Реферат: Оптимизационные модели межотраслевого баланса

--PAGE_BREAK--Модель  межотраслевого  баланса  как  частный  случай  оптимизационных  моделей
Оптимизационные  модели  по  сравнению  с  балансовыми  пред­ставляют  собой  более  совершенный  тип  моделей  социалистической  экономики.  Однако  было  бы  неправильно  противопоставлять  их  друг  другу.  Во-первых,  основные  условия  балансовых  моделей  обязательно  включаются  в  оптимизационные  модели.  Во-вторых,  балансовые  модели  могут  интерпретироваться  и  исследоваться  как  частный  случай  оптимизационных  моделей.
Попытаемся  сформулировать  модель  межотраслевого  баланса  на  языке  оптимизационных  задач.  Рассмотрим  систему  уравнений  межотраслевого  баланса  производства  и  распределения  продукции  совместно  с  ограничением  по  трудовым  ресурсам  производствен­ной  сферы:
<shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image100.wmz» o:><img width=«237» height=«87» src=«dopb30578.zip» v:shapes="_x0000_i1076">  (21)
Основная  задача  плановых  расчетов  с  помощью  этой  модели  состоит  в  том,  чтобы  при  заданном  векторе  Y0  =  (<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image102.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1077">)  и  имеющихся  трудовых  ресурсах  L  найти  вектор  необходимых  объемов  произ­водства  X  =  (xj).  Покажем,  что  эту  задачу  можно  представить  в  виде  задачи  линейного  программирования:
  <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image104.wmz» o:><img width=«179» height=«109» src=«dopb30580.zip» v:shapes="_x0000_i1078">  (22)
Эта  задача  отличается  от  (21)  только  тем,  что  допускается  полу­чение  конечной  продукции  сверх  заданных  минимальных  объемов,  а  затраты  трудовых  ресурсов  минимизируются.  Очевидно,  что  ре­альным  экономическим  условиям  отвечают  только  такие  решения  X*  =  (x*),  при  которых  <shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image106.wmz» o:><img width=«76» height=«39» src=«dopb30581.zip» v:shapes="_x0000_i1079">.
Задаче  (22)  соответствует  двойственная  задача,    с  помощью  которой  находятся  оптимальные  оценки  продукции  <shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image108.wmz» o:><img width=«17» height=«25» src=«dopb30582.zip» v:shapes="_x0000_i1080">:
<shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image110.wmz» o:><img width=«179» height=«101» src=«dopb30583.zip» v:shapes="_x0000_i1081">  (23)
Оптимальный  план  X*  задачи  (22)  характеризуется  следую­щими  свойствами:
·     он  единственный;
·     если  Y0  >  0  (или  Y0  ≥  0  и  А  –  неразложимая  матрица),  то  Х*  >  0;
·     балансы  производства  и  распределения  продукции  выполняются  строго  как  равенства,  т.  е.  излишки  конечной  продукции  не  про­изводятся;
·     оптимальный  план  X*  не  зависит  от  коэффициентов  целевой  функции  tJ  ≥  0.                                                                        
<shapetype id="_x0000_t32" coordsize=«21600,21600» o:spt=«32» o:oned=«t» path=«m,l21600,21600e» filled=«f»><path arrowok=«t» fillok=«f» o:connecttype=«none»><lock v:ext=«edit» shapetype=«t»><shape id="_x0000_s1040" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight» strokeweight=«2.25pt»><stroke src=«1.files/image112.gif» o: filltype=«pattern»><shape id="_x0000_s1041" type="#_x0000_t32" o:connectortype=«straight» strokeweight=«2.25pt»><stroke src=«1.files/image112.gif» o: filltype=«pattern»><img width=«222» height=«206» src=«dopb30584.zip» v:shapes="_x0000_s1026 _x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041">На  рис.  1  видно,  что  оптимальный  план  всегда  является  вер­шиной  «клюва»  при  любых  допустимых  наклонах  целевой  функции.  Обе  задачи  (и  прямая,  и  двойственная)  всегда  имеют  единственное  решение,  если  матрица  А  продуктивна  и  Y0  ≥  0.  При  этом  реше­ние  прямой  оптимизационной  задачи  сводится  к  решению  системы  уравнений  <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image114.wmz» o:><img width=«131» height=«39» src=«dopb30585.zip» v:shapes="_x0000_i1082">  и  поэтому  оно  не  зависит  от  значений  коэффициентов  минимизируемой  функции.  Решение  двойственной  задачи  находится  из  системы  урав­нений  <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image116.wmz» o:><img width=«124» height=«36» src=«dopb30586.zip» v:shapes="_x0000_i1083">  и  поэтому  оно  не  зависит  от  коэффициентов  минимизируемой  функции.  При  этом  оптимальные  оценки  продук­ции  равны  коэффициентам  полных  трудовых  затрат.
