответствующих различным значениям С (рис. 8.1, где С1< С2 < Сз).

Рис. 8.1. График кривых безразличия

Из основных свойств целевой функции потребления можноотметит следующие:

1. функция U(Y) является возрастающей функцией всех своихаргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизменном уровнепотребления всех других благ увеличивает значение данной функции;

2. кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точкусовокупности благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхностьбезразличия;

3. кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат,при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительномнаправлении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления основаны наобобщении опыта поведения потребителей и тенденций покупательского спроса взависимости от уровня благосостояния.

Рассмотрим моделирование поведения потребителей в условияхтоварно-денежных отношений на базе целевой функции потребления. В основемодели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляявыбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятсямаксимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в совокупности п видов товаров исследуется поведениепотребителей. Обозначим спрос потребителей через вектор Y = (y1, у2,...,yn),а цены на различные товары — через вектор Р = (р1, р2,…,pп). Пусть D - величина дохода. Тогда потребители могут выбиратьтолько такие комбинации товаров, которые удовлетворяют ограничению />, называемомубюджетным ограничением.

Пусть U(Y) целевая функция потребления. Тогдапростейшая модель поведения потребителей в векторной форме можно записать ввиде:

/> (8.1)

Геометрическая интерпретация модели (8.1) для двух агрегированныхгрупп товаров представлена на рис. 8.2.

Линия АВ (в других вариантах А1В1,А2В2) соответствует бюджетному ограничению иназывается бюджетной линией. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ (A1OB1, A2OB2).

Рис. 8.2. График простейшей модели поведенияпотребителя

Набор товаров М, соответствующий точке касания прямойАВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением (вдругих вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и A1B1соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары y1и у2; линия A2B2 соответствует большемуразмеру дохода.

На основе теории нелинейного программирования, можноопределить математические условия оптимальности решений для модели (8.1). Сзадачей нелинейного программирования связывается так называемая функцияЛагранжа, которая для задачи (8.1) имеет вид

L(Y, l,) = U(Y) + l(D — PY),

где множитель Лагранжа l является оптимальной оценкой дохода.

Обозначим частные производные функции U(Y) через Ui:/>

Они представляют собой предельные полезные эффекты (предельныеполезности) соответствующих потребительских благ и показывает на сколько единицувеличивается целевая функция потребления при увеличении использования i-гоблага(товара) на некоторую условную «малую единицу».

Необходимыми условиями того что вектор Y0будетоптимальным решением, является условия Куна-Таккера:

при этом/>

/> (товарприобретается)

/> (товар неприобретается) (8.2)

Последнее из соотношений (8.2) соответствует полномуиспользованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство />.

Из условий оптимальности (8.2) следует, что

Это означает, что потребители должны выбрать товары такимобразом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковымдля всех приобретаемых товаров, т.е. в оптимальном наборе предельные полезностивыбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями спроса называются функции, отражающие зависимостьобъема спроса на отдельные товары и услуг от совокупности факторов, влияющих нанего. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов –дохода и цен.

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются какменяющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решениемоптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция /> компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен являетсянеизменным, а доход изменяется. Для двух товаров этот случай представлен нарис. 8.3. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара y1,которое можно приобрести на имеющий доход Z (точка В), а по оси ординат – то жесамое для товара y2 (точка А), то прямая линия АВ, называемойбюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров,которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линииперемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе сними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спросапотребителей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки M1,M2, M3. При нулевом доходе спрос на оба товаранулевой. Кривая, соединяющая точки 0, M1, M2, M3,является графическим отображением векторной функции спроса и дохода призаданном векторе цен.

Рис. 8.3. График функции спроса и дохода (для двухтоваров у1 и у2)

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяютсяпри анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые /> называютсякривыми Энгеля (по имени немецкого экономиста). Формы этих кривых дляразличных товаров могут быть различны. Если спрос на данный товар возрастаетпримерно пропорционально доходу, то функция будет линейной (рис. 8.4а). Если помере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокимитемпами, то кривая Энгеля будет выпуклой (рис. 8.4б). Если рост значенийспроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает отроста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 8.4в).

предложил специальные виды функции спроса (функцииТорнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второйнеобходимости, предметов роскоши.

Важным показателем функции спроса является коэффициентэластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает на сколькопроцентов, изменится спрос, если доход увеличится на 1% (при прочих неизменяющихся факторах), и вычисляется по формуле:

где /> - коэффициентэластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z;yi- спрос на i-й товар, являющийся функцией дохода: />.

Рис. 8.4. Кривые Энгеля

Аналогичный принцип разграничения групп товаров потипам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист,который

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны повеличине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростомдоходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров взависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

· малоценные товары (/>);

· товары с малой эластичностью (/>);

· товары со средней эластичностью (/> близки к единице);

· товары с высокой эластичностью (/>).

К малоценным товарам (с отрицательной эластичностью спросаот дохода) относятся хлеб, а также низкосортные товары. По результатамобследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятсяв интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви — в интервале от 1,1 до 1,3и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второйгрупп на товары третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первойгруппы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательскогоспроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (8.1) следует, чтоспрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р),однако построить функции общего вида />очень сложно. Поэтому впрактических исследованиях ограничиваются построением и анализом функцийспроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товарили группу взаимозаменяемых товаров: />.

Для большинства товаров действует зависимость: чем вышецена, тем ниже спрос, и наоборот. Относительное изменение объема спроса приизменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаровхарактеризует коэффициент эластичности спроса от цен.Этот коэффициент эластичностиудобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении ценына 1%.

Для спроса yi на i-й товар относительноего собственной цены pi коэффициент эластичности исчисляетсяпо формуле:

/> (8.4)

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практическивсегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товарымогут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

— товары с неэластичным спросом в отношении цены />;

— товары со средней эластичностью спроса от цены (/>близки к-1);

— товар с высокой эластичностью спроса />.

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит кснижению спроса более чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит кросту покупок больше чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой понижениеспроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар неэластичного спроса.

Рассмотрим влияние на спрос на какой-либо товар измененияцен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменитсяспрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, чтодругие цены и доходы покупателей остаются прежними, называется перекрестнымкоэффициентом эластичности. Для спроса уi на i-й товар относительноцены pj на j-й товар (/>) перекрестный коэффициентэластичности рассчитывается по формуле:

/> (8.5)

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товарыможно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если />, этоозначает, что i-й товар заменяет в потреблении товар j, т.е. на товар iпереключается спрос при увеличении цены на товар j. Примером взаимозаменяемыхтоваров могут служить многие продукты питания.

Если />, это служит признаком того,что i-й товар в процессе потребления дополняет товар j, т.е. увеличение цены натовар j приводит к уменьшению спроса на товар i. В качестве примера можнопривести такие взаимодополняемые товары, как автомобили и бензин, чай и сахар.

Спрос во многом определяет стратегию и тактику организациипроизводства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозированиеего на краткосрочную и долгосрочную перспективу — одна из важнейших задачразличных организаций и фирм.

Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависят отмногих факторов, как экономических, так и естественных. К экономическимфакторам относятся уровень производства (предложения) товаров и услуг(обозначим этот фактор в общем виде П), уровень денежных доходовотдельных групп населения (D), уровень и соотношение цен (Р). Кестественным факторам относятся демографический состав населения, в первуюочередь размер и состав семьи (S), а также привычки и традиции, уровенькультуры, природно-климатические условия и т.д.

Экономические факторы очень мобильны, особенно распределениенаселения по уровню денежных доходов. Естественные же факторы меняютсясравнительно медленно и в течение небольшого периода (до 3-5 лет) не оказываютзаметного влияния на спрос. Исключение составляет демографический составнаселения. Поэтому в текущих и перспективных прогнозах спроса все естественныефакторы, кроме демографических, целесообразно учитывать сообща, введя факторвремени (t).

Общем виде спрос определяется в виде функции перечисленныхвыше факторов:

у = f(П,D,P, S,t). (8.6)

Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фактордохода, многие расчеты спроса и потребления осуществляются в виде функции отдушевого денежного дохода: у = f(D).

Наиболее простой подход к прогнозированию спроса нанебольшой период времени связан с использованием так называемых структурныхмоделей спроса. При построении модели исходят из того, что для каждойэкономической группы населения по статистическим бюджетным данным может бытьрассчитана присущая ей структура потребления. При этом предполагается, что наизучаемом отрезке времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а цены,размер семьи и прочие факторы принимаются неизменными. Изменение дохода,например его рост, можно рассматривать как перемещение определенногоколичества семей из низших доходных групп в высшие. Другими словами, изменяютсячастоты в различных интервалах дохода: они уменьшаются в нижних и увеличиваютсяв верхних интервалах. Семьи, которые попадают в новый интервал, будут иметь туже структуру потребления и спроса, какая сложилась у семей с таким же доходомк настоящему времени.

Таким образом, структурные модели рассматривают спрос какфункцию только распределения потребителей по уровню дохода. Имеясоответствующие структуры спроса, рассчитанные по данным статистики бюджетов, ичастоты распределения потребителей по уровню дохода, можно рассчитать общуюструктуру спроса. Если обозначить структуру спроса в группе семей со среднимдоходом Di через r(Di), а частоты семей с доходомDi через />, то общая структураспроса R может быть рассчитана по формуле:

/> (8.7)

где п — количество интервалов дохода семей.

Структурные модели спроса — один из основных видовэкономико-математических моделей планирования и прогнозирования спроса ипотребления. В частности, широко распространены так называемые компаративные(сравнительные) структурные модели, в которых сопоставляются структуры спросаданного исследуемого объекта и некоторого аналогового объекта. Аналогом обычносчитаются регион или группа населения с оптимальными потребительскимихарактеристиками.

Наряду со структурными моделями в планировании ипрогнозировании спроса используются конструктивные модели спроса. В основе ихлежат уравнения бюджета населения, т.е. такие уравнения, которые выражают очевидноеравенство общего денежного расхода (другими словами, объема потребления) исуммы произведений количества каждого потребленного товара на его цену. Если Z- объем потребления, т - количество разных видов благ, qi — размер потребления i-го блага, pi - цена i-го блага, токонструктивная модель спроса может быть записана следующим образом:

Эти модели, называемые также моделями бюджетов потребителей,играют важную роль в планировании потребления. Одной из таких моделей является,например, всем известный прожиточный минимум. К таким моделям относятся такжерациональные бюджеты, основанные на научных нормах потребления, прежде всегопродуктов питания, перспективные бюджеты (например, так называемый бюджет достатка)и др.

В практике планирования и прогнозирования спроса кроместруктурных и конструктивных моделей применяются также аналитические моделиспроса и потребления, которые строятся в виде однофакторных и многофакторныхуравнений, характеризующих зависимость потребления товаров и услуг от тех илииных факторов

Моделирование конфликтов в финансово-экономической сфере. Основные понятияи определения теории игр. Классификация игр. Решение матричных игр с седловойточкой. Решение матричных игр без седловой точки. Смешанные стратегии. ТеоремаДж. фон Неймана о существовании решения в смешанных стратегиях.

При управлении производством принимать решения очень часто приходитсяне имея достаточной информации, то есть в условиях неопределенности и риска.

Методами обоснования решений в условиях неопределенности ириска занимается математическая теория игр.

В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеютсядва участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположныецели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующиепредприятия и т. д. Во всех случаях предполагается, что операция проводитсяпротив разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные целии сознательно противодействующего достижению цели другим участником.

Так как цели противоположны, а результат мероприятия каждойиз сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтнымиситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются противоположные интересы двухучастников. Формализованная (схематизированная) модель конфликтной ситуацииназывается игрой. Результат игры — победа или поражение, которые не всегдаимеют количественное выражение, можно выразить (условно) числами (например, вшахматах: 1, 0, 1/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один из игроковвыигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой.

Развитие игры во времени представляется как рядпоследовательных «ходов». Ходы могут быть сознательные и случайные. Случайныйход — результат, получаемый не решением игрока, а каким-либо механизмомслучайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов ит.п.). Сознательный ход — выбор игроком одного из возможных вариантов действия(стратегии) и принятие решения об его осуществлении.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольнуютаблицу (табл. 5.1.1) — платежную матрицу, в которой строки соответствуютразличным стратегиям игрока А, столбцы — стратегиям игрока />. Дляусловности предположим, что игрок А – выигрывает, а игрок В – проигрывает.

В результате выбора игроками любой пары стратегий Aiи Bj (i =1,…, m j = 1,…,n) однозначноопределяется исход игры qij.

Цель теории игр — выработка рекомендаций для различногоповедения игроков в конфликтной ситуации, то есть выбор оптимальной стратегиидля каждого из них.

Для нахождения оптимальной стратегии необходимопроанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумныйпротивник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока Аминимален. Обычно минимальные числа в каждой строке обозначаются /> ивыписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 5.1.2).

Они обозначают минимально-возможный выигрыш игрока А присоответствующей стратегии Аi. В каждой строке будет свое/>. Так какигрок А выигрывает, то предпочтительной для игрока А является стратегия,при которой /> обращается в максимум,то есть /> или />,

где /> — максиминный выигрыш(максимин), а соответствующая ей стратегия — максиминная.

Таблица 5.1.1

…

… … … … …

…

Таблица 5.2.2

…

/>…

… … … … …

…

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любомповедении стороны В (конкурента) гарантирован выигрыш, во всяком случаене меньше />. Поэтому /> называюттакже ценой игры — тот гарантированный минимум, который можно обеспечить принаиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Очевидно, что аналогичные распределения можно провести и дляконкурента В, который должен рассмотреть все свои стратегии, выделяядля каждой из них максимальные значения проигрыша: /> (последняястрока матрицы).

Из всех значений />находят минимальное:

/>,

которое дает минимаксный выигрыш или минимакс.

Такая />-стратегия — минимаксная,придерживаясь которой сторона В гарантировано, что в любом случаепроиграет не больше />. Поэтому />называютверхней ценой игры.

Если />, то число Сназывают чистой ценой игры или седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит ввыборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными,так как любое отклонение от этих стратегий приводит к уменьшению выигрышапервого игрока и увеличению проигрыша второго игрока по сравнению с ценой игрыС.

Однако не все матрицы имеют седловую точку. Тогда решениенаходят, применяя смешанные стратегии, то есть чередуя случайным образомнесколько чистых стратегий (гибкая тактика).

