Реферат: Кинетическое уравнение Больцмана
МОСКОВСКИЙЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(техническийуниверситет)
ФАКУЛЬТЕТЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ
РЕФЕРАТ ПО ТЕМЕ
КИНЕТИЧЕСКОЕУРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА.
ВЫПОЛНИЛ:
Коркин С.В.
ГРУППА:
ЭТ-9-00
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
Шеркунов Ю.Б.
Вторая половина работы набита достаточносложной математикой. Автор (KorkinSV@mpei.ru,korkin_s_v@chat.ru)не считает этот курсовой идеальным, он может служить лишьотправной точкой для написания более совершенной (и понятной) работы. Текст неявляется копией книги. Вспомогательную литературу см. в конце.
Курсовой принят с отметкой ОТЛ.(Окончательный вариант работы немножко затерялся. Предлагаю воспользоватьсяпредпоследней «версией»).
2002 год.
Содержание:
Введение………………………………………………………………………………3Условныеобозначения………………………………………………………………. 4
§1 Функция распределения.
§2 Столкновение частиц.
§3 Определение вида интеграла столкновений
иуравнения Больцмана.
§4. Кинетическое уравнение для слабонеоднородного газа.
Теплопроводность газа.
Некоторые условные обозначения:
n — концентрация частиц;
d — среднее расстояние междучастицами;
V — некоторый объём системы;
P — вероятность некоторого события;
f — функция распределения;
Введение.
Разделы физикитермодинамика, статистическая физика и физическая кинетика занимаются изучениемфизических процессов, происходящих в макроскопических системах — телах,состоящих из большого числа микрочастиц. В зависимости от вида системы такимимикрочастицами могут являться атомы, молекулы, ионы, электроны, фотоны или иныечастицы. На сегодняшний день существуют два основных метода исследованиясостояний макроскопических систем — термодинамический, характеризующийсостояние системы через макроскопические легко измеряемые параметры (например,давление, объём, температура, количество молей или концентрация вещества) и, по сути, неучитывающий атомно-молекулярную структуру вещества, и статистический метод,основанный на атомно-молекулярной модели рассматриваемой системы.Термодинамический метод не будет затрагиваться в данной работе. По известнымзаконам поведения частиц системы статистический метод позволяет установитьзаконы поведения всей макросистемы в целом. С целью упрощения решаемой задачипри статистическом подходе делается ряд предположений (допущений) о поведениимикрочастиц и, следовательно, результаты, полученные статметодом, справедливылишь в пределах сделанных допущений. Статистический метод используетвероятностный подход к решению задач, для использования этого метода системаобязана содержать достаточно большое количество частиц. Одна из задач, решаемаястатметодом, — вывод уравнения состояния макроскопической системы. Состояниесистемы может быть неизменным во времени (равновесная система) либо можетизменяться с течением времени (неравновесная система). Изучением неравновесныхсостояний систем и процессов, происходящих в таких системах, занимаетсяфизическая кинетика.
Уравнениесостояния развивающейся во времени системы представляет собой кинетическоеуравнение, решение которого определяет состояние системы в любой моментвремени. Интерес к кинетическим уравнениям связан с возможностью их примененияв различных областях физики: в кинетической теориигаза, в астрофизике, физике плазмы, механике жидкостей. В данной работе рассматриваетсякинетическое уравнение, выведенное одним из основоположников статистическойфизики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872году и носящее его имя.
§1 Функция распределения.
/>/>/>/>Для выводакинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ, т.е.достаточно разряженный газ, состоящий из электрически нейтральных атомов илимолекул. Единственным видом взаимодействия между частицами идеального газаявляются столкновения между молекулами, происходящие, однако, настолько редко,что каждая молекула почти всё время движется как свободная. Рассматривая частицы газа какклассические, можно утверждать, что на одну частицу приходиться объём . Числочастиц в единице объёма есть концентрация . Значит среднеерасстояние между частицами есть ( предполагаетсядостаточно большим по сравнению с радиусом действия межмолекулярных сил d). При получении уравненияБольцмана сделаем следующие предположения:
- частицы газанеразличимы (одинаковы);
— частицы сталкиваются толькопопарно (пренебрегаем столкновением одновременно трех и более частиц);
- непосредственноперед столкновением частицы движутся по одной прямой навстречу друг другу;
- столкновение молекул есть прямой центральный упругий удар;
Статистическое описание газаосуществляется функцией распределения вероятности (или плотностьювероятности), причём функция распределения не меняется на расстояниях порядкаобласти столкновения частиц. Плотность вероятности определяетвероятность того, что некоторая случайная величина x имеет значение в пределах малого интервала dx следующим образом . Вероятность нахождения величиныx в конечном интервале определяетсяинтегрированием .
