Реферат: Задача анализа поведения потребителя

Реферат №2по Экономико-МатематическомуМоделированию<img src="/cache/referats/6117/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">Студент группы

М-2-4

Иванников Сергей

Научный руководитель

Бабешко Л.О.

Москва 1996
Вариант № 8Дано:

Функция полезности: <img src="/cache/referats/6117/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Цены на блага: Р1=8, Р2=16

Доходы потребителя: М=600

Требуется:

1.<span Times New Roman"">   

Сформулировать модельповедения потребителя

2.<span Times New Roman"">   

Найти решение данной модели,то есть построить функцию спроса на блага

<img src="/cache/referats/6117/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

<img src="/cache/referats/6117/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

3.<span Times New Roman"">   

Вычислить оптимальныезначения спроса на блага y1, y2для исходныхданных

4.<span Times New Roman"">   

Определить реакциюпотребителя на изменение дохода, если <img src="/cache/referats/6117/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">Решение:1.

Модель поведения потребителя должна учитыватьпредпочтения потребителя и бюджетные ограничения.

Формально модель поведения потребителя на рынкеявляется обычной задачей отыскания условного максимума. Требуется найти такойвектор благ Y, который бы максимизировал функцию полезности иудовлетворял бы бюджетным ограничениям.

<img src="/cache/referats/6117/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">               (1)

Так как целевая функция положительна и непрерывна, адопустимое множество замкнуто, то решение существует, так как условная функциястрого вогнута, а допустимое множество наборов выпукло, следовательно решениеединственно.

Решение находим методом Лагранжа. Строим функциюЛагранжа:

<img src="/cache/referats/6117/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

<img src="/cache/referats/6117/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">                      (2)

Таким образом, оптимальный набор <img src="/cache/referats/6117/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> задачи (1) долженявляться решением системы уравнений (2)

Итак:

1.

<img src="/cache/referats/6117/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

2.

<img src="/cache/referats/6117/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

3.

<img src="/cache/referats/6117/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Как мы уже знаем, при любых положительных ценах идоходе решение задачи поведения потребителя существует и единственно. Выборпотребителя зависит от конкретных значений переменных Р и М, то есть являетсяфункцией спроса Y=Y(P,M) или Y=(y1(P,M), y2(P,M))- в нашемслучае.

Надо учитывать, что при пропорциональном изменениицен и дохода спрос не  изменится, то естьдля любого положительного числа <img src="/cache/referats/6117/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

<img src="/cache/referats/6117/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

то есть функция спроса является однородной в нулевойстепени однородности.

Итак, в общем виде функция спроса в нашей задачиесть

<img src="/cache/referats/6117/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

Так как функция полезности определяется с точностьюдо положительных монотонных преобразований, то мы имеем право записать: <img src="/cache/referats/6117/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

Используя вывод №2 можно сказать:

<img src="/cache/referats/6117/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041">       <img src="/cache/referats/6117/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">          <img src="/cache/referats/6117/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Таким образом оптимальный спрос на первое благоравен  <img src="/cache/referats/6117/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

а на второе благо — <img src="/cache/referats/6117/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045">то есть можно сказать, что функция спроса будет

<img src="/cache/referats/6117/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> при оптимальном выборепотребителя.

Ну а теперь вычислим оптимальные значения спроса наблага y1, y2, для исходных данных.

Так как М=600, р1=8, р2=16, тоимеем

<img src="/cache/referats/6117/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Какова же будет реакция потребителя на изменениедохода?

 Сначалаграфически представим изменение спроса при изменении дохода. Пусть изменитсядоход М. Тогда произойдет параллельное смещение бюджетной прямой. С изменениемдохода изменится и спрос. На каждой бюджетной прямой существуют такие точки, вкоторых максимизируется функция полезности (точки А, B,C, D). Линия AD — кривая доход-потребление, или кривая Энгеля. Она показывает, как прификсированных ценах меняется объем потребления каждого из благ в зависимости отдохода. Рисунок 1 применим к случаю, когда ни один из товаров не являетсятоваром Гиффина. Если же один из товаров — товар Гиффина, то кривая сместится всторону качественного товара, а спрос на Гиффинский товар — упадет.

<img src="/cache/referats/6117/image048.jpg" v:shapes="_x0000_i1048">

 

Итак, если изменения в размере дохода незначительны,то закономерности изменения спроса изучаются при помощи частных производных отфункции спроса по доходу. Решение системы (2) можно рассматривать как неявнуюфункцию от М.

Итак, мы должны определить <img src="/cache/referats/6117/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Для этого построим матрицу Гессе, «окаймленную»ценами:

<img src="/cache/referats/6117/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> где <img src="/cache/referats/6117/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

Итак:

1. <span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/6117/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

<img src="/cache/referats/6117/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

2. <span Times New Roman""> 

<img src="/cache/referats/6117/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Итак, определитель системы

<img src="/cache/referats/6117/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> равен <img src="/cache/referats/6117/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

<img src="/cache/referats/6117/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/6117/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1058">  — алгебраическиедополнения соответствующих элементов.

<img src="/cache/referats/6117/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Итак, вектор <img src="/cache/referats/6117/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1060"><img src="/cache/referats/6117/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> и <img src="/cache/referats/6117/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> положительны, то сростом дохода количество закупаемого товара первого  второго типа увеличится.

Найдем прирост закупок:

<img src="/cache/referats/6117/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

Теперь проверим бюджетные ограничения:

y1p1+y2p2=M

<img src="/cache/referats/6117/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1064">

<img src="/cache/referats/6117/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

Итак, приприросте бюджета в 200 продажи первого типа товаров увеличится на 12,5, авторого — на 6,25 и составит для первого — 50, для второго — 25.

еще рефераты
Еще работы по экономико-математическому моделированию