Вектор, каждая из компонент которого показываетотносительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии,называют смешанной стратегией данного игрока.

Из этого определения следует, что сумма компонент этоговектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны.

Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают каквектор

/>, а второго игрока — каквектор />, где />. (5.1.1).

Если u° - оптимальная стратегия первого игрока, z° — оптимальная стратегия второго игрока, то число /> -называют ценой игры.

Для того чтобы число /> — было ценой игры, а u° и z°— оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств:

/>, (5.1.2)

/>. (5.1.3)

Если один из игроков применяет оптимальную смешаннуюстратегию, то его выигрыш равен цене игры и вне зависимости от того, скакими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную,в том числе и чистые стратегии

Внимание к седловым точкам в теории игр традиционно.Объясняется это недоверием к максимину, как к принципу оптимального выбора втом случае, когда нет седловой точки. Поэтому естественно стремление заполнитьпромежуток между максимином и минимаксом путем применения смешанных стратегий.

Однако, не следует забывать, что:

1) применение смешанных стратегий рисковано, когда игра не повторяется;
2) если игра повторяется, надо иметь уверенность, что у противника нетинформации о конкретных решениях другого игрока;
3) противник не обязан применять смешанные стратегии, равно как и стремиться кцели, противоположной цели другого игрока.

Обозначим смешанную стратегию первого игрока p = {pi},/>где pi — вероятность применения i-й стратегии, />, />. Пусть смешанная стратегиявторого игрока />, />, qj — вероятность применения j-й стратегии, />, />. Р и Q определяютматематическое ожидание платежа:

/>.

Теорема фон Неймана. Любая матричная игра имеетседловую точку в смешанных стратегиях.

Доказательство. Множества M и N ограниченыи замкнуты, так как />, />, а функция W непрерывна поP и Q. W линейна по P при фиксированных Q,следовательно, вогнута по P при фиксированных Q. Аналогично Wвыпукла по Q при фиксированных P. M и N выпуклы.

Действительно, рассмотрим такие />и />, что />, />, тогда />, />.

Складывая, получим />.

Кроме того, />.

Следовательно, при/>и />

тоже смешанная стратегия.

Применяя фундаментальную теорему, получим то, что требуетсядоказать:

/>.

Опираясь на доказанную теорему, можно быть уверенным, что решениеигры в смешанных стратегиях всегда существует (если только вообще их можноприменять). В теории игр доказывается теорема, указывающая на эквивалентностьрешения матричной игры в смешанных стратегиях и двойственной задачи линейногопрограммирования.

Пусть Po и Qoоптимальные смешанные стратегии, v — цена игры, тогда

/>
/>.

Из теорема следует, что

(4)

(5)

/>.

Обозначим />.

Поделим (4) на v, получим

/>.

Из этой задачи линейного программирования можно получитьоптимальные стратегии первого игрока (оперирующей стороны).

Аналогично, если />, получится задача линейногопрограммирования для получения оптимальных стратегий второго игрока: />.

Игры с природой. Оптимальная стратегия в игре с природой при известномраспределении её состояний. Максиминный критерий Вальда выбора стратегии в игрес природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий минимаксногориска Сэвиджа выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределенииеё состояний. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица выбора стратегии в игре сприродой при неизвестном распределении её состояний.

В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует«антагонизм» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников),такие ситуации называют «играми с природой».

Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона —«природа» не оказывает первой стороне сознательного, агрессивногопротиводействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Пусть торговое предприятие имеет т стратегий: />и имеетсяn возможных состояний природы: />. Так как природа неявляется заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторонможно оценить выигрышем /> первой стороны длякаждой пары стратегий /> и />. Все показателиигры заданы платежной матрицей />.

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например,оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке какпессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выборi-го варианта

При анализе «игры с природой» вводится показатель, покоторому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исходситуации. Этот показатель называют риском.

Риск /> при пользованиистратегией /> и состоянии «природы» /> оцениваетсяразностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы»/> ивыигрышем /> при выбраннойстратегии />.

/>.

Исходя из этого определения можно оценить максимальный рисккаждого решения:

/>.

Решения могут приниматься по результатам анализа рядакритериев.

Критерий, основанный на известных вероятностныхсостояниях «природы».

Если известны вероятности состояний «природы» (например,спроса по данным анализа за прошлые годы):

где />,

то в качестве показателя эффективности (рациональности,обоснованности) стратегии /> берется средний(математическое ожидание) — выигрыш применения этой стратегии:

/>,

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показательэффективности имеет максимальное значение, то есть

/>.

Если каждому решению /> соответствуетмножество возможных результатов />с вероятностями />,то среднее значение выигрыша можно определить по формуле

/>,

а оптимальная стратегия выбирается по условию

/>.

В этом случае можно воспользоваться и стратегиейминимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»

/>.

Максиминный критерий Вальда предполагает выборрешения, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условияхвнешней среды (состояния «природы»):

/>.

Согласно критерия пессимизма-оптимизма Гурвица привыборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм)придерживаются некоторого компромисса, учитывающего возможность какнаихудшего, так и наилучшего поведения «природы»:

/>,

где x - показатель пессимизма-оптимизма (чаще всего0,5).

Если х = 1 критерий слишком пессимистичный, если х = 0 –слишком отптимистичный.

По критерию минимаксного риска Сэвиджа выбирают тустратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самойнеблагоприятной ситуации:

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в какой-томере оценить возможные последствия принимаемых решений

Модели поведения фирмы в условиях конкуренции. Модель поведения фирмы вусловиях совершенной конкуренции. Исследование модели в зависимости отпоказателя степени однородности производственной функции. Модели поведенияфирмы в условиях несовершенной конкуренции. Монополия и монопсония. Конкуренциясреди немногих. Олигополия. Модели дуополии.

Поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции

Существуют модели:

· Описание общей модели Вальраса

· Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

· Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

Опишем общие понятия.

Обозначим через S множество потребителей и впространстве товаров />введем понятие коллективногопредпочтения (/>) с помощью следующих аксиом(некоторые из них соответствуют аксиомам индивидуального предпочтения (см. §3.1)):
A1) полнота: для любых />либо />, либо />, либо />( /> — отношение безразличия);
A2) транзитивность: для любых />, таких, что />, />, справедливо />;
A3) единогласие: если />для всех />, то />;
A4) независимость: для любых />из />, />,/>, следует />( /> — любое отношение).

Обоснование неоспоримости этих аксиом можно найти, например,в книге [ 18 ].

Главный вопрос теперь заключается в том, существует лиотношение предпочтения, удовлетворяющее этим четырем аксиомам? К сожалению, вобщем случае ответ будет отрицательным. Более или менее известные способыопределения коллективного предпочтения, такие, как «правилобольшинства», «правило уравновешивания», «правилодиктатора» (см. [ 18 ]), во-первых, более применимы в области политики,чем экономики, во-вторых, приводят к нарушению некоторых из аксиом A1-A4.Это вполне понятно. С одной стороны, легче согласовать идеи, чем потребности, сдругой — участники экономики поступают главным образом эгоистически, и несуществует единственного способа приспособления их потребностей друг к другу.Во избежание неправильных выводов здесь нужно пояснить: сказанное не означает,что в каждом отдельном случае коллектив не придет к соглашению. Речь идет лишьоб отсутствии общих адекватных методов получения коллективного предпочтения.

Теперь проанализируем возможность построения коллективнойфункции полезности, исходя из индивидуальных функций полезности всехпотребителей. Последние, как мы видели в §3.2, вполне реально определяются исуществуют. Искомую функцию для потребительского сектора S естественноопределить как />, где /> — функция полезности потребителя i. По определению 3.1, с этой функцией должно быть связано некоторое отношениепредпочтения />: />тогда и только тогда, когда />. Оказывается,такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиоме единогласия, но противоречитаксиоме независимости (установите это самостоятельно).

Для выявления еще более серьезного возражения против функции/>представимее в виде />,где />,/>, s — число всех потребителей. Тогда по теореме 3.2 любая функция вида />

где />, является также функциейколлективной полезности. Положим />. Легко видеть, что функция />в этом случаепорождает отношение предпочтения, дающее приоритетный вес только первомупотребителю. Такое отношение предпочтения явно не совпадает с отношениемпредпочтения, порожденным исходной функцией />. Можно доказать, что только водном случае все функции вида (5.2.1) будут соответствовать одному и тому жеотношению предпочтения, а именно, когда выполнено дополнительное условие />. Каждомунабору коэффициентов />из этого условия будетсоответствовать своя функция полезности />. Возникает новая проблема: какуюиз этого бесконечно большого числа функций предпочтут потребители?

Резюмируя, можно говорить, что попытка определенияколлективной функции полезности на основе индивидуальных функций полезности нерешает проблему, так как вопрос существования коллективно предпочитаемых весов />возвращаетпроблему к исходной точке. Вообще, задача коллективного предпочтения требуетпринципиально иных подходов, о которых речь пойдет в главе VII.

Напомним, что мы анализировали возможность построенияколлективной функции полезности и пришли к отрицательному заключению: с однойстороны, ее нельзя построить непосредственно, так как нельзя определить строгопонятие коллективного предпочтения; с другой — ее не удается построить,используя индивидуальные функции полезности, из-за проблемы неоднозначности.

Теперь проанализируем возможность определения рыночногоспроса, исходя из решений индивидуальных оптимизационных задач вида (3.4.1)-(3.4.2)для всех потребителей. Такой анализ проведем нестрого, так, как это делаютэкономисты, на языке кривых спроса. />/>А именно,покажем, что кривую рыночного спроса (/>) можно получить как сумму кривыхиндивидуального спроса (/>) всех потребителей. На рис. 5.3показаны линейные графики спроса />для трех потребителей. Любая точкана кривой рыночного спроса получается для данной цены как сумма погоризонтальной оси координат соответствующих этой же цене точек всехиндивидуальных кривых спроса. Аналитически это означает, что />. При этом рыночнаякривая спроса не обязательно имеет такой же вид, что и индивидуальные кривые.Как видно из рис. 5.3, даже для линейных кривых индивидуального спросарыночная кривая получается нелинейной (изгиб в точке />). Изменению подвергаются и другиесвойства индивидуальных кривых, в частности, такие характеристики, какэластичность спроса, предельная норма замещения и др.

Для теоретического обоснования приведенного выше«графического способа» определения рыночного спроса сформулируем бездоказательства следующее утверждение.

/>Теорема 5.1. Пусть областиопределения />,/>, функцийполезности индивидуальных потребителей есть конусы с вершинами в нулепространства товаров. Пусть, далее, каждая индивидуальная функция полезности />положительнооднородна и принимает на />хотя бы одно положительноезначение. Тогда существует такая функция />, что при любых ценах />решение задачи />, />, совпадает ссуммой решений s оптимизационных задач: />.

Напомним, что множество />называется конусом с вершиной внуле пространства />, если оно вместе с каждой точкой />содержит луч />.

По существу, в теореме 5.1 сформулированы те условия, привыполнении которых существует коллективная функция полезности (/>) и с помощью которыхвсех потребителей можно представить как одно лицо.

Как и в случае с потребителями, путем суммирования кривыхпредложения отдельных фирм, полученных в результате решения их оптимизационныхзадач из главы IV, можно получить понятие кривой рыночного предложения.

Общий вывод такой, что можно найти, во всяком случае,приемлемые для экономической практики способы формализации понятий рыночногоспроса и рыночного предложения. Последнее дает моральное право оперироватьпонятиями совокупного спроса и совокупного предложения.

Представляется необходимым обратить внимание читателя наследующий момент. Совокупный спрос (совокупное предложение) не являетсярезультатом кооперирования между потребителями (производителями). Более того,кооперация вообще исключена условиями совершенной конкуренции (см. ниже).Совокупный спрос характеризует суммарную потребность общества в товарах, асовокупное предложение — суммарные возможности производителей этих товаров.

Любая функция />, ставящая в соответствие каждомувектору затрат x вектор />максимального выпуска, которыйможет быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Монополия.

/>/>Таккак монополист является единственным производителем товара, исходя из кривойспроса, он самостоятельно определяет объем продаж и цену товара (рис. 8.1).Предположим, что в условиях совершенной конкуренции равновесие достигается вточке />, адоход данной фирмы, как участника рынка совершенной конкуренции, есть />(/>). Будучи монополистом,при том же уровне спроса эта фирма добьется данного уровня дохода при меньшемвыпуске (/>)за счет более высокой цены (/>). Именно в этом заключаетсяприоритетность положения монополиста.

До какого уровня монополист будет повышать цену товара иснижать объем продаж, чтобы получить максимальную прибыль с учетом издержек напроизводство товара?

Кривая спроса и оценка собственных издержек являютсяглавными ориентирами для фирмы-монополиста при принятии экономического решения.Она принимает решение относительно объема выпуска (или продажи) товара, а егоцена определяется с помощью кривой спроса (см. рис. 8.1). Следовательно, вусловиях монополии цена (/>) является функцией от выпуска (/>), т.е., и,располагая информацией о спросе, фирма может добиться получения максимальнойприбыли.

Монополист может увеличить прибыль двумя путями: либо засчет повышения цены на товар, не изменяя при этом объема выпуска, либо за счетсокращения объема выпуска (снизив тем самым издержки на производство), неизменяя цену товара. Каково же оптимальное действие монополиста?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся опять кконкурентному рынку и рассмотрим долгосрочную задачу фирмы (4.5.1). Так как мыхотим узнать именно об оптимальном объеме производства, переформулируем этузадачу на языке выпуска. Обозначим доход как функцию от выпуска:

Так как издержки фирмы зависят от объема производства, онитакже являются функциями от выпуска:

Теперь задачу (4.5.1) можно записать так:/>

Условие первого порядка для максимизации прибыли />есть

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, фирма должнадостичь такого объема выпуска, при котором предельный доход равен предельнымиздержкам. Далее, учитывая тот факт, что />, получаем />, т.е. равновесная цена,если она существует, должна равняться предельным издержкам: />

Графическая иллюстрация этого равенства показана на рис. 8.2,где предельные издержки есть возрастающая функция от объема производства, />/>а предельный доход(цена) — убывающая функция того же аргумента.

Вернемся к монополии и проверим, будет ли цена,максимизирующая прибыль монополиста, подчиняться закону (8.1.2)?

