Реферат: Уравнения линейной регрессии

Министерствообразования и науки РФ

Федеральноеагентство по образованию

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Всероссийскийзаочный финансово-экономический институт

Филиал в г.Туле

Контрольнаяработа

по дисциплине«Эконометрика»

Тула — 2010г.

Содержание

Задача 1

Задача 2 (а, б)

Задача 2 в

Задача 1

По предприятиям легкойпромышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпускапродукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Табл. 1.1.

Х 33 17 23 17 36 25 39 20 13 12 Y 43 27 32 29 45 35 47 32 22 24

Требуется:

1. Найти параметрыуравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициентарегрессии.

2. Вычислить остатки; найтиостаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков />; построить график остатков.

3. Проверить выполнениепредпосылок МНК.

4. Осуществить проверкузначимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента(α=0,05).

5. Вычислить коэффициентдетерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерияФишера (α=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделатьвывод о качестве модели.

6. Осуществитьпрогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимостиα=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от егомаксимального значения.

7. Представитьграфически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнениянелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графикипостроенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделейнайти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации.Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Линейная модель имеетвид:

Параметры уравнениялинейной регрессии найдем по формулам

Расчет значенияпараметров представлен в табл. 2.

Табл. 1.2.

t y x yx

1 43 33 1419 1089 42,236 0,764 0,584 90,25 88,36 0,018 2 27 17 459 289 27,692 -0,692 0,479 42,25 43,56 0,026 3 32 23 736 529 33,146 -1,146 1,313 0,25 2,56 0,036 4 29 17 493 289 27,692 1,308 1,711 42,25 21,16 0,045 5 45 36 1620 1296 44,963 0,037 0,001 156,25 129,96 0,001 6 35 25 875 625 34,964 0,036 0,001 2,25 1,96 0,001 7 47 39 1833 1521 47,69 -0,69 0,476 240,25 179,56 0,015 8 32 20 640 400 30,419 1,581 2,500 12,25 2,56 0,049 9 22 13 286 169 24,056 -2,056 4,227 110,25 134,56 0,093 10 24 12 288 144 23,147 0,853 0,728 132,25 92,16 0,036 ∑ 336 235 8649 6351 12,020 828,5 696,4 0,32 Средн. 33,6 23,5 864,9 635,1

Определим параметрылинейной модели />

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии />показывает, чтовыпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличенииобъема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки />, остаточнуюсумму квадратов />, найдем остаточную дисперсию />по формуле:

Расчеты представлены втабл. 2.

Рис. 1. График остатковε.

3. Проверим выполнениепредпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

Табл. 1.3.

0,584 2,120 0,479 0,206 1,313 6,022 1,711 1,615 0,001 0,000 0,001 0,527 0,476 5,157 2,500 13,228 4,227 2,462 0,728 31,337 12,020

d1=0,88; d2=1,32 дляα=0,05, n=10, k=1.

/>,

значит, ряд остатков некоррелирован.

4. Осуществим проверкузначимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (α=0,05).

/> для ν=8; α=0,05.

Расчет значения />произведен втабл. 2. Получим:

Так как />, то можно сделатьвывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициенткорреляции по формуле

Расчеты произведем втабл. 2.

Значит,/>. Т.о. связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. />.

Коэффициент детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимостьуравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1,k2=8, α=0,05

т.к. F значительно большеFтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95%статистически значимо.

Оценим точность модели наоснове использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены втабл. 2.

/>,

значит, линейную модельможно считать точной, т.к. Е<5%/

6. С помощью линейноймодели осуществим прогноз Y при α=0,1 и х=0,8хmax

Определим границыпрогноза. t0,1;8=1,86

Найдем границы интервала:/>

7. Представим графическифактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Рис. 2. Фактическиеданные, линейная модель и результаты прогнозирования.

8. а) Составим уравнениегиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид

/>;

Проведем линеаризациюпеременной путем замены />.

Расчеты произведем втабл. 3.

