Реферат: Методы решения уравнений линейной регрессии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ

Контрольная работа

по эконометрике

Липецк, 2009 г.

Задача

 

По предприятиям легкойпромышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объемавыпуска продукции (Y, млн.руб.) отобъема капиталовложений (Х, млн.руб.)

Y 31 23 38 47 46 49 20 32 46 24 Х 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24

Требуется:

1. Найти параметрыуравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициентарегрессии.

2. Вычислитьостатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков />; построить графикостатков.

3. Проверитьвыполнение предпосылок МНК.

4. Осуществитьпроверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).

5. Вычислитькоэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найтисреднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.

6. Осуществитьпрогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α=0,01 при Х=80% от егомаксимального значения.

7. Представитьграфически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.

8. Составитьуравнения нелинейной регрессии:

· Гиперболической;

· Степенной;

· Показательной.

Привести графикипостроенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделейнайти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительныеошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Уравнение линейной регрессииимеет вид:

/>= а0+ а1x.

Построим линейную модель.

Для удобства выполнениярасчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастаниюфакторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).

/>

Рис.1

Используем программуРЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели (рис.2)

/>

Рис.2

Коэффициенты моделисодержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты).

Таким образом, модельпостроена и ее уравнение имеет вид

Yт = 12,70755+0,721698Х.

Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, приувеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 0,721698млн руб.

2. Вычислитьостатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S²e; построить график остатков.

Остатки содержатся встолбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).

Программой РЕГРЕССИЯнайдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 2).

Для построения графикаостатков нужно выполнить следующие действия:

· Вызвать МатерДиаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).

· Для указанияданных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; вкачестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1); значения Y — остатки (таблица 4).

/>

Рис.3 График остатков

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

Предпосылками построенияклассической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известныекак условия Гаусса-Маркова.

· В уравнениилинейной модели Y=a+b*X+ε слагаемоеε — случайная величина, которая выражает случайный характер результирующейпеременной Y.

· Математическоеожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.

· Случайные членыдля любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).

· Распределениеслучайного члена является нормальными.

1) Проведем проверкуслучайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.

Количество повторныхточек определим по графику остатков: p=5

Вычислим критическоезначение по формуле:

/>.

При/> найдем />

Схемакритерия:

/>

Сравним/>, следовательно, свойствослучайности для ряда остатков выполняется.

1. Равенствонулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели,коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощьюфункции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: />.

Свойствопостоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критериюГольдфельда–Квандта.

Вупорядоченных по возрастанию переменной Xисходных данных (/>) выделим первые4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.

Спомощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям(регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов />.

Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 107,7894737 107,7894737 15,67347 0,15751 Остаток 1 6,877192982 6,877192982 Итого 2 114,6666667

Спомощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям(регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов />.

Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 4,166666667 4,166666667 0,186916 0,707647 Остаток 2 44,58333333 22,29166667 Итого 3 48,75

Рассчитаемстатистику критерия:

/>.

Критическоезначение при уровне значимости />и числахстепеней свободы /> составляет />.

Схемакритерия:

/>

Сравним/>, следовательно, свойствопостоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.

2. Дляпроверки независимости уровней ряда остатков используем критерийДарбина–Уотсона

/>.

Предварительнопо столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим />; используем найденнуюпрограммой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты />.

Такимобразом,

/>

Схемакритерия:

/>

Полученноезначение d=2,375, чтосвидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88и d2=1,32.

D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.

/>

Спомощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков />, следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.

Критическоезначение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение />Önи составляет для данной задачи />

Сравненияпоказывает, что çr(1)=1,67788Е-16<0,62, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

4)Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью />критерия:

/>.

Спомощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим />, />. Стандартная ошибка моделинайдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет />.Тогда:

/>

Критическийинтервал определяется по таблице критических границ отношения /> и при /> составляет (2,67; 3,57).

Схемакритерия:

/>

2,995/> (2,67; 3,57), значит, дляпостроенной модели свойство нормального распределения остаточной компонентывыполняется.

Проведеннаяпроверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для моделивыполняются все условия Гаусса–Маркова.

4.Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерияСтьюдента (/>).

t–статистика для коэффициентовуравнения приведены в таблице 4.

Длясвободного коэффициента /> определенастатистика />.

Длякоэффициента регрессии /> определенастатистика />.

Критическоезначение /> найдено для уравнениязначимости /> и числа степеней свободы /> с помощью функцииСТЬЮДРАСПОБР.

Схемакритерия:

/>

Сравнениепоказывает:

/>, следовательно,свободный коэффициент aявляется значимым.

/>, значит,коэффициент регрессии bявляется значимым.

5.Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии спомощью F–критерия Фишера (/>), найти среднююотносительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициентдетерминации R–квадрат определенпрограммой РЕГРЕССИЯ и составляет />.

Такимобразом, вариация объема выпуска продукции Yна 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложенийX.

Проверимзначимость полученного уравнения с помощью F–критерияФишера.

F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ(таблица 2) и составляет />.

Критическоезначение /> найдено для уровня значимости/> и чисел степеней свободы />, />.

Схемакритерия:

/>

 

Сравнениепоказывает: />; следовательно, уравнениемодели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменнаяY достаточно хорошо описываетсявключенной в модель факторной переменной Х.

Длявычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительныйстолбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле

/> 

спомощью функции ABS (таблица 5).

ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки Отн. Погр-ти 1 27,14150943 6,858490566 20,17% 2 29,30660377 -3,306603774 12,72% 3 30,02830189 -6,028301887 25,12% 4 35,08018868 2,919811321 7,68% 5 35,80188679 -0,801886792 2,29% 6 40,13207547 -0,132075472 0,33% 7 45,90566038 -3,905660377 9,30% 8 45,90566038 5,094339623 9,99% 9 46,62735849 -1,627358491 3,62% 10 48,07075472 0,929245283 1,90%

Постолбцу относительных погрешностей найдем среднее значение /> (функция СРЗНАЧ).

Схемапроверки:

/>

Сравним:9,31% < 15%, следовательно, модель является точной.

Вывод:на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величиныкоэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшееиспользование такой модели для прогнозирования в реальных условияхцелесообразно.

6.Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости />, если прогнозноезначение фактора X составит 80% отего максимального значения.

Согласноусловию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49,следовательно, />. Рассчитаем поуравнению модели прогнозное значение показателя У:

/>.

Такимобразом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемыйобъем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.

Зададимдоверительную вероятность /> ипостроим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.

Дляэтого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:

/>

Предварительноподготовим:

— стандартную ошибку модели /> (Таблица2);

— по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение /> (функция СРЗНАЧ) иопределим /> (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно,стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:

/>

При/> размах доверительногоинтервала для среднего значения

/>

Границамипрогнозного интервала будут

/>

/>

Такимобразом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложенийсоставит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3млн. руб. до 50,67 млн. руб.

7.Представить графически фактические и модальные значения Yточки прогноза.

Дляпостроения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходныеданные (поле корреляции).

Затемс помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:

тип→ линейная; параметры → показывать уравнение на диаграмме.

Покажемна графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данныедобавим ряды:

Имя→ прогноз; значения />; значения/>;

Имя→ нижняя граница; значения />; значения/>;

Имя→ верхняя граница; значения />;значения />

/>

8.Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной;показательной.

8.1 Гиперболическая модель

Уравнение гиперболическойфункции:

/>= a + b/x.

Произведем линеаризациюмодели путем замены X = 1/x. В результате получим линейноеуравнение

/>= a + bX.

Рассчитаем параметрыуравнения по данным таблицы 2.

b =/> =/>

а = /> =38,4+704,48*0,03=60,25.

Получим следующееуравнение гиперболической модели:

/> = 60,25-704,48/х.

8.2 Степенная модель

Уравнение степенноймодели имеет вид: />=аxb

Для построения этой моделинеобходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:

lg />= lg a + b lg x.

Обозначим через

Y=lg />, X=lg x, A=lg a.

Тогда уравнение приметвид: Y = A + bX –линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данныетаблицы 3.

b = /> =/>

A = /> = 1,57-0,64*1,53=0,59

Уравнение регрессии будетиметь вид: Y = 0,59+0,64* Х.

Перейдем к исходным переменнымx и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

/>= 100,59* х0,64.

Получим уравнениестепенной модели регрессии:

/>= 3,87* х0,64.

8.3 Показательная модель

Уравнение показательнойкривой: />=abx.

Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществимлогарифмирование обеих частей уравнения:

lg /> = lg a + x lg b.

Обозначим: Y = lg />, B = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x. Рассчитаем его параметры, используяданные таблицы 4.

В =/> =/>

А =/> = 1,57-0,01*35,6=1,27

Уравнение будет иметьвид: Y = 1,27+0,01х.

Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

/>=101,27* ( 100,01)х= 18,55*1,02х.

Графики построенныхмоделей:

/>

Рис.3. Гиперболическая

/>

Рис.4. Степенная

/>

Рис.5. Показательная

9. Сравнение моделей похарактеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средниеотносительные ошибки аппроксимации. Вывод.

9.1 Гиперболическая модель

Коэффициент детерминации:

/>=/>

Вариация результата Y на 70,9% объясняется вариацией фактораХ.

Коэффициент эластичности:

/> =/> =0,05.

Это означает, что приувеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,05 %.

Бета-коэффициент:

Sx=/>=0,01Sy=/>=8,5/>60,25*0,01/8,5=0,07.

Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07среднеквадратического отклонения этого показателя.

Средняя относительнаяошибка аппроксимации:

/>отн = 109,7/ 10= 10,97 %.

В среднем расчетныезначения /> для гиперболической моделиотличаются от фактических значений на 10,97%.

9.2 Степенная модель

Коэффициент детерминации:

/>=/>

Вариация результата Y на 73,6% объясняется вариациейфактора Х. Коэффициент эластичности:

/> =/> =0,57.

Это означает, что приувеличении факторного признака на 1 % результирующий показатель увеличится на0,57%.

Бета-коэффициент:

/>, Sy=/> иSx=/>.

Sx=/>=0,14Sy=/>=0,10/>0,59*0,14/0,1=0,78.

Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,78среднеквадратического отклонения этого показателя.

/>отн= /> = 93,77/10 = 9,34%.

В среднем расчетныезначения /> для степенной моделиотличаются от фактических значений на 9,34%.

9.3 Показательная модель

Коэффициент детерминации:

/>=/>

Вариация результата Y на 75,7% объясняется вариациейфактора Х. Коэффициент эластичности:

/> /> =28,71.

Это означает, что приросте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 28,71 %.

Бета-коэффициент:

Sx=/>=10,5Sy=/>=0,10/>1,27*10,5/0,10=129,10.

Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 129,1 среднеквадратическогоотклонения этого показателя.

/>отн= 91,9/ 10 = 9,19%.

В среднем расчетныезначения /> для показательной моделиотличаются от фактических значений на 9,19%.

Вывод

 

Лучшей из уравненийнелинейной регрессии является показательная: выше коэффициент детерминации,наименьшая относительная ошибка. Модель можно использовать для прогнозирования.