Реферат: Елементи квантової фізики

--PAGE_BREAK--                                       <shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image030.wmz» o:><img width=«109» height=«58» src=«dopb168306.zip» v:shapes="_x0000_i1041">,                                              (1.12)
де l — довжина хвилі, яка відповідає пучку електронів.
З рис. 1.4 видно, що переважна більшість електронів формують нульовий максимум, тому вторинними максимумами в цьому випадку можна знехтувати. Якщо уявити електрони у вигляді механічних частинок, то можна стверджувати, що при їх русі з швидкістю u в напрямі осі OX їх положення визначається з точністю до ширини щілини, тобто
                                       <shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image032.wmz» o:><img width=«103» height=«25» src=«dopb168307.zip» v:shapes="_x0000_i1042">.                                                (1.13)
В той же час, внаслідок дифракції змінюється напрям швидкості частинок. Враховуючи лише ті електрони, які формують центральний максимум дифракції, похибку у визначенні проекції імпульсу на напрям осі OX знайдемо із умови
                                     <shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image034.wmz» o:><img width=«107» height=«36» src=«dopb168308.zip» v:shapes="_x0000_i1043"> .                                                   (1.14)
З урахуванням (1.12) і (1.13) одержимо                                 <shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image036.wmz» o:><img width=«105» height=«29» src=«dopb168309.zip» v:shapes="_x0000_i1044">.                                              (1.15)
А так як не всі електрони формують центральний максимум, тому
                             <shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image038.wmz» o:><img width=«100» height=«29» src=«dopb168310.zip» v:shapes="_x0000_i1045"> ,                                               (1.16)
де Dx іDpx — похибки у визначені координати і імпульсу частинки;h — стала Планка.
Співвідношення (1.16) можна узагальнити для всіх напрямків, тому:
                                 <shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image038.wmz» o:><img width=«100» height=«29» src=«dopb168310.zip» v:shapes="_x0000_i1046">,
                                 <shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image040.wmz» o:><img width=«98» height=«29» src=«dopb168311.zip» v:shapes="_x0000_i1047"> ,                                              (1.17)
                                 <shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image042.wmz» o:><img width=«96» height=«29» src=«dopb168312.zip» v:shapes="_x0000_i1048"> .
Це і є співвідношення невизначеностей Гейзенберга.
Так як точні значення координати і імпульсу для мікрочастинки не існують, то про траєкторію частинки в мікросвіті можна говорити лише з певним наближенням. З цієї точки зору електрони в атомі не мають точних значень електронних орбіт.
В квантовій теорії використовується також співвідношення невизначеностей для енергії Е і часуt, тобто невизначеності цих параметрів задовольняють умові
                                <shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image044.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb168313.zip» v:shapes="_x0000_i1049">,                                           (1.18)
де DE — похибка у визначенні енергії частинки;  Dtпохибка у визначенні часу, коли частинка має енергію E.
Cпіввідношення невизначеностей неодноразово були предметом філо-софських дискусій. Однак вони не виражають собою яких небуть обмежень пізнання мікросвіту, а лише указують межі використання в таких випадках понять класичної механіки.

1.2.Основні поняття квантової механіки
1.2.1.  Поняття стану частинки в квантовій механіці. Хвильова
функція і її статистичний зміст. Стандартні умови.
1.2.2    Загальне (часове) рівняння Шредінгера.
1.2.3.   Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.
1.2.1. Подання стану частинки в квантовій механіці. Хвильова
функція і її статистичний зміст. Стандартні умови
В класичній механіці при одномірному русі вздовж осі х стан частинки в кожний момент часу  t  задається двома величинами: координатою частинки x(t) і її швидкістю <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image046.wmz» o:><img width=«67» height=«41» src=«dopb168314.zip» v:shapes="_x0000_i1050"> або імпульсом частинки <shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image048.wmz» o:><img width=«89» height=«23» src=«dopb168315.zip» v:shapes="_x0000_i1051">. Таке визначення стану частинки є головним вихідним моментом побудови класичної механіки.
В фізиці мікрочастинок з наявністю у них хвильових властивостей, класичне визначення стану частинки втрачає будь-який зміст, а з ним і поняття сили, яка за визначенням є функцією класичного стану.
Встановити фізичний зміст квантового стану допомогло відкриття корпускулярно-хвильового дуалізму матерії. В квантовій фізиці стан частинки задається хвильовою функцією, яка є комплексною величиною і визначається у всіх точках простору і в будь-який момент часу.
Аналогічно класичним хвилям рух елементарних частинок характеризується хвилями де Бройля.
Рівняння хвилі де Бройля елементарної частини називається хвильовою функцією і позначається<shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image050.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb168316.zip» v:shapes="_x0000_i1052">. Хвильова функція Y(r,t) не має жодного  відношення до  механічних хвиль. Класичні хвилі поширюються в пружних середовищах, а елементарні частинки  можуть рухатись також і у вакуумі. Слід мати  на увазі, що хвилі де Бройля властиві будь-яким частинкам, як зарядженим так і нейтральним, в той час як електромагнітні хвилі випромінюються лише  зарядженими частинками при їх прискореному русі.
Для класичних хвиль характерні найбільш суттєві властивості, такі як енергія, імпульс, інтенсивність, яка визначається  квадратом амплітуди хвилі.
Поняття фізичного змісту хвильової функції прийшло після того, як вияснилось, що в інтерференції хвиль де Бройля проявляються властивості окремих частинок, а не їх системи. Це підтверджується незалежністю  інтерференції від інтенсивності частинок в пучку. Інтерференція спостерігається навіть в тих випадках, коли за час польоту від джерела до детектора пролітає лише одна частинка. Цей факт можна тлумачити так лише у випадках, коли рух  будь-якої мікрочастинки підпорядковується статистичним закономірностям.
За аналогією з класичними хвилями знайдемо фізичний зміст квадрата модуля хвильової функції
 
                                   <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image052.wmz» o:><img width=«211» height=«35» src=«dopb168317.zip» v:shapes="_x0000_i1053">,                         (1.19)
де <shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image054.wmz» o:><img width=«55» height=«24» src=«dopb168318.zip» v:shapes="_x0000_i1054">-функція, комплексно спряжена до <shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image056.wmz» o:><img width=«47» height=«23» src=«dopb168316.zip» v:shapes="_x0000_i1055"><shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image057.wmz» o:><img width=«12» height=«21» src=«dopb168319.zip» v:shapes="_x0000_i1056">
В досліді Девісона і Джермера, схема якого показана на рис.1.1 встановлено, що струм, який реєструється гальванометром, пропорційний квадрату модуля хвильової функції
                                   <shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image059.wmz» o:><img width=«97» height=«35» src=«dopb168320.zip» v:shapes="_x0000_i1057">.                                    (1.20)
З іншого боку величина цього струму пропорційна також об’єму детектора dV
                                   <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image061.wmz» o:><img width=«52» height=«19» src=«dopb168321.zip» v:shapes="_x0000_i1058">.                                          (1.21)
З урахуванням (1.20) і (1.21) маємо:
                                     <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image063.wmz» o:><img width=«148» height=«35» src=«dopb168322.zip» v:shapes="_x0000_i1059">.                                      (1.22)
Якщо імовірність попадання частинок в детектор дорівнює dp, то величина струму  гальванометра буде також пропорційною величині цієї  імовірності
                                      I= k2dp.                                                           (1.23)
Прирівнявши рівності (1.22) і (1.23), одержимо:
                                    <shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image065.wmz» o:><img width=«176» height=«35» src=«dopb168323.zip» v:shapes="_x0000_i1060">.                                  (1.24)
 