Равенство      функционалов      прямой  и  двойственной  задачи  <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image118.wmz» o:><img width=«113» height=«39» src=«dopb30587.zip» v:shapes="_x0000_i1084">  имеет  место  при  любых      положительных      значениях    tj   и  <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1085">.  Оно  означает,  что  суммарная  оценка  всей  конечной  продукции  равна  сумме  трудовых  затрат  в  народном  хозяйстве.
Оптимизационная  модель  межотраслевого  баланса  продукции  и  производственных  мощностей.
При  анализе  возможностей  использования  модели  межотрасле­вого  баланса  в  планировании  отмечалось,  что  при  крат­косрочном  планировании  наиболее  существенными  ограничениями  роста  производства  являются  наличные  производственные  мощности.                                                                                                                                                                                                                                                
Решение  модели  должно  удовлетворять  условиям  xj ≤  Nj,  где  Nj  –  максимально  возможный  выход  продукции  j  с  производст­венных  мощностей  планируемого  года.  Так  же,  как  и  в  §  1,  вклю­чим  в  модель  условия  оптимизации  конечной  продукции  (27),  обозначая  вектор  ассортиментных  коэффициентов  прироста  конеч­ной  продукции<shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image121.wmz» o:><img width=«60» height=«25» src=«dopb30588.zip» v:shapes="_x0000_i1086">,  а  вектор  заданных  объемов  конечной  про­дукции  Q  =  (qi).
В  векторно-матричных  обозначениях  модель  имеет  вид:,
<shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image123.wmz» o:><img width=«139» height=«107» src=«dopb30589.zip» v:shapes="_x0000_i1087">  (24)
Решение  модели  существует,  если  значения  компонент  вектора  Q  заданы  не  слишком  большими.  Оптимальный  план  обращает  пер­вую  группу  условий  строго  в  равенства  (невыгодно  производить  сверхкомплектные  излишки  конечной  продукции).  Поэтому  в  даль­нейшем  анализе  исходим  из  того,  что  (Е  –  А)  X  –  <shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image125.wmz» o:><img width=«24» height=«23» src=«dopb30590.zip» v:shapes="_x0000_i1088"> =  Q,  откуда
<shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image127.wmz» o:><img width=«203» height=«25» src=«dopb30591.zip» v:shapes="_x0000_i1089">  (25)
Поскольку  <shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image129.wmz» o:><img width=«192» height=«25» src=«dopb30592.zip» v:shapes="_x0000_i1090">,  то  при  <shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image131.wmz» o:><img width=«37» height=«23» src=«dopb30593.zip» v:shapes="_x0000_i1091">  условие  Х  ≥  0  всегда  выполняется.  Вследствие  этого  задача  сокращается:
<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image133.wmz» o:><img width=«192» height=«56» src=«dopb30594.zip» v:shapes="_x0000_i1092">
Вектор  <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image135.wmz» o:><img width=«104» height=«25» src=«dopb30595.zip» v:shapes="_x0000_i1093">  представляет  собой  коэффициенты  пол­ных  потребностей  в  продукции  для  получения  одного  комплекта  конечной  продукции;  <shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image137.wmz» o:><img width=«136» height=«25» src=«dopb30596.zip» v:shapes="_x0000_i1094">  есть  вектор  макси­мально  возможных  объемов  продукции  для  получения  перемен­ной  части  конечной  продукции.  Очевидно,  что
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image139.wmz» o:><img width=«137» height=«49» src=«dopb30597.zip» v:shapes="_x0000_i1095">  (26)
Определив    <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1096">,    находим      X*  =  β<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1097">+  (E  –  A)–1Q.