В монополии />, поэтому />

Далее без потери общности будем считать />.

Вычислим предельный доход />

Заметим, что и в монополии цена убывает с ростом объемапродаж, потому что фирма снижает цену, чтобы продать больше продукции. Поэтому />и из (8.1.4)следует

Как видим, в случае монополии предельный доход меньше ценытовара.

Проанализируем теперь издержки монополиста. Как и наконкурентном рынке, цены затрат являются функциями от объема затрат, т.е. />, />. Поэтомуиздержки на факторы производства выражаются как />

Будем предполагать, что />для всех />.

Вычислим предельные издержки:/>

По рыночным законам фирма может покупать большее количестводанного фактора производства, только предложив более высокую плату. Поэтому />. Тогда из (8.1.6)следует

Таким образом, в случае монополии предельные издержки нафакторы производства оказываются больше их цен.

Подставляя (8.1.3) и (8.1.5) в (8.1.1), получимоптимизационную задачу монополиста:/>

Подчеркнем еще раз, в отличие от задачи (8.1.1) фирмы наконкурентном рынке, в условиях задачи монополиста (8.1.7) все цены зависят отобъемов продуктов.

Максимум функции прибыли P в задаче (8.1.7) вычисляется по m+1переменной />.Поэтому составим функцию Лагранжа

где /> — множитель Лагранжа. Выпишемнеобходимые условия оптимальности точки />:

Отсюда имеем, в частности,/>

Сумма, стоящая в правой части равенства (8.1.8), естьпредельный доход (см. (8.1.4)), а сумма, стоящая в правой части (8.1.9), — предельные издержки по производственному фактору j-го вида (см. (8.1.6)).Поэтому величина, стоящая в левой части (8.1.9), представляет собойпроизведение предельного дохода (/>) на предельный продукт j-го видазатрат (/>).Это произведение можно трактовать как предельный доход j-го вида затрат.

Исключая из системы необходимых условий множитель Лагранжа />, получаем

Пользуясь равенствами (8.1.4) и (8.1.6), перепишем этусистему в виде/>

Оценим отношение предельной стоимости затрат на предельныйпродукт

Во-первых, как следует из (8.1.10), эта величина для всех jодна и та же. Во-вторых, издержки можно представить как функцию от выпуска,т.е. />.Поэтому, пользуясь равенством (8.1.11), можно формально написать

Так как эта величина одна и та же для всех j, то, опускаяиндекс, из системы (8.1.10)-(8.1.11) получаем />

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, монополистдолжен достичь такого уровня выпуска, при котором предельный доход равенпредельным издержкам.

Для монополиста мы получили такое же правило оптимальногоповедения, что и любая фирма в условиях конкурентного рынка. Однако в случаемонополии

и поэтому оптимальная цена товара отличается от выражения (8.1.2)в сторону повышения. А именно, через предельный доход она выражается как

а через предельные издержки —

Олигополия.

На практике рыночной властью, т.е. властью надценообразованием, обладают не только фирмы, являющиеся чистыми монополистами.Во многих отраслях экономики конкурирует небольщое число фирм, каждая из которыхобладает некоторой рыночной властью. Таковы, например, крупные металлургическиекомбинаты России (КМК, Запсиб, Магнитка и др.).

В этом и следующих параграфах мы изучим рыночные механизмы вусловиях олигополии, т.е. когда на рынке товара конкурирует небольшое числофирм. Рыночная власть и прибыль олигополистов частично зависят от того, как онивзаимодействуют между собой. В некоторых олигопольных отраслях фирмы агрессивноконкурируют, а в других сотрудничают. Естественно, конкуренция приводит кснижению цен, а имея тенденцию к сотрудничеству, фирмы могут назначить ценывыше предельных издержек и получить большую прибыль.

Крайнюю форму сотрудничества представляет собой картель. Накартельном рынке некоторые или все фирмы вступают в сговор по поводу захватарынка. Определяя сообща цены товара и объемы продаж, они максимизируют своиприбыли. Картель отличается от монополии тем, что не может контролировать весьрынок товара по причине наличия фирм, не входящих в картель. Другая причинаотличия — в нестабильности картеля как структуры, состоящей из фирм,преследующих каждая свои интересы.

Олигополия является преобладающей формой современнойрыночной структуры. На олигопольных рынках несколько фирм производят всю илипочти всю продукцию. Чем шире олигополия, тем сложнее принятие экономическихрешений для фирм. Поэтому они могут предпринять стратегические усилия, чтобызатруднить вступление на рынок новых фирм.

Олигополист принимает решение по установлению цены и объемавыпускаемой им продукции. Экономическое решение олигополиста складываетсясложнее, чем монополиста, так как имеет место конкуренция между несколькимифирмами. Поэтому фирма должна тщательно взвесить свои решения с точки зренияреакции соперников. Стратегические соображения должны быть глубокими и всесторонними.Каждая фирма учитывает реакцию конкурентов, зная, что те, в свою очередь, тожебудут взвешивать ее реакцию на их собственные решения. При этом фирма должнапринимать во внимание возможность восстановления ее стратегических рассужденийконкурентами, и потому она должна поставить себя на место конкурентов ипоразмыслить, какова бы была их реакция. Именно с позиций такой рекомендацииразрабатываются принципы оптимального поведения олигополистов. Некоторые из нихмы рассмотрим в следующих параграфах. Здесь мы займемся моделированием задачиолигополиста и олигопольного рынка в целом.

Определяющим свойством олигопольного рынка является то, чтовсе конкурирующие фирмы могут влиять на цены продукции и затрат. Следовательно,прибыль каждой фирмы зависит и от экономических решений всех остальных фирм.Каково будет в этих условиях оптимальное решение олигополиста по объему выпускаи цене товара? Для получения ответа на этот вопрос необходимо построитьматематическую модель олигополиста и решить совместно систему, состоящую иззадач всех конкурирующих между собой фирм.

Обозначим через n число олигополистов и предположим, что всеони выпускают один и тот же товар, применяя m видов затрат. Заметим, что приэтом продукции разных фирм могут отличаться рядом признаков (качеством,оформлением и т.д.).

Согласно описания олигополии, цена товара (p) определяетсяобъемом всех выпусков />, а цена затрат (/>) — объемом затрат всехфирм />:

При возрастании выпусков цены понизятся. Поэтому

Аналогично, если фирмы увеличат покупки производственныхфакторов, произойдет повышение их цен. Поэтому

Пусть /> — производственная функция i-го олигополиста.Тогда производство описывается системой из n уравнений

Так как все олигополисты действуют на рынках одних и тех жетоваров, то

Задача i-го олигополиста может быть сформулирована следующимобразом: />

Здесь /> — матрица затрат, /> — вектор выпусков.Максимизация функции прибыли />осуществляется только попеременным />,выбором значений которых распоряжается i-ый олигополист.

Из вида целевой функции задачи (8.2.1)приходим к выводу, что максимизация прибыли />зависит не только отэкономического решения i-го олигополиста, но и от действий его конкурентов,распоряжающихся выбором />.

Модель олигополии в целом имеет вид: />

Такого рода модели называются конфликтными задачами принятиярешения или играми n лиц. Конфликтный характер принятия решения здесьзаключается в том, что каждая целевая функция />зависит от экономических решенийвсех олигополистов. Поэтому для нахождения оптимальных решений олигополистовнаиболее подходящим аппаратом является теория игр. В частности, при отсутствиикак антагонистического противостояния, так и сговора между фирмами, ихоптимальные стратегии могут быть определены, исходя из принципа равновесия поНэшу.

Дуополия.

Предположим, что имеется всего две конкурирующих по выпускуодного и того же товара фирмы. Это есть частный случай олигополии, называемыйдуополией. Обе фирмы принимают решения по объему выпуска одновременно и тайнодруг от друга, и конечная цена товара зависит от совокупного объема производстваэтих фирм. То есть, как и в олигополии, дуополисты имеют частичную рыночнуювласть (частичное влияние на цену товара).

Модель дуополии впервые рассматривал французский экономистО. Курно еще в тридцатых годах прошлого столетия. Подход Курно основывается нагипотезе о том, что свое экономическое решение каждая фирма принимает впредположении о постоянном объеме производства своего конкурента. Инымисловами, дуополист считает, что конкурент не реагирует на его выпуск. Чтобылучше понять, как это происходит, рассмотрим пример. Предварительно заметим,что в дуополии фирма ориентируется на ту часть рыночного спроса, которая необеспечена предложением другой фирмы. Поэтому для фирмы очень важно правильнооценить спрос населения на ее товар и объем производства конкурента.

Математическую модель дуополии получим как частный случайзадачи (8.2.2) при n=2 :/>

где /> — матрица затрат, /> — вектор выпусков,

Как и в олигополии,

Для вычисления оптимальных выпусков дуополистов имеется 2(m+1)условий вида (8.2.3):/>

где

— предположительные вариации дуополиста i, i=1,2 (/>).

Модель (8.3.1) называется дуополией Курно, если в (8.3.2)выполнены условия />

Как видно из определения, в дуополии Курно каждая фирмасчитает, что изменения объема ее собственного выпуска не повлияют на решениеконкурента.

Равновесие Штакельберга. Рассмотренная в предыдущемпараграфе модель Курно описывает лишь один из возможных способов формированияэкономической стратегии дуополистов. Причем исходная гипотеза (8.3.3)относительно предположительных вариаций, на основе которой строится равновесиеКурно, оказалась, по существу, не соответствующей реальности, так как не выдерживаетиспытания временем.

В этом параграфе мы отказываемся от гипотезы Курно ианализируем другую гипотезу, которая порождает так называемую дуополиюШтакельберга.

Фирму 1 (2) будем называть дуополистом Курно, если

Далее фирму 1 (2) будем называть S-стратегом, если онасчитает, что фирма 2 (1) будет вести себя как дуополист Курно, т.е. что онабудет определять свой выпуск, пользуясь кривой реакции />(/>) (см. рис. 8.7).

/>Определение 8.4. Модель (8.3.1)называется дуополией Штакельберга, если одна или обе фирмы являютсяS-стратегами.

Тройка />, где /> — решение задачи (8.3.1) приусловиях дуополии Штакельберга, /> — соответствующая этим выпускам (всилу системы (8.3.1)) цена товара, называется равновесием Штакельберга.

Равновесие Нэша. В рассмотренных моделях мы исходилииз того, что свои экономические решения по поводу объемов выпуска дуополистыпринимают лишь на основе информации (гипотезы) об объемах выпуска конкурента.Замечая узость такого подхода, все же надо понимать, что, во-первых, всегдаможно обобщить эти подходы на основе более разнообразной информации, во-вторых,как уже было сказано, объем выпуска партнера для конкурирующих фирм являетсяосновным и определяющим ориентиром для принятия решения дуополистами.

Обобщая экономические решения, анализированные в дуополияхКурно и Штакельберга, можно сказать, что у каждой фирмы есть два вариантаповедения: либо действовать как дуополист Курно, либо действовать как дуополистШтакельберга (т.е. быть S-стратегом).

Экономическое решение i-ой фирмы, характеризующее еекак дуополиста Курно, будем называть ее K-стратегией и обозначать />. Аналогично,экономическое решение i-ой фирмы, характеризующее ее как дуополистаШтакельберга, будем называть ее S-стратегией и обозначать />.

Таким образом, у каждого дуополиста имеется две стратегии: уфирмы 1 — />и/>, у фирмы2 — />и />, и потомуможет быть реализована одна из четырех ситуаций: />, />, />, />. Разместим соответствующие этимситуациям объемы выпусков фирмы 1 и фирмы 2 в следующую таблицу (рис. 8.8)./>

На рис. 8.8 /> — равновесие Курно, /> — 1-равновесие Штакельберга,/>-2-равновесие Штакельберга, /> — неравновесие Штакельберга.

Матрицу />

можно рассматривать как математическую модель принятиярешения с двумя участниками, имеющими каждый только две стратегии. Каждой изперечисленных четырех ситуаций соответствует одна из пар выпусков />. Например,если первый участник выбрал стратегию />, а второй — стратегию />, то всоздавшейся ситуации />выпуск первого участника равен />, а второго — />. Каждыйучастник выбирает свою стратегию с целью получения как можно большего выпуска.

Модель (8.4.6) называется бескоалиционной игрой двух лиц илибиматричной игрой; участники называются игроками, а выпуск /> — выигрышемпервого игрока, /> — выигрышем второго игрока.

Таким образом, биматричная игра (8.4.6) можетрассматриваться как еще одна (обобщенная) модель дуополии. По построению этойигры оптимальные стратегии (стратегии, максимизирующие выигрыши) игроковявляются наилучшими экономическими решениями дуополистов.

Специфика модели (8.4.6), и вообще игровых моделей, в том,что по причине конфликтного характера принятия решения нет ситуаций,доставляющих игрокам их максимальные выигрыши. Объясним это на числовыхзначениях элементов матрицы Q, положив в примере 8.2a=30, b=2, c=6,d=0 . В этом случае матрица Q принимает вид:/>

Видно, что максимальный выигрыш первого игрока (36) можетреализоваться в ситуации />, а максимальный выигрыш второгоигрока (36) может реализоваться в ситуации />. Так как эти ситуации несовместимы, т.е. не могут реализоваться одновременно, то добиться максимальныхвыигрышей оба игрока одновременно не смогут.

Единственным приемлемым принципом оптимального поведенияигроков в биматричной игре является принцип равновесия по Нэшу (см. определение8.1). Фактически этот принцип отражает известную поговорку: «из двух золвыбирают меньшее». Применяя это мудрое правило, и найдем ситуациюравновесия Нэша в игре Q.

Выбирая стратегию K1, первый игрок вхудшем случае получит />, а, применяя стратегию S1, — />.Лучший из двух худших выигрышей равен />. Этот выигрыш соответствуетстратегии S1. Рассуждая так же, найдем для второго игрокавыигрыш 23 и стратегию S2. Как легко проверить, ситуация />и являетсяравновесием Нэша. Действительно, отклоняясь односторонне от ситуации />, любой игрокразве что уменьшает свой же выигрыш.

Напомним, что эта же ситуация />в дуополии была названанеравновесием Штакельберга, так как существует доминирующая над ней ситуация />, в которой обадуополиста получают большие прибыли. Но в модели (8.4.7) в условиях отсутствияобмена информацией между игроками ситуация />реализована не будет ввидурискованности одностороннего отклонения игроков от ситуации равновесия Нэша.Этот факт говорит в пользу кооперации между дуополистами, так как согласованныйвыбор привел бы их к гораздо лучшей ситуации />.