Завжди можна вибрати значення хвильової функції такою, щоб k1=k2.        Тоді (1.24) набуде вигляду
                         <shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image067.wmz» o:><img width=«133» height=«35» src=«dopb168324.zip» v:shapes="_x0000_i1061">.                                         (1.25)
Звідки
                                            <shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image069.wmz» o:><img width=«116» height=«48» src=«dopb168325.zip» v:shapes="_x0000_i1062">.                                            (1.26)
Квадрат модуля хвильової функції (1.26) визначає густину імовірності виявити частинку в точці з радіусом-вектором <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image071.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168326.zip» v:shapes="_x0000_i1063"> в момент часу t. Квантова механіка на відміну від класичної дає імовірнісне пояснення квантового стану, а хвильова функція має статичний зміст.
При відомій хвильовій функції рівність (1.26) дозволяє визначити імовірність виявити частинку в об’ємі dV
                                         <shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image073.wmz» o:><img width=«216» height=«56» src=«dopb168327.zip» v:shapes="_x0000_i1064">.                  (1.27)
Якщо частинка знаходиться в довільній точці простору, то ця подія є достовірною, а імовірність такої події дорівнює одиниці, тобто
                                        <shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image075.wmz» o:><img width=«80» height=«53» src=«dopb168328.zip» v:shapes="_x0000_i1065">dV=1.                                             (1.28)
Умова (1.28) називається умовою нормування.
Як бачимо, квантова механіка має статистичний характер; у ній не ставиться питання про знаходження положення частинки або її траєкторії в просторі, так як завдяки хвильових властивостей мікрочастинок такі питання взагалі втрачають зміст. В квантовій механіці за допомогою хвильової функції <shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image077.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb168329.zip» v:shapes="_x0000_i1066"> визначається лише імовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. З сказаного випливає, що хвильова функція <shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image079.wmz» o:><img width=«48» height=«21» src=«dopb168330.zip» v:shapes="_x0000_i1067"> повинна задовольняти певним обмежувальним умовам, які ще називаються стандартними умовами: воно має бути скінченою, однозначною і неперервною, так як імовірність не може бути більшою за 1; бути неоднозначною і змінюватись стрибкоподібно.
1.2.2. Загальне часове рівняння Шредінгера і його аналіз
В класичній механіці рівняння одновимірного руху частинки дозволяє
одержати її координату x(t) і імпульс p(t) за їх початковими значеннямиx(0) і p(0). Таким рівнянням руху є другий закон Ньютона.
           <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image081.wmz» o:><img width=«120» height=«57» src=«dopb168331.zip» v:shapes="_x0000_i1068">                                                         (1.29)
де m — маса частинки; <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image083.wmz» o:><img width=«39» height=«59» src=«dopb168332.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> - прискорення руху частинки;
  <shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image085.wmz» o:><img width=«37» height=«48» src=«dopb168333.zip» v:shapes="_x0000_i1070"> - градієнт потенціальної енергії, зміна якої визначається діючою силою.
З визначення квантового стану рівняння руху квантової частинки має задавати зміну в часі хвильової функції <shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image087.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb168334.zip» v:shapes="_x0000_i1071">. Так як квантовий стан характеризує лише одна хвильова функція, то відповідне квантове рівняння руху повинно містити лише першу похідну за часом від хвильової функції. В інших випадках таке рівняння не буде погоджуватись з визначенням квантового стану.
Рівняння руху квантової нерелятивістської частинки в силовому полі називається рівнянням Шредінгера, так як вперше в 1926 році було сформульовано німецьким фізиком Е. Шредінгером.
Справедливість цього рівняння обгрунтована тим, що всі висновки які випливають із нього, знайшли своє експериментальне підтвердження. Рівняння Шредінгера відіграє в квантовій механіці таку ж роль, як і рівняння Ньютона в класичній.
В загальному випадку рівняння Шредінгера має вигляд  
                             <shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image089.wmz» o:><img width=«335» height=«55» src=«dopb168335.zip» v:shapes="_x0000_i1072">       (1.30)
 
  де m — маса частинки; <shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image091.wmz» o:><img width=«55» height=«24» src=«dopb168336.zip» v:shapes="_x0000_i1073"> - потенціальна енергія частинки в силовому полі;<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image093.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb168337.zip» v:shapes="_x0000_i1074"> - уявна одиниця; <shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image095.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb168338.zip» v:shapes="_x0000_i1075"> - стала Дірка;
 <shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image097.wmz» o:><img width=«163» height=«61» src=«dopb168339.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> - оператор Лапласа.
Із-за присутності в рівнянні Шредінгера (1.30) уявної одиниці хвильова функція <shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image099.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb168334.zip» v:shapes="_x0000_i1077">, яка задовольняє цьому рівнянню, завжди комплексна. Не кожна  функція може бути розв’язком рівняння (1.30). Перш  за все ця функція повинна бути скінченою, неперервною і мати неперервні перші похідні. Ці вимоги мають чисто математичний характер. Крім того — хвильова функція повинна бути однозначною, інакше буде порушений її фізичний зміст.
Рівняння Шредінгера за часом є лінійним диференціальним рівнянням 1-го порядку. Із теорії диференціальних рівнянь відомо, що кожне лінійне рівняння в частинних похідних повинно мати безліч розв’язків, причому таких, що всяка лінійна комбінація будь-якої сукупності розв’язків теж буде його розв’язком.
Слід зауважити, що рівняння Шредінгера, подібно до законів Ньютона в класичній механіці, не є результатом якогось теоретичних доведень, а є узагальненням багатьох дослідних фактів, встановлених при вивченні мікросвіту. Відмітимо також, що рівняння Шредінгера описує рух частинок, швидкість яких значно менша швидкості світла, так як співвідношення між кінетичною енергією і імпульсом справедливе лише при цих умовах. В релятивістському випадку для описання хвильових властивостей мікрочастинок слід користуватись іншими рівняннями, наприклад рівняннями Дірака чи Клейна-Гордона.
1.2.3. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів
Потенціальна енергія частинки залежить від координат x, y, z і часу t. Якщо потенціальна енергія U від часу не залежить і відповідно повна енергія також не змінюється з часом, то хвильову функцію <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image100.wmz» o:><img width=«49» height=«21» src=«dopb168334.zip» v:shapes="_x0000_i1078"> можна подати у вигляді добутку двох співмножників
<shape id="_x0000_i1079" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image101.wmz» o:><img width=«136» height=«36» src=«dopb168340.zip» v:shapes="_x0000_i1079">.                                             (1.31)
Перший співмножник в (1.31) залежить лише від часу, а другий — лише від координат (<shape id="_x0000_i1080" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image103.wmz» o:><img width=«145» height=«36» src=«dopb168341.zip» v:shapes="_x0000_i1080">).
Розв’язки рівняння Шредінгера, для яких потенціальна енергія, а також густина імовірностей не змінюються з часом, називаються стаціонарними. Стаціонарні стани не виключають залежності хвильової функції від часу, а лише обмежують її гармонічним законом <shape id="_x0000_i1081" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image105.wmz» o:><img width=«51» height=«48» src=«dopb168342.zip» v:shapes="_x0000_i1081">.
Підставимо хвильову функцію (1.31) в рівняння Шредінгера (1.30)
                              <shape id="_x0000_i1082" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image107.wmz» o:><img width=«355» height=«63» src=«dopb168343.zip» v:shapes="_x0000_i1082">.
Після скорочення  на експоненту, одержуємо:
                                      <shape id="_x0000_i1083" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image109.wmz» o:><img width=«243» height=«51» src=«dopb168344.zip» v:shapes="_x0000_i1083">,                 (1.32)
де <shape id="_x0000_i1084" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image111.wmz» o:><img width=«223» height=«61» src=«dopb168345.zip» v:shapes="_x0000_i1084">; Е — повна енергія частинки; <shape id="_x0000_i1085" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image113.wmz» o:><img width=«41» height=«24» src=«dopb168346.zip» v:shapes="_x0000_i1085"> - потенціальна енергія частинки, яка є функцією лише координат; <shape id="_x0000_i1086" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image115.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb168347.zip» v:shapes="_x0000_i1086"> - хвильова функція; m — маса частинки; <shape id="_x0000_i1087" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image117.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb168348.zip» v:shapes="_x0000_i1087"> - стала Дірака (<shape id="_x0000_i1088" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image119.wmz» o:><img width=«29» height=«48» src=«dopb168349.zip» v:shapes="_x0000_i1088">).
Стаціонарне рівняння Шредінгера (1.32) є однорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку відносно координат x, y, z. У випадку, коли <shape id="_x0000_i1089" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image121.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb168347.zip» v:shapes="_x0000_i1089">=0, це рівняння не має фізичного змісту. В рівнянні Шредінгера для стаціонарних станів є єдиний вільний параметр — повна енергія частинки Е. При деяких значеннях повної енергії це рівняння може мати нульові розв’язки. Ті значення повної енергії, при яких рівняння (1.32) буде мати нульові розв’язки, називаються власними значеннями. Кожному такому власному значенню енергії відповідає свій розв’язок рівняння (1.32).
Стаціонарне рівняння Шредінгера дає не лише значення хвильової функції, але й значення цієї функції в стаціонарних станах.
 