Таким  образом,  <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image141.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb30598.zip» v:shapes="_x0000_i1098">  определяется  «узким»  местом  в  системе  про­изводственных  мощностей.  Как  правило,  мощность  только  одного  вида  продукции  будет  использована  полностью.  Оптимальная  оценка  мощности  по  этому  виду  продукции  (k)  равна    <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image143.wmz» o:><img width=«59» height=«45» src=«dopb30599.zip» v:shapes="_x0000_i1099">.
Выявление  дефицитной  мощности  служит  сигналом  для  ее  максимального  расширения  в  планируемом  году  за  счет  концентрации  строительства  на  пусковых  объектах,  дополнительных  поставок  оборудования,  изменения  специализации  соответствующих  пред­приятий  и  режима  их  работы  (сменности)  и  т.  д.<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image145.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb30600.zip» v:shapes="_x0000_i1100">
Для  определения  программы  первоочередных  мероприятий  по  расширению  производственных  мощностей  целесообразно  упорядочить  мощности  по  их  дефицитности.                                                                                         
Для  каждого  вида  мощности  рассчитаем  показатель  <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image147.wmz» o:><img width=«60» height=«49» src=«dopb30601.zip» v:shapes="_x0000_i1101">,  характеризующий  максимальное  число  комплектов  конечной  про­дукции,  которое  можно  получить  с  мощности  вида  j  при  условии  неограниченности  других  мощностей.  Упорядочив  ряд  чисел  <shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image149.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb30602.zip» v:shapes="_x0000_i1102">,  начиная      с  <shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image151.wmz» o:><img width=«76» height=«36» src=«dopb30603.zip» v:shapes="_x0000_i1103">,      получим      последовательность  мощностей,  упорядоченную  по  степени  их  дефицитности.  При  новой  нумерации  разности  <shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image153.wmz» o:><img width=«72» height=«25» src=«dopb30604.zip» v:shapes="_x0000_i1104">  покажут  прирост  числа  комплектов  ко­нечной  продукции  после  «расшивки»  k-го  «узкого»  места  в  системе  производственных  мощностей.
По  модели  (24)  можно  проводить  многовариантные  расчеты,  показывающие  влияние  изменения  параметров  аij,<shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image155.wmz» o:><img width=«19» height=«23» src=«dopb30605.zip» v:shapes="_x0000_i1105">,  Nj  на  объемы  производства  и  конечной  продукции.  В  результате  таких  расчетов  выявляется  группа  устойчиво  дефицитных  мощностей,  на  расши­рение  которых  ресурсы  должны  направляться  в  первую  очередь.  Важным  направлением  развития  модели  является  непосредственный  учет  в  ней  элементов  случайности  и  неопределенности.  Разработана  и  экспериментально  апробирована  модель,  в  которой  про­изводственные  мощности  Ni  рассматриваются  как  случайные  не­зависимые  величины.
Модели  с  ограничениями  по  общим  ресурсам.
