Реферат: Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики

ш2.0

— 1 -

ОГЛАВЛЕНИЕ

ст.

1.Введение.................................................3

а) Актуальность темы дипломнойработы...................3

б) Целиработы..........................................4

в) Научная новизна результатов дипломнойработы.........4

г) Научная и практическаяценность......................5

д) Вкладавтора.........................................5

е)Реализация...........................................5

ж) Апробация ипубликации...............................6

з) Краткое содержание иструктура......................6

Глава 1. Физические основы исследуемыхпроцессов............8

_ 1.1 Электрический колебательныйконтур................8

_ 1.2 ОпытМилликена...................................11

_ 1.3 Скин-эффект в цилиндрической геометрии...........16

_ 1.4 Скин-эффект в плоскойгеометрии..................26

Глава 2. Математические методы исследованияфизических

процессов........................................31

_ 2.1 Типы задач для обыкновенных дифференциальных

уравнений........................................31

_ 2.2 Задача Коши.(Метод Рунге-Кутты 2-гопорядка).....34

_ 2.3 Метод Рунге-Кутты 4порядка......................37

_ 2.4 Краткие сведения о функциях Бесселя..............42

_ 2.5 Краткие сведения о функцияхКельвина.............46

— 2 -

Глава 3. Использование ЭВМ в учебномпроцессе..............48

_ 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.......................48

_ 3.2 Методы использования ЭВМ вобучении..............51

_ 3.3 Моделирование физических процессов наЭВМ........53

_ 3.4 Краткое описаниепрограмм........................55

Заключение.................................................56

Приложения.................................................57

Литература.................................................66

ш2.0

— 3 -

2Введение

_ 1Актуальность темы дипломной работы

Дипломная работа посвящена разработкедемонстрационных прог-

рамм для применения в процессе преподавания физики как вшколах и

среднеспециальных учебных заведениях, так и в высшихучебных за-

ведениях.

Насыщенность школ современной вычислительной техникойеще не

приводит к большим переменам в образовании, если учительне под-

готовлен ни психологически, ни профессионально квнедрению ЭВМ в

его жизнь.

В настоящее время накоплен большой опыт применения вычисли-

тельной техники в физических исследованиях, выработаныобщие ме-

тодические подходы решения основных физических проблем и можно

констатировать факт, что сложился новый предмет — вычислительная

физика, которая составной частью современной физикинаряду с об-

щей физикой и теоретической физикой и входит в стандартобразова-

ния по физики.

Основным методом исследования вычислительной физикиявляется

компьютерный эксперимент, теоретической базой которогослужит ма-

тематическое моделирование, а экспериментальной базой — ЭВМ.

Компьютерное моделирование интегрирует такие предметы, как

теоретическая физика, численный анализ ипрограммирование.

На сегодняшний день в процессе преподавания физикиочень мно-

гие важные явления и опыты не могут быть реализованы ввиде де-

монстраций в силу их сложности, а их объяснение требуетот препо-

давателя больших «художественныхвозможностей». Именно поэтому

— 4 -

появилась тенденция создания компьютерных программ для моделиро-

вания подобных процессов [1-7]. Теперь преподаватель,заранее по-

добрав исходные данные, может по ходу объяснениядемонстрировать

все возможные варианты развития процесса не затрачиваямассу вре-

мени на приемлемое изображение установки, самого эксперимента,

сопутствующих графиков.

Кроме того, такие программы могут быть также 2 0 использованы в

лабораторном практикуме с дополнительными заданиямиразного уров-

ня сложности, а в совокупности с прилагаемымиописаниями и для

самостоятельного изучения материала.

_ 1Целями дипломной работы являлись

— исследование моделируемых процессов на предмет получения

конечных аналитических решений, пригодных для созданияна их ос-

нове демонстрационных программ, а в случае их отсутствияпострое-

ние алгоритмов решения на основе численных методов;

— создание демонстрационных программ на основеполученных ре-

шений;

— создания лабораторных работ на основе разработанных прог-

рамм и ряда разноуровневых заданий к ним;

— апробация созданных лабораторных работ 2 0на 2 0 физическом фа-

культете ТГПУ им. Л. Н. Толстого в курсе методикипреподавания

физики;

_ 1Научная новизна результатов дипломнойработы

В работе впервые:

— Созданы демонстрационные программы для моделирования: про-

цессов в электрическом колебательном контуре, опытаМилликена,

— 5 -

скин-эффекта;

— Для скин-эффекта получено решение в виде комбинациифункций

Кельвина;

— Показана роль фазового дополнительного слагаемого врешении

для скин-эффекта;

— Показано, что в электрическом колебательном контурена гра-

фике зависимости энергии от времени существуют плато, соответс-

твующее нулевому току и проведена аналогия смеханическими коле-

баниями;

_ 1Научная и практическая ценность

В работе проведен теоретический анализ исследуемых процессов

и создан ряд моделирующих программ.

Как теоретические результаты, так и компьютерные программы

дипломной работы могут быть использованы в процессепреподавания

физики в различных учебных заведениях и присамостоятельном изу-

чении данного материала.

_ 1Вклад автора

В работах, результаты которых выносятся на защиту ивыполнен-

ных совместно с научным руководителем, автором внесендолжный

вклад в постановку задач, выбор методов исследования,теоретичес-

кий анализ, выбор методов реализации и интерпретациюрезультатов.

_ 1Реализация результатов работы

Полученные в результате теоретического анализааналитические

решения были реализованы автором в виде демонстрационныхпрограмм

для машин класса IBM PC/AT и совместимых, работающих подуправле-

— 6 -

нием:

— MS-DOC версии 5.0 и последующих;

— MS-WINDOWS версий 3.1 и 3.11 (RUS).

Программы реализованы с помощью компиляторов:

— Turbo Pascal 6.0;

— Turbo Pascal 7.0;

и при использовании графических пакетов:

— BGI (Borland International)

— Дизайнер.

Демонстрационные программы используются в курсепреподава-

ния физики на физическом факультете ТГПУ им. Л.Н.Толстогои могут

быть использованы в других учебных заведениях.

_ 1Апробация и публикации . 0

Основные результаты докладывались опубликованы втезисах док-

ладов 3 Всероссийского (с участием стран СНГ)совещания-семинара

«Применение средств вычислительной техники в учебномпроцессе», изд-во

УГТУ, Ульяновск 1995 г. [23]

Материалы работы докладывались и обсуждались также настуден-

ческих научных конференциях в ТГПУ [24].

_ 1Краткое содержание и структура

Структура. Дипломная работа состоит из введения, трех глав,

приложения, заключения, содержит 55 страниц машинописноготекста,

12 рисунков, список цитируемой литературы включает 24наименова-

ния.

Во _Введении . обосновывается актуальностьработы, формулируется

ее цель, излагается краткое содержание работы по главами пере-

— 7 -

числяются результаты, являющиеся новыми. Кроме тогоговорится о

реализации и апробации проделанной работы.

_Глава 1 . дипломной работы посвященатеоретическому исследова-

нию моделируемых процессов.

_Глава 2 . посвящена описаниюматематических методов, необходи-

мых для теоретического исследования и моделирования.

В _ Главе 3 . рассматриваются методические вопросы, касающиеся

как применения ЭВМ в учебном процессе в целом, так иконкретно

применение разработанных программ.

_Заключение . посвящено подведению итоговпроделанной работы.

В _ Приложении . приводятся необходимыесхемы, рисунки и графики.

ш2.0

— 8 -

_ 2Глава 1

1Физические основы исследуемыхпроцессов

1_ 0 11.1 0 1Электрический колебательный контур.

Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в

общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности Lи сопро-

тивления нагрузки R (см. рис. 1). Процессы происходящие в такой

системе описываются дифференциальным уравнением вида:

Ф-

ш1.0

d 52 0q 7 0 dq

───── +2 7d 0──── + 7w 40 52 0q = 0 (1.1.1)

dt 52 0 7 0 dt

где

R 1 dq

2 7d 0= 7 0───; 7 w 40 52 0 = ────; I = — ────.

L LC dt

Начальные условия: q│ =q 40 0; I│ =I 40 0.

│t=0 4 0 │t=0

Энергия колебательного контура определяетсявыражением:

q 52 0 LI 52

W = ────+ ─────. (1.1.2)

2C 2

ш2.0

Ф+

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго

порядка с постоянными коэффициентами. Колебания,описываемые ли-

нейными дифференциальными уравнениями, называются линейными ко-

лебаниями, а соответствующие колебательные системы — линейными

— 9 -

ш1.0

системами. Уравнение (1.1.1) имеет следующие решения[18]:

Ф-

ш1.0

7|\\\\\\\\\

1) 7 w 40 0 > 7d 4 , 7W 0 = 7? w 40 52 7 0+ 7d 52 0 - слабое затухание

4- 7в 4t 7 0 7d

q = e 4 0(ACos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t)); A=q 40 0;B= ───q 40;

4- 7в 4t 0 4- 7в 4t

q'= - 7d 0e 4 0(A Cos( 7W 0t) + B Sin( 7W 0t))+ e 4 0(A 7W 0Cos( 7W 0t) +B 7W 0Sin( 7W 0t))

7|\\\\\\\\

7/ 0 7d 52 4 - 7в 4t

q=q 40 7/ 0 1+ ──── e 7 0Cos( 7W 0t- 7f 40 0); (1.1.3)

7? 0 7W 52

где tg 7f 40 0 = ─── — сдвиг фаз;

7( 0 7d 52 0 7) 4- 7в 4t

I =q 40 7* 01 + 7 0──── 78 0 7W 0e 7 0Sin( 7W 0t) (1.1.4)