Статическая модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых материальныхзатрат. Достаточное условие продуктивности матрицы коэффициентов прямыхматериальных затрат. Структурная форма линейной модели баланса межотраслевыхматериально-вещественных связей.

Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, вкоторой отражен процесс формирования и использования совокупного общественногопродукта в отраслевом разрезе.

Балансы бывают отчетные и плановые. Отчетныефиксируют сложившиеся пропорции, а плановые отражают некоторое желательноесостояние и получаются в результате расчета по моделям, о которых и пойдет речьв этой главе.

В зависимости от того, в каких единицах измеряютсямежотраслевые потоки, различают балансы натуральные и стоимостные.Далее мы будем иметь в виду в основном стоимостные балансы.

Предположим, что народное хозяйство представленосовокупностью п отраслей. Будем считать, что каждая отрасль производиттолько один продукт и каждый продукт производится только одной отраслью, т. е.между отраслями и продукцией существует взаимно однозначное соответствие. Вдействительности это не так, поэтому в МОБ фигурируют не реальные, а такназываемые «чистые», или «технологические», отрасли.

Общий вид межотраслевого баланса представлен в таблице. Онасостоит из четырех разделов. Первый раздел образуется перечнем«чистых» отраслей. Каждая отрасль представлена в МОБ дважды: какпроизводящая и как потребляющая. Отрасли как производителюсоответствует строка таблицы, отрасли как потребителю соответствует столбец.На пересечении i-й строки и j-го столбцанаходится величина xij — количество продукции
i-й отрасли (в денежном выражении), израсходованной на производственныенужды j-й отрасли. Таким образом, первый раздел характеризует межотраслевыепотоки сырья, материалов, энергии и т. д., обусловленные производственнойдеятельностью отраслей.

1 2 …

x11

x12

…

x1n

х21

x22

x2n

… … … … … … …

xn1

xn2

…

xnn

…

… .

Второй раздел МОБ состоит из двух столбцов. Столбец
Y — это конечная продукция отраслей. Конечная продукция включаетв себя непроизводственное потребление (личное и общественное), возмещениевыбытия основных фондов и накопление. Столбец Х содержит величины валовогопроизводства отраслей.

Третий раздел представлен двумя нижними строками. Строка Хсодержит те же самые величины, что и соответствующий столбец второго раздела.Строка V содержит величины условно-чистой продукции отраслей.Условно-чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновьсозданную стоимость (заработную плату и прибыль).

Четвертый раздел МОБ не имеет непосредственного отношения канализу межотраслевых связей. Он характеризует перераспределительные отношенияв народном хозяйстве и здесь рассматриваться не будет.

Строки показывают распределение продукции. Для любой i-й строки первого раздела справедливо соотношение

т.е. вся произведенная i-йотраслью продукция хi (валоваяпродукция в денежном выражении) делится на промежуточную и конечную.Промежуточная продукция — это та часть валовой продукции i-йотрасли, которая расходуется другими отраслями в процессе осуществления имисобственных производственных функций.

Столбцы МОБ показывают структуру затрат. Для любого j-го столбца можно записать:

/>/>

т.е. стоимость всей произведенной j-йотраслью продукции хj состоитиз текущих производственных затрат и условно-чистой продукции vj.

Суммарный конечный продукт равен суммарной условно-чистойпродукции. Действительно,

Сравнивая правые части этих соотношений, видим, что

Зная суммарный конечный продукт или, что то же, суммарнуюусловно-чистую продукцию, можно определить национальный доход. Он равенразности суммарного конечного продукта и амортизационных отчислений,направляемых на возмещение выбытия основных фондов.

Рассмотренная таблица МОБ всего лишь форма представлениястатистической информации о взаимосвязи отраслей. Перейдем теперь к построениюматематической модели. Для этого введем понятие коэффициентов прямыхматериальных затрат:

/> (1)

Коэффициент aijпоказывает, какое количество i-го продуктазатрачивается на производство единицы j-гопродукта.

Поскольку продукция измеряется в стоимостных единицах,коэффициенты прямых затрат являются величинами безразмерными. Кроме того, из(1) следует, что

/> (2)

Считая коэффициенты прямых материальных затрат постоянными,запишем систему балансовых соотношений

следующим образом:

Перенося yiв правую часть, а xiв левую и меняя знаки на противоположные, получаем

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующимобразом:

X — AX = Y или (E — A) X = Y,

где Е — единичная матрица n-го порядка;

/> - матрицакоэффициентов прямых материальных затрат.

Итак, мы получили систему уравнений межотраслевого баланса,которую называют моделью Леонтьева. Используя эту модель, можноответить на основной вопрос межотраслевого анализа — каким должно быть валовоепроизводство каждой отрасли для того, чтобы экономическая система в целомпроизвела заданное количество конечной продукции?

Следует отметить одно важное свойство матрицы А — сумма элементов любого ее столбца меньше единицы:

/> (3)

Для доказательства разделим обе части балансовогосоотношения

/>/>

на хj и,выполнив простейшие преобразования, получим

где vj / xj=<sub/>/> — доля условно-чистой продукции в единице валового выпуска.

Очевидно, что<sub/>/>>0,так как в процессе производства не может не создаваться новой стоимости. Изэтого следует справедливость соотношения (3).

Свойства (2) и (3) матрицы А играют ключевую роль вдоказательстве ее продуктивности, т. е. в доказательстве того, что прилюбом неотрицательном Y система

X — AX = Y или (E — A) X = Y,

имеет единственное и неотрицательное решение Х=(Е-А)-1Y. Матрицу (Е-А)-1 обозначают через Ви называют матрицей коэффициентов полных материальных затрат, или обратнойматрицей Леонтьева. Коэффициент bijэтой матрицы показывает, каким должен быть валовойвыпуск i-й отрасли для того, чтобы обеспечитьпроизводство единицы конечного продукта j-йотрасли. Используя матрицу В, можем записать

Х = ВY

или в развернутом виде

Преимущество такой формы записи балансовой модели состоит втом, что, вычислив матрицу В лишь однажды, мы можем многократноиспользовать ее для вычисления Х прямым счетом, т.е. умножением Вна Y. Это гораздо проще, чем каждый раз решатьсистему линейных уравнений.

Обратную матрицу В можно вычислить, используя методобращения с применением формулы разложения ее в матричный ряд:

В=Е+А+А2+...+Аk+... (4)

Число членов ряда, необходимое для получения достаточноточного приближения, зависит от матрицы А, но в любом случае приемлемыйрезультат достигается при k³ 30.

Формула (4) имеет строгое математическое доказательство. Номы ограничимся тем, что попытаемся осмыслить ее, рассматривая Х какрезультат некоторого гипотетического процесса последовательного уточненияпромежуточной продукции, необходимой для создания заданного конечного продукта.

Итак, вектор конечной продукции, которую должна произвестиэкономическая система, равенY.Будем считать, что это и есть первоначальное задание отраслям, т. е. Х0=Y. Для выполнения собственного задания каждаяотрасль нуждается в продукции других отраслей. Если бы все отрасли подсчиталипотребности и подали заявки в некоторый центр, то оказалось бы, что суммарнаяпотребность составляет X1 =АХ0=АY. Вектор X1 можно рассматривать какпромежуточную продукцию, необходимую для производства Х0. Нопод обеспечение производства X1 тоже нужна промежуточная продукция:X2 =АХ1 =А2Y. Рассуждая так и далее, мы приходим к выводу, что

Х=Х0+Х1+Х2+...+Хk+… = Y+АY+А2Y+...+AkY+… =

= (е+а+а2+…+аk+...)Y.

Полные затраты можно разложить на прямую и косвеннуюсоставляющие. Прямые затраты осуществляются непосредственно при производстведанного продукта, а косвенные А2+А3+…+Аk+…относятся к предшествующим стадиям производства. Они осуществляются не прямо,а через посредство других ингредиентов, входящих в данный продукт. Элементыматрицы А2 представляют собой косвенные затраты первогопорядка, элементы матрицы А3 — косвенные затраты второгопорядка и т. д.

Статическая модель межотраслевого баланса, расширенная балансом труда.Коэффициенты полных затрат труда. Коэффициенты фондоёмкости отраслей. Балансосновных производственных фондов. Статическая модель межотраслевого баланса,расширенная балансом основных производственных фондов.

Показатели использования трудовых ресурсов и основныхпроизводственных фондов также могут быть исследованы в межотраслевомконтексте.

Пусть L — среднегодоваячисленность работников i-й отрасли. По аналогиис коэффициентами прямых материальных затрат вводятся коэффициенты прямыхзатрат труда:

Зная эти коэффициенты, можем вычислить суммарную потребностьв трудовых ресурсах при заданном объеме валового производства:

Валовое производство можно выразить через конечную продукциюпо формуле

Воспользуемся этой формулой и запишем предыдущее соотношениетак:

Величина />показывает, какое количествотрудовых ресурсов i-й отрасли необходимо для того, чтобы обеспечить i-йпродукцией выпуск единицы j-го конечного продукта. Суммируя по всемотраслям, получаем

или в векторной форме:

Т=ВTt.

Тj — коэффициент полных затрат труда (полнаятрудоемкость). Он показывает, какое количество трудовых ресурсов всех отраслейнеобходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

Таким образом, суммарная потребность в трудовых ресурсахможет быть вычислена двумя способами:

/> (1)

Аналогично определяются коэффициенты прямой и полнойфондоемкости. Пусть Fi — среднегодовое количествоиспользуемых основных фондов. Тогда коэффициент прямой фондоемкости

Коэффициент полной фондоемкости

То же в векторной форме:

Ф = ВTt.

Коэффициент Фjпоказывает, какое количество основных фондов всех отраслей необходимо дляпроизводства единицы j-го конечного продукта.

По аналогии с (1) суммарная потребность в основных фондахвычисляется так:

Коэффициенты полной трудоемкости и фондоемкости можноподобно коэффициентам полных материальных затрат рассматривать как сумму прямойи косвенной составляющих. Например, для полной фондоемкости:

Ф=(Е+А+А2+...+Ак+...)Т, f=f+(А+А2+...+Аk+...)Тf.

Косвенная составляющая полной фондоемкости (так же, как иполной трудоемкости) сравнительно невелика в сырьевых отраслях и возрастает в«завершающих» отраслях до 90¸95%.

Пример. Вычислить общую потребность в трудовыхресурсах, если известны коэффициенты прямых материальных затрат, коэффициентыпрямых затрат труда и задан вектор конечного продукта:

Для решения этой задачи нужно воспользоваться формулой

Как видим, возможны два способа: 1) вычислить Х = ВY, а затем применить формулу L=(t,x); 2) вычислитькоэффициенты полных затрат труда Т =BTt и далее L=(Т,Y). Но в обоихслучаях необходимо сначала вычислить

матрицу В.

Первый способ:

Второй способ:

Важнейшую часть национального богатства составляют основные производственные фонды, представляющие собой материально-техническуюбазу народного хозяйства. Основные производственные фонды — это средства труда,функционирующие во всех отраслях материального производства. К основнымпроизводственным фондам относят только продукты общественного труда, начавшиефункционирование в производстве.

Основные производственные фонды весьма различны по своемувещественно-материальному составу и назначению. Одни создают условия дляосуществления производственного процесса, другие выполняют транспортныефункции, при помощи третьих осуществляется производственный процесс и т.д. Внастоящее время в практике нашей статистики принята следующая единая типоваяклассификация основных производственных фондов по всему народному хозяйству.

· Здания.

· Сооружения.

· Передаточные устройства.

· Машины и оборудование, в том числе: силовые машины иоборудование, из них автоматические, рабочие машины и оборудование, из нихавтоматические, измерительные и регулирующие приборы и устройства илабораторное оборудование, из них автоматические, вычислительная техника, в томчисле автоматическая, прочие машины, из них автоматические.

· Транспортные средства.

· Инструменты.

· Производственный инвентарь и принадлежности.

· Хозяйственный инвентарь.

· Рабочий и продуктивный скот.

· Многолетние насаждения

· Капитальные затраты по улучшению земель.

· Прочие основные фонды.

По отдельным отраслям материального производства эта типоваяклассификация конкретизируется с учетом особенностей отрасли.

Основные фонды занимают, как правило, основной удельный весв общей сумме основного капитала предприятия. От их количества, стоимости,технического уровня, эффективности использования во многом зависят конечныерезультаты деятельности предприятия: выпуск продукции, ее себестоимость,прибыль, рентабельность, устойчивость финансового состояния.

Для обобщающей характеристики эффективности использованияосновных средств служат показатели рентабельности (отношение прибыли ксреднегодовой стоимости основных производственных фондов), фондоотдачи(отношение стоимости произведенной или реализованной продукции после вычета НДС,акцизов к среднегодовой стоимости основных производственных фондов),фондоемкости (обратный показатель фондоотдачи), удельных капитальных вложенийна один рубль прироста продукции

Динамическая модель межотраслевого баланса. Открытаяи замкнутая динамические модели. Сбалансированная траектория развитияэкономики в линейной модели с продуктивной матрицей коэффициентов прямыхматериальных затрат.

Следующим представителем класса линейных моделей экономикиявляется модель, построенная в середине 1930-х годов австрийским математикомДжоном фон Нейманом. По сравнению с моделью Леонтьева, которую можноиспользовать для планирования производства на одном плановом периоде в целом(год, пятилетка и т.д.), модель Неймана отслеживает производственный процессвнутри планового периода, т.е. затраты и выпуск, осуществляемые в каждый периодвремени (от квартала в квартал, от года в год и т.д.). Поэтому она обобщаетмодель Леонтьева в двух аспектах: в динамическом плане и в планемногопродуктовых отраслей. В модели Неймана предполагается, что экономикафункционирует эффективным образом сколь угодно долго. Логическим следствиемтакой предпосылки является рост производственных возможностей во времени снарастающими темпами. Поэтому модель Неймана описывает «расширяющуюся»экономику.