Рассмотрим  модель,  в  которой  балансы  производства  и  распре­деления  продукции  дополняются  ограничениями  по  общим  невос­производимым  ресурсам:
<shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image157.wmz» o:><img width=«132» height=«124» src=«dopb30606.zip» v:shapes="_x0000_i1106">  (27) 
Подставляя  (25)  в  ограничения  по  общим  ресурсам,  получаем
<shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image159.wmz» o:><img width=«220» height=«25» src=«dopb30607.zip» v:shapes="_x0000_i1107">
или 
<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image161.wmz» o:><img width=«53» height=«25» src=«dopb30608.zip» v:shapes="_x0000_i1108">  (28)
где  <shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image163.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb30609.zip» v:shapes="_x0000_i1109">  =  (<shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image165.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb30609.zip» v:shapes="_x0000_i1110">s)  =  (E  –  А)  –1<shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image166.wmz» o:><img width=«16» height=«23» src=«dopb30610.zip» v:shapes="_x0000_i1111">  –  вектор  полных  затрат  ресурсов  на  один  комплект  прироста  конечной  продукции,  <shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image168.wmz» o:><img width=«177» height=«27» src=«dopb30611.zip» v:shapes="_x0000_i1112">  –  вектор  ресурсов,  которые  могут  использоваться  для  получения  переменной  части  конечной  продукции.
Из  (28)  следует:
<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image170.wmz» o:><img width=«139» height=«48» src=«dopb30612.zip» v:shapes="_x0000_i1113">  (29)
Максимальное  число  комплектов  достигается,  как  правило,  при  полном  использовании  только  одного  ресурса  (k).  Тогда  только  оценка  этого  ресурса  будет  положительна:    <shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image172.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb30613.zip» v:shapes="_x0000_i1114">  ,  a  оптимальные  оценки  всех  видов  продукции  будут  пропорциональны  коэффициентам  полных  затрат  дефицитного  ресурса:  <shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image174.wmz» o:><img width=«68» height=«27» src=«dopb30614.zip» v:shapes="_x0000_i1115">.  Если  же  в  оптимальном  плане  используются  полностью  несколько  ресур­сов,  то  система  оптимальных  оценок  ресурсов  и  продуктов  будет  неединственной.
Полное  использование  только  одного  вида  ресурсов  (или  нали­чие  только  одного  «узкого»  места)  как  типичное  свойство  оптималь­ного  решения  не  обязательно  связано  с  условиями  максимизации  конечной  продукции  в  заданном  ассортименте.  Для  сравнения  рассмотрим  модель,  в  которой  условия  максимизации  переменной  ча­сти  конечной  продукции  заданы  в  виде  ЦФП:
<shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image176.wmz» o:><img width=«121» height=«117» src=«dopb30615.zip» v:shapes="_x0000_i1116">    (30)
Выражая  X  через  Y,  приходим  к  сокращенной  модели:
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image178.wmz» o:><img width=«91» height=«73» src=«dopb30616.zip» v:shapes="_x0000_i1117">  (31)
где  F  =  f  (Е  –  А) –1  –  матрица  коэффициентов  полных  затрат  ресурсов,  <shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image180.wmz» o:><img width=«139» height=«25» src=«dopb30617.zip» v:shapes="_x0000_i1118">.
Оптимальное  решение  этой  модели  всегда  существует  и  является  единственным.  Оптимальный  план  Y*  есть  точка  касания  наибо­лее  удаленной  от  начала  координат  поверхности  безразличия  и  вы­пуклого  многогранника,  образованного  условиями  <shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image182.wmz» o:><img width=«53» height=«21» src=«dopb30618.zip» v:shapes="_x0000_i1119">.  Если  эта  поверхность  безразличия  касается  вершины  многогранника,  то  это  означает  полное  использование  нескольких  ресурсов.  Очевидно,  что  в  случае  применения  ЦФП  вероятность  того,  что  точкой  опти­мума  будет  вершина  многогранника,  выше,  чем  в  случае  приме­нения  ассортиментного  критерия.  Однако  вполне  возможно,  что  максимум  u(Y)  достигается  на  одной  из  граней  многогранника,  т.  е.  при  полном  использовании  только  одного  ресурса.
Таким  образом,  общим  свойством  рассмотренных  в  этом  пара­графе  моделей  является  то,  что  оптимальный  план  чаще  всего  достигается  при  полном  использовании  только  одного  ресурса.  А  это  означает,  что  только  один  вид  ресурсов  влияет  на  формирование  оптимального  решения.  Данное  свойство  не  адекватно  экономиче­ской  реальности;  оно  обусловлено  недостатком  моделей.