79 0 7W 52 0 70

Частный случай: R=0 и 7d 0=0 (гармонические колебания)

q =q 40 0Cos( 7w 40 0t) (1.1.5)

I =q 40 7w 40 0Sin( 7w 40 0t) (1.1.6)

2) Критический режим: 7 цw 40 0= 7d

1 R 52 0 4L

──── = ───── 5 ═════ 0> R 52 0 = ────

LC 4L 52 0 C

4- 7в 4t

q = q 40 0e 7 0( 7d 0t + 1) (1.1.7)

4- 7в 4t

I = q 40 0e 7 d 52 0t (1.1.8)

— 10 -

ш1.0

3) Сильное затухание:

q 52 7 ( 0 7 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)

q = ──── 7* 0( 7W 0 + 7d 0)e 7 0 7 0 + ( 7W 0 — 7d 0)e 7 0 7 0 78 0 (1.1.9)

2 7W 9 0 70

q 52 7w 40 52 0 7( 0(- 7d 0+ 7W 0)t 7 0(- 7d 0- 7W 0)t 7)

I = ─────── 7* 0e 7 0 7 0 + e 7 0 7 0 7 8 0 (1.1.10)

2 7W 0 79 0 70

ш2.0

На рис. 12 показаны зависимости q(t), I(t), W(t),причем на

последней хорошо заметно _плато ., соответствующие нулевому току,

при котором в системе не происходит потерь энергии.

ш2.0

— 11 -

1_ 0 11.2 Опыт Милликена поопределению заряда электрона.

Роберт Эндрюс Милликен (1868-1953) — американский физик(с

1924 года член-корреспондент АН СССР). Получил широкую извест-

ность за ряд опытов, направленных на установлениедискретности

электрического заряда и определение заряда электрона с высокой

точностью. За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевскойпремии.

Также известны его работы, направленные на экспериментальное

подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейнаи работы

по определению численного значения постоянной Планка.

Классические опыты Милликена направлены на прямоедоказатель-

ство дискретности электрического заряда и определение элементар-

ного электрического заряда.

Экспериментальный метод, примененный Милликеном,заключался

в непосредственном измерении заряда очень маленькихкапелек мас-

ла[14,19].Представим себе такую капельку между обкладками гори-

зонтально расположенного конденсатора(рис.2).Если к пластинам

конденсатора не приложено напряжение , то капля будет свободно

падать. Вследствие малых размеров капля будет падатьравномерно ,

так как ее вес уравновешивается силой сопротивлениявоздуха, оп-

ределяемой законом Стокса, и силой Архимеда.

Ф-

ш1.0

76 6 6

F 4st 0+G+F 4арх 0=0 (1.2.1)

F 4st 0=G-F 4арх 0 (1.2.2)

F 4st 0=6 7ph 0aV 4G 0, (1.2.3)

G-F 4aрх 0=3 7p 0a 53 0( 7r 4k 0- 7r 0)g/4, (1.2.4)

ш2.0

Ф+

где a-радиус капли, 7h 0-вязкость газа,V 4G 0-скорость свободного паде-

ния капли, 7r 4k 0-плотность капли, 7r 0-плотность газа.

— 12 -

Представим себе теперь, что к пластинамконденсатора прило-

жено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы

капелька под действием электрического поля поднималасьвверх. Ес-

ли через V 4Е 0обозначить скорость этогоподъема, то можно записать:

Ф-

Еq-mg=6 7ph 0aV 4E 0 (1.2.5)

Ф+

где Е — напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух

между пластинами конденсатора ( например, при помощирентгеновс-

ких лучей ) , можно изменить заряд капли. Если при этомвеличину

напряженности поля оставить прежней, то скорость каплиизменится

и станет равной V 4E1 0.

Продолжая эти рассуждения, можно получить формулудля раз-

ности зарядов (q-заряд до облучения,q 41 0-заряд после облучения):

Ф-

1.0

7p 0(2V 4G 7h 53 0) 51/2

7D 0q=q-q 41 0=9───────────────(V 4E 0-V 4E1 0) (1.2.6)

E(( 7r 4k 0- 7r 0)g) 51/2

ш2.0

Ф+

Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен

проводил с одной каплей много опытов. Измеряя скоростипадения и

подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона,который

по его данным оказался равным

e=4.805*10 5-10 0СГСЭ.

Схема установки Милликена приведена на рис. 3[11,19].

Проведем строгое решение задачи о движениизаряженной части-

цы в электрическом поле в вязкой среде. Данное движение (рис.2)

описывается следующим уравнением:

— 13 -

Ф-

ш1.0

dV 76 0 76 0 76 0 7 0 76

m ──── =F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 + F 4электр 0; (1.2.7)

dV 4x

m ───── = — F 4арх 0 + G + F 4сопр 0 — F 4электр 0 (1.2.8)

ш2.0

76 0 7 6

где F 4электр 0=qE - сила, действующая на заряженную частицу в

электрическом поле с напряженностью E, причем

E 4x 0= 7+ 0 U/d , 7 0U — напряжение между обкладками конденсатора

d — расстояние между обкладкамиконденсатора

F 4сопр- 0определяется по закону Стокса(1.2.3), G=mg — сила тяжести

После подстановки и преобразований получим:

ш1.0

dVx 6 7ph 0а Gx F 4арх 0 4 0qE 4x

───── + ──────Vx = ──── — ──────+ ───── (1.2.9)

dt m m m m

Введем обозначения

ш1.0

9 7h 0 7r 0 7 03qE 4x

7a 0=───────;(1.2.10) 7b 0=g(1- ────);(1.2.11) 7g 0=────────;(1.2.12)

2 7r 4k 0а 52 0 7r 4k 0 4 7r 4k 7p 0a 53

получим

dVx

─────+ 7a 0Vx = 7b 0 + 7g 0 (1.2.13)

4- 7a 0t 7b 0+ 7 g

Общее решение этого уравнения: V 4x 7 0= 7 0const e + 7 0─────── (1.2.14)

используя начальное условие

7b 0 + 7g 0 7b 0 + 7g

Vx│ =V 40 0 ; 4 0V 40 0= const + ─────── 7" 0 const = V 40 0 — ─────── (1.2.15)

│t=0 7 0 7a 0 7 0 7a

— 14 -

ш1.0

имеем

7{ 0 7b 0 + 7g 0 7} 0 4- 7a 0t 7b 0 + 7g

V 4x 0 4= 0 72 0 V 40 0 — ─────── 72 0 e 4 0+ ─────── (1.2.16)

7[ 0 7a 0 7 ] 0 7a

4x 0 4t

7! 0 7!

так как 72 4 0dx = 7 2 0 V 4x 0 dt (1.2.17) и x│ =0 получим

71 0 71 0 │t=0

5x 40 0 50

1 7( 0 7 b 0+ 7g 0 7) 4 0 4- 7a 4t 0 7( 0 7 b 0+ 7 g 0 7)

x = — ─── 7* 0V 40 7 0- 7 0─────── 78 0 e + 7 * 0─────── 78 0 t (1.2.18)

7a 9 0 7a 0 70 0 7 9 0 7 a 0 7 0

Для создания демонстрационной программы удобнееиспользовать

формулу не для x, а для 7D 0x ,

1 7{ 0 7b 0+ 7g 0 7}{ 0 4- 7a 4t 0 7} 0 7 b 0+ 7 g

7D 0x=x-x 40 0= ─── 72 0V 40 0- ─────── 722 0 1 — e 72 0+───────t (1.2.19)

7a 0 7[ 0 7 a 0 7 ][ 0 7] 0 7 a

ш2.0

При q 41 0=n 41 0e 76 g 41 0= 7a 0V 41x 0- 7a 0V 40x 0,а при q 42 0=n 42 0e 76g 42 0= 7a 0V 42x 0- 7a 0V 40x 0(1.2.20),

где V 40x 0-скорость падения капли до облучения и без напряже-

ния,V 41x 0-скорость падения капли до облучения при наличии по-

ля,V 42x 0-скорость капли после облучения приналичии поля. Разделив

(1.2.20) друг на друга получим:

1.0

7g 41 0 V 41x 0 — V 40x 0 q 41

─── 4 0= 4 0───────────= ──── (1.2.21)

7g 42 0 V 42x 0- V 40x 0 q 42

ш2.0

Определив из формулы (1.2.16) значения дляV 40x 0,V 41x 0,V 42x 0и подста-

вив их в (1.2.21) можно получить отношение q 41 0 к q 42 0и если оно

равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать , что оба

— 15 -

заряда кратны одному и тому же значению — элементарномуэлектри-

ческому заряду, который по современным данным равен:

e=1.6021892*10 5-19 0Кл.

ш2.0

— 16 -

1_ 0 11.3 0 1Скин эффектв цилиндрической геометрии.

Скин-эффект (от англ. skin-кожа) - это явлениезатухания

электромагнитных волн по мере их проникновения впроводящую сре-

ду. Переменное во времени электрическое поле 3 0и связанное с ним

магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены

большей частью в относительно тонком приповерхностномслое толщи-

ной 7 d 0, называемом 1 глубинойскин-слоя 0. Происхождение скин-эффекта

объясняется тем, что под действием внешнего переменногополя в

проводнике свободные электроны создают токи, поле которыхкомпен-

сирует внешние поле в объеме проводника. Скин-эффектпроявляется

у металлов, в плазме и в других средах с достаточнобольшой про-

водимостью[12,15].

Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s 0, цик-

лической частоты электромагнитного поля 7w 0, от состояния поверх-

ности. На малых частотах 7 d 0 велика, убываетс ростом частоты и для

металлов на частотах оптического диапазона оказываетсясравнимой

с длинной волны 7 l` 010 5-5 0 см.При еще больших частотах, превышающих

1плазменную частоту 0, в проводникахоказывается возможным распрост-

ранение электромагнитных волн. Их затухание определяется как

внутризонными, так и межзонными электронными переходами.

Теоретическое описание скин-эффекта сводится крешению кине-

тического уравнения для носителей заряда с цельюопределения свя-

зи тока с полем и последующему решению уравненийМаксвелла. Наи-

более просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет

место, когда 7 d 0 велика по сравнению сэффективной длиной 7 0 пробега

l электронов. Величина l определяется расстоянием, проходимым

— 17 -

электроном за время 7 t 0 между двумя актамирассеяния( 7t 0-время релак-

сации) либо за период поля 1/ 7w 0 взависимости от того, какая из

этих величин меньше. В общем случае:

l= ────────, (1.3.1)

7t 5-1 0-i 7w

где v-скорость электрона.

Известно 3 вида скин-эффекта: нормальный, аномальный и нели-

нейный.

В случае аномального скин-эффекта происходитрассмотрение си-

туации, когда l > 7 d 0; он наблюдается вСВЧ-диапазоне в чистых ме-

таллах при низких температурах.

При достаточно высоких значениях напряженностиэлектромагнит-

ного поля, когда параметры среды, напримерпроводимость 7 d 0, начи-

нают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е.

толщина скин-слоя 7 d 0 также начинает зависеть от интенсивности

электромагнитного поля.

Подробно рассмотрим распределение плотности тока посечению

проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный

ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вооб-

ще говоря , не только от формы проводника, но и отспособа воз-

буждения в нем тока, т.е. от характера внешнегопеременного маг-

нитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важныйслучай, ког-

да распределение тока можно считать независящим отспособа его

возбуждения. Это ток в тонком проводе, толщина которогомала по

сравнению с его длиной.

При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода

будем считать последний прямолинейным. При этомэлектрическое по-

- 18 -

ле параллельно оси провода, а вектор напряженностимагнитного по-

ля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода[12].

Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно

прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен.Действи-

тельно, в силу симметрии на поверхности провода векторнапряжен-

ности электрического поля зависит только от времени. Нопри таком

граничном условии уравнения

76 6

div E = 0 и rot E = 0 7 0 7 0 (1.3.2)

в пространстве вне провода имеет лишь решение E =const 7 0не зави-

сящие от пространственных координат во всемпространстве. Отсюда

следует, что магнитное поле вокруг провода будет такимже, каким

оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному

мгновенному значению переменного тока.[15]

Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R.Исполь-

зуя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической

системе координат:

ш1.0

76 0 │ 7 ( 0 4 7 ) ( )

76 0 7ч 0B 7ы 0 │ 76 2 01 7 0 7ч 0E 4z 7ч 0E 7f 4 726 2 ч 0E 4r 7 ч 0E 4z 726

rotE=-──── ; │ rotE= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0────+ 4 0──── 72 0e 7f 0+

7ч 0t │ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2 ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2

(1.3.3) │ 7 9 0 4 70 9 0

76 0 │

76 0 76 ч 0D │ 7 ( 0 7 )

rotH=j+────; │ 7 2 01 7 ч 0(rE 7f 0) 7 01 7 ч 0E 4z 7 26

7ч 0t 7я 0 │ 7 0 + 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.4)

(1.3.5) │ 7 2 0r 7ч 0r 7 0r 7 чf 2

Закон Ома │ 7 9 0 7 0

76 0 76 0 │

j= 7s 0E │ 7 ( 0 4 7 ) ( )

(1.3.6) │ 76 2 01 7 0 7ч 0H 4z 7ч 0H 7f 4 726 2 ч 0H 4r 7 ч 0H 4z 726

│ rotH= 72 0- 7 0──── 4 0- 4 ───── 72 0e 4r 0+ 72 0────+ 4 0──── 72 0e 7f 0+

Материальные урав-│ 7 2 0r 7 0 7чf 0 4 7ч 0z 4 72 2ч 0z 7 0 7 ч 0r 7 2

нения │ 7 9 0 4 70 9 0

— 19 -

ш1.0

76 6 0 7) 0 │ 7( 0 7 )

D= 7ee 40 0E 72 0 (1.4.7) │ 72 01 7 ч 0(rH 7f 0) 7 01 7 ч 0H 4z 7 26

76 0 76 0 72 0 │ 7 0+ 72 0- 7 0────── 7 0- 4 0- 7 0───── 72 0e 4z 0 (1.3.8)

B= 7mm 40 0H 70 0 │ 7 2 0r 7 ч 0r 7 0r 7 чf 2

79 0 7 0

76 0 7 6

76 ч 0H 76 0 76 ч 0E

rotE=- 7mm 40── 0 (1.3.9); rotH= 7s 0E+ 7ee 40── 0(1.3.10);

7ч 0t 7 0 7 ч 0t

7ч

Из симметрии задачи видно, что ──=0,тогда получим:

7чf

7ч 0E 7f ч 0H 4r 7 0 │ 7 ч 0H 7f 4 7 ч 0E 4r

— ─── =- 7mm 40 0─── (1.3.11) │ — ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (1.3.12)

7ч 0z 7 ч 0t 7 0 │ 7 ч 0z 7 4 7ч 0t

│

7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 │ 7 ч 0H 4z 0 7 ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f

─── — ───=- 7mm 40 0───(1.2.13) │ ─── — ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0───(1.3.14)

7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t │ 7 ч 0z 7ч 0r 7ч 0t

│

1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 0 │ 7 01 7ч 0(rH 7f 0) 7 0 7ч 0E 4z

— ──────=- 7mm 40 0─── (1.3.15) │ — ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0─── (1.3.16)

r 7ч 0r 7ч 0t │ 7 0r 7ч 0r 7 0 7ч 0t

Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2системы:

ш1.0

1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0 7) 0 │ 1 7ч 0(rE 7f 0) 7ч 0H 4z 7 )

— ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0───(а) 72 0 │ — ──────=- 7mm 40 0─── 7 2

r 7 0 7ч 0r 7 ч 0t 72 0 │ r 7ч 0r 7ч 0t 7 2

72 0 │ 7 2

7ч 0E 4r 0 7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0 72 0 │ 7ч 0H 4z 0 7ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2

─── — ───=- 7mm 40 0─── (б) 78 0(1)│ ─── — ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0─── 78 0(2)

7ч 0z 7ч 0r 4 7ч 0t 72 0 │ 7ч 0z 7ч 0r 7ч 0t 7 2

72 0 │ 7 2

7чHf 0 7 4 7ч 0Er 72 0 │ 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2

— ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0─── (в) 72 0 │ — ───=- 7mm 40 0─── 7 2

7ч 0z 7 0 7 4 7ч 0t 70 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t 7 0

│

С компонентамиE 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-│Скомпонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-

тема описывает скин-эффект. │тема описываетвихревые токи.

ш2.0

Будем рассматривать только первую систему,описывающую скин-

эффект.

Очевидно, что если в каком либо месте проводникаполе перио-

дически меняется во времени, то оно будет периодическименяться и

во всех остальных точках проводника. При отысканиипериодических

решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобнопользовать-

ся комплексной показательной функцией, а затем с помощьюизвест-

— 20 -

ной формулы Эйлера:

ш1.0

4i 7ф

e 4 = 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)

ш2.0

перейти к вещественной форме решения.

Кроме того отметим, что уравнения в системе (1)линейны и од-

нородны и следовательно для них выполняется принципсуперпозиции:

сумма произвольного числа решений уравнения сама являетсярешени-

ем того же уравнения.

Ищем решение системы (1) в виде:

ш1.0

i 7w 0t 7 ч )

E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2

i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 2 0 (1.3.18)

H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ┌ ч 2

i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2

E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0

Положим k 4z 0=0так , как мы ищем колебательное решения , а не

волновое. Кроме того считаем, что 7 s >e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.

Тогда:

│

ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 =>E 4r 0=0 (1.3.19) │

│

│ 7s 0 7 ч 0E 4z

7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ───────────── (1.3.22)

─────= i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │ i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r

7ч 0r │

│

7ч 0H 7f 0 1 │

─── + ─H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │

7ч 0r r

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z

────+ ─ ─── 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)

7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Рассмотрим 2 возможныхслучая:

1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)

— 21 -

ш1.0

┌ ┐

7ч 52 0E 4z 0 7 01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │ 7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z

──── + ─ ───= 0 => ─ ──│ r─── │ = 0=> r─── = const 41

7ч 0r 52 7 0r 7ч 0r r 7 ч 0r│ 7 0 7ч 0r │ 7 ч 0r

└ ┘

7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0const 41

─── 4 0= ────── => E 4z 0= 72 0 ──────dr (1.3.24)

7ч 0r 7к 0 r 7 1 0 r

E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0 (1.3.25)

ш2.0

Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечновозрастать => const 41 0=0,

следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит отпространственных коор-

динат вокруг проводника.