1.3. Найпростіші  задачі квантової механіки
1.3.1. Рух вільної частинки.
1,3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику.
1.3.3. Гармонічний квантовий осцилятор.
1.3.4. Проходження  частинки крізь потенціальний бар’єр.            
Тунельний ефект.
1.3.1. Рух вільної частинки
Найпростішим рухом квантової частинки  є вільний рух. Прикладом такого руху є рух електронів в металах і напівпровідниках. В цьому випадку потенціальна енергія частинок дорівнює нулю. При вільному русі повна енергія частинки збігається з кінетичною, а її швидкість є сталою величиною. Такому рухові в класичній механіці відповідає рівномірний і прямолінійний рух.
Нехай рівномірний рух квантової частинки відбувається в напрямі осі х, яка співпадає з напрямком вектора швидкості. Стаціонарне рівняння Шредінгера для вільної частинки запишеться:
<shape id="_x0000_i1090" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image122.wmz» o:><img width=«192» height=«57» src=«dopb168350.zip» v:shapes="_x0000_i1090">                                        (1.33)
де  m — маса частинки;  Е — повна енергія частинки.
          Рівняння (1.33) є диференціальним рівнянням другого порядку з сталими коефіцієнтами, розв’язком якого може бути функція
<shape id="_x0000_i1091" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image124.wmz» o:><img width=«129» height=«31» src=«dopb168351.zip» v:shapes="_x0000_i1091">                                                  (1.34)
   
          де  А і к — сталі  величини;  і — уявна  одиниця.
Підстановка (1.34) в (1.33) дасть тотожність
<shape id="_x0000_i1092" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image126.wmz» o:><img width=«213» height=«51» src=«dopb168352.zip» v:shapes="_x0000_i1092">
     
Звідки                                      <shape id="_x0000_i1093" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image128.wmz» o:><img width=«97» height=«51» src=«dopb168353.zip» v:shapes="_x0000_i1093">                                        (1.35)
В співвідношенні (1.35)  к — хвильове число хвиль де Бройля; Е — повна енергія частинки; m — маса частинки.
          Енергія вільної частинки із рівності (1.35) дорівнює
<shape id="_x0000_i1094" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image130.wmz» o:><img width=«80» height=«81» src=«dopb168354.zip» v:shapes="_x0000_i1094">                                                    (1.36)
          Хвильове число к може набувати довільних значень, так як вільні частинки в системі можуть мати практично будь-які постійні швидкості. Це говорить про те, що енергетичний спектр вільних частинок є суцільним.
          Густина імовірності перебування вільної частинки в довільних точках осі х дорівнює
<shape id="_x0000_i1095" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image132.wmz» o:><img width=«236» height=«35» src=«dopb168355.zip» v:shapes="_x0000_i1095">
де  <shape id="_x0000_i1096" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image134.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb168356.zip» v:shapes="_x0000_i1096"> — комплексна спряжена хвильова функція. Звідки
<shape id="_x0000_i1097" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image136.wmz» o:><img width=«228» height=«32» src=«dopb168357.zip» v:shapes="_x0000_i1097">
Густина імовірності вільної частинки в будь-якій точці осі х є сталою величиною. Невизначеності вільної частинки в координаті в такому випадку дорівнюють безмежності. Цей висновок є добрим підтвердженням співвідношення невизначеностей Гейзенберга.
1.3.2. Частинка в одновимірному потенціальному ящику
Розглянемо приклад просторово-обмеженого одновимірного руху квантової частинки в глибокому потенціальному ящику з вертикальними стінками, шириною l. Потенціальна енергія електрона зовні і всередині такого ящика має наступні значення:
<line id="_x0000_s1152" from=«296.2pt,-6.35pt» to=«303.45pt,-6.3pt» o:allowincell=«f»><img width=«12» height=«2» src=«dopb168358.zip» v:shapes="_x0000_s1152"><line id="_x0000_s1153" from=«303.4pt,-6.35pt» to=«303.45pt,36.9pt» o:allowincell=«f»><img width=«2» height=«59» src=«dopb168359.zip» v:shapes="_x0000_s1153">                                  U(x)=0   при   0<x<l,                                       (1.37)
U(x)=¥  при  x£й x³l      
<line id="_x0000_s1154" from=«296.2pt,2.25pt» to=«303.45pt,2.3pt» o:allowincell=«f»><img width=«12» height=«2» src=«dopb168360.zip» v:shapes="_x0000_s1154">                                                                                                  
Графік залежності потенціальної енергії частинки U(x)  від х показаний на   рис 1.5.
Частинка в такому ящику може вільно рухатись на ділянці 0<х<l. На кінцях цього інтервалу вона стикається з абсолютно твердими стінками. Непрозорість цих стінок визначається необмеженим ростом потенціальної енергії U(x) в точках х=0  і х=l.
<img width=«185» height=«180» src=«dopb168361.zip» v:shapes="_x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160 _x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176 _x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199 _x0000_s1200 _x0000_s1201 _x0000_s1202 _x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1209">  

                                                      
Рис. 1.5
Прикладом руху електрона в потенціальному ящику може бути рух колективізованих електронів усередині металу. Як відомо, в класичній електронній теорії вважали, що поза металом потенціальна енергія електрона дорівнює нулю, а всередині металу — вона від’ємна і чисельно дорівнює роботі виходу електрона з металу. Інакше кажучи, вважали, що рух електронів обмежений потенціальним бар’єром прямокутної форми з плоским дном. В нашому випадку потенціальний ящик значно простішої форми ніж реальний випадок електрона в металі.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Так як частинка не виходить за межі ділянки <х<l, то імовірність знайти її за межами цієї ділянки дорівнює нулю. Це означає, що рівняння Шредінгера для стаціонарних станів можна доповнити граничними умовами   <shape id="_x0000_i1098" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image142.wmz» o:><img width=«63» height=«21» src=«dopb168362.zip» v:shapes="_x0000_i1098">  і    <shape id="_x0000_i1099" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image144.wmz» o:><img width=«63» height=«21» src=«dopb168363.zip» v:shapes="_x0000_i1099">
Запишемо рівняння Шредінгера для частинки в потенціальному ящику
<shape id="_x0000_i1100" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image146.wmz» o:><img width=«204» height=«57» src=«dopb168364.zip» v:shapes="_x0000_i1100">                                      (1.38)
де  m — маса частинки;  <shape id="_x0000_i1101" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image148.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168289.zip» v:shapes="_x0000_i1101"> -  стала Дірака;  Е — повна енергія частинки;        Y(х) — хвильова функція.
Введемо позначення 
<shape id="_x0000_i1102" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image149.wmz» o:><img width=«91» height=«51» src=«dopb168365.zip» v:shapes="_x0000_i1102">                                                        (1.39)
де  к — хвильове число хвиль де Бройля для електрона, який перебуває усередині потенціального ящика.
Рівняння (1.38) набуде вигляду
<shape id="_x0000_i1103" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image151.wmz» o:><img width=«171» height=«57» src=«dopb168366.zip» v:shapes="_x0000_i1103">                                           (1.40)
Знайдемо розв’язок рівняння (1.40), подібно до аналогічних диференціальних рівнянь гармонічних коливань, в тригонометричній формі
<shape id="_x0000_i1104" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image153.wmz» o:><img width=«208» height=«24» src=«dopb168367.zip» v:shapes="_x0000_i1104">                                       (1.41)
де  А, В і С — сталі величині.
З граничних умов одержуємо:
а)  Y(0)=0;         0=АcosB.0+CsinB.
Звідки  А=0;  В¹  і  С¹.
 б)  Y(l)=00=CsinB.l.
 звідки при С¹0, Вl=np,  або  <shape id="_x0000_i1105" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image155.wmz» o:><img width=«68» height=«48» src=«dopb168368.zip» v:shapes="_x0000_i1105">де  n= 1,2,3.
Хвильова функція з урахуванням граничних умов набуде вигляду:
<shape id="_x0000_i1106" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image157.wmz» o:><img width=«149» height=«48» src=«dopb168369.zip» v:shapes="_x0000_i1106">                                               (1.42)
Константу С у формулі (1.42) знайдемо із умови нормування
<shape id="_x0000_i1107" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image159.wmz» o:><img width=«113» height=«63» src=«dopb168370.zip» v:shapes="_x0000_i1107">                                                        (1.43)
або
<shape id="_x0000_i1108" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image161.wmz» o:><img width=«360» height=«65» src=«dopb168371.zip» v:shapes="_x0000_i1108">.                          (1.44)
Другий інтеграл у виразі (1.44) при будь-яких значеннях n дорівнює нулю, тому
<shape id="_x0000_i1109" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image163.wmz» o:><img width=«60» height=«55» src=«dopb168372.zip» v:shapes="_x0000_i1109">  звідки  <shape id="_x0000_i1110" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image165.wmz» o:><img width=«68» height=«53» src=«dopb168373.zip» v:shapes="_x0000_i1110">
Хвильова функція, яка описує квантовий рух частинки в потенціальному ящику має вигляд:
<shape id="_x0000_i1111" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image167.wmz» o:><img width=«155» height=«53» src=«dopb168374.zip» v:shapes="_x0000_i1111">                                              (1.45)
При підстановці (1.45) в (1.38) одержуємо тотожність:
<shape id="_x0000_i1112" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image169.wmz» o:><img width=«336» height=«59» src=«dopb168375.zip» v:shapes="_x0000_i1112">.
Звідки
<shape id="_x0000_i1113" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image171.wmz» o:><img width=«116» height=«57» src=«dopb168376.zip» v:shapes="_x0000_i1113">                                                    (1.46)
тобто енергія Е електрона в потенціальному ящику не може бути довільною. Вона набуває лише дискретних власних значень Е(n). Імовірність виявити в межах потенціального ящика електрон з іншою енергією, ніж (1.46) дорівнює нулю.
Енергетичний спектр і густина імовірності частинки в потенціальному ящику показана на рис. 1.6.
<img width=«217» height=«190» src=«dopb168377.zip» v:shapes="_x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213 _x0000_s1214 _x0000_s1215 _x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223 _x0000_s1224 _x0000_s1225 _x0000_s1226 _x0000_s1227 _x0000_s1228 _x0000_s1229 _x0000_s1230 _x0000_s1231 _x0000_s1232 _x0000_s1233 _x0000_s1234 _x0000_s1235 _x0000_s1236 _x0000_s1237 _x0000_s1238 _x0000_s1239 _x0000_s1240">  