/>/>/>Функция распределения молекул газадаётся в их фазовом :-пространстве.
/>/>/>есть совокупность обобщённыхкоординат всех молекул; — совокупностьобобщённых импульсов молекул. Соответственно
и . Обозначим через
/>элемент объёмафазового пространства молекулы. В заданном элементе фазового пространства находиться (в среднем) числочастиц, равное (т.е.рассматриваются молекулы, значения q и p которых лежат в выделенныхинтервалах dqи dp). Функция распределения молекулгаза выше была определена в фазовом пространстве, тем не менее, она может бытьвыражена через иные переменные, отличные от обобщённых координат и импульсовчастицы. Произведём выбор аргументов функции f.
/> Рассматривая неравновесный, протекающийво времени, процесс изменения состояния системы, мы очевидно должны считать,что функция распределения зависит от времени. Рассматриваемый газ естьмножество частиц, которые мы условились считать классическими.
Поступательноедвижение классической частицы описывается координатами
/>/>/>/>центра тяжести частица и вектором скорости иливектором импульса ( ,где m – масса частицы). Для одноатомногогаза поступательное движение – единственный вид движения частиц; число степенейсвободы равно трём. Если частица представляет собой многоатомную молекулу, товозникают дополнительные степени свободы, связанные с вращением молекулы впространстве и колебанием атомов в молекуле. Условиями применения квантовоймеханики являются малые массы и высокие концентрации частиц, а так же низкиетемпературы. Не рассматривая область низких температур, будем считатьвращательное движение молекул газа классическим. Любое классическоевращательное движение описывается, прежде всего, вращательным моментом сил,действующих на тело. Под действием момента двухатомная молекулаприходит во вращение в плоскости, перпендикулярной вектору момента. Кроме того,положение молекулы характеризуется углом поворота оси молекулы в плоскостивращения.
/>/>/>Рассмотрим молекулу водорода (или любую другуюдвухатомную молекулу) при Т=300 К. Согласно закону равнораспределения на каждуюстепень свободы (поступательную, вращательную или колебательную) в среднемприходится одинаковая кинетическая энергия, равная .
/>/>/>Пусть I — момент инерции молекулы, m — масса, d — среднее расстояние междуатомами в молекуле.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> />/> — средняя кинетическаяэнергия вращения молекулы;
/>
/>
(рад/c)
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />За одну секунду молекула делает (т.е. приблизительно ) полных оборота. Скорость изменения угла поворотаоси двухатомной молекулы велика и все возможные ориентации молекулы в плоскостивращения будут равновероятными. Тогда при рассмотрении реальных физическихзадач функцию распределения можно считать не зависящей от ориентации молекулы.Закон равнораспределения справедлив и для многоатомных молекул, а значитсделанное предположение о независимости функции распределения от ориентациимолекул газа в пространстве можно считать справедливым для многоатомных газов.
Колебательное движение атомоввнутри молекулы практически всегда квантуется и состояние молекулы какквантовой системы должно определяться квантовыми параметрами. В обычныхусловиях (при не слишком высоких температурах) молекула газа находятся вневозбужденном состоянии, отвечающем основному (нулевому) колебательномууровню. Поэтому квантовыми эффектами в реальных газах при обычных условияхможно пренебречь. Следовательно, функция распределения классического идеальногогаза в неравновесном состоянии зависит не только от времени, но и от координатчастиц .
