Реферат: Моделирование систем массового обслуживания

Оренбургский государственный аграрный университет

Кафедра организации производства и моделированияэкономических систем

Реферативно-прикладное исследование

Тема: «Моделирование систем массовогообслуживания»

Выполнила:

студентка 44-эк группы

Проверила:

Спешилова Н.В.

Оренбург,2004

Содержание

Цель работы

1. Теоретические аспекты исследования

1.1 Динамическое программирование

1.2 Сетевое планирование и управление

1.3 Моделирование систем массового обслуживания

1.4 Элементы теории игр в задачах моделирования экономическихпроцессов

2. Элементы практического применения теории массовогообслуживания

Выводы

Литература

Цель работы

Развитиесовременного общества характеризуется повышением технического уровня,усложнением организационной структуры производства, углублением общественногоразделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования ихозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководствуэкономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развитиянародного хозяйства. Одним из необходимых условий дальнейшего развитияэкономической науки является применение точных методов количественного анализа,широкое использование математики. Одной из основных становится задача созданияединой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством набазе широкого применения математических методов и электронно-вычислительнойтехники в экономике.

В задачахмоделирования экономических процессов используются такие методы, как:

1)  динамическоепрограммирование;

2)  сетевоепланирование и управление;

3)  теориямассового обслуживания;

4)  теорияигр.

Целью данного исследованияявляется:

· ознакомление с теоретическими аспектами методов;

· рассмотрение на практике одного из них (моделирование системмассового обслуживания);

· на основе приведенного примера сделать соответствующие выводы.

1. Теоретическиеаспекты исследования

1.1 Динамическое программирование

Динамическоепрограммирование представляет собой математический аппарат, позволяющийосуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов ипроцессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым,если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупностьрешений, принимаемых на каждом этапе с целью влияния на ход процесса. Вэкономических процессах управление заключается в распределении иперераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции –управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования,объемом поставок сырья, величиной финансирования и т. д. Совокупность решений,принимаемых в начале каждого года планируемого периода, по обеспечениюпредприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т. д.Является управлением. Выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежатьнежелательных эффектов (например, быстрый износ оборудования при использованииего на полную мощность). Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающиепополнение оборудования по мере изнашивания, т. е. по периодам времени.Последнее хотя и приводит к уменьшению выпуска продукции, но обеспечивает вдальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономическийпроцесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов),на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага)управляемого процесса считается момент принятия решения. Под этапом обычнопонимают хозяйственный год. Однако динамическое программирование используется ив таких задачах, где время вообще не фигурирует.

Планируя многоэтапныйпроцесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т. е. при принятиирешения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Предметом динамическогопрограммирования являются задачи оптимального планирования, носящиединамический характер в том смысле, что при их решении приходится учитыватьфактор времени или последовательность операций. Существенная особенностьдинамического программирования состоит в том, что решение любой задачи этимметодом сводится к многоэтапному процессу нахождения оптимального решения. Этоозначает, что процесс поиска оптимального решения разбивается на относительнонебольшие и, следовательно, легче поддающиеся решению подзадачи.

Методом динамическогопрограммирования решаются, например, задачи оптимального распределениякапиталовложений, замены оборудования, оптимального управления запасами имногие другие.

Для большинства задачдинамического программирования классические методы анализа или вариационногоисчисления оказываются неэффективными, так как приводят первоначальнопоставленную задачу отыскания максимального значения функции к задаче, котораяне проще, а сложнее исходной. Достоинством динамического программированияявляется то, что, используя поэтапное планирование, оно позволяет не толькоупростить решение задач, но и решить те из них, к которым нельзя применитьметоды математического анализа. Упрощение решения достигается за счетзначительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того,чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапногопланирования предполагает многократное решение относительно простых задач.Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие отлинейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным,в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задачаимеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящуюметодику решения. Недостаток динамического программирования также заключается втрудоемкости решения многомерных задач.

