Реферат: Эконометрическое моделирование временных рядов

Задача 1

 

За год на предприятиибыли выпущены семь партий продукции, для каждой из которых были определены издержки.Вычислить сумму издержек для следующего плана выпуска.

линейный экономическиймоделирование

Таблица 1.1.Данныео планируемом выпуске изделий

ед.прод. тыс.шт. затраты, руб. 2,2 ? 3,9 ? 5,5 ?

Таблица 1.2.Данныео выпущенных партиях

ед.прод.тыс.шт. затраты, руб. 1 30 2 70 4 150 3 100 5 170 6 215 8 290

Задача относитсяк разделу Парная регрессия, т.к. в ней даны один независимый параметр (единицы продукции,обозначим как х) и зависимый параметр (затраты, обозначим у).Прежде чем выбиратьвид аппроксимирующей зависимости следует представить исходные данные графически.

/>

Предполагаемлинейную зависимость между х и у

Y=a+bx

Для определенияпараметров a,b используем метод наименьших квадратов

∑( y –(a+bx))²→ min

Функция минимальна,если равны нулю ё, частные производные по параметрам т.е.:

y’a = ∑ (2( y-abx)(-1))=0

y’b = ∑ (2 ( y-a-bx)(-x))=0

или

na+b∑x =∑y,

a ∑x +b ∑x² =∑xy (1)

Система уравнений(1) однозначно определяет параметры a и b – это система двух уравнений с двумя неизвестными.Все остальные величины можно определить из исходных данных :

n- количествоисходных точек,

∑x ∑y- суммарные значения параметров х и у по всем точкам,

∑xy — суммарное значение произведения параметров,

∑x²-суммарное значение квадрата величины х.

Рассчитаем коэффициентылинейного уравнения парной регрессии:

Σx^2 =(x^2) — cp –(xcp)^2

b = (cp(y*x) – cp (y)*cp (x))/(σx^2) (2)

a = cp( y) — b*cp(x)

Где индекс cpобозначает среднее значение данной величины, т.е. суммарное значение данной величинынадо разделить на n.

Составим таблицув редакторе Excel.

Таблица 1.3

n x y xy x^2 1 1 30 30 1 2 2 70 140 4 3 4 150 600 16 4 3 100 300 9 5 5 170 850 25 6 6 215 1290 36 7 8 290 2320 64 итого 29 1025 5530 155 среднее 4,14 146,43 790,00 22,14 σ² 4,98 /> /> />

Используя изтабл. 1.3, получаем следующую систему уравнений:

7a+29b=1025

29a+155b=5530

Решаем системууравнений методом последовательных исключений переменных или по формуле (2) и определяемкоэффициенты

a= -6.127

b= 36.824

линейное уравнениезапишем в виде

y=-6.127+36.824x(3)

Для вариантах=2, у=9 ,z =5 рассчитываем затраты

Таблица 1.4

ед.прод. тыс.шт. затраты, руб. 2,2 74,89 3,9 137,49 5,5 196,41

Используя пакетприкладных программ (ППП) статистическая функция ЛИНЕЙНАЯ и графические результаты(добавить линию тренда) проверим полученные результаты.

Таблица 1.5

36,824 -6,127 0,987 4,64432 0,9964 5,82708 1392 5 47266 169,775

Рис.1.2.

/>

Кроме того,по найденному уравнению линейной регрессии (3) проведем расчет величин у, сравнимих с заданными, т.е. рассчитаем отклонения и определим их суммарное отклонение,которое должно быть равно нулю. Результаты приведем в табл. 1.6.

Таблица 1.6

n x y xy y² x² y расч y-y расч 1 1 30 30 900 1 30,7 -0,7 2 2 70 140 4900 4 67,5 2,5 3 4 150 600 22500 16 141,2 8,8 4 3 100 300 10000 9 104,3 -4,3 5 5 170 850 28900 25 178,0 -8,0 6 6 215 1290 46225 36 214,8 0,2 7 8 290 2320 84100 64 288,5 1,5 итого 29 1025 5530 197525 155 /> 0,0

Выводы:

1. Решена задача парной регрессии методом наименьших квадратов.

2. Получены коэффициенты в линейном уравнении y=-6.127+36.824x и рассчитанвозможный домашний вариант.

3. Результаты проверены с помощью ППП и линии тренда.

