Реферат: Изучение прямолинейного движения тела на машине Атвуда
Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра физики
ОТЧЕТ
Лабораторная работа по курсу «Общая физика»
ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
НА МАШИНЕ АТВУДА
Преподаватель Студент группы 645-1
___________ /____________. / __________ / ____________ /
___________20__ г. __________ 20__ г.
20__
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.
2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.
На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное — по риске на корпусе среднего кронштейна.
Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.
Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.
3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения грузом с перегрузом пути S:
(3.1)
(3.2)
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:
(3.3)
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:
σсл (t ) = t(a, n ) × S (t ); (3.4)
где t(a, n ) — коэффициент Стьюдента
Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:
(3.5)
где
ti — времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. …, n ),
n – число измерений, < t > — среднее значение времени прохождения пути.
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:
σ(t 2 ) = 2 < t > σ(t ) (3.6)
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:
(3.7)
Угловой коэффициент экспериментальной прямой:
b = (3.8)
Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:
a = 2b2 (3.9)
Абсолютную случайную погрешность ускорения sсл (a ) рассчитываем методом наименьших квадратов.
Рассчитываем параметры линеаризованного графика
(y = f(x) = Ax + B) и случайные абсолютные погрешности параметров.
Расчет производится по формулам: (3.10)
куда входят следующие величины:
(3.11)
где n – число экспериментальных точек.
Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: sсл (β ):
(3.12)
где вспомогательная величина:
(3.13)
Абсолютная случайная погрешность ускорения:
s ( a ) = 4 b s ( b ) (3.14)
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.
Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты измерений
Таблица 4.1
S 1 = 36, см | S 2 = 31, см | S 3 = 26, см | S 4 = 21, см | S 5 = 16, см | ||||||
Номер измерения | = 6, см1/2 | = 5,568 , см1/2 | = 5,099, см1/2 | = 4,583, см1/2 | = 4, см1/2 | |||||
t, c | t 2, c2 | t, c | t 2, c2 | t, c | t 2, c2 | t, c | t 2, c2 | t, c | t 2, c2 | |
1 | 4,857 | 23,59 | 4,534 | 20,56 | 4,396 | 19,32 | 3,756 | 14,11 | 3,348 | 11,21 |
2 | 4,991 | 24,91 | 4,793 | 22,97 | 4,384 | 19,22 | 3,958 | 15,67 | 3,350 | 11,22 |
3 | 5,184 | 26,87 | 4,734 | 22,41 | 4,089 | 16,72 | 3,661 | 13,40 | 3,185 | 10,14 |
4 | 5,066 | 25,66 | 4,485 | 20,12 | 4,208 | 17,71 | 3,985 | 15,88 | 3,246 | 10,54 |
5 | 5,084 | 25,85 | 4,520 | 20,43 | 4,364 | 19,04 | 3,975 | 15,80 | 3,260 | 10,63 |
< t >, c | 5,036 | 4,614 | 4,288 | 3,868 | 3,278 | |||||
< t 2 >, c2 | 25,36 | 21,30 | 18,40 | 14,97 | 10,75 |
Средние значения времени < t > и квадрата времени < t 2 > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).
Для первой точки измерения (S 1 = 36 см):
Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:
Δt1 = t1 −< t>1 = 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt12 = (-0,179)2 = 0,032 с2 ;
Δt2 = t2 −< t>1 = 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt22 = (-0,045)2 = 0,002 с2 ;
Δt3 = t3 −< t>1 = 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt32 = (0,148)2 = 0,022 с2 ;
Δt4 = t4 −< t>1 = 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt42 = (0,030)2 = 0,001 с2 ;
Δt5 = t5 −< t>1 = 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt52 = (0,048)2 = 0,002 с2 ;
№ измерения | № опыта | t, с | Δt, с | Δt2, с2 | <t>, с | S(t), с | σ(t), с | σ(t2 ), с2 |
1 | 1 | 4,857 | -0,179 | 0,032 | 5,036 | 0,055 | 0,118 | 1,189 |
2 | 4,991 | -0,045 | 0,002 | |||||
3 | 5,184 | 0,148 | 0,022 | |||||
4 | 5,066 | 0,030 | 0,001 | |||||
5 | 5,084 | 0,048 | 0,002 | |||||
t1 = 5,036 ± 0,118, с | ||||||||
2 | 6 | 4,534 | -0,080 | 0,006 | 4,614 | 0,063 | 0,130 | 1,200 |
7 | 4,793 | 0,179 | 0,032 | |||||
8 | 4,734 | 0,120 | 0,014 | |||||
9 | 4,485 | -0,129 | 0,017 | |||||
10 | 4,520 | -0,094 | 0,009 | |||||
t2 = 4,614 ± 0,130, с | ||||||||
3 | 11 | 4,396 | 0,108 | 0,012 | 4,288 | 0,063 | 0,130 | 1,120 |
12 | 4,384 | 0,096 | 0,009 | |||||
13 | 4,089 | -0,199 | 0,040 | |||||
14 | 4,208 | -0,080 | 0,006 | |||||
15 | 4,364 | 0,076 | 0,006 | |||||
t3 = 4,288 ± 0,130, с | ||||||||
4 | 16 | 3,756 | -0,112 | 0,013 | 3,868 | 0,071 | 0,148 | 1,145 |
17 | 3,958 | 0,090 | 0,008 | |||||
18 | 3,661 | -0,207 | 0,043 | |||||
19 | 3,985 | 0,117 | 0,014 | |||||
20 | 3,975 | 0,107 | 0,012 | |||||
t4 = 3,868 ± 0,148, с | ||||||||
5 | 21 | 3,348 | 0,070 | 0,005 | 3,278 | 0,032 | 0,071 | 0,466 |
22 | 3,350 | 0,072 | 0,005 | |||||
23 | 3,185 | -0,093 | 0,009 | |||||
24 | 3,246 | -0,032 | 0,001 | |||||
25 | 3,260 | -0,018 | 0,0003 | |||||
t5 = 3,278 ± 0,071, с |
Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности a=0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(a, n ) = 2,1:
σсл (t )1 = 2,1*0,055 = 0,116 c ;
Результаты расчетов погрешностей
прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.