           
                                                                                                                  Рис.1.6 Число n в формулі (1.46) визначає вид хвильової функції і енергію частинки в стані з цією хвильовою функцією, називається квантовим числом.  Покажемо, що для частинки в потенціальному ящику можливі лише такі енергетичні рівні, на яких викладається ціле число півхвиль де Бройля. При аналізі граничних умов було показано, що kl=np,  де  <shape id="_x0000_i1114" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image174.wmz» o:><img width=«59» height=«48» src=«dopb168378.zip» v:shapes="_x0000_i1114"> - хвильове число хвиль де Бройля. З урахуванням останнього маємо:
<shape id="_x0000_i1115" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image176.wmz» o:><img width=«63» height=«48» src=«dopb168379.zip» v:shapes="_x0000_i1115">                                                   (1.47)
Співвідношення (1.47) показує, що в потенціальному ящику можливі лише такі стани частинки, при яких на ширині потенціального ящика l  вкладається ціле число півхвиль де Бройля (Рис.1.7).
<img width=«177» height=«203» src=«dopb168380.zip» v:shapes="_x0000_s1241 _x0000_s1242 _x0000_s1243 _x0000_s1244 _x0000_s1245 _x0000_s1246 _x0000_s1247 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1250 _x0000_s1251 _x0000_s1252 _x0000_s1253 _x0000_s1254 _x0000_s1255 _x0000_s1256 _x0000_s1257 _x0000_s1258 _x0000_s1259 _x0000_s1260 _x0000_s1261 _x0000_s1262 _x0000_s1263 _x0000_s1264">  

                                                
                                                          Рис 1.7 Незбуреному стану частинки відповідає енергія <shape id="_x0000_i1116" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image179.wmz» o:><img width=«92» height=«57» src=«dopb168381.zip» v:shapes="_x0000_i1116">                                                     (1.48)
Значення цієї енергії  Е1>  свідчить про те, що частинка в потенціальному ящику ніколи не зупиняється і що невизначеність DРх  імпульсу частинки не може бути меншою за величину
<shape id="_x0000_i1117" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image181.wmz» o:><img width=«100» height=«48» src=«dopb168382.zip» v:shapes="_x0000_i1117">                                                     (1.49)
Однак в потенціальному ящику шириною l положення частинки визначається похибкою, яка співрозмірна  з шириною ящика Dх»l
Тому                                      Dх.DРх³p<shape id="_x0000_i1118" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image117.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb168348.zip» v:shapes="_x0000_i1118">,                                                    (1.50)
що перебуває у повній відповідності із співвідношенням невизначеностей імпульс — координата.
Покажемо, як залежить ширини енергетичного інтервалу DЕ  від розмірів потенціального ящика. У потенціальному ящику з розмірами      l=10-9м. Власні значення енергії електрона утворюють послідовність енергетичних рівнів, енергетична відстань між якими дорівнює
DE=En+1-En.
Або
<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image183.wmz» o:><img width=«305» height=«57» src=«dopb168383.zip» v:shapes="_x0000_i1119"> Дж.
В електрон-вольтах  ця енергія дорівнює
<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image185.wmz» o:><img width=«163» height=«24» src=«dopb168384.zip» v:shapes="_x0000_i1120"> 
Коли ширина потенціального ящика співрозмірна з розмірами атома, енергетичний інтервал між сусідніми енергетичними рівнями досить значний, а спектр є  дискретним.
У випадку, коли потенціальний ящик має мікроскопічні розміри         l»10-2м., енергетичний інтервал між сусідніми рівнями дорівнює
<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image187.wmz» o:><img width=«183» height=«32» src=«dopb168385.zip» v:shapes="_x0000_i1121">Дж=0,34.10-14(2n+1) eB.
Для такого потенціального ящика квантуванням енергії можна знехтувати. Вона нічим не відрізняються від значень енергії, одержаних класичними  методами.
Аналогічні результати можна одержати для великих квантових чисел  n. У цьому випадку проявляється  принцип відносності, встановлений Бором у 1923р.
При великих квантових числах висновки і результати квантової     механіки збігаються з відповідними класичними результатами.
         
1.3.3.  Гармонічний квантовий осцилятор.
Просторово-обмеженим є також рух квантового осцилятора. З класичної точки зору осцилятором може бути будь-яка матеріальна точка, яка здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили.
F=-kx,   де  k=m<shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image189.wmz» o:><img width=«23» height=«21» src=«dopb168386.zip» v:shapes="_x0000_i1122">                                    (1.51)
Потенціальна енергія класичного осцилятора знаходиться за формулою
<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image191.wmz» o:><img width=«109» height=«44» src=«dopb168387.zip» v:shapes="_x0000_i1123">
          де  m — маса частинки; <shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image193.wmz» o:><img width=«21» height=«25» src=«dopb168388.zip» v:shapes="_x0000_i1124"> -  циклічна частота осцилятора.
<img width=«218» height=«227» src=«dopb168389.zip» v:shapes="_x0000_s1265 _x0000_s1266 _x0000_s1267 _x0000_s1268 _x0000_s1269 _x0000_s1270 _x0000_s1271 _x0000_s1272 _x0000_s1273 _x0000_s1274 _x0000_s1275 _x0000_s1276 _x0000_s1277 _x0000_s1278">Графічна залежність енергії класичного осцилятора показана на рис.1.8.    
                                               
 
 