2) _ Внутри проводника

7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z

──── + ──── 4 0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.26)

7ч 0r 52 0 r 7ч 0r

Очевидны граничные условия:

ш1.0

E 4z 0│ =E 4z 0│ и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───

│r=R │r=R │r=R │r=R 2 7p 0R (1.3.27)

Таким образом мы получили уравнение:

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z

──── + ──── 4 0+ k 52 0E 4z 0 =0 (1.3.28)

7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

гдеk 52 0=-i 7mm 40 7ws

7ы 0 ┌ 1 ┐ 7ч 0E 4z

H 7f 0=│───── │ ─── (1.3.29)

└i 7mm 40 7w 0 ┘ 7ч 0r

ш2.0

Это хорошо известное уравнение Бесселя решениекоторого

записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана ( или

— 22 -

ш2.0

Вебера )[8,18]:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r) (1.3.30)

Однако N 40 0(x) 76$ 0приx 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это

решение и окончательно записать:

E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)

Или общее решение:

ш1.0

i 7w 0t

E(r,z,t)=AJ(kr)e (1.3.32)

7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

7? 0 2 7? 02 7 0 7d 0 7? 02

ш2.0

7d 0 — глубинапроникновения.

Как известно , расчет значений функции Бесселя комплексного

аргумента представляет собой достаточно сложнуювычислительную

задачу. Кроме того данное решение не обладает достаточной сте-

пенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида:

ш1.0

7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z

──── + ──── 4 0- i 7l 52 0E 4z 0= 0 (1.3.33)

7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r

7l 52 0= 7mm 40 7ws 0; 7 l 0=1/ 7d

ш2.0

имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:

— 23 -

ш2.0

E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)] (1.3.34)

Причем функцииker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мыдолжны отбросить по тем

же соображениям, что и функции Неймана в предыдущемрешении.

Это же легко подтвердить из следующих соображений:

ш0.9

7|\ 0 -i 7p 0/4

(1-i)/ 7? 02 7 0=e (1.3.35)

Тогда согласно [8] получим:

-i 7p 0/4

ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re ) (1.3.36)

ш2.0

Очевидно, что:ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.37)

bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)} (1.3.38)

Очевидно, что общее решениебудет иметь вид :

ш0.8

i 7w 0t

E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e (1.3.39)

ш1.0

Преобразуем последнее выражение :

E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=

┌ ┐

=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+

└ ┘

┌ ┐

+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=

└ ┘

┌ 7 |\\\\\\\\\\

=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7 0cos( 7w 0t+ 7f 0)+

└

7|\\\\\\\\\\ 0 ┐

+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)

┘

bei 40 0(r/ 7d 0)

где tg 7f 0=───────────

ber 40 0(r/ 7d 0)

7|\\\\\\\\\\

E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)}(1.3.41)

— 24-

ш2.0

Далее необходимо перейти к вещественной формерешения , так

как только такие решения имеют физический смысл. Как былопоказа-

но выше всякое комплексное решение эквивалентно двумвещественным

решениям.

ш1.0

7|\\\\\\\\\\

E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.42)

7|\\\\\\\\\\

E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.43)

7|\\\\

где 7 f 0 — определяется выше, а 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

ш2.0

Оба решения одинаковы так как от функции синусавсегда можно

перейти к косинусу путем изменения начала отсчетавремени.

Окончательно получим :

ш1.0

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐

│ │

│ E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.44) │

│ │

│ bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0 7|\\\\ 0 │

│ где 7 f 0= arctg───────────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn 0 │

│ ber 40 0(r/ 7d 0) │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

7n 0 — частота переменноготока

7m 0 — магнитная проницаемостьпроводника

7m 40 0=4 7p 0*10 5-7 0 Гн/м — магнитнаяпостоянная

7s 0 — проводимостьпроводника

Постоянную A можно определить зная полный ток влюбой момент

времени:

ш1.0 7

4R R

7! ! !

I(t)= 72 0jdS= 72s 0E 4z 02 7p 0rdr=2 7ps2 0E 4z 0(r,t)rdr (1.3.45)

71 1 1

50 0

— 25 -

ш1.0

7|\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Графики функцийber 40 0(x),bei 40 0(x), 7? 0((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+bei 40 0(r/ 7d 0) 52 0),

7f 0(x) в приложении(на рис. 4,5).

ш1.0

При высоких частотах.

x>>1

7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.46)

7|\\ |\ |\

ber(x)= 7? 02 7p 0x 7 0exp(x/ 7? 02)sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) (1.3.47)

Тогдаx=r/ 7d

┌ 7 |\ |\

E 4z 0(r,t)=A│(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)cos 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8)+

└

7|\ 0 7|\ 0 5┐

+(2 7p 0x) 5-1 0exp(2x/ 7? 02)sin 52 0((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 5│ 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.3.48)

5┘

7|\\ |\

7? 02 7p 0x 7 0sin((x/ 7? 02)- 7p 0/8) 7 |\

7f 0=arctg───────────────────────=arctg{tg((x/ 7? 02)- 7p 0/8)} (1.3.49)

7|\\ |\

7? 02 7p 0x 7 0cos((x/ 7? 02)- 7p 0/8)

7|\

7f 0=(x/ 7? 02)- 7p 0/8

┌──────────────────────────────────────────────────────────────┐

│E 4z 0(r,t)=A(2 7p 0r/ 7d 0) 5-1/2 0exp(r/ 7d 02 51/2 0)cos( 7w 0t+(r/ 7d 02 51/2 0)- 7p 0/8)(1.3.50)│

└──────────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

При малых частотах.

x 76 00 ber(x) 7~ 01; bei(x) 7~ 0x 52 0/4;tg 7f~ 0x 52 0/4 7~f

ТогдаE 4z 0(r,t)=A(1+x 54 0/16) 51/2 0cos( 7w 0t+x 52 0/4) (1.3.51)

ш2.0

- 26 -

1_ 1.4 Скин-эффект в плоской геометрии.

Цилиндрические функции табулированы, однако ихмашинный рас-

чет является достаточно длительной по времени задачей. Покажем ,

что плоской геометрии решения очень похожи на решения вцилиндри-

ческой геометрии, причем функции sin, exp, cos считаютсянамного

быстрее.

Рассмотрим достаточно тонкую очень длинную ленту, покоторой

течет ток (шина) (рис.6)

Ф-

ш1.0

│ 7 6 6 6

76 0 │ 4 0│e 4x 0 4 0e 4y 0 4 0e 4z 0 │ ┌ ┐ ┌ ┐

76 0 7ч 0B │ 76 0 │ │ 4 76 4 0│ 7ч 0E 4z 0 7ч 0E 4y 0│ 76 4 0│ 7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 0│

rotE=-── │ 7 0rotE=│ 7ч 0/ 7ч 0x 7 ч 0/ 7ч 0y 7 ч 0/ 7ч 0z│=e 4x│ 0───- ───│+e 4y│ 0─── — ───│+

7ч 0t │ │ │ 4 0│ 7ч 0y 7ч 0z │ 4 0│ 7ч 0z 7ч 0x │

(1.4.1) │ │ E 4x 0 E 4y 0 E 4z 0 │ └ ┘ └ ┘

76 0 │

76 0 76 0 7ч 0D │

rotH=j+── │ ┌ ┐

7ч 0t │ 76 4 0│ 7ч 0E 4y 0 7ч 0E 4x 0│

(1.4.2) │ +e 4z│ 0───- ───│ (1.4.3)

76 6 0 │ 4 0│ 7ч 0x 7ч 0y │

j= 7s 0E 7о 0 │ └ ┘

76 4 76 0 ├────────────────────────────────────────────────────

D= 7ee 40 0E │ 7 6 6 0 76 6 6

76 4 76 0 │rotE=- 7mm 40 7ч 0H/ 7ч 0t (1.4.4); rotH= 7s 0E+ 7ee 40 7ч 0E/ 7ч 0t (1.4.5)

B= 7mm 40 0H │

Из симметрии задачи очевидно, что 7ч 0/ 7ч 0y=0

7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x

-─── =- 7mm 40 0─── (1.4.6) 4│ 0 -─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.7)

7ч 0z 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

4│

7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 0 4│ 0 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y

4─── 0 — ───=- 7mm 40 0─── (1.4.8) 4│ 0 ───- ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.9)

7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

4│

7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z 0 4│ 0 7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z

─── =- 7mm 40 0─── (1.4.10) 4│ 0 ─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (1.4.11)

7ч 0x 7 ч 0t 4 0 4│ 0 7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t

Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2системы:

7) 0 │

7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4z 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4x

─── = 7s 0E 4z 0+ 4 7ee 40 0─── (a) 78 0 (a)│ -───=- 7mm 40 0───

7ч 0x 7 0 7 4 7 0 4 7ч 0t 7 0 0 │ 7ч 0z 7 ч 0t

— 27 -

7ч 0E 4x 0 7ч 0E 4z 7 ч 0H 4y 7 ) 0 │ 7ч 0H 4x 0 7ч 0H 4z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4y

4─── 0 — ───=- 7mm 40 0─── (b) 72 0 │ ─── — ─── = 7s 0E 4y 0+ 4 7ee 40 0───

7ч 0z 4 0 7ч 0x 7 0 7 ч 0t 7 0│ │ 7ч 0z 7ч 0x 7 0 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t

78 0 (a)│

7ч 0H 4y 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0E 4x 7 2 0 │ 7ч 0E 4y 7 ч 0H 4z

-─── = 7s 0E 4x 0+ 4 7ee 40 0─── (c)│ │ ─── =- 7mm 40 0───

7ч 0z 7 0 7 4 7 4 0 7ч 0t 7 2 0 │ 7ч 0x 7 ч 0t

70 0 │

────────────────────────────────┼────────────────────────────────

С компонентамиE 4z 0,H 4y 0,E 4x 0, эта │ Скомпонентами H 4z 0,E 4y 0,H 4x 0, эта

система описывает скин-эффект │ система описываетвихревые токи

────────────────────────────────┴────────────────────────────────

Занимаемся только системой (a) и ищем решения в виде:

ш1.0

i 7w 0t 7 ч 2

E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w 2

i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7 8 0 (1.4.12)

H 4y 0=H 4y 0(r)e 7 ┌ ч 2

i 7w 0t => ──=-ik 4z 7 2

E 4x 0=E 4x 0(r)e 7 ч 0z 7 2

7ч 0H 4y

───= 7s 0E 4z 0 (1.4.13)

7ч 0x

7ч 0E 4z 0 7ы

───= i 7mm 40 7w 0H 4y 0 (1.4.14)

7ч 0x

E 4x 0= 0 (1.4.15)

7s 0 7 ч 0E 4z

H 4y 0= ─────── 7 0─── (1.4.16)

i 7mm 40 7ws ч 0x

7ч 52 0E 4z

────- i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.17)

7ч 0x 52

Таким образом имеем уравнения:

Внутри проводника │ Снаружипроводника ( 7s 0=0)

──────────────────────────────────┼──────────────────────────────

7ч 52 0E 4z 0 │ 7ч 52 0E 4z

──── — i 7mm 40 7ws 0E 4z 0=0 (1.4.18) │ ────= 0 (1.4.19)

7ч 0x 52 0 │ 7ч 0x 52

│

Очевидны граничные условия: │ Решение:

│ E 4z 0=const 41 0x+const 42 0 (1.4.22)

E 4z 0│ = E 4z 0│ (1.4.20) │ Так как поле не может бес-

│r=R │r=R │ конечно возрастать то:

4внутри 5 4снаружи 0 │ const 41 0=0

│ Поле внепроводника пос-

— 28 -

ш1.0

H 4y 0│ = H 4y 0│ (1.4.21) │ тоянно, не зависит от

│r=R │r=R │ пространственных координат

4внутри снаружи │

│

По теореме о циркуляции легко │ E 4z 0=const 42

получить: 5│

76 0 76 0 5│ 0 7ee 40 0 1 7 ч 0E 4z

7# 0Hdl=I (1.4.23) 5│ 0 H 4y 0= ─── ─ 7 0─── 7── 0 (1.4.24)

5│ 0 7mm 40 7 s ч 0x

5│ 0 5└ 0───┘

I 5* 0 5│ 0 5неопределенность

7H 4y 02l=I 5* 0l =>H 4y 0=──── (1.4.25) 5│ 0 Магнитное поле такое же ,

2 5│ 0 как оно было бы вокруг про-

5│ 0 вода с постоянным током ,

I 5* 0 — линейная плотность тока 5│ 0 равным мгновенному значению

5│ 0 переменного тока.

ш1.0

Таким образом имеем уравнение:

7ч 52 0E 4z

──── — k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)

7ч 0x 52

где k 52 0=i 7mm 40 7ws

Решение этого уравнения хорошо известно[18]:

E(x) =Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)

7|\ 0 1-i 7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0 7|\\\\

т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws

7|\ |\ |\

7? 0 2 7? 02 7 0 7d 0 7? 02

из геометрии задачи видно, чтоE 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-

тельно решение уравнения можно записать в виде:

E(x) =A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)

Тогда общее решение можно записать в виде (переобозначив не-

которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y, а 7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):

4i 7ф

E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e =A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*

*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=

┌

=A│{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+

└

┐

+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}│=

┘

A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+

— 29 -

+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)} (1.4.29)

ш1.0

(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5 0e 5y 0-e 5-y

где tg 7f 0=────────────── 5 0= 5 0────────tgy

(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5 0e 5y 0+e 5-y

Тогда вправе переписать:

┌──────────────────────────────────────────────── 5─ 0────────┐

│ │

│ E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)} (1.4.30) │

│ │

└─────────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

Далее следует перейти к вещественнойформе решения , так как

только такие решения имеют физический смысл. Приведенное выше

комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Обарешения

одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать вкосинус ,

путем изменения начала отсчета времени. По этим жесоображениям

путем изменения начала системы отсчета всегда можноположить z=0.

Окончательно получим:

ш1.0

┌──────────────────────────────────────────────────────────┐

│ E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.31) │

│ │

│ e 5y 0-e 5-y 0 x 7|\\\\ 0 │

│ 7f 0=arctg 5 0────────tgy; y=─────── ; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0; 7w 0=2 7pn 0 │

│ e 5y 0+e 5-y 0 2 51/2 7d 0 │

└──────────────────────────────────────────────────────────┘

Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.

Интересен предел высоких частот: 7w6$ 0; 7d6$ 0;y 76$

┌───────────────────────────────────┐

│ │

│ E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) │

│ │

└───────────────────────────────────┘

y= ─────── (1.4.33)

2 51/2 7d

- 30 -

Предел низких частот: 7w6 00; 7d6 00;y 76 00

ш1.0

┌─────────────────────────────────────────────────────┐

│ E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0) (1.4.34) │

│ │

│ 1+y-1+y │

│ tg 7f 0=───────y=y 52 0 │

│ 1+y+1-y │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.35) │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0)(1.4.36) │

│ │

│ E 4z 0(r,t)=A2│cosy│cos( 7w 0t+y 52 0) (1.4.37) │

└─────────────────────────────────────────────────────┘

ш2.0

Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует

дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошозаметна

при сравнении рисунков 10 и 11.

Очевидно, что существует приповерхностный слой сплотностью

тока противоположно направленной поверхностному току.

Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графикив прог-

раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) иskin_1.exe (без

учета).

ш2.0

— 31 -

_ 2Глава 2

1" Математические методы исследованияпроцессов "

1_ 2.1 Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее ОДУ) широко

используются для математического моделирования процессови явле-

ний в различных областях науки и техники.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неиз-

вестных величин входят функция y(x) и ее первые nпроизводных по

аргументу x

7f 0(x,y,y',...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)

Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1) эквивалентно

системе n уравнений первого порядка

7f 4k 0(x,y 41 0,y' 41 0,y 42 0,y' 42 0,...,y 4n 0,y' 4n 0)=0, (2.1.2)

где k=1,2,...,n.

Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система(2.1.2) имеют

бесконечное множество решений. Единственные решения выделяют с

помощью дополнительных условий, которым должныудовлетворять ис-

комые решения. В зависимости от вида таких условийрассматривают-

ся три типа задач, для которых доказано существованиеи единс-

твенность решений.

Первый тип — это задачи Коши, или задачи с начальнымиуслови-

— 32 -

ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в некото-

рой точке x 40 0 должны быть заданы начальныеусловия, т.е. значения

функции y(x) и ее производных

y(x 40 0)=y 40 0;y'(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0. (2.1.3)

Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются ввиде

y 41 0(x 40 0)=y 410 0;y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0. (2.1.4)

Ко второму типу задач относятся так называемыеграничные, или

краевые задачи, в которых дополнительные условиязадаются в виде

функциональных соотношений между искомыми решениями. Количество

условий должно совпадать с порядком n уравнения илисистемы. Если

решение задачи определяется в интервалеx 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-

вия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Минимальный порядок ОДУ, для которого может бытьсформулирована

граничная задача, равен двум.

Третий тип задач для ОДУ — это задачи насобственные значе-

ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомыхфункций y(x)

и их производных в уравнения входят дополнительно mнеизвестных

параметров 7l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0, которые называются собственными зна-

чениями. Для единственности решения на интервале[x 40 0,x 4k 0] необхо-

димо задать n + m граничных условий. В качестве примера можно

назвать задачи определения собственных частот,коэффициентов дис-

сипации, структуры электромагнитных полей и механическихнапряже-

ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовыхкоэффици-

ентов, коэффициентов затухания, распределениянапряженностей по-

— 33 -

лей волновых процессов и т.д.

К численному решению ОДУ приходится обращаться, когдане уда-

ется построить аналитическое решение задачи черезизвестные функ-

ции. Хотя для некоторых задач численные методыоказываются более

эффективными даже при наличии аналитических решений [10].

Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типазадач.

ш2.0

— 34 -

1_ 2.2 0 1Задача Коши. (МетодРунге-Кутту 2-го порядка).

Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в каноническом

виде, в так называемой форме Коши

ш0.9

dy 4k 0(x)

────────=f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0), (2.2.1)

ш2.0

где k=1,2,...,n.

При формулировке задачи Коши система (2.2.1)дополняется на-

чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотримзадачу Коши

для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные алгоритмы

обобщим на систему n уравнений

ш0.9

dy(x)

───────= f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)

ш2.0

В окрестности точки x 40 0 функцию y(x)разложим р ряд Тейлора

ш0.9

(x-x 40 0) 52

y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y'(x 40 0)+─────────y''(x 40 0)+..., (2.2.3)

ш2.0

который можно применить для приближенного определенияискомой

функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малыхзначениях h можно ограни-

чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда

y(x 40 0+h)=y 40 0+hy'(x 40 0)+O(h 52 0), (2.2.4)

где O(h 52 0)-бесконечно малая величинапорядка h 52 0. Но такой метод

дает очень существенные погрешности.

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ,исполь-

зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора(2.2.3), необ-

— 35 -

ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однакопри этом

возникает необходимость аппроксимации производных отправых час-

тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается втом, что

производные аппроксимируются через значения функцииf(x,y) в точ-

ках на интервале [x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-

большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимостиот стар-

шей степени h, с которой учитываются члены ряда,построены вычис-

лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности[10].

Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этогопорядка

точности полечено однопараметрическое семейство схемвида:

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0), (2.2.5)

где 0 7 0< 7 a , 0 1 — свободныйпараметр,

f=f(x,y), 7 g 0=(2 7a 0) 5-1 0.

Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й порядок, гло-

бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме,равномер-

но сходится к точному решению с погрешностьюO(h 52 0).

Для параметра 7 a 0 наиболее частоиспользуют значения 7 a 0=0,5 и

7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5)приобретает вид

y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2, (2.2.6)

геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7

Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точкеx 40 0 + h по

формуле Эйлера y 4Э 0= 4 0y 40 0+ 4 0hf 40 0. Затем определяется наклон интег-

— 36 -

ральной кривой в найденной точкеf(x 40 0+h,y 4Э 0), и после нахождения

среднего наклона на шаге h находится уточненное значение

y 4RK 0=y(x 40 0+h). Схемы подобного типа называют «прогноз-коррекция»,

что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого

порядка, а затем уточнение с учетом полученной информациио пове-

дении интегральной кривой [10].

С целью экономии памяти при программировании алгоритма

(2.2.6), обобщенного на системы ОДУ, изменим его записьс учетом

того, что y 40 0=y 4Э 0-hf 40

y 4k 0(x 40 0+h)=y 4kЭ 0+h[f 4k0 0-f 4k 0(x 40 0+h,y 4kЭ 0)]/2, (2.2.7)

где k — номер решения для системы ОДУ.

Во втором случае при 7a 0=1 от формулы(2.2.5) переходим к схеме

y(x 40 0+h)=y 40 0+hf(x 40 0+h/2,y 40 0+hf 40 0/2), (2.2.8)

геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь припрогно-

зе определяется методом Эйлера решение в точкеx 40 0+h/2

y 41/2 0=y 40 0+hf 40 0/2, (2.2.9)

а после вычисления наклона касательной к интегральнойкривой в

средней точке решение корректируется по этому наклону.

ш2.0

— 37 -

1_ 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Для построения вычислительных схем методовРунге-Кутты чет-

вертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y(x)

учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертойвключи-

тельно. после аппроксимации правой части ОДУ f(x,y)получено се-

мейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которыхнаиболее

используемой в вычислительной практике являетсяследующая:

y(x 40 0+h)=y 40 0+(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0)/6+O(h 55 0), (2.3.1)

где

k 41 0=hf(x 40 0,y 40 0),

k 42 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 41 0/2),

k 43 0=hf(x 40 0+h/2,y 40 0+k 42 0/2),

k 44 0=hf(x 40 0+h,y 40 0+k 43 0).

Схема (2,3,1) на каждом шаге h требует вычисления правойчас-

ти ОДУ в 4-х точках. Локальная погрешность схемы имеет5-й поря-

док, глобальная — 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ,записан-

ных в форме Коши. Для удобства программной реализации,особенно в

случае систем ОДУ, формулы (2,3,1) рекомендуетсяпреобразовать к

виду:

y 4i 0(x 40 0+h)=y 4i0 0+(q 4i1 0+2q 4i2 0+2q 4i3 0+q 4i4 0)/3+O(h 55 0), (2.3.2)

где

— 38 -

q 4i1 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0,y 4i0 0), h 42 0=h/2

q 4i2 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i1 0),

q 4i3 0=hf 4i 0(x 40 0+h/2,y 4i0 0+q 4i2 0),

q 4i4 0=h 42 0f 4i 0(x 40 0+h,y 4i0 0+q 4i3 0),

i=1,2,...,n — номер уравнения в системе ОДУ из nуравнений.

В приводимом тексте программ рассматривается решениеуравне-

ния Ван дер Поля:

y''+p(y 52 0-1)y'+y=0, (2.3.3)

которое является математической моделью автоколебательныхмехани-

ческих и электронных схем. Параметр p в уравнении (2,3,3)опреде-

ляет нелинейные свойства системы. Для малых (p<< 1) и больших

(p >> 1) значения параметра p в теории колебанийразвиты прибли-

женные методы аналитического решения уравнения Ван дерПоля. Для

промежуточных значений параметра p уравнениеприходится решать

численными методами[10].

Для приведения уравнения (2,3,3) к форме Коши введемобозна-

чения:y 41 0(x)=y(x),y 42 0(x)=y'(x), тогда получим системууравнений:

ш1.0

72 0y' 41 0(x)=y 42 0(x),

7* 0 (2.3.4)

72 0y' 42 0(x)=p(1-y 52 41 0(x))y 42 0(x)-y 41 0(x).

ш2.0

Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом

Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можнопровести по

формуле:

ш1.0

y 4h 0(x)-y 4kh 0(x)

R 40 0=───────────── 5─ 0 , (2.3.5)

k 5p 0-1

— 39 -

которая при кратности изменения шага k=2 принимает вид:

R 40 0=[y 4h 0(x)-y 42h 0(x)]/15 (2.3.6)

ш2.0

Однако эта формула требует значительных затрат временидля пов-

торного расчета.

Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.

PROGRAM RUNGE-KYTTE_4

TYPE VEC=ARRAY [1..8] OF REAL;

VAR P,X,X9,H:REAL;

Y:VEC;

CH:CHAR;

{-----ПРОИЗВОДНЫЕ-----}

PROCEDURE RP(X:REAL;VAR Y,R:VEC);

BEGIN

F[1]:=Y[2];

F[2]:=P*(1.0-SQR(Y[1]))*Y[2]-Y[1];

END;

{-----МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА-----}

PROCEDURE RK4(N:INTEGER; X,H:REAL; VAR Y:VEC);

VAR I,J:INTEGER;

H1,H2,Q:REAL;

Y0,Y1,F:VEC;

BEGIN

H1:=0.0;

H2:=H/2;

— 40 -

FOR I:=1 TO N DO

BEGIN

Y0[I]:=Y[I];

Y1[I]:=Y[I];

END;

FOR J:=1 TO 4 DO

BEGIN

RP(X+H1,Y,F);

IF J=3 THEN H1:=H ELSE H1:=H2;

FOR I:= TO N DO

BEGIN

Q:=H1*F[I];

Y[I]:=Y0[I]+Q;

IF J=2 THEN Q:=2+Q;

Y1[I]:=Y1[I]+Q/3.0;

END;

FOR I:=1 TO N DO Y[I]:=Y1[I];

END;

{--------------------}

BEGIN

REPET

WRITE('P,X,X9,H,Y[1],Y[2]?');

READLN(P,X,X9,H,Y[1],Y[2]);

WHILE (X<X9)=(H>0.0) DO

BEGIN

RP4(2,X,H,Y);

X:+X+H;

— 41 -

WRITELN(X,' ',Y[1],' ',Y[2]);

END;

WRITE('Еще разок ?(Y/N)');

READLN(CH);

UNTIL (CH='Y')OR(CH='y');

END.

ш2.0

— 42 -

1_ 2.4 0 1Краткие сведения офункциях 0 1Бесселя.

Цилиндрические функции (бесселевы функции) - решенияZ 7т 0 диф-

ференциального уравнения Бесселя:

ш1.0

d 52 0Z dZ

z 52 0 ─────+ z ──── +(z 52 0- 7n 52 0)Z=0 (2.4.1)

dz 52 0 dz

ш2.0

где 7 n 0 — произвольное действительное иликомплексное число.

Если 7 n 0 не является целым числом, тообщее решение уравнения

(2.4.1) имеет вид:

Z 7т 0= 7 0c 41 0J 7т 0(z) 7 0+ 7 0c 42 0J 4- 7т 0(z), (2.4.2)

где с 41 0, с 42 0 — постоянные, аJ 7т 0 и J 4- 7т 0 — так называемые цилиндричес-

кие функции 1-го рода, или функции Бесселя. Для нихсправедливо

разложение:

ш1.0

7$ 4 m 7 т 4+2m

7░▒ 0 (-1) 5 0(0,5z)

J(z)= 7 ▓ 0 ─────────────────, (│arg z│ < 7p 0) (2.4.3)

7│┤ 0 7█ 0Г(m+1)Г(m+ 7n 0+1)

5m=0

7т

Ряд в правой части для z J 7т 0(z) сходитсяабсолютно и равномерно

ш2.0

при всех │z│ 7, 0R, │ 7n 0│ 7, 0N, где R и N - произвольные положительные

числа. Функции J 7т 0(z) иJ 4- 7т 0(z) — аналитические, с особыми точками

z=0 и z= 7$ 0; производные функцийJ 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) удовлетворяют сле-

дующему тождеству:

ш1.0

2sin 7np

z[J 7т 0(z)J' 4- 7т 0(z)-J' 7т 0(z)J 4- 7т 0(z)]= — ────────. (2.4.4)

ш2.0

— 43 -

Если же 7 n 0 — целое, тоJ 7т 0(z) и J 4- 7т 0(z) линейно зависимы, и их

линейная комбинация уже не является общим решением уравнения

(2.4.1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями1-го рода,

вводят цилиндрические функции 2-го родаN 7n 0(z) (или Неймана функ-

ции, функции Вебера):

ш1.0

N 7т 0(z)=───────[J 7т 0(z)cos 7np 0-J 4- 7т 0(z)], (2.4.5)

sin 7np

ш2.0

(другое обозначение Y 7т 0(z)). При помощи этихфункций общее решение

уравнения (2.4.1) может быть записано в виде:

Z 7т 0=c 41 0J 7т 0(z)+c 42 0N 7т 0(z).