Модель имеет вид:

Табл.1.4.

t y x Х уХ

1 43 33 0,030 1,290 0,001 36,870 6,130 37,577 0,143 2 27 17 0,059 1,593 0,003 32,135 -5,135 26,368 0,190 3 32 23 0,043 1,376 0,002 34,683 -2,683 7,198 0,084 4 29 17 0,059 1,711 0,003 32,135 -3,135 9,828 0,108 5 45 36 0,028 1,260 0,001 37,289 7,711 59,460 0,171 6 35 25 0,040 1,400 0,002 35,260 -0,260 0,068 0,007 7 47 39 0,026 1,222 0,001 37,644 9,356 87,535 0,199 8 32 20 0,050 1,600 0,003 33,600 -1,600 2,560 0,050 9 22 13 0,077 1,694 0,006 29,131 -7,131 50,851 0,324 10 24 12 0,083 1,992 0,007 28,067 -4,067 16,540 0,169 ∑ 336 235 0,495 15,138 0,029 297,985 1,445 Средн 33,6 23,5 0,050 1,514 0,003

Найдем индекс корреляциипо формуле

/>,

значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. />.

Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл(10,692>5,32),

значит, уравнениестатистически значимо.

Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.

/>,

значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 14,45%.

8. б) Построим степеннуюмодель, которая имеет вид

Проведем линеаризациюпеременных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Расчет неизвестныхпараметров произведем в табл. 5.

Табл. 1.5.

t y x Y Х YХ

1 43 33 1,633 1,519 2,481 2,307 42,166 0,834 0,696 0,019 2 27 17 1,431 1,23 1,760 1,513 27,930 -0,930 0,865 0,034 3 32 23 1,505 1,362 2,050 1,855 33,697 -1,697 2,880 0,053 4 29 17 1,462 1,23 1,798 1,513 27,930 1,070 1,145 0,037 5 45 36 1,653 1,556 2,572 2,421 44,507 0,493 0,243 0,011 6 35 25 1,544 1,398 2,159 1,954 35,488 -0,488 0,238 0,014 7 47 39 1,672 1,591 2,660 2,531 46,775 0,225 0,051 0,005 8 32 20 1,505 1,301 1,958 1,693 30,896 1,104 1,219 0,035 9 22 13 1,342 1,114 1,495 1,241 23,644 -1,644 2,703 0,075 10 24 12 1,380 1,079 1,489 1,164 22,498 1,502 2,256 0,063 ∑ 336 235 15,127 13,380 20,422 18,192 12,296 0,346 Cредн 33,6 23,5 1,513 1,338 2,042 1,819

Получим />

Перейдем к исходнымпеременным путем потенцирования данного уравнения.

Найдем индекс корреляции.

/>,

значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. />.

Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл(436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.

/>,

значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 3,46%. Модель точная.

8. в) Составимпоказательную модель, уравнение которой имеет вид:

Проведем линеаризациюпеременных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Табл. 1.6.

t y x Y Yx

1 43 33 1,633 53,889 1089 42,343 0,657 0,432 0,015 2 27 17 1,431 24,327 289 27,220 -0,220 0,048 0,008 3 32 23 1,505 34,615 529 32,126 -0,126 0,016 0,004 4 29 17 1,462 24,854 289 27,220 1,780 3,168 0,061 5 45 36 1,653 59,508 1296 46,001 -1,001 1,002 0,022 6 35 25 1,544 38,600 625 33,950 1,050 1,102 0,030 7 47 39 1,672 65,208 1521 49,974 -2,974 8,845 0,063 8 32 20 1,505 30,100 400 29,571 2,429 5,900 0,076 9 22 13 1,342 17,446 169 24,374 -2,374 5,636 0,108 10 24 12 1,380 16,560 144 23,710 0,290 0,084 0,012 ∑ 336 235 15,127 365,107 6351 26,233 0,399 Средн 33,6 23,5 1,513 36,511 635,1

Перейдем к исходнымпеременным, выполнив потенцирование уравнения.

Найдем индекс корреляции.

/>,

значит, связь междуобъемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. />.

Индекс детерминациинайдем по формуле />. Значит, вариация объема выпускапродукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимостьуравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл(202,528>5,32),

значит, уравнениестатистически значимо.

Оценим точность модели наоснове средней относительной ошибки аппроксимации.

/>,

значит, расчетныезначения ŷ для гиперболической модели отличаются от фактических значенийна 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученныемодели.

Табл. 1.7.