                                                         Рис. 1.8
.
З рисунка видно, що осцилятор може мати практично довільну енергію, навіть рівну нулю. В точках і кінетична енергія осцилятора дорівнює нулю, а потенціальна енергія досягає свого максимуму. За межі області     (-а, +а)    класичний осцилятор вийти не може.
Квантовим  осцилятором може бути лише елементарна частинка, яка поряд з корпускулярними властивостями проявляє і хвильові властивості. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної гратки. Потенціальна енергія квантового осцилятора має таку ж математичну залежність, що і класичний осцилятор (1.52).
Стаціонарне рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора має вигляд:
<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image196.wmz» o:><img width=«249» height=«51» src=«dopb168390.zip» v:shapes="_x0000_i1125">                                 (1.53)
де m — маса квантової частинки;  <shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image198.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb168391.zip» v:shapes="_x0000_i1126"> -  циклічна частота; Е — повна енергія частинки.
Знаходження хвильових функцій квантового осцилятора є досить складною математичною задачею. Тому, опускаючи такі розв’язки, наводимо енергетичний спектр квантового осцилятора. Він має вигляд
<shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image200.wmz» o:><img width=«109» height=«41» src=«dopb168392.zip» v:shapes="_x0000_i1127">                                                 (1.54)
де n= 0,1,2,3,… — любе ціле число, починаючи з нуля;  <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image202.wmz» o:><img width=«16» height=«15» src=«dopb168393.zip» v:shapes="_x0000_i1128"> - циклічна частота; <shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image148.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168289.zip» v:shapes="_x0000_i1129"> -  стала Дірака.
Аналіз рівняння (1.54) показує, що енергетичний спектр квантового осцилятора є дискретним і що власні значення енергії дорівнюють:
<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image204.wmz» o:><img width=«63» height=«41» src=«dopb168394.zip» v:shapes="_x0000_i1130">       <shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image206.wmz» o:><img width=«71» height=«41» src=«dopb168395.zip» v:shapes="_x0000_i1131">       <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image208.wmz» o:><img width=«88» height=«41» src=«dopb168396.zip» v:shapes="_x0000_i1132">
В енергетичному спектрі (1.54) проміжки між енергетичними рівнями не залежать від квантового числа n, а є однаковими
<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image210.wmz» o:><img width=«335» height=«45» src=«dopb168397.zip» v:shapes="_x0000_i1133">                 (1.55)
Як показано на рис. 1.9,  де енергетичний спектр квантового осцилятора суміщається з аналогічним спектром класичного осцилятора, квантовий осцилятор не має значень енергії, рівних нулю.
Найменше значення енергії квантового осцилятора дорівнює
                                                <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image212.wmz» o:><img width=«63» height=«41» src=«dopb168394.zip» v:shapes="_x0000_i1134">                                                    (1.56)
Меншої енергії квантовий осцилятор не може мати навіть при абсолютному нулі температур.
                                                        <imagedata src=«36289.files/image213.png» o:><img width=«137» height=«158» src=«dopb168398.zip» v:shapes="_x0000_i1135">   
                                                            Рис. 1.9
Покажемо наближеним способом, що енергія квантового осцилятора квантується. З рис 1.10 видно, що на відрізкуl=2х0вкладається ціле число півхвиль де Бройля, тобто
                                                             <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image215.wmz» o:><img width=«87» height=«51» src=«dopb168399.zip» v:shapes="_x0000_i1136">                               (1.57)
<img width=«230» height=«193» src=«dopb168400.zip» v:shapes="_x0000_s1279 _x0000_s1280 _x0000_s1281 _x0000_s1282 _x0000_s1283 _x0000_s1284 _x0000_s1285 _x0000_s1286 _x0000_s1287 _x0000_s1288 _x0000_s1289 _x0000_s1290 _x0000_s1291 _x0000_s1292 _x0000_s1293 _x0000_s1294 _x0000_s1295 _x0000_s1296 _x0000_s1297 _x0000_s1298 _x0000_s1299 _x0000_s1300 _x0000_s1301 _x0000_s1302 _x0000_s1303 _x0000_s1304 _x0000_s1305 _x0000_s1306 _x0000_s1307 _x0000_s1308 _x0000_s1309 _x0000_s1310 _x0000_s1311 _x0000_s1312 _x0000_s1313 _x0000_s1314 _x0000_s1315 _x0000_s1316 _x0000_s1317 _x0000_s1318 _x0000_s1319 _x0000_s1320 _x0000_s1321 _x0000_s1322">  

                                               
                                                                        
Рис 1.10
де <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image218.wmz» o:><img width=«16» height=«21» src=«dopb168401.zip» v:shapes="_x0000_i1137"> - середнє значення довжини хвилі де Бройля.
Звідки
<shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image220.wmz» o:><img width=«73» height=«48» src=«dopb168402.zip» v:shapes="_x0000_i1138">                                                     (1.58)
Середнє значення імпульсу кванта хвилі де Бройля
 
<shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image222.wmz» o:><img width=«109» height=«52» src=«dopb168403.zip» v:shapes="_x0000_i1139">                                                 (1.59)
Середня кінетична енергія такого осцилятора
<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image224.wmz» o:><img width=«145» height=«63» src=«dopb168404.zip» v:shapes="_x0000_i1140">                                               (1.60)
Відомо, що повна енергія Е перевищує середнє значення кінетичної енергії в два рази, тобто
<shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image226.wmz» o:><img width=«140» height=«63» src=«dopb168405.zip» v:shapes="_x0000_i1141">                                       (1.61)
З іншої точки зору повна енергія квантового осцилятора дорівнюватиме максимальній потенціальній енергії
<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image228.wmz» o:><img width=«192» height=«55» src=«dopb168406.zip» v:shapes="_x0000_i1142">                                  (1.62)
Перемножимо рівності (1.61)  і  (1.62)
 
<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image230.wmz» o:><img width=«231» height=«55» src=«dopb168407.zip» v:shapes="_x0000_i1143">                             (1.63)
Або
<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image232.wmz» o:><img width=«112» height=«49» src=«dopb168408.zip» v:shapes="_x0000_i1144">                                             (1.64)
В межах точності наших міркувань <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image234.wmz» o:><img width=«40» height=«49» src=«dopb168409.zip» v:shapes="_x0000_i1145">»1, тому
<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image236.wmz» o:><img width=«76» height=«23» src=«dopb168410.zip» v:shapes="_x0000_i1146">                                               (1.65)
де n=1,2,3,… — цілі числа.
Наближений розрахунок показує, що енергія квантового осцилятора набуває ряду дискретних значень, тобто квантується.
Точне значення енергії квантового осцилятора для не збудженого, нульового рівня можна одержати із рівняння Шредінгера (1.53), якщо згідно рис. (1.10) скористатись функцією Гаусса, яка дорівнює
<shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image238.wmz» o:><img width=«111» height=«36» src=«dopb168411.zip» v:shapes="_x0000_i1147">                                                        (1.66)
де  а — стала величина, яку слід  визначити.
Другу похідну від (1.66) підставимо в (1.53)
 
<shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image240.wmz» o:><img width=«468» height=«57» src=«dopb168412.zip» v:shapes="_x0000_i1148">
звідки
<shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image242.wmz» o:><img width=«265» height=«57» src=«dopb168413.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> .                                    (1.67)
Тотожність (1.67) має місце при рівності коефіцієнтів при х2 і вільних членів, тобто
<shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image244.wmz» o:><img width=«71» height=«51» src=«dopb168414.zip» v:shapes="_x0000_i1150">        <shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image246.wmz» o:><img width=«104» height=«57» src=«dopb168415.zip» v:shapes="_x0000_i1151">                                        (1.68)
Система рівнянь (1.68) дає значення енергії Е і сталої величини а
<shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image248.wmz» o:><img width=«72» height=«48» src=«dopb168416.zip» v:shapes="_x0000_i1152">    <shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image250.wmz» o:><img width=«64» height=«48» src=«dopb168417.zip» v:shapes="_x0000_i1153">                                             (1.69)
 
Таким чином функція Гаусса є розв’язком рівняння Шредінгера (1.53) лише за умови, коли  <shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image252.wmz» o:><img width=«56» height=«41» src=«dopb168418.zip» v:shapes="_x0000_i1154">.
В цьому випадку
 