Важны для приложения и другие решения уравнения(2.4.1) — ци-

линдрические функции 3-го рода (или Ганкеля функции). Ихобозна-

чают через H 7т 5(1) 0(z) и H 7т 5(2) 0(z) и, по определению, полагают:

ш1.0

1 4 -i 7тз

H 7т 5(1) 0(z)=J 7т 0(z)+iH 7т 0(z)=────────[J 4- 7т 0(z)-J 7т 0(z)e ], (2.4.6)

isin 7np

1 4 -i 7тз

H 7т 5(2) 0(z)=J 7т 0(z)-iH 7т 0(z)=────────[J 7т 0(z)e -J 4- 7т 0(z)]. (2.4.7)

isin 7np

ш1.0

Справедливы тождества:

2 7 2

z[J 7т 0(z)N' 7т 0(z)-J' 7т 0(z)N 7т 0(z)]= ───. 7 2

7p 2

78 0 (2.4.8)

4i 7 2

z[H 7т 5(1) 0(z)H 7т 5(2) 0'(z)-H 7т 5(1) 0'(z)H 7т 5(2) 0(z)]=- ──── 7 2

7p 2

— 44 -

ш1.0

и соотношения:

J(z) = ─[H 7т 5(1) 0(z)+H 7т 5(2) 0(z)], (2.4.9)

H 7т 0(z)= ────[H 7т 5(1) 0(z)-H 7т 5(2) 0(z)]. (2.4.10)

ш2.0

Для действительных z=x и 7 n 0 функцииГанкеля являются комплекс-

но сопряженными решениями уравнения (2.4.1). При этомфункции

J 7т 0(z) дают действительную часть, а функцииN 7т 0(x) — мнимую часть

функций Ганкеля.

Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют

рекуррентным формулам:

ш1.0

2 7n 2

Z 7т 4-1 0(z)+Z 7т 4+1 0(z)=────Z 7т 0(z), 7 2

z 7 8 0 (2.4.11)

Z 7т 4-1 0(z)-Z 7т 4+1 0(z)=2Z' 7т 0(z). 7 2

ш2.0

Каждая пара функций

J 7т 0(z),J 4- 7т 0(z); J 7т 0(z),Y 7т 0(z); H 7т 5(1) 0(z),H 7т 5(2) 0(z)

образует (при целом 7n 0) фундаментальнуюсистему решений уравнения

(2.4.1).

Модифицированными цилиндрическими функциями называются ци-

линдрические функции мнимого аргумента:

— 45 -

ш1.0

7( 0 4-i 7тз 4/2 7 0 4i 7з 4/2

72 0 e 7 0J 7т 0(e z), 7 0- 7p 0 < argz 7, 0 7p 0/2 ,

I 7т 0(z) = 7* 0 (2.4.12)

72 0 4-3i 7тз 4/2 7 0 4-3i 7з 4/2

72 0 e 7 4 7 0J 7т 0(e 4 0 z), 7 p 0/2 < argz 7, 0 7p 0,

и функции Макдональда:

4i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2 0 4-i 7зт 4/2 7 4 7 4-i 7з 4/2

K 7т 0(z)=(1/2)i 7p 0e 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z)=-(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(2) 7т 0(e 4 0z)=

4-i 7зт 4/2 7 4 7 4i 7з 4/2

=(1/2)i 7p 0e 7 4 7 0H 5(1) 7т 0(e 4 0z). (2.4.13)

Эти функции являются решениями дифференциальногоуравнения

d 52 0Z dZ

z 52 0 ─────+ z ──── — (z 52 0+ 7n 52 0)Z=0 (2.4.14)

dz 52 0 dZ

и удовлетворяют рекуррентным формулам[8,9]

2 7n 0 72

I 7т 4-1 0(z)+I 7т 4+1 0(z)= ────I 7т 0(z), 7 2

z 7 0 78 0 (2.4.14)

2 7n 0 72

K 7т 4-1 0(z)-K 7т 4+1 0(z)=-────K 7т 0(z). 72

z 7 0 70

K 4- 7т 0(z)=K 7т 0(z). (2.4.15)

ш2.0

— 46 -

1_ 2.5 Краткие сведения о функциях Кельвина.

Функции Кельвина (или функции Томпсона) ber(z) иbei(z) -

определяются следующими соотношениями:

ш1.0

43i 7з 4/4

ber 7т 0(z)+bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze ) (2.4.16)

4-3i 7з 4/4

ber 7т 0(z)-bei 7т 0(z)=J 7т 0(ze 7 0 ) (2.4.17)

ш2.0 7

где J 7т 0 — вышеописанная функция Бесселя. При 7 n 0=0 индекс у знака

функции опускается. Функции Кельвина составляютфундаментальную

систему решений уравнения:

z 52 0y''+zy'-(iz 52 0+ 7n 52 0)y=0, (2,4,18)

переходящего при z=x(i 51/2 0) в уравнениеБесселя.

Функции Кельвина представляются в виде:

ш1.0

7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r 7▌█

ber(z)= 7 ▓ 4 0───────────── 5, 0 (2.4.19)

7╞│┤ 4 02 54r 0[(2r)!] 52

4r=0

7░▒ 4 5 0(-1) 5r 0z 54r+2 7▌█

bei(z)= 7 ▓ 4 0────────────────. (2.4.20)

7╞│┤ 4 02 54r+2 0[(2r+1)!] 52

4r=0

Асимптотические представления[8,9]:

— 47 -

ш1.0

7ф 4(z)

ber(z)=─────── 4── 0─cos 7b 0(z), (2.4.21)

(2 7p 0z) 51/2

7ф 4(z)

bei(z)=─────── 4── 0─sin 7b 0(z), (2.4.22)

(2 7p 0z) 51/2

где

z 1 5 025 13

7a 0(z) 7` 0 ────── 5 0+ ──────── 5 0- ─────────── 5 0- ───── — ... (2.4.23)

(2) 51/2 0 8z(2) 51/2 0 384z 52 0(2) 51/2 0 128z 52

z 7p 0 1 5 01 5 0 25

7b 0(z) 7` 0 ────── 5 0- ─ + ──────── 5 0- ──── — ─────────── 5 0-… (2.4.24)

(2) 51/2 0 8 8z(2) 51/2 0 16z 52 0 384z 52 0(2) 51/2

ш2.0

Графики функций Кельвина представлены на рисунках4,5.

ш2.0

- 48 -

_ 2Глава 3

_ 1Использование ЭВМ в учебномпроцессе.

1_ 3.1 Роль ЭВМ в обучении физики.

В ходе поступательного развития методики преподаванияфизики

совершенствуются методы обучения и технология педагогического

труда, улучшается и обогащается техническая оснащенностьучебного

процесса. От примитивного рисунка на песке доиспользования ЭВМ,

позволяющих показать в динамике практически любойфизический про-

цесс и проверить знания учащихся — вот путь эволюциитехнических

средств обучения. Дальнейший прогресс в преподаваниифизики, на

мой взгляд, будет тесно связан с широким использованием вучебном

процессе мощных современных ПЭВМ и компьютерных сетей локального

и глобального масштаба. Это, в скором будущем, позволитисключить

использование такой громоздкой техники как кино, эпи-, диа- и

графопроекция, обучающие и контролирующие устройства. Ненадо ду-

мать однако, что ЭВМ вытеснит «живой» эксперимент, позволяющий

ученику соприкоснуться с явлением один на один. Речь идето моде-

лировании тех опытов, постановка которых очень громоздкаили не-

возможна вообще. Эти «мыслящие» машины должныстать в руках учи-

теля орудием более эффективной передачи знанийподрастающим поко-

лениям и усиления воспитательного влияния на них.(рис.9,10,11)

Однако неправильно считать ЭВМ всесильными. Их применение

всегда должно определятся спецификой изучаемой темы ивозмож-

ностью выразительно передать с их помощью главные особенности

— 49 -

изучаемого материала. Так, нельзя изучать физику толькосидя за

терминалом ЭВМ. Основой обучения физики должно быть непосредс-

твенное (специально организованное педагогом) восприятиеученика-

ми изучаемых явлений. Учитель физики должен знать дидактические

возможности применения ЭВМ и в совершенстве владетьприемами их

использования.

Широкое применение ЭВМ дает возможность на всехэтапах обуче-

ния:

1) повысить эффективность преподавания путем налаживаниясис-

тематического (пооперационного) контроля знаний учащихся,индиви-

дуализировать усвоение знаний в условиях классно-урочнойсистемы,

т.е. реализовать разноуровневость в обучении;

2) освободить учителя от монотонной техническойработы, с тем

чтобы он мог больше времени уделять творческойдеятельности.

3) развивать у учеников методы самостоятельнойработы. Кроме

того, позволяет:

а) в ряде случаев дать учащимся более полную иточную инфор-

мацию об изучаемом явлении; с помощью компьютерноймультипликации

(или компьютерного видео), например, показать тела всостоянии

невесомости, выход человека в открытый космос, доменнуюструктуру

ненамагниченного и намагниченного ферромагнетика, быстротечные

микропроцессы (например процессы в RLC-цепочке, скин-эффект) и

т.п.;

б) повысить наглядность, создать представления о механизме

сложных явлений и тем самым облегчить учащимся ихпонимание; так

средствами компьютерной мультипликации даются модельныепредстав-

ления об электрическом токе в проводниках разного рода,явлениях,

происходящих в атомных ядрах, о взаимодействииэлементарных час-

— 50 -

тиц и т.д.