Большой вклад вразработку теории динамического программирования внес американский математик Р.Беллман. Ему принадлежит разработка основного функционального уравнения,которое является математическим выражением сформулированного им же одного изважных принципов динамического программирования – принципа оптимальности. Этотпринцип состоит в следующем: оптимальное поведение обладает тем свойством, чтокаковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент,последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительносостояния, получающегося в результате первого решения.

Модели динамическогопрограммирования могут содержать одну и более переменных. Увеличение количествапеременных вызывает рост возможных вариантов решения. Возникает так называемаяпроблема размерности (или проклятие размерности, по выражению Р. Беллмана),которая является серьезным препятствием при решении задач динамическогопрограммирования средней и большой размерности.

1.2 Сетевое планирование и управление

Сетевое планирование иуправление вознило в 1957 – 1958 г.г. под названием «метод критическогопути» и метод PERT (метод оценки и прерсмотрапланов). Система сетевого планирования и управления (СПУ) представляет собойкомплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий с цельюмоделирования, анализа и оптимизации плана работ по проектированию илиизготовлению некоторого изделия.

Методы сетевого планирования и управления предусматривают:

— представление планов в виде сети;

— определение календарных графиков;

— определение вероятных величин;

— возможность применения в различных условиях.

Метод сетевого планирования и управления пригоден как в промышленности,так и в сельском хлзяйстве.

Методы сетевого планирования и управления дают возможость:

1. заранее планировать все действия, которые необходимо предринять длядостижения желаемого результата в будущем;

2. предсказать вероятное время выполнения;

3. улучшить план, если предсказанное время выполнения являетсянедостаточно хорошим;

4. проверить ход выполнения работ по плану;

5. использовать инфомацию о ходе работ для своевременного планированиявремени и затрат.

Основным плановымдокументом в системе СПУ является сетевой график (сетевая модель или простосеть), представляющий собой безмасштабное графическое изображение планируемогопроцесса и отражающий взаимосвязь и последовательность входящих в него работ.

Особенность СПУ состоит виспользовании новой, более совершенной формы представления плана, котораязначительно облегчает его восприятие и упрощает процесс руководства работами.Сетевая модель дает больше информации, чем модели типа ленточных.

Объектом управления всистемах СПУ является коллектив исполнителей, располагающий определеннымиматериальными и денежными ресурсами и выполняющий комплекс работ, направленныхна достижение конечного результата в установленные сроки.

Сетевые графики используют встроительстве, проектировании, в подготовке и освоении производства новых видовпромышленной продукции, в создании новых программ для ЭВМ, при реконструкции ипланово-предупредительном ремонте действующего оборудования, при установке иналадке ЭВМ, в планово-экономической работе предприятий. Впервые СПУ нашлоприменение в строительстве.

В основе сетевогомоделирования лежит изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Граф– это схема, состоящая из заданных точек – вершин, соединенных определеннойсистемой линий, которые также называются ребрами или дугами графа. Ребра могутбыть ориентированными (тогда они называются дугами и снабжаются стрелками) инеориентированными. Пара вершин может соединяться более чем одним ребром итакие ребра называются кратными. Вершина может быть соединена ребром сама ссобой, и такое ребро называется петлей. Имеется несколько типов графов:обыкновенный граф (рис. 1, а), мультиграф (рис. 1, б), ориентированный граф(рис.1, в) и др. граф без дуг, петель и кратных ребер называется обыкновенным.Если граф имеет кратные ребра, то он называется мультиграфом. Обыкновенныйграф, у которого все ребра являются ориентированными, называетсяориентированным.

/>

Рис.1.

В основе сетевого графикалежит ориентированный граф. Одной из основных конструкций ориентированногографа является путь. Путь – это последовательность дуг, позволяющая пройти изодной вершины в другую и каждая дуга которой встречается не более одного раза.Замкнутый путь, соединяющий вершину с ней же самой, называется контуром. Понятиепути имеет важное значение в сетевом моделировании.

Сетевой график – этоконечный плоский ориентированный граф без контуров, дуги которого имеют однуили несколько числовых характеристик.