<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image254.wmz» o:><img width=«124» height=«52» src=«dopb168419.zip» v:shapes="_x0000_i1155">.                                                    (1.70)
Слід відмітити, що так як відстань між суміжними рівнями енергії квантового осцилятора дорівнює <shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image256.wmz» o:><img width=«95» height=«23» src=«dopb168420.zip» v:shapes="_x0000_i1156"> то з урахуванням  <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image258.wmz» o:><img width=«64» height=«48» src=«dopb168417.zip» v:shapes="_x0000_i1157">  одержуємо енергетичний спектр квантового осцилятора у вигляді
<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image259.wmz» o:><img width=«132» height=«52» src=«dopb168421.zip» v:shapes="_x0000_i1158">                                                  (1.71)
де  n= 0,1,2,3.
1.3.4.Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр.Тунельний ефект.
Класична частинка не може перебувати в тих місцях, де її потенціальна енергія U(x) перевищувала б повну енергію частинки E. Щодо квантової частинки, то вона має таку властивість із-за того, що існує відмінна від нуля імовірність проникнення її крізь потенціальний бар’єр, тобто в область, де U(x) >E
Проведемо оцінку цієї імовірності шляхом розв’язування наступної задачі. Нехай квантова частинка з масою m, рухаючись в напрямі осі х, вдаряється в потенціальний бар’єр кінцевої висоти U, тобто
<shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image261.wmz» o:><img width=«229» height=«52» src=«dopb168422.zip» v:shapes="_x0000_i1159">
причому енергія частинки e менша висоти бар’єра U, (рис. 1.11).
<img width=«220» height=«103» src=«dopb168423.zip» v:shapes="_x0000_s1323 _x0000_s1324 _x0000_s1325 _x0000_s1326 _x0000_s1327 _x0000_s1328 _x0000_s1329 _x0000_s1330 _x0000_s1331 _x0000_s1332 _x0000_s1333 _x0000_s1334 _x0000_s1335 _x0000_s1336 _x0000_s1337 _x0000_s1338 _x0000_s1339 _x0000_s1340 _x0000_s1341 _x0000_s1342 _x0000_s1343 _x0000_s1344 _x0000_s1345 _x0000_s1346 _x0000_s1347 _x0000_s1348 _x0000_s1349 _x0000_s1350 _x0000_s1351 _x0000_s1352 _x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1355 _x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1358 _x0000_s1359 _x0000_s1360 _x0000_s1361 _x0000_s1362 _x0000_s1363 _x0000_s1364 _x0000_s1365 _x0000_s1366 _x0000_s1367 _x0000_s1368 _x0000_s1369 _x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374 _x0000_s1375 _x0000_s1376 _x0000_s1377 _x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1381 _x0000_s1382 _x0000_s1383 _x0000_s1384 _x0000_s1385 _x0000_s1386 _x0000_s1387 _x0000_s1388 _x0000_s1389 _x0000_s1390 _x0000_s1391 _x0000_s1392 _x0000_s1393 _x0000_s1394 _x0000_s1395 _x0000_s1396"> 

                                
                                            
Рис. 1.11
В області потенціального бар’єра рівняння Шредінгера для стаціонарних станів набуде вигляду
                                           <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image264.wmz» o:><img width=«220» height=«59» src=«dopb168424.zip» v:shapes="_x0000_i1160">                   (1.72)
Якщо позначити вираз <shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image266.wmz» o:><img width=«88» height=«41» src=«dopb168425.zip» v:shapes="_x0000_i1161"> через <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image268.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb168426.zip» v:shapes="_x0000_i1162"> , то рівняння (1.72) перепишеться
<shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image270.wmz» o:><img width=«140» height=«59» src=«dopb168427.zip» v:shapes="_x0000_i1163">.                                            (1.73)
Розв’язком рівняння (1.34) може бути функція
 <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image272.wmz» o:><img width=«181» height=«32» src=«dopb168428.zip» v:shapes="_x0000_i1164">,                                               (1.74)
де А і В — деякі константи,і — уявна одиниця.
Експонента з додатним знаком фізичного змісту не має і може бути відкинута, так як не повинно бути зростання імовірності в області потенціального бар’єра. Тому в області потенціального бар’єра (х>0), хвильова функція частинки Yx визначається рівністю
                                           Yx= Be-i<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image274.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb168429.zip» v:shapes="_x0000_i1165">x                                                  (1.75)
Коефіцієнт В у виразі (1.75) пов’язаний з інтенсивністю променя частинок, які рухаються в напрямі бар’єра, а тому задається довільно. Як правилох>  координати частинок розподіляються з густиною імовірності
                     <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image276.wmz» o:><img width=«333» height=«48» src=«dopb168430.zip» v:shapes="_x0000_i1166">,                   (1.76)
де w()дорівнює значенню |Yx|2 при х=0.
Рівняння (1.76) показує, що із збільшенням глибини проникнення в область потенціального бар’єра, густина імовірностіw(х)зменшується експоненційно. Це зменшення буде тим швидше, чим більша різниця енергійUE.
Знайдемо глибину проникнення елементарної частинки в область потенціального бар’єра при умові, що m =9,1 10-31кг (електрон),                    UE= 10-4 eB, а густина імовірності w) на цій відстані зменшується ве разів
<shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image278.wmz» o:><img width=«567» height=«63» src=«dopb168431.zip» v:shapes="_x0000_i1167">.
Ця відстань перевищує на два порядки діаметр атома водню. Глибина проникнення зменшується на порядок, якщо різниця енергій UEзросте до  10-2 еВ.
Здатність квантових частинок проникати в область потенціального бар’єра приводить дотунельного ефекту. Його суть полягає в проникненні частинки із однієї області в іншу область, які поділені потенціальним бар’єром навіть в тих випадках, коли енергія частинки Е менше висоти потенціального бар’єраU.
Таке проходження частинки виявляється можливим дякуючи існуванню під бар’єром хвильової функції, яка «прокладає» шлях частинки на будь-яку відстань. Тунельний ефект є головною причиною a — розпаду радіоактивних ядер.