/>/>/>Обозначим символом Г совокупность всех переменных,от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы ивремени. В элементе фазового объёма выделим элементарный объёмтрёхмерного пространства , а остальную его часть обозначимсимволом dГ. Величины dГ есть интегралы движения,которые остаются постоянными для любой молекулы в течение её свободногодвижения между двумя последовательными столкновениями. Свободное движение молекулыосуществляется без внешнего воздействия со стороны каких-либо внешних тел илиполей. В результате взаимодействия молекул друг с другом (в случае столкновении) или под воздействием поля
/>эти величины вполне могутизмениться. Координаты молекулы, как целого, меняются втечение её свободного движения.
/>/>/>/>/>/>/>Концентрация или плотность пространственногораспределения частиц газа может быть выражена интегралом , а среднее число частиц в элементе объёма определяется произведением . Под элементом объёма подразумеваетсяфизически малый объём, т.е. участок пространства, размеры которого малы посравнению с размерами, рассматриваемыми в задаче. В то же время размеры малого объёма велики по сравнению с размерами молекул. Утверждение о нахождениимолекулы в данном элементе объёма определяетположение молекулы в лучшем случае лишь с точностью до расстояний, превышающихразмеры самой молекулы. Точное определение координат двух классических частицдаёт возможность точного определения их траекторий до и после столкновения,если оно имело место. Неопределенность же точного взаимного положения частиц даёт возможность применять вероятностный подход к решению задачи об ихстолкновении. Рассмотрение классического газа подразумевает то, что плотность
являетсямакроскопической величиной. Макроскопичность имеет место лишьв том случае, когда элементарный объём содержит достаточно большое число частиц( только тогда изменение числа частиц в элементарном объёме мало в течениерассматриваемого процесса); при этом линейные размеры области, занимаемойгазом, должны быть значительно больше среднего межмолекулярного расстояния.
§2 Столкновение частиц.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> Рассмотрим столкновение молекул, одни изкоторых обладают значениями величин Г, лежащими в заданном интервале , а другие – в интервале . В результате столкновения молекулы приобретают значения величин Г в интервалах соответственно и . Далее для краткости будем говорить о столкновении молекул и спереходом
/>Произведение числа молекул вединице объёма на вероятность каждоймолекулы испытать столкновение с указанным переходом даст полное число такихстолкновений, отнесённое к единице объёма в единицу времени. Вероятность такогособытия (обозначим её через некоторую функцию ) пропорциональна числумолекул в единице объёма и интервалам значенийвеличин каждой из молекул после столкновения. Таким образом, будемсчитать, что , а число столкновений спереходом , происходящих в единице объёма вединицу времени примет вид
/>/>/>
/>/>( штрихом обозначеныконечные состояния, без штриха — начальные). Вероятность столкновенияобладает важным свойством, которое следует из законов механики, относительнообращения знака времени. Если обозначить верхним индексом Т значения всехвеличин, получившихся при обращении знака времени, то будет иметь месторавенство
/>/>/>Обращение времени переставляетсостояния “до” и ”после”, а значит необходимопереставить местами аргументы функции вероятности. В частности, указанноеравенство справедливо в случае равновесия системы, т.е. можно утверждать,что в равновесии число столкновений с переходом равночислу столкновений с переходом (*).Обозначим через равновеснуюфункцию распределения и запишем
/>
(1)
/>Произведениедифференциалов представляет собой элемент фазового пространства, который неизменяется при обращении времени (дифференциалы в обеих сторонах равенстваможно опустить). Неизменяется так же потенциальная энергия молекул , и, следовательно,равновесная (больцмановская) функция распределения, которая зависит только отенергии :
/>
/> (2)
/>/>V – макроскопическая скоростьдвижения газа как целого. В силу закона сохранения энергии при столкновениидвух молекул . Поэтому можно записать (3)
/>Отметим ещё тот факт, что самафункция вероятности в принципе может быть определена лишь путём решениямеханической задачи о столкновении частиц. Написанное выше равенства (1), (2)и (3) дадут после сокращений в (1)
/>
/> С учётом утверждения (*)
/>Интегрируя последнее равенство (для использования вдальнейшем) получаем соотношение:
(4)
§3/>Вывод кинетическогоуравнения.
Рассмотримпроизводную от функции распределения по времени:
/>При движении молекул газа в отсутствии внешнего полявеличины Г, как интегралы движения,не изменяются.