В  моделях  (24),  (27),  (30)  почти  отсутствуют  возможности  маневрирования  ресурсами,  имеющими  различную  дефицитность.  По  каждому  виду  продукции  задается  только  один  производствен­ный  способ,  а  поэтому  технология  производства  не  реагирует  на  выявляющиеся  в  процессе  оптимизации  соотношения  наличия  ре­сурсов  и  потребностей  в  них.  Благодаря  корректировке  исходных  данных  на  основе  анализа  оптимальных  решений  этот  недостаток  можно  преодолевать  лишь  отчасти.
Напрашивается  вывод  о  том,  что  оптимизационные  модели  на­родного  хозяйства  должны  включать  условия  выбора  между  раз­личными  способами-  производства  одноименной  продукции.
§3.  ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ  МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ  МОДЕЛИ  С  ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ  СПОСОБАМИ
Первый  вариант  модели  (минимизация  затрат  труда  на  производство  заданной  конечной  продукции).
Построим  модель,  представляющую  собой  непосредственное  обобщение  модели  межотраслевого  баланса,  записанной  в  форме  (22).  В  модели  предусматривается  возможность  выбора  между  различными  производственными  способами.  Пусть  каждый  вид  продукции  <shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image184.wmz» o:><img width=«37» height=«20» src=«dopb30619.zip» v:shapes="_x0000_i1120">  производится  несколькими  способами  <shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image186.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb30620.zip» v:shapes="_x0000_i1121">,  где  Tj=  {1,  ...  ,  sj}.  При  этом  каждым  способом  выпускается  только      один    продукт.  Введем    новые    обозначения:
<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image188.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb30621.zip» v:shapes="_x0000_i1122">  –  объем  производства  продукции  j  способом  <shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image190.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1123">j;
<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image192.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb30623.zip» v:shapes="_x0000_i1124">  –  коэффициент    пря­мых    затрат    продукции    i  на  производство  единицы  продукции  j  способом  <shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image194.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1125">j;
<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image195.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb30624.zip» v:shapes="_x0000_i1126">  –   затраты  труда  на  единицу  продукции  j,    произ­водимой  способом  <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image197.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb30622.zip» v:shapes="_x0000_i1127">j.
Модель  имеет  вид:
<shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image198.wmz» o:><img width=«213» height=«109» src=«dopb30625.zip» v:shapes="_x0000_i1128">  (32)
Модель  (32)  всегда  имеет  решение,  если  выполняются  усло­вия,  аналогичные  условию  продуктивности  матрицы  коэффициен­тов  прямых  материальных  затрат  модели  межотраслевого  баланса.  Например,  одно  допустимое  решение  может  быть  получено,  если  включить  в  план  по  одному  способу  для  каждого  вида  продукции,  а  все  остальные  переменные  считать  равными  нулю.  Так  может  быть  составлено  <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image200.wmz» o:><img width=«37» height=«45» src=«dopb30626.zip» v:shapes="_x0000_i1129">  систем  уравнений  межотраслевого  баланса  производства  и  распределения  продукции,  каждая  из  которых  имеет  решение,  если  матрица  продуктивна.
Анализ  модели  позволяет  выявить  ряд  ее  интересных  специфи­ческих  свойств.
Теорема  1.  При  положительном  векторе  конечной  про­дукции  Y0  >  0  производятся  все  продукты  и  каждый  продукт  про­изводится  только  одним  способом.
Доказательство.  Напомним,  что  мы  исходим  из  пред­положения,  что  оптимальный  план  –  единственный.  Введем  в  ус­ловия  дополнительные  переменные  Δyi  (излишки  конечной  про­дукции  сверх  минимально  необходимых  объемов  <shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image120.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb30579.zip» v:shapes="_x0000_i1130">),  превращающие  неравенства  в  равенства.