Для вывода этой схемы рассмотрим функционирование экономикина некотором конечном периоде времени [0,T]. Отрезок [0,T]разобьем точками />, k=0,1,...,T, так, чтобыполучилась возрастающая последовательность моментов времени

Тогда получаем последовательность полуинтервалов />длины />, покрывающихвесь отрезок [0,T]. Момент />будем трактовать как начальныймомент планирования производства товаров, а момент /> — как плановый горизонт. Вдальнейшем во всех отношениях удобно полагать />и трактовать моменты />как годы. Приэтих обозначениях мы будем писать />.

В этом параграфе, как и в модели Леонтьева, будемпредполагать, что экономика состоит из n чистых отраслей с постояннымитехнологиями, описываемыми матрицей A. Планирование опять будем пониматьпо схеме затраты-выпуск при известном спросе на товары, но теперь уже с учетомфактора времени.

Под планом производства на отрезке времени [0,T]будем понимать совокупность

Здесь каждая строка соответствует плану />в год t; /> — векторзапасов товаров, /> — вектор валового выпуска. Каждаякомпонента />считаетсямаксимально возможным при существующих основных фондах выпуском отрасли j.Валовый выпуск отрасли может быть увеличен путем дополнительных вложений, иэтот показатель также включается в план. Вектор />обозначает планируемое в год tувеличение (приращение) валового выпуска. Наконец, число ltпоказывает общее количество нанятых во всех отраслях рабочих в год t.

Труд, как вид товара, не рассматривался в исходной моделиЛеонтьева. Особенность данного товара заключается в том, что он, во-первых,являясь воспроизводимым ресурсом, в то же время не является продуктомкакой-либо отрасли, во-вторых, как фактор в производственном процессе, занимаетпромежуточное положение между материальными ресурсами и готовой продукцией.Никакое производство не может обходиться без трудовых затрат. Единицей ееизмерения является рабочая сила. Необходимое для отрасли количество рабочейсилы определяется трудовыми затратами, вложенными в выпуск одной единицыпродукции. Данный параметр для отрасли j обозначим />. Тогда число рабочих вотрасли j в год t равно />. Вектор />называется вектором трудовыхзатрат.

Обозначим через />, j=1,...,n, объемы материальныхзатрат, необходимых для приращения на одну единицу выпуска товара i.Тогда материальные затраты на одновременное приращение выпусков всех отраслейна величины />будутисчисляться как />, где /> — технологическая матрицаприращения производства.

Наглядную картину межотраслевых связей во времени при планепроизводства />, плане конечного потребления наодного работающего на весь плановый период />и при постоянных технологияхпроизводства и его приращения показывает схема динамического межотраслевогобаланса (рис. 6.2). Эта схема составляется для каждого года />, причем при />есть валовыйвыпуск отрасли j к началу планового периода. />

Балансовый характер этой схемы заключается в том, что ееэлементы должны удовлетворять следующим (балансовым) соотношениям: />

Здесь /> — производственные затраты, />-дополнительные затраты, соответствующие приращению производства на вектор />, а /> — конечноепотребление в год t. Поэтому условие (6.3.1) требует, чтобы весьгодичный запас товаров покрывал все годичные затраты ежегодно. Неравенство (6.3.2)задает условие на необходимый объем трудовых ресурсов, неравенство (6.3.3)говорит о том, что запасы на данный год не могут превышать результатовпроизводства предыдущего года, и, наконец, уравнение (6.3.4) описывает динамикуроста валового выпуска из года в год.

Если сравнить систему (6.3.1)-(6.3.5) с моделью Леонтьева (6.2.1),то можно заметить, что последняя получается из (6.3.1) при отсутствииприращения производства, т.е. когда />. Дополнительные условия (6.3.2)-(6.3.4)вызваны необходимостью учета трудовых ресурсов и динамического характераразвития производства. Как и модель Леонтьева, данная схема может быть обобщенаи детализирована по ряду параметров. В приведенном здесь виде наиболеенереальным является условие (6.3.4), которое предполагает (при />) получение результатовот затрат, осуществляемых в начале периода />, уже к концу этого периода.Условие (6.3.4) можно переписать так:

В этом равенстве последнее слагаемое имеет смысл приращенияпроизводства за первые t лет по сравнению с начальным объемом выпуска.Доля такого приращения, приходящаяся на одну единицу начального валовоговыпуска, есть

Введем величину />. Тогда уравнение (6.3.4) можнонаписать в виде

Представление динамики производства в подобном виде будетиспользовано нами в следующем параграфе. Здесь заметим только, что болееадекватным описанием динамики производства, чем (6.3.4), представляетсяравенство

где /> — отнесенный к моменту tвременной лаг, />(/>).

Обозначим />и составим матрицы

с помощью которых систему (6.3.1)-(6.3.5) перепишем в виде />

В математической экономике магистралью называетсятраектория экономического роста, на которой пропорции производственныхпоказателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, асами показатели (такие как интенсивность производства, валовый выпуск) растут спостоянным максимально возможным темпом. Таким образом, магистраль — этотраектория или луч максимального сбалансированного роста. Ее часто сравниваютсо скоростной автострадой. Так, например, для того чтобы добраться из Кемеровов Киселевск как можно быстрее, наиболее целесообразно сначала проехать поавтостраде Кемерово-Новокузнецк, а затем уже съехать на ответвляющуюся от неедорогу в районе Киселевска. Так мы потеряем на дорогу меньше времени и доедемдо конечного пункта с большим комфортом, чем если бы мы ехали по обычному шоссечерез Ленинск-Кузнецкий и Белово.

Поскольку «оптимальное» или«эффективное» развитие экономики в любом смысле так или иначе связанои должно сопровождаться экономическим ростом, то для достижения любой конечнойцели следует поступать аналогичным образом: сначала вывести производство намагистральный путь, т.е. на траекторию (или луч) Неймана, характеризующуюсямаксимальным темпом роста />и минимальной нормой процента />(см. (6.4.14)),а по истечении определенного срока времени вывести ее к задуманной цели. Такимицелями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизацияполезности от потребления товаров, достижение конкурентного равновесия принаиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояниянаселения, и т.д.

Итак, с одной стороны мы имеем магистральные модели, а сдругой — оптимизационные или еще шире — нормативные модели экономики. Изучениеэтих двух моделей во взаимосвязи, т.е. изучение связи между магистральными иоптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметоммагистральной теории. Можно говорить, что магистральная теория является однимиз средств качественного анализа оптимальных траекторий. Основной целью этойтеории является исследование условий так называемых «слабой» и«сильной» теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что заисключением некоторого малого периода />(или некоторого числа дискретныхмоментов из />),не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальныетраектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральнойтраектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени />, на которыхоптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то развелишь в начале периода />, т.е. />, или в конце периода />, т.е. />; а в серединепериода оптимальные траектории расположены в относительной близости кмагистральной.

В общем случае в моделях экономической динамики даже принеизменности технологических возможностей утверждения теорем о магистрали невыполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительныепредположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит визучении реальных отраслевых пропорций и сравнении их с магистральными.Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественныхпредпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном(дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается отмагистрального. В то же время, как показывают полученные в этом направлениирезультаты исследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорцииблизки к магистральным.

Теоремы о магистралях доказываются для ряда оптимизационныхмоделей расширяющейся экономики. Наиболее общей из них является известнаятеорема Раднера для нелинейных моделей расширения (см. §7.2). Здесь мы приведемподобные теоремы для линейных моделей Леонтьева и Неймана. Единственная нашацель — дать читателю начальное представление о магистральной теории. Поэтомуприводить сложные доказательства теорем и заниматься подробным и строгиманализом их условий не будем. Для более углубленного изучения магистральнойтеории можно рекомендовать книги [2, 16].

Три этапа построения производственной функции. Спецификация ПФ,идентификация параметров. Проверка на адекватность.

По существу, производственная функция f естьсовокупность «правил», с помощью которых для каждого набора затрат определяетсясоответствующий выпуск. Поэтому построение производственной функции означаетнахождение математической формулы, отражающей эти правила или, иначе говоря,закономерности превращения набора ресурсов в конечный продукт. Этот процессусловно можно представить схемой: />

В блоке f (см. рис. 4.2 ), образно говоря, происходит«смешивание» ресурсов />в определенных«пропорциях» таким образом, чтобы получился требуемый продукт. Эти«пропорции» определяются спецификой производства и математическивыражаются с помощью различных коэффициентов и показателей степени для величин />.«Смешивание» их математически выражается с помощью разных формальныхопераций между ними (суммирования, произведения, логарифмирования и т.д.), види сочетание которых также определяется спецификой моделируемого производства.Так что вопрос построения производственной функции в каждом конкретном случаесводится к нахождению этих «пропорций» и к определению характера их«смешивания».

Из сказанного выше следует, что для построенияпроизводственных функций нужно знать технологию производства, ее структуру иорганизацию, а также принципы работы сложных машин и оборудования, т.е. надобыть одновременно и технологом, и инженером, и математиком. Оказывается, чтознание всего этого сложного производственного механизма не требуется, есливладеть подходящими математическими приемами. Речь идет об использованииметодов регрессионного анализа на основе статистических (опытных, экспертных)данных о затратах и выпуске. Не умаляя достоинства других математических и иныхметодов построения производственных функций, можно сказать, что именно методырегрессионного анализа наилучшим образом оправдали себя на практике и потомуявляются наиболее популярными. Вопросы построения производственных функций наоснове экспериментальных данных являются предметом изучения специального раздела– эконометрики… Здесь же мы коснемся лишь содержательной стороны построенияконкретных видов производственных функций.

Идею применения статистических данных для построения производственнойфункции можно объяснить так: Имеются известные величины (реальные результатыпроизводства) и одно неизвестное выражение f, их связующее. Наблюдая втечение достаточно большого периода времени функционирования производства заразличными значениями затрат />и соответствующими им значениямивыпуска y, можно выявить закономерность f :

Кратко остановимся на этапах построения производственнойфункции. Пусть нам известны виды ресурсов (/>), используемых для выпуска даннойпродукции, и имеется необходимое количество статистических данных по объемамзатрат />ивыпуска y. Требуется установить зависимость />, т.е. найти аналитический видпроизводственной функции f. Эта задача распадается на два этапа:

спецификация функции f, т.е. выявление общего вида функции fот аргументов />с неопределенными параметрами(коэффициентами и показателями степеней при />и свободным членом);

оценка параметров — определение конкретных числовых значенийнеизвестных параметров.

Картина «расположения» статистических данных впространстве затраты-выпуск может подсказать линейный или нелинейный характерзависимости функции f от аргументов />. Например, в случае линейнойпроизводственной функции результатом спецификации будет гипотеза о линейнойзависимости вида />

в случае производственной функции Кобба-Дугласа — в видемультипликативной функции />

в случае производственной функции CES — в виде степенногомногочлена />

и т.д. Здесь />являются неизвестными параметрами,подлежащими определению (оценке).

Чаще остальных на практике применяется аппроксимация вида (4.4.1), называемая линейной регрессией (см. §9.2 ). Для определения ее параметровиспользуется (линейный) метод наименьших квадратов (см. §9.3 ). В некоторых случаях к линейнойаппроксимации удается свести и нелинейные относительно ресурсовпроизводственные функции. Например, логарифмируя функцию (4.4.2), получим:

Далее, вводя обозначения

приходим к линейной регрессии вида (4.4.1):

Применяя такой способ на основе статистических данныхупомянутого выше периода, Кобб и Дуглас получили следующую оценку параметровдля своей функции:

и, следовательно, их производственная функция выглядела так:

Дальнейший анализ показал, что за исключением некоторыхслучаев (например, учета технического прогресса), имеет место соотношение />. Так каквеличина />показываетэластичность производства, равенство />является признаком линейнойоднородности производственной функции (см. §4.3и пример 4.1 ). Этот факт позволяетзаписывать функцию Кобба-Дугласа в виде />, где />.

В отличие от функции Кобба-Дугласа, функция (4.4.3) даже после логарифмирования остаетсянелинейной. Поэтому для оценки параметров функции CES применяется более сложныйнелинейный метод наименьших квадратов. Изложение этого метода и реализацию егоалгоритма на языке программирования Бейсик интересующийся читатель может найтив книге [ 14 ].

При спецификации производственной функции, т.е. при решениивопроса о ее принадлежности к тому или иному классу известных функций, можетбыть полезным знание тех или иных числовых характеристик этих классов функций(отношение средних и предельных показателей, предельная норма замещения,эластичность и др.). Например, при моделировании двухфакторного производства (/>) на основеимеющейся статистики />можно составить дискретный(разностный) аналог показателя эластичности по капиталу

Если эта величина приблизительно равна постоянному числу длявсех t и />,для которых разность />достаточно мала, то искомаяфункция может принадлежать классу функций Кобба-Дугласа. Точно так же,дискретный аналог эластичности замещения может внести ясность относительнопринадлежности искомой функции к классу функций CES.

Выделение существенных видов ресурсов (факторовпроизводства) и выбор аналитической формы ПФ называется спецификацией ПФ.

Преобразование реальных и экспертных данных в модельнуюинформацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистическихданных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называетсяпараметризацией ПФ.

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ееверификацией.

Спецификация определяется, прежде всего, теоретическимисоображениями, которые учитывают макро и микроэкономические особенности объектаисследования, параметризация также использует для сглаживания результатов рядалет методы наименьших квадратов.

Моделирование производственных процессов. Факторы производства.Неоклассическая производственная функция, и её свойства. Предельные и средниепродукты факторов производства. Эластичность выпуска по факторам производства.Изокванты. Предельные нормы и эластичность замещения факторов производства.Основные виды ПФ выпуска. Равновесие производителя.

Под производством понимается процесс взаимодействияэкономических факторов, завершаемый выпуском какой-либо продукции. Правила,предписывающие определенный порядок взаимодействия экономических факторов,составляют способ производства или, иначе говоря, технологию производства.Производство — основная область деятельности фирмы (или предприятия). Фирма — это организация, производящая затраты экономических ресурсов для изготовленияпродукции и услуг, которые она продает потребителям, в том числе, другимфирмам. Производственными единицами являются не только заводы и фабрики, но иотдельные лица — фермеры, ремесленники и др.

Производство можно представить как систему «затраты-выпуск»,в которой выпуском является то, что фактически произведено, а затратами — то,что потребляется с целью выпуска (капитал, труд, энергия, сырье). Поэтомуформально можно сказать, что производство — это функция, которая каждому наборузатрат и конкретной технологии ставит в соответствие определенный выпуск.Именно такое упрощенное понимание производства как «черного ящика»заложено в математической модели производства. Во «вход» этогочерного ящика подаются затраты, а на «выходе» получаем выпуск (произведеннуюпродукцию).