Таблица 4.2
Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера:
σсис (t) = 0,0005 с ;
Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :
Так как величина σсис (t) много меньше величины σсл (t )1 (σсис (t) = 0,0005 с << σсл (t )1 = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t )1 ≈ σсис (t )1 .
Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :
σ(t 2 )1 = 2×5,036×0,116 = 1,168 с2 ;
Результаты измерений записываем в виде < t > ± σ(t) :
t1 = 5,036±0,116 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.
Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:
σ(S) = 0,05 см ;
Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7:
Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.
Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.
Таблица 4.3.
n/n | S, см | σ(S), см | , см0,5 | σ(). см0,5 | <t>, c | (<t>)2, c2 | (<t>)× , c× см0,5 |
1 | 36 | 0,05 | 6 | 0,004 | 5,036 | 25,36 | 30,22 |
2 | 31 | 0,05 | 5,568 | 0,005 | 4,614 | 21,29 | 25,69 |
3 | 26 | 0,05 | 5,099 | 0,005 | 4,288 | 18,39 | 21,87 |
4 | 21 | 0,05 | 4,583 | 0,006 | 3,868 | 14,96 | 17,73 |
5 | 16 | 0,05 | 4 | 0,006 | 3,278 | 10,75 | 13,11 |
å | 130 | 25,25 | 21,08 | 90,75 | 108,6 | ||
МНК | S 6 | S 2 | S 1 | S 4 | S 3 |
На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f 1 ( t ) ( рис. 4.1.) и S = f 2 ( t 2 ) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.
Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t .
Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t 2 .
На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f 3 ( t ) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t .
Рисунок 4.3. Зависимость от времени t .
На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.
Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:
b граф = 5 / 8,3 = 1,19 см0,5 /с;
Величину ускорения определим по формуле 3.9:
a граф = 2×(1,19)2 = 2,83 см/с2 ;
По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр b линеаризованного графика = b t и случайную абсолютную погрешность параметра sсл (b ).
По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S 1 − S 6 для расчета по МНК (число точек n =5):
S 1 = 21,08 c; S4 = 90,75 c2 ;
S 2 = 25,25 см1/2; S 6 = 130 см ;
S 3 = 108,6 c×см1/2; S 5 = 5×90,75 − (21,08)2 = 9,4 c × см1/2.
По формуле 3.10 определим параметр b линеаризованного графика:
b = (5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14 см1/2 /c.
Угловой коэффициент прямой b = 1,14 см1/2 /c.
Значение вспомогательной величины S 0по формуле 3.13:
S 0 = 130/ 3 – (25,252 + 1,14 2 ×9,4 ) / 15 = 0,01 см.
По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:
s ( b) = (5×0,012 /9,4) 0,5 = 0,01 см1/2 /c .
Величина ускорения по формуле 3.9 :
a = 2×1,142 = 2,6 см/с2 .
Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :
s ( a ) = 4×1,14×0,01 = 0,046 см/с2 .
Получаем:
a = (2,6 ± 0,046) см/с2 = (2,6 ± 0,046)×10-2 м/с2 .
5. ВЫВОДЫ
В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.
Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:
при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at 2 /2 ,
где S – путь пройденный телом за время движения t,
a – ускорение движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:
a = (2,46 ± 0,23) × 10-2 м/с2 .
6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
6.1.Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения? Сила тяжести и сила натяжения нити.
6.2.Запишите уравнения движения для каждого из грузов. Уравнения движения грузов имеют вид:
(M+m)g –T1 =(M+m)a1
Mg –T2 =Ma2.
А так как нить не растяжима, то а1=; -а2; если блок невесом, то Т1 =Т2.
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов.
6.3.Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений.
Погрешности измерений физических величин (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента
6.4.Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени. Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность.
6.5. Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов.
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.