(5)
/>
(последнее слагаемое ввыражении производной обнуляется, т.к. )
/>
/> (оператор набла)
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />Выражениедля производной примет вид : (6)
/>/>Пусть теперь газ находится во внешнем потенциальномполе , действующем на координаты центра тяжести молекул (например, вгравитационном поле). И пусть F– сила, действующаясо стороны поля на частицу.
/>
(7)
/>
/>/>Правую часть равенства (6) обозначим через . Символ означает
скоростьизменения функции распределения благодаря столкновениям, а величина
/>есть отнесённое к единице времениизменение за счёт столкновений числа молекул в фазовом объёме . Полноеизменение функции распределения в заданной точке фазового пространства запишется в виде:
/> (8)
/>
Величина называется интегралом столкновений, а уравнение вида (8) –кинетическим уравнением. Реальный смысл кинетическое уравнение (8) приметтолько после определения вида интеграла столкновений.
§3 Определение вида интеграла столкновенийи уравнения Больцмана.
/>/>/>/>/>/> Во время столкновения молекул происходитизменение величин, от которых зависит функция распределения. Учитывая тот факт,что время наблюдения состояния системы и координаты частиц изменяются, независимо от того, произошло или нет столкновение частиц (которое влияет лишь нахарактер изменения координат), можно утверждать, что изменяются величины Г столкнувшихся молекул. Рассматривая достаточно малый интервал, обнаружим, что молекулы пристолкновении выводятся из этого интервала, т.е. имеют место акты “ухода”. Пусть двум столкнувшимсямолекулам соответствуют, как и ранее, величины и до столкновения, а , после столкновения (для краткости говорим о переходе ).
/>Полное числостолкновений при вышеуказанном переходе со всеми возможными значениями
/>/>/> призаданном , происходящих в единицу времени в объёме , определяетсяинтегралом
/>/>/>/>В то же время происходятстолкновения иного рода (называемые “приходом”), в результатекоторых молекулы, обладавшие до столкновения значениями величин ,лежащими вне заданного интервала , попадают в этот интервал. Такиепереходы могут быть обозначены следующим образом: (со всеми возможными значениями призаданном ).Аналогично первому типу перехода полное число таких столкновений в единицувремени в объёме равно:
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />/>В результате всех столкновений изменение числамолекул в единицу времени в элементарном объёме определяется разностью междучислом актов ухода и числом актов прихода:
/>/> (9) , где
и
/>Интеграл столкновений может быть определён как:
(10)
(изменение числа частиц в единицувремени в фазовом объёме dVdГ )
/>Из соотношений (8) и (9) получимвид интеграла столкновений
(11)
/>
/>/>/>Заметим, что во втором члене подынтегральноговыражения интегрирование по имеет
/>отношение только к функции .Множители и не зависят отпеременных . Преобразовав эту часть интеграла с помощьюсоотношения (4), получим окончательный вид интеграла столкновений
/> (12)
икинетического уравнения
/> (13)
Полученноеинтегрально — дифференциальное уравнение носит название уравнения Больцмана.
/>Рассмотрим не зависящее отвремени распределение в состоянии равновесия системы в отсутствии внешнихвоздействий. Такое распределение является стационарным (не зависит от времени)и однородным (не изменяется в области пространства, занимаемой системой).Наложенные условия обнуляют производную функции распределения по времени и трёмкоординатам; левая часть кинетического уравнения обращается в нуль.Подынтегральное выражение обращается в нуль вследствие равенства (3).Следовательно, равновесное распределение в отсутствии внешних полейудовлетворяет кинетическому уравнению тождественным образом. Если газ находитсяв равновесном состоянии под действием внешнего потенциального (например,гравитационного) поля, то функция распределения и в этом случае удовлетворяеткинетическому уравнению. Действительно, равновесное распределение выражаетсячерез интеграл движения – полную энергию молекулы . Леваячасть кинетического уравнения представляет собой полную производную ,которая равна нулю как производная от функции, зависящей только от интеграловдвижения. Правая часть уравнения, как уже было указано, есть нуль. Такимобразом, кинетическому уравнению удовлетворяет и функция распределения газа,находящегося в равновесии во внешнем потенциальном поле.