Подобное описание производства на первый взгляд кажетсясильно абстрактным, так как в нем не отражены технологические процессы,происходящие внутри черного ящика. В математической модели технологияпроизводства учитывается обычно посредством задания соотношений между затратамии выпуском т.е. нормой затрат каждого из ресурсов, необходимых для полученияодной единицы выпускаемой продукции. Такой подход объясняется тем, чтоматематическая экономика изучает суть экономических процессов, а сугуботехнические операции как таковые (а не их экономические следствия) остаются зарамками этой науки.

Задача фирмы, как производственной единицы, сложна имногогранна — начиная от организации производства и кончая благотворительнойдеятельностью. Естественно, математической моделью нельзя охватить весь спектрдеятельности фирмы и отразить все преследуемые цели. Поэтому при формализациизадачи рационального функционирования фирмы учитываются лишь основные конечныецели.

Конечной целью фирмы является получение наибольшей прибылиот реализации своей продукции. Напомним в этой связи, что прибыль понимаетсякак разность двух величин: выручки от реализации продукции (дохода) и издержекпроизводства. Издержки производства равны общим выплатам за все виды затрат,иначе говоря, издержки — это денежный эквивалент материальных затрат. В общемслучае издержки состоят из двух слагаемых: постоянных издержек и переменныхиздержек. Постоянные издержки (расходы на закупку и ремонт оборудования,содержание фирмы, страховку и пр.) фирма несет независимо от объема выпуска.Переменные издержки (расходы на заработную плату, сырье и пр.) касаютсяиспользования уже имеющихся в распоряжении фирмы ресурсов, производственныхмощностей и меняются вместе с объемом выпуска.

Согласно с поставленной целью, задача фирмы сводится кпоиску такого способа производства (сочетания затрат и выпуска), которыйобеспечивает ей наибольшую прибыль с учетом и в рамках имеющихся у нееограниченных ресурсов. Данная трактовка цели фирмы и наилучшего способапроизводства не является единственно возможной. Речь идет о некоторой гипотезеотносительно предпочтений производителя, а не о логической необходимости. Вдействительности же мотивы принимаемых руководителями фирм решений могут бытьпродиктованы другими соображениями, например, гуманного илисоциально-политического характера. Поэтому в отличие от математической теориипотребления, где существовала единственная, логически оправданнаяоптимизационная модель потребителя, здесь нецелесообразно говорить об «оптимизационноймодели фирмы» как таковой. Задачи фирмы могут существенно отличаться какпреследуемой целью, так и временным периодом ее решения.

Обсужденную выше задачу будем называть задачей фирмы намаксимизацию прибыли. Двойственной к ней (в некотором смысле) является задачафирмы на минимизацию издержек при фиксированном уровне планируемого выпуска(дохода). Именно такая формализация цели производства в последнее времястановится более популярной в связи с глобальной проблемой «устойчивогоразвития» общества, так как она созвучна с задачами рациональногоиспользования природных ресурсов.

Предположим, что фирма производит n видов продуктов.Виды продуктов будем обозначать индексом j, а их количества — через />. Технологияпроизводства каждого вида продукта требует использования ряда ресурсов внекоторых количествах. Двойными индексами />обозначим виды ресурсов,используемых для выпуска продукта вида j. Пусть />… Обозначим через /> — количестваэтих ресурсов, />. Следовательно, имеется всего />видов ресурсов.

Использование такой двойной индексации привлекательно сточки зрения информативности (видно, какой ресурс относится к какому продукту),но неудобно чисто технически. Во-первых, усложняется запись формул; во-вторых,увеличивается размерность задачи (т.к. среди />могут быть одни и те женаименования) и, в-третьих, такие операции как сложение, вычитание затрат ввекторной форме, а также составление уравнений становятся невозможными бездополнительных преобразований индексов (идентификация, упорядочение и т.д.).

Поэтому в дальнейшем виды ресурсов будем обозначатьодинарными индексами k, их количества — />, где />. Здесь m — достаточнобольшое число (равное сумме />, где каждый ресурс считаетсятолько один раз). Теперь можно говорить, что для производства n видов продуктовфирма использует m видов затрат. Это не приводит к недоразумениям, так как вслучае неиспользования k-го ресурса для выпуска данного продуктаполагаем />.

Введем в рассмотрение два вида векторов: />-вектор затрат и/> — векторвыпуска. Положительный ортант

называется пространством затрат. Аналогичноопределяется пространство выпуска:

Для отражения реальных возможностей фирмы в математическихмоделях часто применяются более узкие множества />.

Технологическая связь между затратами и выпуском описываетсяс помощью производственной функции.

Определение 4.1. Любая функция />, ставящая всоответствие каждому вектору затрат x вектор />максимального выпуска, которыйможет быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Это есть определение производственной функции длямногопродуктовой фирмы, т.е. векторной производственной функции. Если фирмавыпускает только один вид продукта, то производственная функция являетсяскалярной: />или

В общем случае производственную функцию можно записать внеявной форме: />, где A — />-матрица параметров(технологическая матрица). В некоторых моделях применяется следующее выражениедля производственной функции: />, где переменные />со знаком "-"обозначают затраты, а со знаком "+" — выпуски.

Если в качестве независимых переменных (аргументов)выступают затраты (см. (4.2.1) ), то производственную функцию иногда называют функциейвыпуска, если же фиксирована величина выпуска (y), топроизводственная функция является функцией затрат (/>). Таким образом,функция выпуска и функция затрат являются взаимно обратными друг другуфункциями.

Применение производственных функций не ограничиваетсявыявлением зависимости затраты-выпуск. Различные приемы математическогоаппарата позволяют использовать их для вычисления численных характеристикпроизводства, анализа эффективности изменения масштаба производства итехнологического прогресса, исследования эластичности производственныхфакторов, рационального ведения хозяйства, оптимального планирования ипрогнозирования вариантов развития фирмы и др.

Поэтому очень важно, чтобы производственная функцияобъективно отражала моделируемую действительность, т.е. чтобы она удовлетворяласодержательно-логическим и экономическим требованиям. Основные из нихследующие:

в число аргументов производственной функции должны быть включены все существенные для данного процесса факторы; все величины должны иметь отчетливый экономический смысл; все экономические величины, входящие в производственную функцию, должны быть измеримы; выпуск продукции без затрат невозможен; если величина какого-либо ресурса ограничена, то выпуск не может расти бесконечно; увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска.

Вопрос об адекватном описании экономической реальности наязыке производственных функций тесно связан с их математическими свойствами.Ради простоты эти свойства приведем для однопродуктового производства, т.е. дляпроизводственной функции вида (4.2.1).

Монотонность: из />и />следует />. Вогнутость: для любых />и />справедливо неравенство />. Поведение в начале координат: />. Однородность: />, где />- масштабное число, /> — степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всемаргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующиминеравенствами:

Частные производные />называются предельнымипродуктами. Условие (4.2.2), как и свойство 1, означает, что увеличениелюбого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Условие (4.2.3)показывает, что увеличение затрат одного вида ресурса (при постоянном уровнезатрат других ресурсов) приводит ко все меньшему приросту выпуска. Это свойствов экономической теории называется законом убывающей доходности (отдачи).

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как беззатрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменениезатрат. Параметр />показывает масштаб измененияпроизводства (расширения производства — если />, сужения производства — если />), а /> — эффект от изменениямасштабов производства. Если />, то одновременное увеличение всехфакторов в />разприводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в />раз (/>), т.е. эффект от расширениямасштаба производства положителен. При />получаем: /> — выпуск возрастает втой же пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными(или однородными в первой степени).

Если

то говорят о возрастающем (убывающем) доходе от расширениямасштаба производства. Заметим, что свойство 4 определено в точке, тогда каксвойства 1 и 2 — во всем пространстве затрат.

Как мы видим, перечисленные (желательные) свойствапроизводственной функции вполне согласуются с ее определением, так как оникасаются только соотношения затраты-выпуск. Действительно, здесь нет никакихтребований на бесперебойную работу станков, нормирования движения конвейера ит.д. Поэтому производственная функция, как отображение количественной связимежду затратами и выпуском, представляет собой регрессионную модель (см. §2.5). Следовательно, она может быть построена на основе статистических данных и сприменением методов математической статистики. Оставляя подробное обсуждениеэтого вопроса до §4.4, сейчас мы приведем примеры наиболее удачно построенныхи потому часто применяемых на практике производственных функций. При этом дляпростоты будем рассматривать двухфакторную однопродуктовую производственнуюфункцию вида

Средним продуктом по k-му виду затратназывается объем выпуска, приходящийся на единицу затрат k-го вида прификсированном уровне затрат других видов:

Сначала остановимся на понятии эластичности производства.Уже знакомое нам из §4.2 свойство однородности производственной функцииоценивает технологию производства в различных точках пространства затрат. Аименно, производственная функция в одних точках этого пространства можетхарактеризоваться постоянным доходом от расширения масштаба производства, а вдругих — его увеличением или, наоборот, уменьшением. Локальным показателемизмерения дохода от расширения масштаба производства и служит эластичностьпроизводства. Ее мы будем обозначать символом />(«эластичность f по />в точке x»).Формально (см. (3.3.2) ) мы можем написать:

Однако это соотношение не отражает изменение масштабапроизводства в точке x. Поэтому вычислительная формула эластичностипроизводства выглядит так:

или, что то же самое, />

В случае постоянства дохода при расширении масштабапроизводства (т.е. для линейно-однородной производственной функции)эластичность производства равна единице.

Эластичность производства, описываемого дифференцируемойлинейно-однородной функцией, в любой точке пространства затрат равна суммеэластичностей выпуска по всем видам затрат.

На практике по разным причинам часто возникает необходимостьзамены одних ресурсов другими. Например, при расширении производства фирма должнарешить: либо полностью автоматизировать производство за счет дорогостоящегооборудования и сократить количество рабочих мест (сократить фонд заработнойплаты), либо использовать предназначенные для этого средства для частичноймодернизации технологии и увеличения фонда заработной платы. Что выгодно дляфирмы? Для получения ответа на этот вопрос вводят понятия предельной нормызамещения одних ресурсов другими и эластичности замещения однихресурсов другими.

Возможности замещения характеризуют производственную функциюс точки зрения различных комбинаций затрат, порождающих одинаковые уровнивыпуска. Предположим, что двухфакторное производство описываетсяпроизводственной функцией />, где Y — выпуск, K — капитал (основные фонды), L — трудовые ресурсы. Предположим, частьрабочих (/>)уволилась. На какую величину />следует увеличить основные фонды,чтобы выпуск остался на прежнем уровне, т.е. чтобы имело место равенство />? Рассуждаякак в §3.3 (см. (3.3.5)-(3.3.10) ), получаем, что количество основных фондовнадо увеличить на величину

Число />называется предельной нормойзамещения трудовых ресурсов основными фондами.

Итак, предельная норма замещения показывает величину ресурсаодного вида, которой производитель готов пожертвовать ради одной единицыресурса другого вида. Поставим теперь «обратный» вопрос: какизменится величина />при изменении предельной нормызамещения />на1%? Согласно определения эластичности, это есть «эластичность />по />». Поформуле вычисления эластичности (3.3.2) имеем: />

Эта величина называется эластичностью предельной нормызамещения (или просто эластичностью замещения). Введем более простоеобозначение />. С учетом известной формулы

Определим производственную деятельность как процесс, в ходекоторого предприятия затрачивают различные ресурсы — вещественные блага иуслуги (факторы производства) и в результате выпускают разнообразную,ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкоймикроэкономической теории производства является идея о том, что технологическиэффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой длявыпуска, например, для одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсовX1, X2 может быть описана с помощью производственнойфункции Y=F(X1,X2). Если для фиксированного выпуска Yизобразить на плоскости (X1, X2) все возможные сочетаниянеобходимых ресурсов (X1, X2), мы получим кривую,называемую изоквантой. Можно выделить по крайней мере четыре типапроизводственных функций и изоквант.

1. Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,

Y=a1* X1+a2* X2.

2. Неоклассическая производственная функция, например,

Y=X1a1* X2a2; a1+a2Ј1.

3. Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,

Y = min(X1/a1, X2/a2).

4. Функции смешанного типа, например,

Y = y1+y2: Xiіai*y1+bi*y2, i=1,2.

Производственная функция Кобба-Дугласа — самая известная извсех производственных функций неоклассического типа — была открыта в 20-х годахнашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом иполучила широкое применение в эмпирических исследованиях. В нашу программувключена производственная функция, оцененная Дугласом на основе данных пообрабатывающей промышленности США. Y — индекс производства, X1 и X2 —соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования.

Моделирование НТП. Автономный, управляемый, материализованный(овеществленный), индуцированный, нейтральный виды НТП.

НТП – научно технический прогресс.

Различают автономный, материализованный, нейтральный и ненейтральный технический прогресс.

Автономный (экзогенный) технический прогресс представленпроизводственной функцией, описывающей изменение технологии во временинезависимо от изменений переменных состояния экономики (капитала, земли, труда,времени). Речь здесь идет об изменениях в специализации, кооперации, управлениии т.д.

Материализованный (овеществленный) технический прогрессхарактеризуетсяпеременными, которые принимают активное участие в изменении производственнойфункции (капитала, земли, труда, времени).

Нейтральный технический прогрессопределяется такимитехническими изменениями (автономного или материального вида), которые ненарушают равновесия, то есть экономически и социально «безопасны» для общества.

Общепризнанным следует считать тот факт, что с течениемвремени на предприятии, сохраняющем фиксированную численность работников ипостоянный объем основных фондов, выпуск продукции увеличивается. Это означает,что помимо обычных производственных факторов, связанных с затратами ресурсов,существует фактор, который обычно называют научно-техническим прогрессом(НТП) . Этот фактор можно рассматривать как синтетическую характеристику,отражающую совместное влияние на экономический рост многих существенныхявлений, среди которых нужно отметить следующие:

а) улучшение со временем качества рабочей силывследствие повышения квалификации работников и освоения ими методов использованияболее совершенной техники;

б) улучшение качества машин и оборудования приводит ктому, что определенная сумма капитальных вложений (в неизменных ценах)позволяет по прошествии времени приобрести более эффективную машину;

в) улучшение многих сторон организации производства, втом числе снабжения и сбыта, банковских операций и других взаимных расчетов,развитие информационной базы, образование различного рода объединений, развитиемеждународной специализации и торговли и т.п.