 

Задача 2.

 

По семи территорияУральского района за 1995 г. Изе6стны значения двух признаков (табл.2.1)

Таблица 2.1

район расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % у среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х Удмуртская респ. 68,8 45,1 Свердловская обл. 61,2 59 Башкортостан 59,9 57,2 Челябинская обл. 56,7 61,8 Пермская обл. 55 58,8 Курганская обл. 54,3 47,2 Оренбургская обл. 49,3 55,2

Требуется определитьпараметры парной регрессии для следующих функции: линейной степенной показательной,равносторонней геперболы и параболы методом наименьших квадратов (МНК). Составитьпрогноз величины у для некоторого х например для х=1.1 (х) min. Дать графическуюинтерпретацию результатов, использовать ППП для решения статистических задач сделатьвыводы.

К исходным даннымдобавим ещё одну пару значений х, у, связанную с порядковым номером по журналу иколичеством студентов в группе, по формулам:

x8=xmin +((xmax-xmin)/Nсум)*Ni

y8=ymin+((ymax-ymin)/Nсум)*Ni

где, Ni –порядковый номер по журналу, Nсум- количество студентов в группе, min, max – минимальная и максимальная величины х и у по таблице 2.1.

после этогосоставляем таблицу 2.2 и рассчитываем все параметры для решения системы уравнений:

na+b∑x=∑y (4)

a∑x+b∑(x^2)=∑(xy)

Рассчитываемкоэффициенты линейного уравнения парной регрессии:

σx^2= (x^2)cp= (xcp)^2

b= (cp(y*x) –cp(y)*cp(x))/(σx^2) (5)

a= cp (y) –b*cp(x)

Таблица 2.2.Линейнаярегрессия y=a+bx

n y x yx x² y² y^x y-y^x 1 68,80 45,10 3102,88 2034,01 4733,44 61,65 7,15 2 61,20 59,00 3610,80 3481,00 3745,44 56,88 4,32 3 59,90 57,20 3426,28 3271,84 3588,01 57,49 2,41 4 56,70 61,80 3504,06 3819,24 3214,89 55,92 0,78 5 55,00 58,80 3234,00 3457,44 3025,00 56,95 -1,95 6 54,30 47,20 2562,96 2227,84 2948,49 60,93 -6,63 7 49,30 55,20 2721,36 3047,04 2430,49 58,18 -8,88 8 61,00 55,12 3362,32 3038,21 3721,00 58,21 2,79 итого 466,20 439,42 25524,66 24376,62 27406,76 x среднее значение 58,28 54,93 3190,58 3047,08 3425,85 x x σ² 29,87 30,05 х х х х х σ 5,47 5,48 х х х х х

Коэффициентылинейного уравнения парной регрессии можно определить из двух систем уравнений сдвумя переменными(4):

8a+439.42b=466.2

439.4a+24376.62b=25524.66

В результатевычислений получаем значения коэффициентов:

b=-0.34 ,a=77.14

Получено уравнениепарной регрессии для описания расходов на покупки товаров от средней зарплаты одногочлена семьи

y^=77.14-0.34*x

Это уравнениепоказывает, что с увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. для расходовна покупку продовольственных товаров снижается на 34 коп.

Надежность полученныхрезультатов оцениваем по ряду коэффициентов (корреляции, детерминации) и критериюФишера, определяем среднюю ошибку аппроксимации.

Таблица 2.3

коэффициент корреляции коэффициент корреляции показывает, что связь между х и у умеренная, обратная /> rxy=-0,344 rxy=b*(σx/σy) /> коэффициент детерминации вариация результата на 11,9% объясняется ариацией фактора х /> r²xy=0,119 r²=(-0,344)²=0,119 /> -1≤xy≤1 0≤r²xy≤1 полученное уравнение регрессии описывает исх. Параметры (х, у) с точностью 11,9%. Влияние прочих факторов оценивается в 88,9% /> критерий Фишера Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определяем расчетные значения у^х /> Fфакт. =0,81 Fтабл. =5,99 /> найдем еличину средней ошибки аппроксимации /> Fфакт. =(r²/1-r²)*(n-2) A=1/n(Ai)=1/n (|y-y^x|/y*100%)=(61,19/8)*100%=7,65% /> в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 7,65% />

КоэффициентФишера показывает, что это уравнение не имеет экономического смысла, так как Fфакт.< Fтабл.

