Реферат: Торричелли

План:

1. Биография.

2.Атмосферное давление и первый барометр.

3.Точка Торричелли.

4. Литература.

Биография.

ТОРРИЧЕЛЛИ, ЭВАНДЖЕЛИСТА (Torricelli,Evangelista) (1608–1647), итальянский физик и математик. Родился 15 октября1608 в Фаэнце.

В 1627 приехал в Рим, где изучалматематику под руководством Б.Кастелли, друга и ученика Галилео Галилея. Подвпечатлением трудов Галилея о движении написал собственное сочинение на ту жетему под названием Трактат о движении (Trattato del moto, 1640).

В 1641 переехал в Арчетри, где сталучеником и секретарем Галилея, а позже его преемником на кафедре математики ифилософии Флорентийского университета.

С 1642, после смерти Галилея, придворныйматематик великого герцога Тосканского и одновременно профессор математики Флорентийскогоуниверситета. Наиболее известны труды Торричелли в области пневматики и механики.

В 1644 развил теорию атмосферного давления,доказал возможность получения так называемой торричеллиевой пустоты и изобрёл ртутныйбарометр. В основном труде по механике «О движении свободно падающих и брошенныхтяжёлых тел» (1641) развивал идеи Галилея о движении, сформулировал принципдвижения центров тяжести, заложил основы гидравлики, вывел формулу для скоростиистечения идеальной жидкости из сосуда.

Торричелли принадлежат также работы поматематике (в частности, развил «неделимых» метод) и баллистике, усовершенствованиюоптических приборов, шлифовке линз. В математике усовершенствовал и широкоприменил метод неделимых при решении задач на касательные. Использовалкинематические представления, в частности принцип сложения движений. Обобщилправило квадратуры параболы на случай произвольного рационального показателя.Самостоятельно, хотя и несколько позже {Ж. Роберваля}, определил квадратуруциклоиды. Вслед за {Р. Декартом} нашел длину дуги логарифмической спирали.

Кроме изготовления зрительных труб ителескопов, занимался конструированием простых микроскопов, состоящих всего изодной крошечной линзы, которую он получал из капли стекла (расплавляя надпламенем свечи стеклянную палочку). Именно такие микроскопы получили затемширокое распространение.

Умер Торричелли во Флоренции 25сентября 1647.

Атмосферное давление и первый барометр.

Имя Торричелли навсегда вошло висторию физики как имя человека, впервые доказавшего существование атмосферногодавления и сконструировавшего первый барометр.

До середины XVII века считалосьнепререкаемым утверждение древнегреческого ученого Аристотеля (384–322 до н.э.)о том, что вода поднимается за поршнем насоса потому, что «природа нетерпит пустоты». Однако при сооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось,что засасываемая насосами вода не желает подниматься выше 34 футов. Недоумевающиестроители обратились за помощью к престарелому Галилею, который сострил, что,вероятно, природа перестает бояться пустоты на высоте более 34 футов, но все жепредложил разобраться в этом своим ученикам – Торричелли и Вивиани. Трудносказать, кто первым догадался, что высота поднятия жидкости за поршнем насосадолжна быть тем меньше, чем больше ее плотность. Так как ртуть в 13 раз плотнееводы, то высота ее поднятия за поршнем будет во столько же раз меньше. Темсамым опыт получил возможность «перейти» со стройплощадки влабораторию и был проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Осмысливаярезультаты эксперимента, Торричелли делает два вывода: пространство над ртутьюв трубке пусто (позже его назовут «торричеллиевой пустотой»), а ртутьне выливается из трубки обратно в сосуд потому, что атмосферный воздух давит наповерхность ртути в сосуде. Из этого следовало, что воздух имеет вес. Этоутверждение казалось настолько невероятным, что не сразу было принято ученымитого времени.

В 1641 Торричелли сформулировал законвытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу дляопределения скорости вытекания (формула Торричелли).

ТочкаТорричелли.

Точка Торричелли – это точка в плоскоститреугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника имеетнаименьшее значение.

Вопрос о нахождении такой точки имеет давнююисторию. Им интересовались крупнейшие ученые эпохи Возрождения – Вивиани,Кавальери, Торричелли и др. Задача Торричелли об отыскании точки, суммарасстояний от которой до трех данных точек минимальна, имеет большое применениев решении различных технико-экономических задачах. Например, рассмотрим такуюзадачу: в местах Р1, Р2, Р3 добываетсянекоторые материалы, потребляемые на центральной станции Р. Где следуетпостроить Р, чтобы стоимость доставки грузов из Р1, Р2, Р3 в пункт Р была наименьшей? Р – точкаТорричелли для треугольника Р1Р2Р3 .