В связи с этим термин научно-технический прогресс можноинтерпретировать как совокупность всех явлений, которые при фиксированныхколичествах затрачиваемых производственных факторов дают возможность увеличитьвыпуск качественной, конкурентоспособной продукции. Весьма расплывчатыйхарактер такого определения приводит к тому, что исследование влияния НТП проводитсялишь как анализ того дополнительного увеличения продукции, которое не можетбыть объяснено чисто количественным ростом производственных факторов. Главныйподход к учету НТП сводится к тому, что в совокупность характеристик выпускаили затрат вводится время ( t ) как независимый производственныйфактор и рассматривается преобразование во времени либо производственнойфункции, либо технологического множества.

/>Остановимся на способах учета НТП путемпреобразования производственной функции (ПФ), причем за основу примемдвухфакторную ПФ:

где в качестве производственных факторов выступают капитал (К ) и труд ( L ). Модифицированная ПФ в общем случае имеет вид

причем выполняется условие

которое и отражает факт роста производства во времени прификсированных затратах труда и капитала. Геометрическая иллюстрация такогопроцесса дана на рис. 4.13, где показано, что изокванта, соответствующаявыпуску продукции в объеме Q , смещается с течением времени ( t2 > t 1 ) вниз и налево.

При разработке конкретных модифицированных ПФ обычностремятся отразить характер НТП в наблюдаемой ситуации. При этом различаютчетыре случая:

а) существенное улучшение со временем качества рабочейсилы позволяет добиться прежних результатов с меньшим количеством занятых;подобный вид НТП часто называют трудосберегающим. Модифицированная ПФ имеет вид

/> где монотонная функция l ( t ) характеризует рост производительности труда;

б) преимущественное улучшение качества машин иоборудования повышает фондоотдачу, имеет место капиталосберегающий НТП исоответствующая ПФ:

где возрастающая функция k ( t )отражает изменение фондоотдачи;

в) если имеет место значительное влияние обоихупомянутых явлений, то используется ПФ в форме

г) если же нет возможности выявить влияние НТП напроизводственные факторы, то применяется ПФ в виде

где a ( t ) возрастающая функция,выражающая рост продукции при неизменных значениях затрат факторов. Дляисследования свойств и особенностей НТП используются некоторые соотношениямежду результатами производства и затратами факторов. К их числу относятся:

а) средняя производительность труда

б) средняя фондоотдача

в) коэффициент фондовооруженности работника

г) равенство между уровнем оплаты труда и предельной(маргинальной) производительности труда

д) равенство между предельной фондоотдачей и нормойбанковского процента

Говорят, что НТП является нейтральным, если он не изменяет стечением времени определенных связей между приведенными величинами.

Рассмотрим далее три случая:

1) прогресс называется нейтральным по Хиксу, если втечение времени остается неизменным соотношение между фондовооруженностью ( x ) и предельной нормой замены факторов ( w / r ). Вчастности, если w / r = const, то замена труда накапитал и наоборот не принесет никакой выгоды и фондовооруженность x = K / L также останется постоянной. Можно показать, что в этомслучае модифицированная ПФ имеет вид

/>,

и нейтральность по Хиксу эквивалентна рассмотренному вышевлиянию НТП непосредственно на выпуск продукции. В рассматриваемой ситуацииизокванта с течением времени смещается налево вниз путем преобразованияподобия, т.е. остается в точности той же формы, что и в исходном положении;

2) прогресс называется нейтральным по Харроду, если втечение рассматриваемого периода времени норма банковского процента ( r ) зависит лишь от фондоотдачи ( k ), т.е. на нее не влияетНТП. Это означает, что предельная фондоотдача установлена на уровне нормыпроцента и дальнейшее увеличение капитала нецелесообразно. Можно показать, чтотакой тип НТП соответствует производственной функции

т.е. технический прогресс является трудосберегающим;

3) прогресс является нейтральным по Солоу, еслисохраняется неизменным равенство между уровнем оплаты труда ( w )и предельной производительностью труда и дальнейшее увеличение затрат труда невыгодно.Можно показать, что в этом случае ПФ имеет вид

т.е. НТП оказывается фондосберегающим

Однако в долгосрочном плане НТП является и результатомразвития, и, в значительной мере, его причиной. Поскольку именно экономическоеразвитие позволяет богатым обществам финансировать создание новых образцовтехники, а затем уже пожинать плоды научно-технической революции. Поэтомувполне правомерен подход к НТП как эндогенному явлению, вызванному(индуцированному) экономическим ростом.

Здесь выделяются два основных направления моделирования НТП:

1) модель индуцированного прогресса основана на формуле

причем предполагается, что общество может распределять предназначенныедля НТП инвестиции между его различными направлениями. Например, между ростомфондоотдачи ( k ( t )) (улучшение качества машин) и ростомпроизводительности труда ( l ( t )) (повышение квалификацииработников) или выбором наилучшего (оптимального) направления техническогоразвития при данном объеме выделенных капитальных вложений;

2) модель процесса обучения в ходе производства,предложенная К. Эрроу, основана на наблюдаемом факте взаимного влиянияроста производительности труда и количества новых изобретений. В ходепроизводства работники приобретают опыт и время на изготовление изделияуменьшается, т.е. производительность труда и сам трудовой вклад зависят отобъема производства

В свою очередь, рост трудового фактора, согласнопроизводственной функции

приводит к росту производства. В простейшем варианте моделииспользуются формулы:

(производственная функция КоббаДугласа).

Отсюда имеем соотношение

которое при заданных функциях K ( t )и L 0 ( t ) показывает более быстрый рост y, обусловленный отмеченным выше взаимным влиянием НТП и экономическогоразвития.

Виды производственных функций ПФ Кобба – Дугласа, ПФ Леонтьева, ПФ Солоу,Линейная ПФ.

Введем в рассмотрение два вида векторов: />-вектор затрат и/> — векторвыпуска. Положительный ортант

называется пространством затрат. Аналогичноопределяется пространство выпуска:

Технологическая связь между затратами и выпуском описываетсяс помощью производственной функции.

/>Определение 4.1. Любая функция />, ставящая всоответствие каждому вектору затрат x вектор />максимального выпуска, которыйможет быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

1. Монотонность: из />и />следует />.

2. Вогнутость: для любых />и />справедливо неравенство />. />

3. Поведение в начале координат: />.

4. Однородность: />, где /> — масштабное число, /> — степень однородности.

Если производственная функция дифференцируема по всемаргументам, то свойства 1 и 2 соответственно могут быть заменены следующиминеравенствами: />

Свойство 3 является отражением бездеятельности, так как беззатрат нет и выпуска. Свойство 4 описывает реакцию производства на изменениезатрат. Параметр />показывает масштаб измененияпроизводства (расширения производства — если />, сужения производства — если />), а /> — эффект отизменения масштабов производства. Если />, то одновременное увеличение всехфакторов в />разприводит к возрастанию объема выпуска больше, чем в />раз (/>), т.е. эффект от расширениямасштаба производства положителен. При />получаем: /> — выпуск возрастает в тойже пропорции, что и затраты. Такие функции называются линейно-однородными(или однородными в первой степени).

Если

Производственная функция Кобба-Дугласа. Первыйуспешный опыт построения производственной функции, как уравнения регрессии набазе статистических данных, был получен американскими учеными — математиком Д.Коббом и экономистом П. Дугласом в 1928 году. Предложенная ими функцияизначально имела вид: />

где Y — объем выпуска, K — величинапроизводственных фондов (капитал), L — затраты труда, /> — числовые параметры(масштабное число и показатель эластичности). Благодаря своей простоте ирациональности, эта функция широко применяется до сих пор и получила дальнейшиеобобщения в различных направлениях. Функцию Кобба-Дугласа иногда мы будемзаписывать в виде

Легко проверить, что />и

Кроме того, функция (4.2.4) линейно-однородна:

/>.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа (4.2.4) обладает всемивышеуказанными свойствами.

Для многофакторного производства функция Кобба-Дугласа имеетвид:

Для учета технического прогресса в функцию Кобба-Дугласавводят специальный множитель (технического прогресса)/>, где t — параметрвремени, />-постоянное число, характеризующее темп развития. В результате функция принимает«динамический» вид:

где не обязательно />. Как будет показано в следующемпараграфе, показатели степени в функции (4.2.4) имеют смысл эластичностивыпуска по капиталу и труду.

Производственная функция CES (с постояннойэластичностью замещения) имеет вид: />

где /> — коэффициент шкалы, /> — коэффициентраспределения, /> — коэффициент замещения, /> — степеньоднородности. Если выполнены условия

то функция (4.2.5) удовлетворяет неравенствам (4.2.2) и(4.2.3) (проверьте это самостоятельно). С учетом технического прогресса функцияCES записывается:

Название данной функции следует из того факта, что для нееэластичность замещения постоянна (см. §4.3 ).

Производственная функция с фиксированными пропорциями.Эта функция получается из (4.2.5) при />и имеет вид: />

Производственная функция затрат-выпуска (функцияЛеонтьева) получается из (4.2.6) при />:

Содержательно эта функция задает пропорцию, с помощьюкоторой определяется количество затрат каждого вида, необходимое дляпроизводства одной единицы выпускаемой продукции. Поэтому в литературе частовстречаются другие формы записи: />

или

Здесь /> — количество затрат вида k,необходимое для производства одной единицы продукции, а y — выпуск.

Производственная функция анализа способовпроизводственной деятельности. Данная функция обобщает производственнуюфункцию затрат-выпуска на случай, когда существует некоторое число (r)базовых процессов (способов производственной деятельности), каждый из которыхможет протекать с любой неотрицательной интенсивностью. Она имеет вид«оптимизационной задачи» />

Здесь /> — выпуск продукции при единичнойинтенсивности j-го базового процесса, /> — уровень интенсивности, /> — количествозатрат вида k, необходимых при единичной интенсивности способа j.Как видно из (4.2.8), если выпуск, произведенный при единичной интенсивности изатраты, необходимые на единицу интенсивности, известны, то общий выпуск иобщие затраты находятся путем сложения выпуска и затрат соответственно для каждогобазового процесса при выбранных интенсивностях. Заметим, что задачамаксимизации функции f по />в (4.2.8) при заданныхограничениях-неравенствах является моделью анализа производственнойдеятельности (максимизация выпуска при ограниченных ресурсах).

Линейная производственная функция (функция свзаимозамещением ресурсов) применяется при наличии линейной зависимости выпускаот затрат: />

где /> — норма затрат k-го видадля производства единицы продукции (предельный физический продукт затрат).

Методы математического моделирования рисковыхситуаций. Риск и неопределенность в осуществлении экономической деятельности.Место методов математического моделирования в общей схеме управления риском.Основные механизмы управления риском — прямое воздействие на факторы риска идиверсификация. Цели моделирования механизмов управления риском. Методымоделирования неопределенности и риска экономической деятельности.

Любая сфера человеческой деятельности, в особенности экономикаили бизнес, связана с принятием решений в условиях неполноты информации.Источники неопределенности могут быть самые разнообразные: нестабильностьэкономической и/или политической ситуации, неопределенность действий партнеровпо бизнесу, случайные факторы, т.е. большое число обстоятельств, учестькоторые не представляется возможным (например, погодные условия, неопределенностьспроса на товары, неабсолютная надежность процессов производства, неточностьинформации и др.). Экономические решения с учетом перечисленных и множествадругих неопределенных факторов принимаются в рамках так называемой теориипринятия решений — аналитического подхода к выбору наилучшего действия(альтернативы) или последовательности действий. В зависимости от степениопределенности возможных исходов или последствий различных действий, с которымисталкивается лицо, принимающее решение (ЛПР), в теории принятия решенийрассматриваются три типа моделей:

• выбор решений в условиях определенности, если относительнокаждого действия известно, что оно неизменно приводит к некоторому конкретномуисходу;

• выбор решения при риске, если каждое действие приводит кодному из множества возможных частных исходов, причем каждый исход имеетвычисляемую или экспертно оцениваемую вероятность появления. Предполагается,что ЛПР эти вероятности известны или их можно определить путем экспертныхоценок;

• выбор решений при неопределенности, когда то или иное действиеили несколько действий имеют своим следствием множество частных исходов, но ихвероятности совершенно не известны или не имеют смысла.

Проблема риска и прибыли — одна из ключевых в экономическойдеятельности, в частности в управлении производством и финансами. Под рискомпринято понимать вероятность (угрозу) потери лицом или организацией частисвоих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов врезультате осуществления определенной производственной и финансовой политики.

Различают следующие виды рисков:

производственный, связанный с возможностью невыполнения фирмой своих обязательств перед заказчиком; кредитный, обусловленный возможностью невыполнения фирмой своих финансовых обязательств перед инвестором; процентный, возникающий вследствие непредвиденного изменения процентных ставок; риск ликвидности, обусловленный неожиданным изменением кредитных и депозитных потоков; инвестиционный, вызванный возможным обесцениванием инвестиционно-финансового портфеля, состоящего из собственных и приобретенных ценных бумаг; рыночный, связанный с вероятным колебанием как рыночных процентных ставок собственной национальной денежной единицы, так и курса зарубежных валют.

Риск подразделяется на динамический и статический. Динамическийриск связан с возникновением непредвиденных изменений стоимости основногокапитала вследствие принятия управленческих решений, а также рыночных или политическихобстоятельств. Такие изменения могут привести как к потерям, так и кдополнительным доходам. Статический риск обусловлен возможностью потерьреальных активов вследствие нанесения ущерба собственности и потерь доходаиз-за недееспособности организации.

Все участники проекта заинтересованы в том, чтобы не допуститьвозможность полного провала проекта или хотя бы избежать убытка. В условияхнестабильной, быстро меняющейся ситуации необходимо учитывать все возможныепоследствия от действий конкурентов, а также изменения конъюнктуры рынка.Поэтому основное назначение анализа риска состоит в том, чтобы обеспечитьпартнеров информацией, необходимой для принятия решений о целесообразностиучастия в некотором проекте, и предусмотреть меры по защите от возможныхфинансовых потерь.

При анализе риска могут использоваться следующие условия илипредположения:

• потери от риска не зависят друг от друга;

• потери по одному из некоторого перечня рисков не обязательноувеличивают вероятность потерь по другим;

• максимально возможный ущерб не должен превышать финансовыхвозможностей участников проекта.

