Реферат: Вынужденные колебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики

Белорусский государственныйуниверситет

Факультет радиофизики и электроники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

«Вынужденныеколебания. Амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики»

 

 

 

Реферат подготовил

студент Iкурса группы №7

Константин Мулярчик.

 

Преподаватель:

Янукович Татьяна Петровна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минск

2004

Колебания – такие процессы, при которыхпараметры, характеризующие состояние колебательной системы, повторяются стечением времени. Например, колебания маятника в маятниковых часах, суточныеколебания освещённости данного участка Земной поверхности и т.д.

Вынужденные колебания — колебаниясистемы, возникающие под воздействием внешней вынуждающей силы. Характер этихколебаний опре­деляется как свойствами самой колебательной системы, так ивнешней силой. Обычно принимают, что внешняя периодическая сила изме­няется погармоническому закону />.

/>

Рис. 1 Система с вынужденными колебаниями

/>

Рис. 2 Силы, действующие в системе

Рассмотрим колебательную систему, показаннуюна рисунке 1.

Она состоит из горизонтальногопружинного маятника и кривошипо-шатунного механизма. Кривошипо-шатунныймеханизм — механизм, который преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное.

Тогда II-й закон Ньютона для данной системы запишется в виде:

/>,

(1)

где /> - масса тела, /> – его ускорение, /> - сила тяжести, /> - сила реакции опоры, /> - сила вязкого трения (/>), /> - внешняя вынуждающая сила,/> — сила упругости пружины (/>).

Впроекции на ось x:

/>

(2)

введёмзамены: />, />, получим:

/>

(3)

Введём обозначения /> (/> – показатель затухания, /> - коэффициент сопротивления),/> (/> – циклическая частотасвободных колебаний системы в отсутствие трения), /> –приведённая сила. Тогда можем переписать уравнение в общем виде:

/>

(4)

Уравнение (4) – дифференциальноеуравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (справой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальныхуравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решенияоднородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решениенеоднородного уравнения в целом.

Однородноеуравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающихколебаний

1.     

2.     

3.     

4.     :

a.      

/>

(5)

Решением этого уравнения являетсяфункция:

/>, где />.

(6)

Частное решение неоднородногоуравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, независимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежутоквремени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебанияс частотой вынуждающей силы /> иамплитудой />, зависящей от частоты />.

Различные случаи установления гармонических колебаний:

/>

/>

Рис. 3 Случай разгорания для />

Рис. 4 Произвольный случай разгорания

Здесь /> –это  время разгорания колебаний.

Это значит, что через достаточнобольшой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в(6) при />,/>.Таким образом

/>,

(7)

где/> - амплитуда установившихсяколебаний с частотой /> — частотой внешнейвынуждающей силы, /> - сдвиг фаз междусмещением и фазой внешней силы.

Найдем, чему равны /> и /> при частоте внешней силы />. Для этого найдем 1-ю и 2-юпроизводные от (7):

/>

(8)

/>

(9)

Иподставим (7), (8), (9) в (4):

/>,

немногопреобразуем:

/>
и получим:

/>Данное уравнение будет справедливопри любом />, если коэффициенты при /> и /> будут равны нулю:

/>

Изэтой системы найдем зависимость амплитуды установившихся колебаний и сдвига фазот частоты внешней вынуждающей силы:

/>

(10)

/>

(11)

Исследуем выражение (11) на экстремумы. Очевидно,что амплитуда колебаний будет максимальной в том случае, если подкоренное выражениев (11) будет минимальным. Обозначим />. Запишемусловие экстремума подкоренного выражения:

/>

Таким образом, подкоренное выражение (и,соответственно, амплитуда колебаний) принимает экстремальное значение при:

/> и

(12)

/>.

(13)

Если производная />,при подстановке корня (12) и (13) будет положительна, то в этом случае подкоренноевыражение будет минимальным, а  амплитуда – максимальной. Вторая производная отподкоренного выражения равна:

/>

Значение этой производной при /> равно /> а при />, равно />. Учитывая, что вколебательных системах, как правило, />, видим,что максимуму амплитуды соответствует частота вынуждающей силы />.

Явление резкого увеличения амплитудывынужденных колебаний при определённой частоте вынуждающей силы называется резонансом.