В сетевом графике имеетсядва основных элемента – работа и событие. Работы соответствуют дугам графа, асобытия – вершинам. Работами называются любые процессы, действия, приводящие кдостижению определенных результатов (событий). В сетевом графике может бытьнесколько разновидностей работ: действительная работа, ожидание, фиктивнаяработа. Действительной называется работа, требующая затрат времени и ресурсов.Ожиданием называется работа, которая требует затрат времени, но требует затратресурсов. Фиктивная работа отражает логическую связь между работами и нетребует затрат времени и ресурсов. Действительные работы и ожиданияизображаются на графике сплошными стрелками, фиктивные работы – пунктирнымистрелками. Количественные показатели (время, стоимость, ресурсы),характеризующие работу, проставляются над стрелками (рис.2).

Событием называетсярезультата произведенной работы. События изображаются кружками, внутри которых– номер события (рис.2).

/>

Рис. 2.

Прежде чем использовать сетевой график как основной инструмент управленияходом работ, необходимо провести его анализ и оптимизацию. После этогоосуществляется привязка сети к календарю, в результате чего создаетсяплан-график проведения работ, в котором указываются даты наступления событий,начала и окончания работ, величины резервов времени и т. д. Этот документпередается ответственным исполнителям, которые приступают к выполнению работ всоответствии с разработанным графиком. Сетевое моделирование находит широкоеприменение при планировании научно-исследовательских и проектно-конструкторскихработ. Достоинством сетевых моделей является то, что они позволяют повыситьэффективность планирования. При этом следует отметить, что несмотря на всепреимущества методов СПУ, их нельзя считать окончательно сформировавшимися, асетевые модели идеальными, поскольку они не исключают влияния субъективныхоценок и не обеспечивают нахождение оптимального решения.

1.3 Моделирование систем массового обслуживания

Теория массового обслуживания впервые применялась в телефонии, а затем ив других областях хозяйственной деятельности.       

Например, организация нормального процесса обслуживания покупателейсвязана с правильным определением следующих показателей: количества предприятийданного торгового профиля, численности продавцов в них, наличия соответствующихосновных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения,плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Еслипредположить, что предприятие располагает необходимыми основными фондами,торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве, то и тогд а в процессеобслуживания остаются такие переменные величины, которые могут существенноповлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такойоптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при которомвремя обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишнихнародохозяйственных затрат. Математический аппарат теории массовогообслуживания облегчает решение этой задачи.

Системы массового обслуживания (СМО) занимают важное место во многихсферах хозяйственной деятельности. Примерами СМО могут служить телефонныестанции, ремонтные мастерские (заводы, базы, бригады), погрузочно-разгрузочныекомплексы (порты, товарные станции), транспортные системы, автозаправочныестанции, больницы, торговые точки, предприятия бытового обслуживания и т. д.Обрабатывающее предприятие, например машиностроительный завод, его цех,участок, станок также могут рассматриваться как СМО, обслуживающие поступающеесырье, заготовки, полуфабрикаты, комплектующие изделия.

/>Каждая СМО имеет одно илинесколько обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (каналысвязи, ремонтные бригады, краны, бензоколонки, продавцы, кассиры, парикмахеры,станки), и предназначена для обслуживания – выполнения потока заявок,требований, поступающих в систему большей частью в случайные моменты времени.Время обслуживания заявки также обычно случайно. Случайный характер потоказаявок и времени обслуживания приводит либо к накоплению необслуженных заявок,либо к недогрузке СМО, простою ее каналов.

/>Задача теории массового обслуживания состоит ввыработке рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональнойорганизации их работы и регулированию потока заявок с целью обеспечить болеевысокую эффективность обслуживания при малых затратах на создание ифункционирование системы. Для этого теория массового обслуживания устанавливаетзависимости между характеристиками потока заявок, числом и производительностьюканалов обслуживания и «выходными» характеристиками СМО, описывающимирезультаты ее работы. />Системы массовогообслуживания делятся на две группы: СМО с отказами в обслуживании и СМО сожиданием, или очередью. В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когдавсе каналы обслуживания заняты, получает «отказ» и сразу покидаетсистему, а не становится в очередь. Примерами системы с отказами могут служитьсистема телефонной связи города, пошивочная мастерская, если нет «записина очередь».