2. Фізика атомів і молекул
2.1. Атом водню
2.1.1. Використання рівняння Шредінгера до атома водню.  
Хвильова функція. Квантові числа.
2.1.2. Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.
Правила відбору.
2.1.3. Механічний і магнітний моменти атома водню.
2.1.1.Використання рівняння Шредінгера до атома водню.
Хвильова функція. Квантові числа.
Теорія Бора будови і властивостей енергетичних рівнів електронів у воднево подібних системах знайшла своє підтвердження в квантовій механіці. Квантова механіка також стверджує, що:
a)  електрони в атомах водню знаходяться лише в дискретних енергетичних станах. При переході електронів із одних станів в інші випромінюється або поглинається фотон;
б).не існує певних колових орбіт електронів. В силу хвильової природи електрони «розмиті» в просторі подібно до хмарки негативного заряду. Розміри і форму такої хмарки в заданому стані можна розрахувати.
Розглянемо рух електрона в кулонівському полі ядра з зарядом Ze, потенціальна енергія якого виражається формулою
                                    <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image280.wmz» o:><img width=«108» height=«59» src=«dopb168432.zip» v:shapes="_x0000_i1168">,                                            (2.1.1)
де r — відстань між електроном і ядром.
Стан електрона в атомі водню або воднево подібному атомі описується деякою хвильовою функцією Y, яка задовольняє стаціонарному рівнянню Шредінгера:
                        <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image282.wmz» o:><img width=«307» height=«59» src=«dopb168433.zip» v:shapes="_x0000_i1169">,                 (2.1.2)
де <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image284.wmz» o:><img width=«163» height=«61» src=«dopb168339.zip» v:shapes="_x0000_i1170"> - оператор Лапласа; Е — значення повної енергії електрона в атомі; m — маса частинки; <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image285.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb168290.zip» v:shapes="_x0000_i1171"><shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image286.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb168434.zip» v:shapes="_x0000_i1172">(x,y,z) — хвильова функція в декартові системі координат.
<img width=«277» height=«227» src=«dopb168435.zip» v:shapes="_x0000_s1397 _x0000_s1398 _x0000_s1399 _x0000_s1400 _x0000_s1401 _x0000_s1402 _x0000_s1403 _x0000_s1404 _x0000_s1405 _x0000_s1406 _x0000_s1407 _x0000_s1408 _x0000_s1409 _x0000_s1410 _x0000_s1411 _x0000_s1412 _x0000_s1413 _x0000_s1414 _x0000_s1415 _x0000_s1416 _x0000_s1417 _x0000_s1418 _x0000_s1419 _x0000_s1420 _x0000_s1421 _x0000_s1422 _x0000_s1423 _x0000_s1424 _x0000_s1425">Для розв’язування рівняння Шредінгера (2.1.2), тобто знаходження виду хвильової функції для електрона в атомі водню слід перейти від декартових координат до сферичних. В цьому випадку зв’язок між параметрами цих систем координат визначається з рис.2.1.
    продолжение
--PAGE_BREAK--                                                
Рис.2.1.
Співвідношення, які зв’язують координати x,y,z декартової прямокутної системи координат з сферичними координатами r, q, j  наступні:
                                <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image289.wmz» o:><img width=«132» height=«76» src=«dopb168436.zip» v:shapes="_x0000_i1173">                                        (2.1.3)
Таким чином можна вважати, що хвильова функція y електрона в атомі водню залежить від  сферичних координат, тобто y=y(r, q,j).
Опустивши не складні, але досить громіздкі перетворення переходу від декартової системи координат до сферичної, одержимо:
<shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image291.wmz» o:><img width=«600» height=«61» src=«dopb168437.zip» v:shapes="_x0000_i1174">.
(2.1.4)
Якщо розглядати основний (не збуджений) стан атома водню, то другою і третьою складовими в рівнянні (2.1.4) можна знехтувати. Електрон в такому стані рухається лише по коловій траєкторії, і хвильова функція не залежить від q і j. Тому
                         <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image293.wmz» o:><img width=«291» height=«59» src=«dopb168438.zip» v:shapes="_x0000_i1175">.                      (2.1.5)
Хвильова функція y електрона в основному стані (2.1.5) є функцією лише r, тобто y=y(r). Такий стан називається s-станом; він має сферично-симетричний характер. Імовірність виявити електрон у заданій точці атома — залежатиме лише від r. Умовам стаціонарного стану відповідає легко диференціруєма центральносиметрична функція, яка має вигляд:
                                     <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image295.wmz» o:><img width=«89» height=«52» src=«dopb168439.zip» v:shapes="_x0000_i1176">,                                            (2.1.6)
де a — деяка стала величина, яка має розмірність довжини.
Необхідні похідні від (2.1.6) підставимо в (2.1.5). Після скорочення на <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image297.wmz» o:><img width=«25» height=«32» src=«dopb168440.zip» v:shapes="_x0000_i1177"> одержимо:
                                   <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image299.wmz» o:><img width=«235» height=«63» src=«dopb168441.zip» v:shapes="_x0000_i1178">.                          (2.1.7)
Рівність (2.1.7) має місце для будь-яких значень r при виконанні наступних умов:
<shapetype id="_x0000_t88" coordsize=«21600,21600» o:spt=«88» adj=«1800,10800» path=«m,qx10800@0l10800@2qy21600@11,10800@3l10800@1qy,21600e» filled=«f»><path arrowok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs=«0,0;21600,@11;0,21600» textboxrect=«0,@4,7637,@5»><img width=«11» height=«108» src=«dopb168442.zip» v:shapes="_x0000_s1426">                                  <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image302.wmz» o:><img width=«113» height=«116» src=«dopb168443.zip» v:shapes="_x0000_i1179">                                                 (2.1.8)
З рівностей (2.1.8) одержуємо
                                  <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image304.wmz» o:><img width=«111» height=«57» src=«dopb168444.zip» v:shapes="_x0000_i1180">                                                 (2.1.9)
                                  <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image306.wmz» o:><img width=«136» height=«63» src=«dopb168445.zip» v:shapes="_x0000_i1181">                                        (2.1.10)
Покажемо, що вираз (2.1.9) є найбільш імовірною відстанню електрона в атомі водню до ядра. Імовірність знайти електрон на відставні r від ядра, точніше в інтервалі відстаней від r  до r+dr, тобто в кульковому шарі з об¢ємом dV=4pr2 dr, дорівнює:
                        <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image308.wmz» o:><img width=«264» height=«32» src=«dopb168446.zip» v:shapes="_x0000_i1182">.                            (2.1.11)
З урахуванням (2.1.6), хвильової функції основного стану маємо:
                                  <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image310.wmz» o:><img width=«153» height=«48» src=«dopb168447.zip» v:shapes="_x0000_i1183">,                                   (2.1.12)
де <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image312.wmz» o:><img width=«135» height=«52» src=«dopb168448.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> - густина імовірності.
Дослідимо вираз (2.1.12) на максимум, тобто похідну від w(r) прирівняємо до нуля
                                     <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image314.wmz» o:><img width=«179» height=«63» src=«dopb168449.zip» v:shapes="_x0000_i1185">.
                                                  
Звідки
                                    r=a.                                                                  (2.1.13)
Цей результат є окремим випадком загального висновку: борівські орбіти електрона в атомі водню є геометричними місцями точок, в яких з найбільшою імовірністю можна виявити електрон.
Залежність густини імовірності w(r) виявити електрон на різних відстанях від ядра показана на рис.2.2.
<img width=«256» height=«187» src=«dopb168450.zip» v:shapes="_x0000_s1427 _x0000_s1428 _x0000_s1429 _x0000_s1430 _x0000_s1431 _x0000_s1432 _x0000_s1433 _x0000_s1434 _x0000_s1435"> 

                                                      
                                                    