Таким образом, резонансная частота равна

/>

(14)

Учитывая это значение, по (10) и (11)находим резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:                                  

/>

(15)

/>

(16)

Из (15) и (16) видно, что при отсутствиитрения (/>) амплитуда колебаний прирезонансе неограниченно возрастает, а сдвиг фаз между смещением и фазой вынуждающейсилой равен />.

Для вынужденных колебаний вводят, такназываемые, амплитудо-частотные (зависимость амплитуды колебаний отчастоты вынуждающей силы)и фазово-частотные (зависимость сдвига фаз отчастоты вынуждающей силы) характеристики. Графически эти зависимости приразличных значениях /> приведены на рисунках5 и 6:

/>

/>

Рис.5 Амплитудно-частотные характеристики

Рис.6 Фазово-частотные характеристики

/>Отметимздесь, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденных колебаний на величину/> происходит скачком при />. Учет трения размазываетэтот скачок.

При установившемся движении, когдасистема совершает вынужденные колебания по закону (7), ее энергия, очевидно,остается неизменной. Однако при этом внешняя сила непрерывно совершает работунад системой. Иными словами, система непрерывно поглощает (от источника внешнейсилы) энергию, которая, в конечном счете, диссипируется в тепло благодаря наличиютрения.

Пусть /> обозначаетколичество энергии, поглощаемой системой в среднем в единицу времени, какфункция частоты вынуждающей силы. Эта величина, как известно, равна работевнешней силы за единицу времени, то есть мощности (усредненной затем по времени):

/>, или />

(17)

Отсюда, согласно уравнению движения,

/>

(18)

Здесь,в (17) и (18), символ /> обозначаетработу.

При усреднении по времени первое и третьеслагаемые в этом выражении, будучи произведениями синуса на косинус, очевидно,дают нуль. В результате остается лишь вклад от второго слагаемого

/>

(19)

Подставляясюда (8), получаем:

/>

(20)

Производяусреднение по времени, заметим, что второе слагаемое зануляется, поэтому:

/>

(21)

Подставляя сюда (11), получим:

/>

(22)

Исследуем это выражение наэкстремумы. Очевидно, что экстремальное значение оно примет при экстремальномзначении знаменателя. Производная от знаменателя обращается в нуль при />.

Вблизи резонанса /> амплитуда /> определяется формулой (16).Введём величину />, характеризующую частотнуюpасстpойку относительно резонанса и равную />.В итоге получаем:

/>

Такимобразом:

/>

(23)

/>Такой вид зависимости поглощения отчастотной расстройки относительно резонанса называют дисперсионным. Полуширинойрезонансной кривой (см. рис. 7) /> называетсязначение />, при котором величина /> уменьшается вдвое по сравнениюс ее максимальным значением при />.

/>

Рис. 7 Резонансная киваяпоглощения

/>Из формулы (23) следует, что вpассматpиваемом случае />. С другой стороны,высота максимума

/>

(24)

обратнопpопоpциональна />. Поэтому приуменьшении трения /> резонансная криваястановится уже и выше, то есть ее максимум становится более острым. Однакоплощадь под резонансной кривой остается при этом неизменной.

Линейность уравнений движения,описывающих вынужденные гармонические колебания (с трением и без него), приводитк тому, что оказывается справедливым, так называемый, принцип суперпозицииколебаний.

Пусть, например, на систему, совершающуюколебательное движение, действует внешняя сила, зависящая от времени и представляющаясобой суперпозицию двух сил

/>

(25)

Этомогут быть, напpимеp, периодические по времени функции с различными частотами /> и />. Уравнение движения тогдазапишется в виде:

/>

(26)

Согласно принципу суперпозиции, решениеэтого уравнения есть сумма решений того же уравнения под воздействием каждой изсил в отдельности, то есть

/>

(27)

гдефункции /> и /> удовлетворяют уравнениям

/>, />.

(28)

/>Проверяется это утверждение непосредственнойподстановкой. Для
этого первое из уравнений (28) складывают со вторым. В силу линейности всех операцийв левой части уравнения (28), мы и приходим к сформулированному выше принципу суперпозицииколебаний.

Список использованных материалов:

 

И.В. Савельев «Курс общей физики» Том I. Механика С.П. Стрелков «Механика» Д.В. Сивухин «Общий курс физики» Том I. Механика Сайт «Научно-образовательный Центр ФТИ им.А.Ф.Иоффе» (http://edu.ioffe.ru) media.karelia.ru/~mechanics/open/phys/do/mech/labor/pend/theory.html