Все факторы, влияющие на рост степени риска в проекте, можноусловно разделить на объективные и субъективные. Объективные факторы непосредственноне зависят от самой фирмы: это инфляция, конкуренция, политические иэкономические кризисы, экология, налоги и т.д. Субъективные факторы непосредственнохарактеризуют данную фирму: это производственный потенциал, техническое оснащение,уровень производительности труда, проводимая финансовая, техническая ипроизводственная политика, в частности выбор типа контракта между инвестором изаказчиком. Последний фактор играет особо важную роль для фирмы, поскольку оттипа контракта зависят степень риска и величина вознаграждения по окончаниипроекта.

Исследование риска целесообразно проводить в следующей последовательности:

• выявление объективных и субъективных факторов, влияющих наконкретный вид риска;

• анализ выявленных факторов;

• оценка конкретного вида риска с финансовых позиций, определяющаялибо финансовую состоятельность проекта, либо его экономическуюцелесообразность;

• установка допустимого уровня риска;

• анализ отдельных операций по выбранному уровню риска;

• разработка мероприятий по снижению риска.

Финансирование проекта, являясь одним из наиболее важныхусловий обеспечения эффективности его выполнения, должно быть нацелено наобеспечение потока инвестиций для планомерного выполнения проекта, на снижениекапитальных затрат и риска проекта за счет оптимальной структуры инвестиций иполучения налоговых преимуществ. В плане финансирования проекта должныучитываться следующие виды рисков:

• нежизнеспособности проекта;

• налоговый;

• неуплаты задолженностей;

• незавершения строительства.

Высокая степень риска проекта приводит к необходимости поискапутей искусственного снижения его (риска) возможных последствий на состояниедел фирмы.

В существующей практике применяются главным образом четыреосновных способа управления риском: распределение риска между всеми участникамипроекта (передача части риска соисполнителям), страхование, резервированиесредств на покрытие непредвиденных расходов и диверсификация.

Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих другдруга вида: качественный, главная задача которого состоит в определениифакторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный,позволяющий вычислить размеры отдельных рисков и риска проекта в целом.

Меры риска

Наиболее распространена точка зрения, согласно которой меройриска коммерческого (финансового) решения или операции следует считатьсреднеквадратичное отклонение (положительный квадратный корень из дисперсии)значения показателя эффективности этого решения или операции. Действительно,поскольку риск обусловлен недетерминированностью исхода решения (операции), то,чем меньше разброс (дисперсия) результата решения, тем более он предсказуем,т.е. меньше риск. Если вариация (дисперсия) результата равна нулю, рискполностью отсутствует. Например, в условиях стабильной экономики операции сгосударственными ценными бумагами считаются безрисковыми.

Чаще всего показателем эффективности финансового решения(операции) служит прибыль.

Рассмотрим в качестве иллюстрации выбор некоторым лицомодного из двух вариантов инвестиций в условиях риска. Пусть имеются двапроекта Л и В, в которые указанное лицо может вложить средства. Проект А вопределенный момент в будущем обеспечивает случайную величину прибыли.Предположим, что ее среднее ожидаемое значение, математическое ожидание, равнотАс дисперсией SA. Дляпроекта В эти числовые характеристики прибыли как случайной величиныпредполагаются равными соответственно тви SB~. Среднеквадратичные отклонения равнысоответственно SAиSB.

Возможны следующие случаи:

a) тА = тв, SA < SB,следует выбрать проект Л;

b) тА > тв, SA < sb, следуетвыбрать проект А;

c) тА > тв, SA= sb,следует выбрать проект Л;

d) тА > тв,SA >SB;

e) тА < тв, SA <SB.

В последних двух случаях решение о выборе проекта А илиВ зависит от отношения к риску ЛПР. В частности, в случае d) проект А обеспечивает более высокую среднююприбыль, однако он и более рискован. Выбор при этом определяется тем, какойдополнительной величиной средней прибыли компенсируется для ЛПР заданноеувеличение риска. В случае е) для проекта А риск меньший, но и ожидаемаяприбыль меньше.

Магистральные модели экономики. Магистральная модель накопления основныхпроизводственных фондов в конце планового периода. Модель фон Нейманарасширяющейся экономики.

Классическая (исходная) модель Неймана строится приследующих предпосылках:

/>экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей; производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом; для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют; спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются; цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временноминтервале />сточками />рассматриваетсяпроизводство, в котором n видов затрат с помощью mтехнологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будемуказывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркиватьпринадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьеватехнологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В моделиНеймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, атехнологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственныхпроцессов.

Интенсивностью производственного процесса jназывается объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровеньинтенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через />(/>). Заметим, что />являетсявектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ымпроцессом видов товаров и />.

Предположим, что функционирование j-го процесса (/>) с единичнойинтенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения />. Пара />характеризует технологическийпотенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичнойинтенсивностью). Поэтому пару />можно назвать базисом j-гопроизводственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности />соответствующуюпару затраты-выпуск можно выразить как />. Поэтому последовательность пар/>

представляющих собой затраты и выпуски всех производственныхпроцессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будемназывать базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A — матрица затрат, B — матрицавыпуска. Вектор />называется вектороминтенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем mпроцессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) скоэффициентами />:/>

Говорят, что в производственном процессе />базисные процессы (6.4.1)участвуют с интенсивностями />. Как видно из (6.4.2),неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и Bединичных уровней затрат и выпуска, является линейной (см. предпосылку 1) вначале параграфа). Рассматривая все допустимые «смеси» базисныхпроцессов, получаем расширенное множество производственных процессов/>

которое и отражает допустимость совместной деятельностиотраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одномпроцессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной отнуля более чем одна из величин />. Множество (6.4.3) представляетсобой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице Aположить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а />интерпретироватькак вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и3), затраты />вмомент t не могут превышать выпуска />, соответствующего предыдущемумоменту t-1 (рис. 6.3)./>

Поэтому должны выполняться условия:/>

где /> — вектор запаса товаров к началупланируемого периода.

Обозначим через />, вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4)можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t.Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть: />

По предположению 5) прибыль базисного процесса />на отрезке [t-1,T]равна величине />, т.е. затраты осуществляются поцене начала периода, а готовая продукция — по цене момента ее реализации. Такимобразом, издержки по всем базисным процессам можно записать как />, а выручку — как />(рис. 6.4)./>

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если />, неприбыльны — если />

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисныхпроцессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени,т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики«характерен случай падения цен (/>)», т.е. покупательскаяспособность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. Стаким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причинанеприбыльности базисных процессов заложена в определении экономическогоравновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана — этовозможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической моделиэкономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2,при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостнойбаланс (см. (5.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакойприбыли, и неравенство www.csu.ac.ru/%7Erusear/ME_Ruda/Chapter6/par6_4.html - %286.4.6.%29(6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6)для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство,т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть />. Иначе говоря, отсутствие«отрицательной прибыли» обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюдаполучаем />

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств иуравнений (6.4.4) -(6.4.7): />

где />и /> — матрицы затрат и выпускасоответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

/>Определение 6.2. Говорят, что вэкономике наблюдается сбалансированный рост производства, еслисуществует такое постоянное число />, что для всех mпроизводственных процессов />

Постоянное число />называется темпомсбалансированного роста производства.

Содержательно (6.4.9) означает, что все уровни интенсивностивозрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (6.4.9), получаем />

где /> — интенсивность процесса j, установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правойчасти (6.4.10) является показателем степени, а в левой — индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетомпостоянства темпа роста, последовательность />называется стационарнойтраекторией производства.

/>Определение 6.3. Говорят, что вэкономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такоепостоянное число />, что для всех n товаров />

Постоянное число />называется нормой процента.

Содержательно (6.4.11) означает, что цены на все товары снижаютсяодинаковыми темпами

Название «норма процента» для темпа снижения />принято поассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложногопроцента />,где R0 — сумма начального вложения, Rn — получаемая через nпериодов конечная сумма, /> — норма процента. Так как в определении6.3 речь идет о снижении, то «норма процента» в (6.4.11) входит сотрицательным знаком (/>).

Из равенства (6.4.10) получаем/>

где /> — цены, установившиеся к началупланового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность />называется стационарнойтраекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8),получаем ее «стационарную» форму:/>

Эта система соотношений показывает, что по стационарнымтраекториям y и p экономика развивается согласно неизменномудинамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

www.csu.ac.ru/%7Erusear/ME_Ruda/Chapter6/def6.4.Определение6.4. Четверка />, где y — стационарнаятраектория производства, p — стационарная траектория цен, а />и />-соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента(темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием(динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

/>а) />
в) для каждого j существует хотя бы одно i, такое что />;
г) для каждого i существует хотя бы одно j, такое что />;
д) для каждого t />.

/>Теорема 6.4. Если выполненыусловия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы Aи каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительногоэлемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессовнет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктовдействительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение.

/>Определение 6.5. Число

называется максимальным темпом сбалансированного роста,а число

называется минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа />и />существуют и равны междусобой:/>

если только начальные точки y0 и p0 такжеудовлетворяют этому равенству.

Траектория производства />, удовлетворяющая условиям (6.4.13)при />и />исоответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. />, называется траекториейравновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью).Поскольку эту траекторию можно представить в виде />, где />, то ее еще называют лучомНеймана а цены (6.4.12), соответствующие минимальной норме процента />, называют неймановскимиценами.

В общем случае в моделях экономической динамики даже принеизменности технологических возможностей утверждения теорем о магистрали невыполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительныепредположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит визучении реальных отраслевых пропорций и сравнении их с магистральными.Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественныхпредпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном(дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается от магистрального.В то же время, как показывают полученные в этом направлении результатыисследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорции близки кмагистральным.

Модель общего экономического равновесия в долгосрочном периоде. Факторывалового национального продукта (ВНП) и его представление при помощипроизводственной функции макроэкономического анализа. Распределение ВНП пофакторам производства. Функция потребления.

Ценность моделей МОБа для анализа макроэкономическогоравновесия велика, так ведущие факторы и показатели экономики, в частности:сферы и сектора; валовой выпуск; валовой национальный продукт; промежуточныйпродукт; национальный доход; все национальные потоки; импортно-экспортныесвязи.

С помощью этой модели могут быть получены данные для анализаосновных макроэкономических пропорций, сделан их прогноз.

Модель Леонтьева называется «затраты-выпуск» потому,что отдельные отрасли рассматриваются в балансе двояко:

1. как выразители совокупногоспроса и покупатели материальных благ и услуг, предложенных другимиотраслями (затраты) – это столбцы баланса;

2. как выразители совокупногопредложения и продавцы материальных благ и услуг, которые онипредоставляют сами другим отраслям (выпуск) – это строки баланса.

Модель затраты – выпуск связана с системой национальныхсчетов (СНС), принятой в странах с рыночной экономикой.

Баланс Леонтьева (в свернутом виде).

По вертикали отражаются счета наступлений (покупок),а по горизонтали счета выпуска (продаж).[метка3]

Из этой модели в идеале можно получить следующие видыравновесия:

1. отраслевое равновесие

Напр., для отрасли (1):

Или: сумма счетов затрат отрасли равна сумме счетов выпускаее продукции.

2. межотраслевое равновесие,например для обрабатывающей и добывающей промышленности.

Х32Р3=Х23Р2

Или: итог предложения продукции отраслью (3) для отрасли (2)равен итогу спроса отрасли (3) на продукцию отрасли (2). Обычно в реальнойжизни такой тип равновесия отсутствует.

3. Общее равновесие

или: совокупное предложение и совокупный спрос на товарыравны.

В ряде случаев может отсутствовать и отраслевое равновесие.Однако в модели Леонтьева в итого все сбалансировано потому, что МОБ отражаетфакт состоявшихся сделок, реальные рыночные потоки. А это означает, что вмодели Леонтьева отражена лишь часть проблем макроэкономического равновесия. Неучитываются факторы, нарушающие это равновесие, например, предприятия-банкроты;склады; дефицитное состояние экономики, экономические циклы.

С помощью МОБ можно проанализировать основныемакроэкономические показатели: ВНП, потребление, накопление, ВОП, егоструктуру, эффективность использования ресурсов, рассчитать форму накопления ит.д.

Приведённая (функциональная) форма статической модели межотраслевогобаланса. Мультипликатор Леонтьева (матрица коэффициентов полных материальныхзатрат). Коэффициенты прямых затрат труда. Баланс трудовых ресурсов.

Для более глубокого изучения межотраслевых связей исовершенствования прогнозирования народного хозяйства, наряду с коэффициентамипрямых затрат, большое научное и практическое значение приобретает исчислениетак называемых коэффициентов полных затрат, т.е. затрат, связанных спроизводством того или иного продукта не только прямо, но и косвенно черездругие продукты.

Коэффициенты полных затрат тесно связаны с алгебраическимрешением системы уравнений межотраслевого баланса. Решая эти уравненияотносительно Yi, после того как вместо аij<sub/>поставлены конкретные числа, а y1,y2,…,ynоставлены в алгебраической форме, получим для каждого Yi выражениеследующего вида

Yi = bi1y1 +bi2y2 + … + bijyj + … + bimyn,

где bij<sub/>– коэффициентыполных затрат.

Если теперь положить yj = 1, а всеостальные значения y равными нулю, то есть y1 = y2 =…=yj-1 = yj+1 =…= yn = 0, то получим Yi= bij.

Таким образом, b1j, b2j,…являются полными затратами 1-го,
2-го,… продуктов на единицу j-го продукта.

Получение коэффициентов полных затрат bijматематически отвечает получению матрицы, обратной матрице E-A, т.е.матрицы (E-A)/>.

Дискретная динамическая модель межотраслевого баланса сучетом ввода мощностей. Постановка оптимизационной модели.

Структурная форма модели общего экономического равновесия в долгосрочномпериоде. Равновесие и ставка процента.Виды целевых функций в экономическом анализе.

Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) суправляемыми переменными в задаче оптимизации.

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Математические методы экономических исследований

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Математические модели в экономике

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Математические модели задач и их решение на ЭВМ

1 Сентября 2013

Реферат по экономико-математическому моделированию

Математические модели поведения производителей

1 Сентября 2013