/>/>/>К указанным во “Введении” допущениям добавим ещё одно: столкновения молекул рассматриваются как мгновенныеакты, происходящие в одной “точке”пространства. Кинетическое уравнение описывает процес, который протекает винтервале времени, много большем по сравнению с длительностью столкновений. Вто же время, рассматриваемая область системы должна значительно превышатьобласть столкновения частиц, которая имеет размеры порядка величины радиусадействия молекулярных сил d. Время столкновения по порядку величины может бытьопределено как ( - средняя скорость движения молекул в газе). Полученные значения представляютсобой нижний предел расстояния и времени, при рассмотрении которых допускаетсяприменение кинетического уравнения. Реальные физические задачи не требуют стольдетального описания процесса; размеры системы и времянаблюдения значительно превышают требуемый минимум.
/>/>Для качественного рассмотрения кинетических явлений,протекающих в газе, используют грубые оценки интеграла столкновений через двапараметра:длины свободногопробега и времени свободного пробега .Пусть при движении молекула прошла единицу длины, столкнувшись при этом смолекулами, находящимися в объеме прямого цилиндра единичной длины и площадьюоснования ( — эффективное сечение молекулы). В этомобъёме имеется молекул.
/>/>/>/>/>/>
- />/>среднее расстояние между молекулами;
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />/>Величина — время свободногопробега. Для грубой оценки интеграла столкновений можно использовать:
/>Записанная в числителе разность учитываеттот факт, что интеграл столкновений обращаются в нуль для равновесной функциираспределения, а знак “минус” говорит о том, что столкновения являются механизмомустановления статистического равновесия, т.е. стремятся уменьшить отклонениефункции распределения от равновесной ( иными словами, любая система, выведеннаяиз состояния равновесия, отвечающего минимальной внутренней энергии системы, ипредоставленная самой себе, стремится вернуться в равновесное состояние).
§3 Переход к макроскопическим уравнениям.Гидродинамическое уравнение непрерывности.
Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа. Но на практике часто нетребуется столь детально описывать процессы, поэтому при рассмотрении задачгидродинамики, задач о протекании процессов в неоднородных или сильноразреженных газах, задач о теплопроводности и диффузии газов и ряда другихимеет смысл переходить к менее детальным (а следовательно более простым )макроскопическим уравнениям. Такое описание применимо к газу, если егомакроскопические свойства (температура, плотность, концентрация частиц,давление и т.п.) достаточно медленно меняются вдоль любого, произвольновыбранного направления в газе. Расстояния, на которых происходит существенноеизменение макрокскопических параметров, должны значительно превышать длинусвободного пробега молекул.
В качестве примера рассмотримрассмотрим способ получения гидродинамического уравнения.
/>/>/>Выражение определяетплотность распределения молекул газа в пространстве (концентрацию молекулгаза). Произведение массы одной молекулы (предполагается, что газ состоит изодинаковых частиц) на плотность распределения молекул даёт массовую плотностьгаза: . Обозначим через макроскопическуюскорость движения газа как целого, а через микроскопическуюскорость молекул. Макроскопическая скорость (скорость движения центра масс)может быть определена как средняя величина от микроскопических скоростеймолекул
/> /> /> /> /> <td/> /> /> /> />/>Столкновения неизменяют ни количества сталкивающихся частиц ни их суммарной энергии илиимпульса (столкновение молекул считается абсолютно упругим ударом).Столкновительная часть изменения функции распределения не может привести кизменению плотности, внутренней энергии, скорости и любых другихмакроскопических параметров газа в каждом его элементе объёма. Действительно,столкновительная часть изменения полного числа молекул в единице объёма газадаётся равным нулю интегралом:
/> (14)
/>/>Убедимся в справедливости этогоравенства следующим способом:
/>
/>
Интегрирование производится покаждой из переменых , а значит можно, не меняяинтеграла, произвести переобозначение переменных, например, во втором интеграле:
/>
/>Последнее выражение, очевидно,равно нулю и, следовательно, справедливым является равенство (14).
