Реферат: Математические модели задач и их решение на ЭВМ

ЗАДАНИЕ № 1

Из пункта А в пункт Бежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Наличный парк вагоновразных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количествопассажиров вмещающихся в каждом вагоне приведены в таблице.

/>

Пропускная способностьдороги не позволяет пройти в день более чем 10 поездам.

Определить оптимальноечисло скорых и пассажирских поездов, при которых будет перевозитьсямаксимальное число пассажиров.

/>

В данном случаенеизвестными являются число скорых и пассажирских поездов Х1 и Х2

Составим математическуюмодель этой задачи.

Максимальное числопассажиров перевозимых данными поездами обозначим L.Тогда целевая функция будет иметь вид:

L=0*(1*х1+1*х2)+58*(5*х1+8*х2)+40*(6*х1+4*х2)+32*(3*х1+1*х2) – max

Ограничение на искомоерешение следующее:

1*х1+1*х2

5*х1+8*х2

6*х1+5*х2

3*х1+1*х2

Х1+х2<=10

/>

/>

/>

ЗАДАНИЕ №2.

1. решить задачугеометрическим методом.

2. составитьдвойственную задачу для исходной.

2х1+5х2≥10

5х1+2х2≥10

3х1+4х2≤24

4х1+3х2≤24

Х1-2х2≤4

Z=3х1+х2→мах

Х1≥0; Х2≥0.

Х1+5x2>5

5x1+x2>5

X1+X2<7

3x1-4x2<12

-4x1+3x2<12

Z=4x1-3x2– max

X1>0X2>0

РЕШЕНИЕ

1. Посколькурассматривается задача на максимум, то все ограничения следует привести к виду«≤». Для этого обе части первого и второго неравенств следует умножить на«-1». Получим: -  -2х1-5х2≤-10

-5х1-2х2≤-10

3х1+4х2≤24

4х1+3х2≤24

Х1≥0; Х2≥0.

2. Составим расширеннуюматрицу системы.

 -2 -5 -10

 -5 -2 -10

А1= 3 4 24

 4 3 24

 3 1 Z

3. Найти матрицу А1т,транспонированную к<sub/>А1.

 

 -2 -5 3 4 3

А1т = -5 -2 43 1

 -10 -10 24 24 Z

4. Сформулируемдвойственную задачу:

Z=-10у1 -10у2 +24у3 +24у4 → min.

-2 у1 — 5 у2+ 3 у3 + 4 у4≥3

-5у1 — 2<sub/>у2 + 4<sub/>у3 + 3<sub/>у4≥1

у1 ≥0;<sub/>у2≥0;<sub/>у3≥0;<sub/>у4≥0.

ЗАДАНИЕ №3

Составитьматематическую модель задачи и решить ее на ЭВМ.

Найти оптимальный планперевозки, при котором транспортные расходы будут минимальны

Данные для каждоговарианта приведены

1.тарифы перевозокединицы груза от каждого поставщика каждому потребителю

2.запасы груза каждогопоставщика

3.потребности в грузекаждого потребителя.

/>

/>

/>

РЕШЕНИЕ

А1 + А2 + А3 + А4 + А5 = 30+20+10+27+30=117

В1 + В2+ В3 + В4 =30+40+50+10=130

Спрос превышаетпредложение и поэтому добавляем пятого фиктивного постивщика.130-117=13 Отсюда:

Х11+Х12+Х13+Х14+Х15 =30

Х21+Х22+Х23+Х24+Х25 =20

Х31+Х32+Х33+Х34+Х35 =10

Х41+Х42+Х43+Х44+Х45 =27

Х51+Х52+Х53+Х54+Х55 =30

Х61+Х62+Х63+Х64+Х65=13

F= 7Х11+8Х12+5Х13+5Х14+5Х15+9Х16+1Х21+

+4Х22+2Х23+5Х24+9Х25+ 3Х31+5Х32+3Х33+8Х34+7Х35

+9Х36+2Х41+8Х42+7Х43+4Х44+5Х45+9Х46min.

/>

/>

/>

/>

/>

ЗАДАНИЕ №4

Представители однойфирмы могут принять по три стратегии. Матрица эффективности стратегий фирмпредставлена в таблице.

1. Определитьверхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найтиседловую точку. В случае ее отсутствия составить двойственные задачимат.програмирования.

К\С С 1 С 2 С 3 К 1 1 7 2 К 2 5 4 8 К 3 4 6 3 K 4 1 3 2

РЕШЕНИЕ

Нижняя цена игрывычисляется α = maxi<sub/>minjhij<sub/>=maxi βj<sub/>,где αi<sub/>-наименьшее значение в i-тойстроке.

/>

Верхняя цена игрывычисляется β = minjmaxihij<sub/>=minj βj<sub/>,где βj<sub/>==maxihij<sub/>-наибольшее значение в j-томстолбце.

К\С С 1 С 2 С 3

αi

К 1 3 7 3 3 К 2 8 1 5 1 К 3 2 6 4 2 α= 1

βj

8 7 5 β= 8

Седловая точкаотсутствует, значит нужно составить двойственную задачу.

ЗАДАНИЕ №5

Имеются данныеэффективности выпуска новой продукции при различных вариантах решений(стратегий) и различных состояниях среды (природы), таблица 1. Выбратьнаилучшее решение, стратегию используя критерии:

1. Максимакса

2. Вальда

3. Сэвиджа

4. Гурвица(коэффициент пессимизма р=0,3)

5. Байеса(вероятности для каждого состояния среды р1=0,2, р2=0,3,р3=0,3, р4=0,2)

6. Лапласа

ТАБЛИЦА 1.

ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЙ СОСТОЯНИЕ ПРИРОДЫ П1 П2 П3 П4 А1 7 13 9 15 А2 15 8 11 12 А3 12 6 13 10 А4 11 10 15 14 А5 8 15,5 12 15

/>

РЕШЕНИЕ

1. Покритерию максимакса наилучшим признается решение, при котором достигаетсямаксимальный выигрыш равный

М= maximaxjhij = maxiMi

 

Находим М=maxihij, табл.2,т.е.максимальное значение в i-тойстроке.

/>

ТАБЛИЦА 2.

/>

М1= 15, М2=15, М3=13, М4= 15, М5= 15,5.

Максимальное значение М= maxiMi<sub/>=15,5, значит решение А5<sub/>оптимально.

2. Согласнокритерию Вальда наиболее предпочтительным является решение, при котором W= maximinjhij= maxiWi. НаходимWi<sub/>=minjhij,т.е. минимальное значение Wв i-той строке.

/>

/>

Максимальное значение W=10,следовательно решение А4 является наилучшим.

3. В соответствии скритерием Сэвиджа предпочтение отдается решению, для которого максимальныепотери при различных вариантах обстановки окажутся минимальными, т.е.достигается значение:

S= minimaxjrij = miniSi.

Найдемматрицу потерь (табл.4 и 5): βj<sub/>=maxihij; rij<sub/>=βj<sub/>-hij.

ТАБЛИЦА4. ВЫИГРЫШИ

/>

/>

ТАБЛИЦА 5. ПОТЕРИ.

/>

/>

Минимальное значение S= 7. Следовательно оптимальным решением является решение А5.

3. Покритерию Гурвица предпочитается то решение, при котором G= maxi { minihij+ (1- p) maxjhij } = maxiGi.

Находим Gi<sub/>=pWi + (1-p)Mi,р=0,3 по условию задачи.

/>

/>

Находим Gmax= 17,4 значит решение А2 является оптимальным.

4. Согласнокритерию Байеса наилучшим является решение, при котором достигается максимумматематического ожидаемого выигрыша (или минимум среднеожидаемого риска).

Вероятности для каждогосостояния среды по условию задачи таковы:

р1=0,2, р2=0,3,р3=0,3, р4=0,2. Определяем математическое ожиданиевыигрышей по каждому решению: МВ1 = ∑рihij.

/>

/>

Определяем максимуможидаемого математического выигрыша. Он равен 12,85, что соответствуетчетвертому решению, которое, следовательно, и является оптимальным.

Определяемсреднеожидаемый риск по каждому решению.

МРi= ∑pj<sub/>rij

 

/>

/>

Определяем минимумсреднеожидаемого риска. Он равен 2,3, что соответствует пятому решению,которое, следовательно, является оптимальным по данному критерию.