/>В системах с ожиданиемзаявка, пришедшая в такой момент, когда все каналы заняты, не уходит, астановится в очередь и ждет освобождения канала. Системы с ожиданием делятся насистемы с неограниченным ожиданием начала обслуживания, с ограничением времениожидания и с ограничением длины />очереди.Обслуживание очереди (дисциплина очереди) может быть упорядоченным, т. е.строго в порядке поступления заявок, случайным, когда заявки обслуживаются внекотором случайном порядке, и с приорететами, когда в первую очередьобслуживаются заявки, обладающие некоторыми признаками./>Принадлежность СМО к томуили другому виду зависит не только от характера системы, но и от приемлемойсрочности обслуживания, наличия или отсутствия других СМО, оказывающих те жеуслуги, и других факторов.

/>СМО называется разомкнутой,если поток заявок не зависит от ее функционирования. Обычно это бывает, когдазаявок много и интенсивность потока заявок не изменяетмся заметно в результатеработы СМО. Примерами разомкнутых СМО могут служить АТС, ремонтные бригады,мастерские, если заявок на ремонт так много, что работа СМО практически невлияет на их поступление. СМО называется замкнутой, если поток заявок зависитот функционирования системы. Так ремонтное предприятие должно рассматриватьсякак замкнутая СМО, если заявки поступают не очень часто и их поток зависит отпропускной способности предпрятия.

Важшейшим показателем эффективности СМО является ее производительность,или пропускная способность, или среднее число заявок, которое система можетобслужить за единицу времени, и относительная пропускная способность –отношение среднего числа заявок, обслуживаемых за единицу времени, к среднемучислу поступивших за это время заявок.

Поток заявок характеризуется распределением заявок по времени. ИсследованиеСМО весьма облегчается, если принимается простой поток заявок. В реальныхусловиях работы СМО поток заявок в большинстве случаев может считатьсяпростейшим лишь на небольшом интервале времени, однако очень часто исследованияСМО проводят, принимая поток заявок простейшим. Это объясняется, во-первых,простотой проведения анализа при таком потоке и, во-вторых, тем, что простейшийпоток очень напряженный, а следовательно, можно предполагать, что при реальномпотоке эффективность СМО будет не хуже, чем дал анализ при простейшем потоке.Теория массового обслуживания позволяет проводить анализ СМО и при других,более сложных, чем простейший поток заявок, учитывающих нестационарность последействие,т. е. зависимость между заявками. Рассматриваются также схемы с учетомвозможности выхода из строя каналов обслуживания, системы со взаимопомощью идублированием каналов.

1.4 Элементы теории игр взадачах моделирования экономических процессов

При решении рядапрактических задач в области экономики и организации сельского хозяйстваприходится встречать случаи, когда две стороны преследуют противоположные цели,причем результат действий одной из сторон зависит от того, какой образ действийвыберет другая сторона. Такие случаи называются конфликтными ситуациями. Конфликтныеситуации в различных областях человеческой деятельности изучает теория игр. Этатеория вырабатывает рекомендации по такому экономическому поведению противныхсторон в процессе конфликтной ситуации, которое приводит к максимальновозможному выигрышу.

Конфликтные ситуации,встречающиеся в реальной жизни, обусловливаются многочисленными факторами иявляются весьма сложными. Чтобы можно было их изучать, необходимо отвлечься отвсего второстепенного и сосредоточить внимание на анализе главных факторов,иначе говоря, надо формализовать реальную ситуацию и построить ее модель. Такуюмодель называют игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем,что она ведется по предварительно оговоренным правилам и условиям. Стороны,участвующие в игре, называются игроками. В игре могут участвовать двое, тогдаона называется парной. Если же в ней сталкиваются интересы многих лиц, то играназывается кооперативной. Ее участники могут образовывать постоянные иливременные коалиции. При наличии двух коалиций кооперативная игра превращается впарную.