/>/>Запишем кинетическое уравнение и,предварительно умножив обе его части на массу частицы m, интегрируем его по :
/>
Отсюда немедленно получаемгидродинамическое уравнение непрерывности:
/>
Задавв этом дифференциальном уравнении изменение плотности жидкости и считаяжидкость несжимаемой, можно получить векторное поле направлений скоростей влюбой точке жидкости.
§4. Слабо неоднородный газ.Теплопроводность газа.
/>/>/>/>/>/>/>/>/>Все реальные физические процессы обязательно протекаютс некоторыми потерями энергии (т.е. происходит диссипация энергии – переходэнергии упорядоченного движения в энергию хаотического движения, например, втепловое движение молекул газа). Для рассмотрения диссипативных процессов(теплопроводности или вязкости) в слабо неоднородном газе необходимоиспользовать следующее приближение: функцию распределения в малом участке газа следуетсчитать не локально равновесной, как в случае однородного газа, а отличающейсяот равновесной на некоторую достаточно малую (т.к. газ слабонеоднородный) величину . Функция распределения примет вид ,а саму поправку запишем в виде . Функция должна удовлетворять определённым условиям. Если заданным плотностям числачастиц, энергии и импульса газа
/>/>/>т.е. интегралам отвечаетравновесная функция , то неравновесная функция должна приводить к темже значениям этих величин (интегралы с и должны совпадать ),что имеет место только когда
/>Преобразуем интеграл столкновенийв кинетическом уравнении (13): подстановка выражений функции распределения ипоправки, обнуление интегралов столкновений, содержащих равновесную функциюраспределения, сокращение членов, не содержащих малой поправки . Членыпервого порядка дадут . Символ введендля обозначения линейного интегрального />оператора
/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />Указанныйинтеграл обращается в нуль для функций вида
/>
/>Запишем (без вывода) кинетическое уравнение дляслабо неоднородного газа., сохранив для рассмотрения задачи о теплопроврдностив левой части уравнения только одно слагаемое с градиентом температуры
*************************************************
§4.Вычисление коэффициентатеплопроводности одноатомного газа
/>/>Для вычисления коэффициентатеплопроводности газа необходимо решать записанное выше уравнение с градиентомтемпературы .
/> /> /> /> /> /> <td/> /> />/>/>/>/>Пусть - вектор-функция только величин .Тогда решение уравнения () будем искать в виде . Приподстановке этого решения в уравнение () получаем множитель . Уравнение() справедливо при совершенно произвольных значениях вектора градиента />температуры , тогда должны бытьравными коэффициенты при в обеих частях равенства. В итоге для получаемуравнение
/>
/>/>/>/>Уравнение не содержит градиента температуры и значитне имеет явной зависимости от координат. Функция обязательно должнаудовлетворять указанным ранее условиям (). Первые два условия, очевидно,выполняются ( уравнение () не содержит никаких векторных параметров, вдолькоторых могли бы быть направлены постоянные векторы-интегралы
/> И ). Третий интеграл представляетиз себя дополнительное условие на функцию g. Если кинетическое уравнениерешено и функция
/>/>/>определена, то можноопределить коэффициент теплопроводности, вычисляя поток энергии, точнее — егодиссипативную часть, не связанную с конвективным переносом энергии (обозначимэту часть потока энергии через ). В отсутствии макроскопическогодвижения в газе Qсовпадает с полным потоком энергии Q, который может быть выражен через интеграл
/>/>Если система находится врановесии, то и этот интеграл равен нулю за счётинтегрирования по всем возможным направлениям в газе. При подстановке в() остаётся
/>
/>В компонентах
/>
/>/>/>Ввиду изотропии средыравновесного газа какие либо избранные направления в нём отсутствуют и тензор можетвыражаться лишь через единичный тензор, т.е. сводится к скаляру
/> /> /> /> /> /> <td/> /> />/>Таким образом поток энергии выражается как ,где величина есть скалярный коэффициент теплопроводности
/>Поток Q должен быть направлен в сторону, противоположнуюградиенту температуры, а величина соответственно должна бытьположительна, что автоматически обеспечивается кинетическим уравнением (). Водноатомных газах скорость v-единственный векторот которого зависит функция g( в многоатомныхгазах имеет место зависимость gне только отскорости v, но и отмомента M). Для одноатомных газов функция g имеет вид:
/> .