5. Определяемзначения для каждого решения по критерию Лапласа.

ВЫИГРЫШИ:

/>

/>

Максимальный выигрышсоставит 12,625 что соответствует 2-ому оптимальному решению.

ПРОИГРЫШИ:

/>

/>

Минимальный проигрышсоставит 2,5, что соответствует 5-ому оптимальному решению.

ЗАДАНИЕ №6.

По экспериментальнымданным опроса восьми групп семей о расходах на продукты питания, в зависимостиот уровня дохода семьи, приведенным в таблице, требуется:

1. Построитьлинейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи.

2. Определитькоэффициент корреляции и оценить тесноту связи между доходами семьи и расходамина питание.

3. Определитькоэффициент детерминации и коэффициент эластичности, объяснить их смысл.

4. Определитьсреднюю по модулю относительную ошибку аппроксимации и оценить точностьпостроенной модели.

Доходы семьи (х), тыс.грн. 2.2 3,6 4,2 5,8 6,7 7,9 8,6 10,6 Расходы на продукты (у) 1,2 2,0 2,6 2,9 3,1 3,9 4,5 5

РЕШЕНИЕ. Подготовимвспомогательную таблицу:

Табл 1

/>

Табл 2

/>

/>

1. Поформуле определим коэффициенты а0, и а1.

А0= ∑уi*∑xi^2-∑xiyi*∑xi/ n*∑x^2-∑xi*∑xi

Ai=n*∑xiyi-∑xi*∑yi/n*∑x^2-∑xi*∑xi.

/>

/>

Тогда регрессионнаямодель, согласно формуле, запишется:

Y^=А0+Аi*x

Построим графикзависимости и отметим экспериментальные точки.

/>

2. Дляполученной модели определим:

А) коэффициенткорреляции по формуле и оценим тесноту связи между доходами семьи и расходамина питание.

Xcp=∑xi/nYcp=∑yi/nXYcp=∑xiyi/n

Для этого вычислимсредние значения доходов и расходов при помощи EXCEL.Расчеты приведены в табл 2

3. Хср= 49.6/8= 6.2; Уср= 25.2/8= 3.2 XcpУср=180,9/8= 22,6.

Для вычислениясреднеквадратических ошибок Sy,Sx имеем формулу:

Sy=√∑(yi-y^i)/nSx=√∑(xi-x^)^2/n

/>

/>

Коэффициент корреляциивычислим по формуле:

rxy=xy^-x^*y^/sy*sx

/>

/>

3. Рассчитаемкоэффициент детерминации: R2xy= 0,972111224. Значит, 97,2% величины расходов семьи на питание зависит отизменения доходов семьи, а остальные 2,8% связаны с изменением других, невключенных в модель факторов.

/>

/>

Вычислимкоэффициент эластичности:

Эху=aix^/y^

/>

/>

С увеличением доходовсемьи на 1% расходы на питание увеличатся в среднем на 0,8781%.

3. Найдемсреднюю по модулю линейную относительную ошибку аппроксимации по формуле: d=1/n*∑(yi-y^)

/>

/>

Коэффициентнизкий что значит точность построения модели высока.

ЗАДАНИЕ№7.

1. Поисходным данным из задачи 6 рассчитаем Se,Sa0,Sa1по формулам. Для этого подготовим таблицу:

/>

/>

/>

Se= √1/n-2*∑e^2

Sa0=Se*√∑x^2/∑(xi-x^)^2

Sa1=Se*√ 1/∑(x-x^)^2

Согласно задаче имеем:

А0=0,3837079<sub/>А1 = 0,4461762. для вычисления фактическихзначений t-критерия воспользуемсяформулами: ta0= a0/Sa0 =1.84707; ta1= 14,4617.

По таблице 1 приложенияА найдем табличное значение t-критериядля степеней свободы df=8-1-1 = 6 и уровня зависимости 6%, т.е. tтабл= 1,943.

При уровне значимости6% имеет место неравенство:

ta1=0,073525 ‹ tтабл= 1,943. Значит, с уверенностью 94% можно утверждать, что оценка А1= 0,747263097 не является статистически значимой.