Приведем решение задачи о нахождении точкиТорричелли. Докажем следующие два утверждения.

Утверждение1. Для трех данных точек не может существовать на плоскости большеодной точки, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее значение.

○ Предположим, что таких точек несколько.Тогда, очевидно, все они будут иметь одинаковые суммы расстояний от трех данныхточек. Возьмем две из них М и М1 . Если Nесть средина отрезка ММ1 , то заметив, что удвоеннаямедиана треугольника меньше суммы боковых сторон, мы получим три неравенства:

2 NА< АМ + АМ1;

2 NВ< ВМ + ВМ1 ;

2 NС< СМ + СМ1 .

Рис.1.

Отсюда 2(NА+ NВ + NС) < АМ + ВМ + СМ + АМ1 + ВМ1 + СМ1, или NА + NВ + NС < АМ + ВМ + СМ.

Итак, точка N имеет сумму расстояний,меньшую, чем точки М и М1, чтопротиворечит допущению. ● (Это доказательство дано Н. М. Соловьевым).

Утверждение2. Точка Торричелли не может лежать вне треугольника.

Предположим, что искомая точка М лежитвне треугольника и расположена так, как указано на рис. 2а.

Рис. 2

Тогда МА + МВ + МС не может бытьнаименьшим, так как М1А + М1В + М1С <МА´ + МВ + + МС (где М1 – точкапересечения прямой МС со стороной АВ). Пусть точка Мрасположена так, как указано на рис. 9б, то есть точка Мрасположена внутри угла В1АС1. В этом случае МВ +МС > АВ + АС (объемлющая более объемлемой), а поэтому МА +МВ + МС > АВ + АС.

Итак, точка, сумма расстояний которой до вершинтреугольника имеет наименьшее значение, лежит либо внутри треугольника, либо совпадаетс одной из его вершин.

Перейдем непосредственно к решению задачи о нахождении точки Торричелли.

Пусть Р – произвольная точка внутритреугольника АВС.

Найдем сумму отрезков РА+РВ+РС. (Рис.3)

Повернем ∆ВРА на угол в 60°вокруг точки В так, чтобы он оказался вне треугольника АВС.Точка А займет положение А1, независящее от выбора точки Р.

Точка Рзаймет положение Р1.

∆РВР1– равносторонний: РР1 = РВ

РА +РВ + РС = А1Р1 + Р1Р + РС.

Рис. 3

Наименьшее значение будет для точки Р,лежащей на прямой А1С. Так как в этом случае Р1,Р, С лежат на одной прямой, то угол ВРС,смежный с углом равностороннего треугольника, равен 120°; т. к. угол А1Р1В,равный 120°, равен АВС, то и угол АРВ = 120°.

Итак, для отыскания точки Р строим на каждойиз сторон сегмент, вмещающий угол в 120°. Точка пересечения дуг сегментов –искомая точка.

Точка Р находится внутри треугольника,если среди углов нет угла, равного или большего 120°.

Рассмотрим случаи: а) когда один из углов ∆АВСравен 120°;

б) когда один из углов∆АВС больше 120°.

а) В плоскости ∆АВС с углом А= 120° найдем точку Торричелли.

○ Построив равносторонние ∆АСВ1и ∆АВС1, докажем, что вершина А –искомая точка. Покажем, что для всякой точки, лежащей внутри треугольника,например для точки Р, имеет место соотношение РА + РВ + РС> АВ +АС. (Рис.4.)

Рис. 4.

Построим на отрезке АР равностороннийтреугольник АРР1. Из равенства ∆В1Р1А= ∆СРА (АВ1 = АС; АР1=АР; ÐРАС=ÐВ1АР1)следует, что РС = Р1В1.

Итак:

РА + РВ + РС = РВ + РР1 + Р1В;

РВ + РР1 + Р1В1 > В1В;

РВ + РА + РС > АВ + АС.●

б) В плоскости ∆АВС с углом А> 120° найдем точку Торричелли.

Покажем, что искомой точкой является вершина тупогоугла.

Возьмем произвольную точку Рвнутри треугольника и покажем, что сумма РА + РВ + РС > АВ + АС.(Рис.5.)

Рис. 5

Построим равносторонние треугольники РАР1и АВС1.

∆АВР = ∆АР1С1(АР = АР1;

АВ = АС1; ÐРАВ = ÐР1АС1).

Следовательно ВР=Р1С1;поэтому