§5.Пример решения кинетическогоуравнения
Молекулыгаза взаимодействуют по достаточно сложным законам. Это особенно касаетсяреальных многоатомных газов. Сделанные допущения относительно характераповедения молекул газа позволяют упростить рассуждения (или даже сделать их впринципе возможными), но несколько удаляют нас от реальности. Сложные законывзаимодействия молекул, определяющие функцию в интегралестолкновений, не позволяют даже записать уравнение Больцмана для конкретныхгазов в точном виде. Даже при упрощении характера молекулярного взаимодействияматематическая структура кинетического уравнения остаётся достаточно сложной, инахождение его решения в аналитическом виде затруднительно. В кинетическойтеории газов применяют особые, более эффективные, чем попытка аналитическогорешения, методы приближенного решения уравнения Больцмана. В качестве примерарассмотрим одноатомный газ и задачу о теплопроводности.
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />/>/>Для одноатомного газа теплоёмкость .Положив уравнению ( ) придадим вид
/>Линейный интегральный оператор, соответствующийинтегралу столкновений ( ) , определяется формулой
/>
аравновесная функция распределения примет вид .
Эффективныйметод приближённого решения уравнения ( ) основан на разложении искомых функцийпо полной системе взаимно ортогональных функций. В качестве таких функцийрассмотрим полиномы Сонина, определяемые формклами :
/>
Вэтой формуле r– произвольное, а s – целое положительное число либонуль. В честноти
/>/>
/>Свойство ортогональности этих полиномов при заданноминдексе r и различных индексахsвыаглядит следующим образом
Решение уравнения ищем в виде следующего разложения
/>
/>Опустив в разложениичлен с s=0, получимвыражение адовлетворяющее () (нтеграл обнуляется в силу ортогональностиполиномов с различными s ). Выражение в скобках в левой стороне ()
/>есть . Уравнение () принимаетвид
/> /> /> /> /> /> <td/> /> />Умножимего с обеих сторон на и проинтегрируемпо . Получим систему алгебраических уравнений, которая может бытьрешена на ЭВМ:
/>
/>Причём
Дляпоследнего выражения введены обозначения
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> /> /> /> /> />Уравнениес l=0 отсутствует, поскольку всилу сохранения импульса
/>/>Коэффициент теплопроводностивычисляется подстановкой выражения () в интеграл (). С учётом условия ()интеграл ( с ) может быть представлен в виде
/>В результате находим .
Обэффективности численного метода с применением разложения по полиномам Сононаможно судить по простоте правой части () и окончательному выражению ().Полученная в ходе решения басконечная система линейных алгбраических уравненийрешается после искусственного усечения.
Заключение.
Рассмотренныйметод вывода кинетического уравнения Больцмана вполне удовлетворителен сфизической точки зрения. Однако кинетическое уравнение может быть так жеполучено из математического аппарата, применяемого для описания движения частицгаза. В 1946 году такой вывод, получивший название динамического, бал дан Н. Н.Боголюбовым. Метод Боголюбова позволяет не только получить уравнение Больцмана,но и поправки к нему, т.е. члены следующих порядков по малому параметругазовости . Например, в указанном выводе учитывается одновременноестолкновение только двух молекул и предполагается, что столкновения происходятв одной точке, т.е. являются локальными, и нет более или менее очевидногорецепта, позволяющего учесть столкновения групп из трёх, четырёх и большегочисла частиц. Между тем ясно, что учёт подобных столкновений принципиальноважен при рассмотрении плотных газов. В связи с этим целесообразно более строгоподойти к выводу кинетического уравнения и к его возможным обобщениям. МетодБоголюбова позволяет учесть
/>“нелокальность” столкновения и столкновенияболее, чем двух частиц при помощи определённых поправочных членов, возникающихпри выводе. Пренебрежение поправками приводит кинетическое уравнение к виду,полученному в простейшем случае.
Списоклитературы.
1. Е.М.Лифшиц,Л.П.Питаевский. Физическая кинетика. Наука, М., 1979 г.
2. Ю.Б.Румер,М.Ш.Рывкин. Термодинамика, статистическая физика и кинетика.
Наука, М.,1972 г.