В  каждом  i-м  уравнении
<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image202.wmz» o:><img width=«215» height=«40» src=«dopb30627.zip» v:shapes="_x0000_i1131">
положительными  являются  только  коэффициенты  при  переменных  Х.  Но  поскольку  все  <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image204.wmz» o:><img width=«25» height=«25» src=«dopb30628.zip» v:shapes="_x0000_i1132">,  то  и  все    <shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image206.wmz» o:><img width=«119» height=«39» src=«dopb30629.zip» v:shapes="_x0000_i1133">,  т.  е.  оптимальном  плане  должны  производиться  все  виды  продуктов.
Максимальное  число  положительных  переменных  в  оптимальном  плане  равно  п  (числу  уравнений).  Следовательно,  в  каждой  сумме  переменных  <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«1.files/image208.wmz» o:><img width=«49» height=«39» src=«dopb30630.zip» v:shapes="_x0000_i1134">  положительной  может  быть  только  одна  переменная.  Иначе  говоря,  в  оптимальном  плане  каждый  продукт  про­изводится  только  одним  способом.
Следствие.  Из  теоремы  следует,  что  поскольку  число  воз­можных  положительных  переменных  исчерпывается  переменными  способов  производства,  то  все  Δyi  в  оптимальном  плане  равны  нулю.  Иными  словами,  оптимальный  план  обращает  исходные  неравен­ства  строго  в  равенства.
Введем  дополнительные  обозначения:  X*  –  оптимальный  план  модели  (каждая  его  компонента  есть  интенсивность  применения  какого-то  «лучшего»  способа  производства);  A*  –  матрица  коэффи­циентов  материальных  затрат,  составленная  из  способов,  которые  вошли  в  оптимальный  план.
Матрица  А*  аналогична  матрице  А  межотраслевого  баланса  с  той  лишь  разницей,  что  вместо  средневзвешенных  коэффициентов  из  разных  способов  в  ней  представлены  коэффициенты  только  «луч­ших»  способов.  Матрицы  A*  и  (Е  –  А*)  обладают  теми  же  экономико-математическими  свойствами,  что  и  матрицы  межотраслевого  ба­ланса.  Среди  этих  свойств  отметим,  в  частности,  существование  матрицы  (Е  –  А*)–1  ≥  0.  Элементы  матрицы  (Е  –  А*)–1    являются  коэффициентами  полных  потребностей  в  выпуске  продукции  для  получения  единицы  конечной  продукции  в  оптимальном  плане.  Оптимальный  план  удовлетворяет  следующей  системе  уравнений:
(E  –  A)  X*  =  Y0  или  X*  =  (E  –  A)–1Y0.
Теорема  2.  Базис  оптимального  плана,  а  следовательно,  и  выбор  «лучших»  способов  остаются  постоянными  при  любых  из­менениях  положительного  вектора  Y0.
Доказательство.  Для  того  чтобы  базис  оптимального  плана  оставался  неизменным  при  переменном  векторе  Y0,  доста­точно  –  в  соответствии  с  (15),–  чтобы  выполнялось  условие
(E  –  A*)–1Y0  ≥  0.
Поскольку  матрица  (E  –  A*)–1  ≥  0,  условие  (E  –  A*)–1Y0  ≥  0  выполняется  всегда  при  любом  Y0  ≥  0  и  тем  более  при  Y0  >  0.
Пусть  для  некоторого  Y0  >  0  получено  решение  X*.  Базис  по­лученного  решения  (Е  –  А*)  остается  неизменным  и  тогда,  когда  вектор  Y0  будет  изменяться  любым  образом  в  положительной  об­ласти  (0  <  Y0  <  +∞).  Если  базис  оптимального  плана  –  не­разложимая  матрица,  то  теорема  распространяется  на  случай  Y0  ≥  0.
Это  означает,  что  вычислив  матрицу  (E  –  A*)–1  для  одного  ва­рианта  конечной  продукции,  можно  неоднократно  использовать  ее  для  расчета  производственной  программы  при  других  вариантах  конечной  продукции.
    продолжение
--PAGE_BREAK--