Игра представляет собоймероприятие, состоящее из ряда действий двух игроков, определяемых правиламиигры. Частная возможная реализация этих правил называется партией. Результатили исход игры, к которому приводит совокупность принятых решений в процессеигры, называется выигрышем. В большинстве игр сумма выигрыша одного игрокаравна сумме проигрыша другого, поэтому в любой их партии имеет место равенство:

/>

Число /> может быть положительным,отрицательным и равным нулю. При /> -выигрыш, /> - проигрыш и /> - ничейный исход. Выигрышили проигрыш не всегда имеет количественное выражение, например, в шахматнойигре. В этих случаях результат выражают условными числами: выигрыш (+1),проигрыш (-1), ничья (0). Если один игрок выигрывает то, что проигрываетдругой, то алгебраическая сумма выигрышей будет равна нулю. В этом случае имеетместо игра с нулевой суммой. Бывает еще игра двух лиц с постоянной суммой.Бывает еще игра двух лиц с постоянной суммой. В этой игре два партнеранепримиримо конкурируют из-за возможно большей доли разыгрываемой суммы.Посредством соответствующего преобразования такая игра может быть превращена вигру с нулевой суммой.

Развитие игры во временисводится к ряду последовательных действий или вариантов принятия решений. Выбородного из предусмотренных правилами игры вариантов называется ходом. Ходыделятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор однимиз игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление.Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемых неигроком, а каким-либо механизмом случайного выбора. Игры могут состоять изличных, случайных и смешанных ходов.

Теория игр может бытьполезным инструментом планирования и управления сельскохозяйственнымпроизводством, а также прогнозирования. В задачах с конфликтными ситуациями ведетсяпоиск хозяйственных стратегий, с помощью которых достигается максимальновозможный (оптимальный) результат.

В любой игре важноезначение имеет стратегия, под которой принимается совокупность правил,определяющих выбор при каждом личном ходе игрока, в зависимости от ситуации,сложившейся в процессе игры. В матричных играх применяются чистые и смешанныестратегии. Стратегии с компонентом, равным единице, называются чистымистратегиями. Стратегии с отличными от единицы компонентами, представляющими вероятныеее доли, называются смешанными.

Задачей теории игр является нахождение решения игры, т. е. определениедля каждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры. Оптимальнойназывается стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечиваетданному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможныйсредний проигрыш) независимо от поведения противника. Ценой игры называетсявыигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.

При выборе стратегий можно базироваться на различных принципах. В теорииигр наилучшим принято считать поведение игроков, при котором каждый игрокпредполагает, что его противник не глупее (тка называемый принцип разумности).В результате этого рекомендуется в качестве наилучшей стратегии выбирать ту,которая обеспечивает наибольший гарантированный выигрыш, т. е. выигрыш, независящий от действий потивника и который противник никак не может уменьшить.Элементы риска, а также просчеты и ошибки игроков во внимание не принимаются.

2. Элементы практическогоприменения теории массового обслуживания

Рассмотрим системумассового обслуживания на примере обслуживания рабочих необходимым инвентарем.

Допустим, что в инвентарной кладовой работают два человека.Требуется определить, в какой степени они своевременно обеспечивают заявки наобслуживание, поступающие от рабочих; не обходятся ли простои рабочих в очередидороже, чем дополнительное содержание еще одного или двух работников кладовой?