Модель регрессии

F-критерий

Линейная 0,992 0,984 492 3,2 Гиперболическая 0,756 0,572 10,692 14,45 Степенная 0,991 0,982 436,448 3,46 Показательная 0,981 0,962 202,528 3,99

Наилучшей модельюявляется линейная модель /> (по максимуму критериякорреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибкеаппроксимации).

Рис. 3. Построенныеуравнения регрессии.

Задача 2 (а, б)

Для каждого варианта даныпо две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимозаписать системы одновременных уравнений и проверить обе системы наидентифицируемость.

Табл. 2.1.

Номер варианта Номер уравнения Задача 2а Задача 2б переменные переменные y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 6 1 -1 b12 b13 a11 a12 -1 b13 a11 a12 a14 2 b21 -1 b23 a21 a24 b21 -1 a21 a23 a24 3 b32 -1 a31 a32 a33 b31 -1 a31 a32 a34

Решение

a) CФМ имеет вид:

Проверим систему наидентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнениенеобходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменныех3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации

Для проверки надостаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов приотсутствующих переменных.

уравнение Отсутствующие переменные х3 х4 2 а24 3 а33

Составим матрицу изкоэффициентов

Определитель матрицы неравен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-еуравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 — необходимоеусловие идентификации выполнено.

Для проверки надостаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующихпеременных.

уравнение Отсутствующие переменные х2 х3 1 а12 3 а32 а33

Определитель не равен 0,ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-еуравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 — необходимоеусловие идентификации выполняется.

Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение Отсутствующие переменные у1 х4 1 -1 3 b21 а24

Определитель не равен 0,ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-еуравнение точно идентифицируемо.

Т.о, если все 3 уравненияидентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

б) СФМ имеет вид:

Проверим систему наидентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнениенеобходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3(D=1).

Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение Отсутствующие переменные у2 х3 2 -1 а23 3

Достаточное условие невыполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2(D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу изкоэффициентов при отсутствующих переменных.

уравнение Отсутствующие переменные у3 х2 1 b13 а12 3 -1 a32

Необходимое условиеидентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3(D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентовпри отсутствующих переменных.

уравнение Отсутствующие переменные у2 х3 1 2 -1 a23

Достаточное условие невыполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т.к. 1-е и 3-е уравненияне идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМидентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.

Задача 2 в

По данным таблицы длясвоего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построитьструктурную форму модели вида:

Табл. 2.2.

Вариант n y1 y2 x1 x2 6 1 77,5 70,7 1 12 2 100,6 94,9 2 16 3 143,5 151,8 7 20 4 97,1 120,9 8 10 5 63,6 83,4 6 5 6 75,3 84,5 4 9

Решение

Структурную модельпреобразуем в приведенную форму модели.

Для нахождениякоэффициентов первого приведенного уравнения используем систему нормальныхуравнений.

Расчеты произведем втабл. 2.3.

Табл. 2.3.

n y1 y2 x1 x2

1 77,5 70,7 1 12 77,5 1 12 930 144 70,7 848,4 2 100,6 94,9 2 16 201,2 4 32 1609,6 256 189,8 1518,4 3 143,5 151,8 7 20 1004,5 49 140 2870 400 1062,6 3036 4 97,1 120,9 8 10 776,8 64 80 971 100 967,2 1209 5 63,6 83,4 6 5 381,6 36 30 318 25 500,4 417 6 75,3 84,5 4 9 301,2 16 36 677,7 81 338 760,5 ∑ 557,6 606,2 28 72 2742,8 170 330 7376,3 1006 3128,7 7789,3 средн. 92,933 101,033 4,667 12

Подставив полученныезначения в систему нормальных уравнений.

Решение этих уравненийдает значения d11=5,233; d12=5,616.

1-e уравнение ПФМ имеетвид:

Для нахождениякоэффициентов d2k второго приведенного уравнения используем следующую системунормальных уравнений

Расчеты произведем втабл. 2.3.

Подставив полученныезначения в систему нормальных уравнений, получим

Решение этой системы даетзначения d21=9,288; d22=4,696.

2-е уравнение ПФМ имеетвид

Для перехода от ПФМ к СФМнайдем х2 из второго уравнения.

Подставив это выражение в1-е уравнение, найдем структурное уравнение.

т.о. b12=1,196;a11=-5,875.

Найдем х1 из 1-гоуравнения ПФМ