в) ознакомить учащихся с характером быстро имедленно проте-

кающих процессов, а также невидимых явлений;

г) познакомить учащихся с фундаментальнымифизическими экспе-

риментами, постановка которых в классе затруднена илиневозмож-

на,- опытами Штерна, Резерфорда, Милликена и Иоффе,Стюарта, Ка-

вендиша и т.п.;

д) более успешно решать задачи политехнического образования,

поскольку компьютерная анимация позволит датьпредставление о

конструкции машин и механизмов и о физических принципахих рабо-

ты, а также показать переход от принципиальной схемытого или

иного технического устройства к её конкретному конструктивному

решению (например видеофрагменты по темам:«Машиныпеременного то-

ка»,«Радиолокация» и т.д.);

е) проводить контроль знаний учащихся учитывая ихиндивиду-

альные способности (т.е. осуществлять разноуровневый подход к

контролю знаний учащихся);

ж) усилить воспитательное воздействие на учащихся; с этой

целью можно использовать видеофрагменты об историинаучных откры-

тий и изобретений;

ш2.0

— 51 -

1_ 3.2 Методы использования ЭВМ в обучении.

Компьютер может использоваться в обучении как:

1) _Справочное средство.

Т.е. использование ЭВМ как банк данных, содержащийразличного

рода справочную информацию. Это могут быть различныетаблицы,

чертежи, схемы, тексты и видеослайды т.д. Если терминалподключен

к сети, то можно получить информацию которая хранитсяна других

терминалах или сетевом сервере, а имея модем можнополучить дос-

туп к информации хранящейся даже в другой стране илисвязаться с

преподавателем и получить от него нужную информацию.

Видеослайды будут прекрасным дополнением кобъяснению учите-

ля, а также помогут учащимся осознать материал.

2) _Информационное средство.

ЭВМ можно использовать как хранилище видео информации. Это

могут быть учебные целостные видеофильмы, фрагментарные видео-

фильмы, видеофрагменты (видеоролики).

а) Целостный видеофильм — это своеобразнаявидеолекция, в

которой раскрывается весь материал темы. Однако практикапоказы-

вает, что целесообразно делать их фрагментарными иприменять как

обзорные.

б) Фрагментарный видеофильм состоит из несколькихчастей,

каждая из которых разбита на фрагменты.

На уроке можно использовать или только нужныйфрагмент,

или сочетание нескольких. Весь фильм целесообразно использовать

при обобщении или повторении.

в) Видеофрагмент - это очень короткий (4-5 мин. показа)

— 52 -

учебный фильм, посвященный определенному небольшомувопросу; он

рассчитан на органическое включение его в ход урока.Присущие ему

автономность и относительная отрывочность позволяютучителю в со-

ответствии с логикой учебно-воспитательного процессаосуществлять

просмотр видеофрагмента тогда, когда это может принести макси-

мальный педагогический эффект.

3) _Учебное средство.

а) Обучающие средство. ЭВМ выдает ученикуподобранную соот-

ветствующим образом информацию (своего рода электронныйучебник),

с которой ученик знакомится самостоятельно. Причем вэтом случае

учитель может контролировать то, информация какогоуровня слож-

ности преподносится тому или иному ученику (т.е.реализуется раз-

ноуровневый подход к обучению).

б) Контролирующее средство. Это различного родатестовые

программы и электронные задачники, в которых вопросы изадачи по-

добранны по уровням сложности и даются каждому ученику взависи-

мости от его индивидуальных способностей[6].

ш2.0

— 53 -

1_ 3.3 Моделирование физических процессов наЭВМ.

Для изучения того ил иного явления в физике очень часто ис-

пользуется такой метод изучения, как моделирование.Моделирование

представляет собой воспроизведение определенных свойстви связей

объекта - оригинала в другом, специально созданномобъекте — в

модели с целью их более тщательного изучения. ЭВМпозволяет соз-

дать широкий спектр программных средств и активноиспользовать их

в учебном процессе, позволяя сделать многие физические задачи

доступными и наглядными[1].

Вместе с тем нужно отметить, что самая совершеннаямодель не

может полностью описать явление, а представляет лишьего основ-

ные, наиболее характерные черты.

Таким образом цель моделирования физическогопроцесса — соз-

дание модели является «волшебным» инструментом познания,позволя-

ющим на разных степенях исследования выделить главные, наиболее

существенные характеристики физического процесса.

Каждая модель физического процесса должна отвечатьследующим

требованиям:

1) модель не должна искажать физическую реальность

2) модель должна быть динамичной

3) модель должна базироваться на проверенных данных

4) модель должна действовать в определенных рамках

5) модель должна наглядно представлять физическоеявление,

для которого создана.

Исходя из вышесказанного и были созданы 3компьютерные прог-

раммы описывающие:

— 54 -

а) процессы в электрическом колебательном контуре

б) опыт Милликена

в) скин-эффект.

2.0

- 55 -

1_ 3.4 Краткое описание программ.

На основе проведенного теоретического анализа созданыдемонс-

трационные программы: «Электрический колебательныйконтур», «Опыт

Милликена» и «Скин-эффект».

Программы предназначены для работы в диалоговомрежиме и дают

пользователю возможность непосредственно участвовать в процессе.

Ученику изначально предложены варианты данных при которыхявление

лучше всего наблюдать, но ученик может по ходу процесса вносить

свои изменения.

Система помощи позволяет работать с программой даже человеку

плохо знакомому с ЭВМ. В системе ссылок указаналитература к ко-

торой можно обратиться для более подробного изученияматериала.

В процессе работы ученика на экране представлена всянеобхо-

димая для работы информация.

На основе программ созданы лабораторные работы, которые в

настоящее время используются на физическом факультете ТГПУ

им. Толстого на кафедре общей физики в курсе методикипреподава-

ния физики. Описания лабораторных работ прилагаются к дипломной

работе.

ш2.0

— 56 -

1Заключение

В ходе выполнения дипломной работы:

— проведен теоретический анализ моделируемыхпроцессов;

— выявлены новые эффекты;

— на основе полученных решений созданыдемонстрационные прог-

раммы;

— на основе разработанных программ созданылабораторные рабо-

ты;

— лабораторные работы опробованы на физическомфакультете

ТГПУ им. Л.Н.Толстого в курсе методики преподаванияфизики.

В дальнейшем автор предпологает продолжать работув данном

направлении. В частности ведется разработка генератораконтроль-

ных работ для средней школы.

— 57 -

1Приложение

— 58 -

— 59 -

— 60 -

— 61 -

— 62 -

— 63 -

— 64 -

— 65 -

— 66 -

— 67 -

— 68 -

ш2.0

— 69 -

1Список используемой литературы.

1. Бурсиан Э.В. Задачи по физике для компьютера:Учебное по-

собие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов, М.:

Просвещение, 1991, 256 с.

2. Тезисы докладов VI координационного совещания-семинара

преподавателей физических дисциплин педагогических ВУЗов Цент-

ральной зоны МО _РФ ., Коломна, 21-23 сентября1993 г.

3. Тезисы докладов II научно-методическойконференции «Ис-

пользование научно-технических достижений вдемонстрационном экс-

перименте и в постановке лабораторных пракикумов»,Саранск, 17-19

мая 1994 г.

4. Тезисы докладов 3 Всеросийского (с участием странСНГ) со-

вещния-семинара «Применение средств вычислительнойтехнки в учеб-

ном процессе кафедр физики , высшей и прикладной математики»,

Ульяновск, 12 сентября 1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск1995.

5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование вфизике,

М., Мир, 1990 г.

6. «Информатика и образование», №№ 3-6,1995 г.

7. «Физика в школе», № 4, 1994 г.

8. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции(формулы,

графики, таблицы), Москва: Наука, 1977, ст. 176-245,262-284.

9. Математическая энциклопедия, Москва: Наука 1985, Т. 2

стр. 846, Т. 5 стр. 819-825.

10. Калиткин Н.Н., Численные методы, М.: Наука, 1978,

ст.246-250.

11. Калашников С.Г., Электричество, М.: Наука ,1985,576 с.

— 70 -

12. Физическая энциклопедия, Москва: Наука, 1995, Т.3, 4.

13. Савельев И.В., Курс физики, М.: Наука, 1981, Т.1493 с.

14. Сивухин Д.В., Общий курс физики, М.: Наука 1977, Т.3,

687 с.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика,М.: Наука

1982 Т.8, Т.10

16. Шпольский Э.В., Атомная физика, Т.1, М.Наука 1984,14-20 с.

17. Бугаев А.И., Методика преподавания физики всредней школе

(теоретические вопросы), Москва 1981.

18. Камке Е Справочник по дифференциальным уравнениям6 М.:

Наука, 1979.

19. Филимонов С.Р., Судьба классического закона, Библиотека

Квант, выпуск 79, 1989, 65-82 с.

20. Хорошавин С.А., Техника и технологиядемонстрационного

эксперимента., М. Просвещение, 1978, 78-79 с.

21. Лекционный демонстрационный эксперимент /подред. Иверо-

новой, М. Просвещение, 1976, 89 с.

22. Шахмаев Н.М., Павлов Н.И., Тыщук В.И., Физическийэкспе-

римент в средней школе, М. Просвещение, 1979, ч 1-2.

23. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерноемоделирование

процессов в электрическом колебательном контуре, тезисыдокладов

3 Всеросийского (с участием стран СНГ) совещ ния-семинара«Приме-

нение средств вычислительной технки в учебном пр цессекафедр фи-

зики, высшей и прикладной математики», Ульяновск, 12- сентября

1995 г. изд-во УГТУ, Ульяновск 1995, ч.2, с.28-29.

24. Городько А.Б., Романов Р.В., Компьютерноемоделирование

опыта Милликена в курсе электромагнетизма, Тезисы XXIIТолстовс-

ких чтений.

еще рефераты

Еще работы по физике

Роль многократной ионизации в действии излучения

Экспериментальные исследования электростатических полей с помощью электролитической ванны

26 Июня 2015