Полученное значениеFфакт. Указывает на необходимость принять нулевую гипотезу о случайной природу выявленнойзависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателей теснотысвязи.

Графическоепредставление полученных результатов показано на рис. 2.1.

/>

Рис.2.1

Из рисунка 2.1.видно, что исходные статистические данные достаточно разборосаны, т.е. явной закономерностине прослеживается.

Результаты вычисленийпо исходным данным, представлены в таблице 2.1, полностью совпадают с уже полученнымуравнением регрессии.

Таблица 2.4

-0,34337 77,13555 0,382134 21,09393 0,118608 5,924707 0,807417 6 8,34207 210,6129

Выводы:

1. Решена задача парной регрессии методом наименьших квадратов.

2. Низкая достоверность результатов объясняется рядом причин:

— собрано малое количество статистических данных, выбраны случайныерайоны за небольшой отрезок времени;

— в учебных целях добавлены случайные точки, зависящие от порядковогономера студента и числа студентов в группе;

— расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах зависятот ряда факторов: количества членов семьи, иждивенцев, налогов и др., т.е. реальносуществует более сложная зависимость, чем парная регрессия от ряда экономическихфакторов.

3. Разобрана учебная задача не имеющая практического приложения.

Задача 3.

 

На основанииисходных данных о реальном ВВП в мире в целом, регионах и странах с 1990 г. По 2000г.,представленных в таблице 3.1 провести экономический анализ. Выбрать для сравнениядве страны, с помощью ППП получить аналитические зависимости, описывающие ВВП ввыбранных стран, по этим уравнениям построить прогноз их развития в 2001-2020 годах,результаты сравнить с официальными опубликованными данными.

Таблица 3.1.РеальныйВВП в странах (млрд.долл. в ППС 1993 г.)

регионы страны 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 США 5971,1 5935,5 6071,8 6260 6516,7 6725,2 6833 7024,3 7199,9 7379,9 7564,4 Германия 1466,5 1487 1519,7 1503 1546,6 1596,1 1648,8 1690 1732,3 1775,6 1820 Китай 1798,5 1946 2000,9 2502,4 2802,7 3130,6 3496,9 3846,6 4231,2 4654,4 5119,8 Россия 993,2 943,5 804,5 735,2 656 626 588 600 622,1 643,9 666,4

На рис. 3.1показано графическое изменение ВВП по ряду стран из таблицы 3.1. Их можно сравниватьмежду собой, определять тенденцию развития. Темпы развития за этот сравнительнонебольшой промежуток времени отличаются по странам, вплоть до падения. Так, например,Россия пережила сложный период перехода к рыночной экономике, что привело к уменьшениюеё ВВП.

/>

Рис.

Сравнивая темпыроста ВП США и Китая, можно говорить о выравнивании ВВП некотором году при условииих сохранения. По исходным данным табилы3.1, можно построить линейные и логарифмическиеаппроксимации и графические прогнозы. На рис. 3.2 а.б приведены аппроксимирующиеуравнения. Так как достоверность аппроксимации R2 практически одинакова у линейныхи логарифмических функций, то аналитический ответ рассчитываем по линейным функциям,приравнивая их и определяя год совпадения ВП :

172,49х-337441=341,03х-677130

(341,03-172,49)х=677130-337441

х=2015,48

Т.е., при сохранениитемпов роста в США и Китае ВВП этих стран сравняется к середине 2015 года.

/>

Рис. 1

/>

Рис. 2

Выводы

1. Развитие экономических процессов происходит о времени, поэтому многиеэконометрические задачи моделируются одномерными временными рядами. Эти задачи имеютбольшое преимущество – они двумерные, т.е. моделируются на плоскости и исходныестатистические данные можно представить графически.

2. Результаты получаются с помощью ППП и по коэффициенту аппроксимацииR² выбирается наиболее достоверная аналитическая зависимость.

3. Эконометрическое моделирование временных рядов позволяет анализироватьимеющиеся статистические данные в различных областях человеческой деятельности –от ВВП до добычи нефти по странам и регионам. В ряде случаев возможно составлятьпрогнозы на будущее, изучать динамику экономических процессов в микро- и макропроцессах.