Таблица 1. – Расчет полного числа прихода рабочих в кладовую

Число приходов в единицу времени (за 15 мин) Наблюдаемое число приходов, % Наблюдаемая частота приходов, % Полное число приходов рабочих (гр.1 * гр.2) Число приходов в единицу времени (за 15 мин) Наблюдаемое число приходов, % Наблюдаемая частота приходов, % Полное число приходов рабочих (гр.1 * гр.2)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

3

5

8

10

12

13

16

18

20

19

21

25

0,33

1,00

1,67

2,67

3,33

4,00

4,33

5,33

6,00

6,67

6,33

7,00

8,33

2

9

20

40

60

84

104

144

180

220

228

273

350

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

23

20

18

16

13

11

10

8

5

3

1

1

300

7,67

6,67

6,00

5,33

4,33

3,67

3,33

2,67

1,67

1,00

0,33

0,33

99,99

345

320

306

288

247

220

210

176

115

72

25

26

Для решения данной задачи необходимы прежде всегохронометражные замеры о потоке требований на обслуживание в единицу времени.Если хронометраж осуществляется в течение 10 дней каждые 15 минут за смену(кроме начала и конца рабочего дня), то за этот период времени было произведено300 наблюдений (30 наблюдений, умноженное на 10 дней). Время наблюдений (T) составит 4500 мин (15 ×300). Причем таких промежутков, когда насклад никто не приходил или приходил только один рабочий, не наблюдалось,приход двух рабочих отмечался один раз, трех – три раза и т. д. (табл. 1).

Частота прихода двух рабочих при 300 наблюдениях равна 0,33/>, трех – 1/> и т. д.

Для определения среднего числа приходов в единицу времени (/>) исчисляется полное числоприходов (N) как сумма произведений числа приходов(количества пришедших в кладовую рабочих) на наблюдаемое число приходов.

Таким образом, среднее число требований на обслуживание, т.е. среднее число приходов в единицу времени (/>),составит:

/> =/>=/>=0,903 чел. – мин.

Чтобы определить распределение вероятностей для длительностиобслуживания при предположении, что закон распределения экспоненциальный,вычислим среднюю продолжительность одного обслуживания (Тобсл); онаравна 1,6 мин.

После этого можно установить интенсивность обслуживания (/>):

/>= />; />=/>=0,625 чел. – мин.

В случае, когда /></>, увеличение очереди невозникает, так как удовлетворение требований происходит не ранее ихпоступления. В данном примере />>/>(0,903>0,625) и вкладовой образуется очередь.

Точно определить величину очереди как случайную нельзя. Можновычислить вероятность того, что в момент времени (t)очередь будет характеризоваться числом требований Pn(t):

Pn(t)=/>(1-/>); P0(t) =(1-/>); />=/>,

где P0(t)– вероятность отсутствия очереди.

В тех случаях, когда />/>1, вероятность отсутствияочереди (/>0) обычноберется из графиков (в данном примере />=1,445).

Для построения таких графиков воспользуемся таблицей значенийР0для различных значений /> и n (n –количество кладовщиков винструментальной кладовой).

Таблица 2. – Значения Р0для различных значений /> и n

/>

2 3 4 5 6 7 …

1

2

3

4

0,33

0,363

0,111

0,367

0,130

0,037

0,367

0,134

0,046

0,013

0,367

0,135

0,049

0,016

0,367

0,135

0,049

0,017

0,368

0,135

0,050

0,018

По данным табл.2, в данном случае рассматриваетсямноголинейная система, когда n />1 (количество кладовщиковпревышает единицу).

Определим среднее время ожидания (Tс),которе складывается из среднего времени ожидания обслуживания в очереди (Тож)и среднего времени обслуживания (Тобсл):

Tс= Тож + Тобсл.

В том случае, когда в системе работает nкладовщиков, среднее время ожидания в очереди определяется по формуле при n =2:

Тож = />=/>= 1,613;

Tс = 1,613+1,6=3,213 мин;

при n=3

Тож = />=/>= 0,199;

Tс = 0,199 +1,6 =1,799мин;

при n=4

Тож = />=/>= 0,035;

Tс = 0,035 +1,6 =1,635 мини т. д.

Предположим, что у рабочего потери от простоев составляют 5,а содержание кладовщика – 4 ден. ед. в единицу времени. За период времени Т всистему поступает />Т заявок, т. е.1,445Т заявок.