Аналогично проверим длядругого параметра. ta0= 1,743736 ‹ tтабл= 1,943, значит оценка А0= 0,123251901 также не являетсястатистически значимой.

/>

/>

2. Значимостьуравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R2определяетсяс помощью критерия Фишера. Значение оценки R2полученов предыдущей задаче, R2= 0,968583448. Фактическое значение Fфактопределяемпо формуле: Fфакт =184,9821.

Табличное значение Fтаблопределяем по таблице: />Fтабл =5,99.

Поскольку Fфакт=184,9821› Fтабл =5,99, то с уверенностью 94% делается заключение о том, что уравнение регрессиив целом статистически значимо и статистически значим показатель степени связи R2,т.е. отвергается нулевая гипотеза о том, что R2=0.

ЗАДАНИЕ №8.

Имеются следующиеисходные данные:

Годы 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Объем реализации 10,84 11,12 10,6 11,31 11,62 12,0 12,73 11,12

Коэффициентдостоверности аппроксимации для каждого типа линии тренда

1) Линейнаяу= 0,1795х – 347,71 R^2=0.4163

/>

2) Логорифмическаяу=359,19 Ln(x)-2718,8R^2=0.1464

/>

3) Степеннаяy=3E-102x^31.059R^2=0.422

/>

4) Экспонтенциальнаяу=4Е-13е^0.01558xR^2=0.4218

Каквидно из рисунка в 2005г в сравнении с 2004г в среднем реализация продукцииувеличилась на 0,42 млн. грн.

ЗАДАНИЕ №9.

Имеются данныеиспытаний нескольких величин по результатам обследования десяти статистическиоднородных филиалов фирмы, приведенные в таблице. х1-фондовооруженность, х2 – энерговооруженность, у – производительностьтруда.

Выполнить следующее:

1. Построитьлинейную регрессионную модель при помощи ПЭВМ.

2. Выполнитькоманду «Регрессия».

3. Определитьпо результатам команды «Регрессия» значение коэффициента множественнойкорреляции и детерминации.

4. Проверитьстатистическую значимость оценок параметров модели.

5. Проверитьстатистическую значимость оценки степени достоверности взаимосвязи R2ивсей модели в целом.

РЕШЕНИЕ.

1. построитьрегрессионную модель.

2. выполнить команду«Регрессия», результаты которой показаны ниже.

/>

/>

/>

Рис. Результаты команда«Регрессия»

Регрессионная модельпринимает вид:

у^ = 0929087*2,9+ — 0,4502*4,5-3,246374

3. Согласно Рискоэффициенты множественной корреляции и детерминации, в данном случае R= 0,993689; R2= 0,98742.

4. Статистическуюзначимость оценок параметров модели b,a1, а2осуществим с помощью t-критерия.Для этого определим его табличное значение и его фактические значения длякаждого из оцениваемых параметров. По таблице 1 приложения А при уровне значимости1% найдем табличное значение t-критериядля степеней свободы df=10-2-1 = 7 и уровня зависимости 7%, т.е. tтабл= 3,143.

Фактическое значение t-критериядля каждого из оцениваемых параметров смотрим на рисунке в столбце t-статистикав нашем случае:

t-a1=15,73834 ta2= — 0,855361 tb=15,97697

При уровне значимости7%t-a1=15,73834> tтаблимеет место равенство: Значит, с уверенностью 99% можно утверждать, что оценкаА1 параметра модели является статистически значимой.

Условие ta2=-0,855361< tтабл= 3,143 не выполняется, значит утверждаем, что этот критерий статистически неважен.

Условие tв=15.97697> tтабл= 3,143 выполняется, значит и эта оценка статистически значима в модели.

5. Значимость уравнениярегрессии в целом и коэффициента тесноты связи R2определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое Fфакт=274,684752

Табличное значение Fтаблопределяем по таблице: Fтабл= 9,55. Условие Fфакт=274684752>Fтабл= 9.55 выполняется, поэтому с вероятностью 99% делается заключение о том, что R2статистическизначим, и уравнение регрессии в целом значимо, т.е. отвергается нулеваягипотеза R2 =0.