Реферат: Вынужденные колебания
Реферат Натему «Вынужденные колебания»Студента I –го курса гр. 107
ШлыковичаСергея
Минск 2001
Вначале рассмотримзатухающие колебания.
Во всякойреальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механическойсистемы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура),действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергиине восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания.В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
/>. (1.1)
Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения.Знак минус обусловлен тем, что сила F и скорость v направленыв противоположные стороны.
Уравнение второго законаНьютона при наличии силы трения имеет вид
/>. (1.2)
Применим следующие обозначения
/>, /> (1.3)
Тогда
/> (1.4)
Где ω0— собственная частотаколебательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
/>(1.5)
Найдём первую и вторую производные
/>
/>
Подставим выражения /> вуравнение (1.5)
/>
Сократим на />
/>
/>
/> (1.6)
Решение уравнения (1.6)зависит от знака коэффициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когдаэтот коэффициент положителен (т. е. b<ω0— трение мало). Введя обозначение />, придем к уравнению
/>
Решением этого уравнения будет функция />
Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем
/>
/>(1.7)
Здесь A0 и α — постоянные, значениякоторых зависят от начальных условий, ω — величина,определяемая формулой
/>.
Скорость затуханияколебаний определяется величиной />, которуюназывают коэффициентом затухания.
Для характеристикиколебательной системы употребляется также величина
/>
называемая добротностью колебательной системы.Она пропорциональна числу колебаний Ne<sub/>, совершаемых системой за товремя t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Вынужденныеколебания.
Допустим, что механическая колебательная системаподвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническомузакону:
/> (2.1)
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеетвид
/>
Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнениеприобретёт вид:
/> (2.2)
Здесь b — коэффициент затухания, ω0— собственная частота колебательной системы, ω — частота вынуждающейсилы.
Дифференциальное уравнение (2.2) описываетвынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решениясоответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородногоуравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид
/>(2.3)
Где />.
Попробуем найти частноерешение (2.2) в виде /> (2.4)
где /> — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми еюколебаниями.
/> (2.5)
/> (2.6)
Развернем /> и /> поформулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) />:
/>
Сгруппируем члены уравнения:
/>
(2.7)
Уравнение (2.7) будеттождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωtв обеих частях уравнения будут одинаковыми.
/> (2.8)
/> (2.9)
Найдём значения A и /> при которых функция (2.4)удовлетворяет уравнению (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) вквадрат и сложим их друг с другом
/>
/> (2.10)
Из (2.9) следует, что
/> (2.11)
Подставим значения A и />в (2.4) и получим частноерешение неоднородного уравнения (2.2):
/> (2.12)
Общее решение имеет вид
/>
/>
Первое слагаемое играетзаметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний.С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемогоуменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранивв решении только второе.
Зависимость амплитудывынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, чтопри некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательнаясистема оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы приданной частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующаячастота — резонансной частотой.
Для того чтобы определить резонансную частотуωрез, нужно найти максимум функции (2.10), т.е.продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:
/>
Решения этогоуравнения ω=0 и />, но два из нихисключаются, т.к. решение, равное нулю, соответствуетмаксимуму знаменателя, а /> не имеетфизического смысла (частота не может бытьотрицательной).
/> (2.13). Следовательно /> (2.14)
/>Зависимостьамплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний показана графически нарисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b,тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большомзатухании (таком, что b2> ω0) выражение для резонансной частоты становится мнимым.Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — сувеличением частоты амплитуда монотонно убывает.
Изображенная на рисунке совокупность графиковфункции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т.е. при b<<ω0)амплитуда при резонансе />
Если разделить это выражение на смещение x0 из положенияравновесия под действием постоянной силы F0, равное />. В результатеполучим, что
/>
где /> — логарифмический декрементзатухания.
Следовательно, добротность Q показывает,во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы из положенияравновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитудевынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Лит-ра:
И. В Савельев “Курс общей физики”.
P.S.
Данная лит-ра использовалась также принаписании реферата на тему «Сложение колебаний».