Потери вследствие простоя рабочих при различном числекладовщиков, расходы на заработную плату кладовщиков, а также суммарные затратыи потери приведены в табл.3.

Таблица 3

Количество кладовщиков Потери от простоя Рабочих Затраты на содержание кладовщиков Суммарные затраты и потери

2

3

4

3,213*1,445*5Т=23,214 Т

1,799*1,445*5Т=12,998Т

1,635*1,445*5Т=11,813Т

8Т

12Т

16Т

31,214Т

24,998Т

27,813Т

Из табл. 3 следует, что экономически выгоднее винструментальной кладовой иметь трех кладовщиков, поскольку суммарные затратыбудут наименьшими (min 24,998Т).

Выводы

В процессе исследованиябыли рассмотрены теоретические аспекты следующих методов программирования:динамическое программирование, сетевое планирование и управление, моделированиесистем массового обслуживания, теория игр. Были рассмотрены основные задачи,решаемые с помощью этих методов, их основные достоинства и недостатки, а такжеосновные понятия и теоремы. Динамическое программирование представляет собойматематический аппарат, позволяющий осуществить оптимальное планированиемногошаговых планируемых процессов и процессов, зависящих от времени. Предметомдинамического планирования являются задачи оптимального планирования, носящиединамический характер в том смысле, что при их решении приходиться учитыватьфактор времени или последовательность операций. Достоинством является то, что,используя поэтапное планирование, метод позволяет не только упростить решениезадачи, но и решить те их них, к которым нельзя применить методыматематического анализа. Недостатки: трудность решения многомерных задач,отсутствие универсального метода.

Сетевое планирование иуправление представляет собой комплекс графических и расчетных методов,организационных мероприятий с целью моделирования, анализа и оптимизации планаработ по проектированию или изготовлению некоторого изделия. В основе лежитсетевой график, который является совершенной формой представления плана,которая значительно облегчает его восприятие и упрощает процесс руководстваработами. Недостатки: не обеспечивает нахождение оптимального решения, неисключает влияния субъективных оценок.

Задача теории массовогообслуживания состоит в выработке рекомендаций по рациональному построениюсистем массового обслуживания, рациональной организации их работы ирегулирования потока заявок с целью обеспечения более высокой эффективностиобслуживания при малых затратах на создание и функционирование системы. Методдает оптимальный вариант обслуживания населения, при котором время обслуживаниябудет минимальным, качество – высоким, при этом не будет лишних затрат.

Теория игр – это теорияматематических моделей, интересы участников которых различны, причем онидостигают своей цели различными путями. Теория игр дает рекомендации порациональному образу действий участников многократно повторяющегося конфликта.Задачей теории игр является нахождение решения игры, т. е. определение длякаждого игрока его оптимальной стратегии и цены игры.

В III главе приведена задача, котораярешается с помощью теории массового обслуживания. Требовалось определить,своевременно ли обеспечиваются заявки на обслуживание, не обходятся ли простоирабочих в очереди дороже, чем затраты на содержание еще одного кладовщика. Наоснове хронометражных замеров определяется среднее число требований наобслуживание. Затем рассчитываются показатели среднего обслуживания одногоработника и интенсивности обслуживания. Выясняем, что образуется очередь.Рассчитываем время ожидания обслуживания при различном числе кладовщиков (n=2,3,4,…). На основе таблицы затрат ипотерь от простоя выясняем, что выгоднее содержать трех кладовщиков, т. к.затраты на их содержание будут больше, чем потери от простоя рабочих.

Литература

1. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа:Учебник. – 4-е изд., доп. и перераб. – М.: Финансы и статистика, 1999

2. Браславец М.Е. Экономико – математические методы ворганизации и планировании сельскохозяйственного производства, 1974

3. Кравченко Р.Г., Попов И.Г., Толпекин С.З. Экономико –математические методы в организации и планировании сельскохозяйственногопроизводства, 1974

4.Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование.Учебное пособие для ВУЗов. – М.: «Высшая школа», 1980.