                                                         
                                             Рис.2.2.
За теорією Бора імовірність виявити електрон у стані з n=1 відмінна від нуля лише для r=a, а згідно з висновками квантової механіки ця відстань є лише найбільш імовірною.
Теорія Бора дає можливість визначити значення енергії електрона в будь-якому енергетичному стані, а також радіус відповідних борівських орбіт:
                                             <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image317.wmz» o:><img width=«172» height=«63» src=«dopb168451.zip» v:shapes="_x0000_i1186">,                           (2.1.14)
                                    <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image319.wmz» o:><img width=«137» height=«59» src=«dopb168452.zip» v:shapes="_x0000_i1187">,                                     (2.1.15)
де m — маса електрона; e — заряд електрона; e — діелектрична проникність вакууму; <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image001.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168289.zip» v:shapes="_x0000_i1188">  — стала Планка, поділена на 2p; n=1,2,3... — головні квантові числа.
Співставлення (2.1.9) і (2.1.14), а також (2.1.9) і (2.1.15) показують, що висновки квантової механіки і теорії Бора повністю співпадають. Це співподання підкреслює значну історичну роль теорії Бора, яка ще не є квантовою, однак і не класичною теорією.
Хвильові функції для наступних двох енергетичних рівнів електронів в атомі водню мають вигляд
                                   <shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image321.wmz» o:><img width=«144» height=«63» src=«dopb168453.zip» v:shapes="_x0000_i1189">,                                       (2.1.16)
                                  <shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image323.wmz» o:><img width=«201» height=«65» src=«dopb168454.zip» v:shapes="_x0000_i1190">.                              (2.1.17)
Ці хвильові функції також є розв¢язками рівняння (2.1.4) при умові, що <shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image325.wmz» o:><img width=«68» height=«48» src=«dopb168455.zip» v:shapes="_x0000_i1191"> і <shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image327.wmz» o:><img width=«68» height=«48» src=«dopb168456.zip» v:shapes="_x0000_i1192">. Можна показати, що формула (2.1.14) є значенням енергії електрона на будь-якому енергетичному рівні.
Однак для повного пояснення стану електрона в атомі водню необхідні ще два квантові числа, які входять у відповідні рівняння хвильових функцій і які характеризують момент імпульсу електрона в атомі.
Для збуджених атомів хвильові функції не є центрально симетричними і залежать не лише від r, а і від q і j. Ці хвильові функції містять три цілочислові параметри, які називають квантовими числами. Серед них:
n — головне квантове число, співпадає з аналогічним квантовим числом теорії Бора і набуває значень від 1 до ¥;
l — орбітальне квантове число, квантує момент імпульсу
                                   <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image329.wmz» o:><img width=«108» height=«31» src=«dopb168457.zip» v:shapes="_x0000_i1193">.                                            (2.1.18)
Орбітальне квантове число набуває значень l=0,1,2,….
ml — магнітне квантове число, квантує проекцію орбітального моменту імпульсу на вісь Z напрямку зовнішнього магнітного поля
                                   <shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image331.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb168458.zip» v:shapes="_x0000_i1194">.                                                  (2.1.19)
Магнітне квантове число набуває значень ml= 0,±1,±2,±3....
2.1.2.  Енергія атома водню і його спектр. Виродження рівнів.
Правила відбору.
Знаючи кількісне співвідношення для енергії електрона на енергетичному рівні в атомі водню, можна розрахувати весь його спектр. Нехай енергія більш високого збудженого енергетичного рівня дорівнює
<shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image333.wmz» o:><img width=«192» height=«92» src=«dopb168459.zip» v:shapes="_x0000_i1195">                                  (2.1.19)
 а енергія нижчого рівня
<shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image335.wmz» o:><img width=«172» height=«63» src=«dopb168460.zip» v:shapes="_x0000_i1196">                                                      (2.1.19)
Частоти, які відповідають різним спектральним лініям, можна записати у  вигляді
<shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image337.wmz» o:><img width=«95» height=«48» src=«dopb168461.zip» v:shapes="_x0000_i1197">,      
або
<shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image339.wmz» o:><img width=«220» height=«65» src=«dopb168462.zip» v:shapes="_x0000_i1198">                                (2.1.21)
Серія спектральних ліній, яким відповідає  n1=1,  називається серією Лаймана. Всі лінії цієї серії розміщені в ультрафіолетовій області спектра електромагнітного випромінювання. У випадку, коли n1=2, виникає друга серія випромінювання, яка називається серією Бальмера. Перші чотири лінії цієї серії  знаходяться у видимій області спектра. Інші спектральні лінії цієї серії перебувають на межі видимої і ультрафіолетової області спектра.
Формула (2.1.21) називається формулою Бальмера. У цій формулі вираз перед дужками є сталою величиною, яку називають сталою Рідберга. Стала Рідберга R розрахована з великою точністю. Її величина дорівнює
<shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image341.wmz» o:><img width=«224» height=«63» src=«dopb168463.zip» v:shapes="_x0000_i1199">  м-1.
Число знаків, до яких визначена стала Рідберга показує рівень точності сучасної спектроскопії і ілюструє повне співпадання розрахунків за формулою Бальмера з результатами спостережень.
Якщо n1=3, то за формулою (2.1.21) можна розрахувати наступну серію випромінювання — серію Пашена. Всі лінії цієї серії перебувають в інфрачервоній області спектра.
Наступна серія випромінювання дляn1=4 носить назву серії Бреккета. Лінії цієї серії перебувають в інфрачервоній області спектра.
Характер утворення спектральних серій атомом водню  наведено на рис. 2.3.
Кожному значенню енергії електрона в атомі водню En (за винятком Е1) відповідає декілька значень хвильової функції <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image343.wmz» o:><img width=«59» height=«36» src=«dopb168464.zip» v:shapes="_x0000_i1200">. Вони відрізняються значеннями квантових чисел liml. Це означає, що атом водню може мати однакове значення енергії і перебувати в кількох різних квантових станах.
Стани з однаковою енергією називаються виродженими, а число таких станів з одним значенням енергії, називається порядком виродження.
Порядок виродження легко обчислити виходячи з числа можливих значень liml. Кожному значенню числа n відповідає 2l+1 значень квантового числа ml. Тому число різноманітних станів для даного значення n, дорівнює
<shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image345.wmz» o:><img width=«128» height=«60» src=«dopb168465.zip» v:shapes="_x0000_i1201">                                    (2.1.22)
Таким чином кожен рівень енергії атома водню має порядок виродження 2n2.
В квантовій механіці доводиться, що можливі лише такі переходи електронів між енергетичними рівнями, для яких виконується  умова зміни орбітального квантового числа l на одиницю:
Dl=±1 .                                            (2.1.23)

<img width=«392» height=«487» src=«dopb168466.zip» v:shapes="_x0000_s1436 _x0000_s1437 _x0000_s1438 _x0000_s1439 _x0000_s1440 _x0000_s1441 _x0000_s1442 _x0000_s1443 _x0000_s1444 _x0000_s1445 _x0000_s1446 _x0000_s1447 _x0000_s1448 _x0000_s1449 _x0000_s1450 _x0000_s1451 _x0000_s1452 _x0000_s1453 _x0000_s1454 _x0000_s1455 _x0000_s1456 _x0000_s1457 _x0000_s1458 _x0000_s1459 _x0000_s1460 _x0000_s1461 _x0000_s1462 _x0000_s1463 _x0000_s1464 _x0000_s1465 _x0000_s1466 _x0000_s1467 _x0000_s1468 _x0000_s1469 _x0000_s1470 _x0000_s1471 _x0000_s1472 _x0000_s1473 _x0000_s1474 _x0000_s1475 _x0000_s1476 _x0000_s1477 _x0000_s1478 _x0000_s1479 _x0000_s1480 _x0000_s1481 _x0000_s1482 _x0000_s1483 _x0000_s1484 _x0000_s1485 _x0000_s1486 _x0000_s1487 _x0000_s1488 _x0000_s1489 _x0000_s1490 _x0000_s1491 _x0000_s1492 _x0000_s1493 _x0000_s1494 _x0000_s1495 _x0000_s1496 _x0000_s1497 _x0000_s1498 _x0000_s1499 _x0000_s1500 _x0000_s1501 _x0000_s1502 _x0000_s1503 _x0000_s1504 _x0000_s1505 _x0000_s1506 _x0000_s1507 _x0000_s1508 _x0000_s1509 _x0000_s1510 _x0000_s1511 _x0000_s1512 _x0000_s1513 _x0000_s1514 _x0000_s1515 _x0000_s1516 _x0000_s1517 _x0000_s1518 _x0000_s1519 _x0000_s1520 _x0000_s1521 _x0000_s1522 _x0000_s1523 _x0000_s1524 _x0000_s1525 _x0000_s1526 _x0000_s1527 _x0000_s1528 _x0000_s1529 _x0000_s1530 _x0000_s1531 _x0000_s1532 _x0000_s1533 _x0000_s1534 _x0000_s1535 _x0000_s1536 _x0000_s1537 _x0000_s1538 _x0000_s1539 _x0000_s1540 _x0000_s1541 _x0000_s1542 _x0000_s1543 _x0000_s1544 _x0000_s1545 _x0000_s1546 _x0000_s1547 _x0000_s1548 _x0000_s1549 _x0000_s1550 _x0000_s1551 _x0000_s1552 _x0000_s1553 _x0000_s1554 _x0000_s1555 _x0000_s1556 _x0000_s1557 _x0000_s1558 _x0000_s1559 _x0000_s1560 _x0000_s1561 _x0000_s1562 _x0000_s1563 _x0000_s1564 _x0000_s1565 _x0000_s1566 _x0000_s1567 _x0000_s1568 _x0000_s1569 _x0000_s1570 _x0000_s1571 _x0000_s1572 _x0000_s1573 _x0000_s1574 _x0000_s1575 _x0000_s1576 _x0000_s1577 _x0000_s1578 _x0000_s1579 _x0000_s1580 _x0000_s1581 _x0000_s1582 _x0000_s1583 _x0000_s1584 _x0000_s1585 _x0000_s1586 _x0000_s1587 _x0000_s1588 _x0000_s1589 _x0000_s1590 _x0000_s1591 _x0000_s1592 _x0000_s1593 _x0000_s1594 _x0000_s1595 _x0000_s1596 _x0000_s1597 _x0000_s1598 _x0000_s1599">  

                           
Рис. 2.3.
Умова, яка виражена співвідношенням (2.1.23) називається правилом відбору. Існування цього правила обумовлено тим, що фотон має власний момент імпульсу, який називають спіном, рівним наближено <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image348.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168289.zip» v:shapes="_x0000_i1202">. При випромінюванні фотон забирає від атома цей момент, а при поглинанні віддає атому. Тому правило відбору є відповідним наслідком закону збереження моменту імпульсу.
Переходи електронів в атомі водню, які дозволені правилом відбору показані на рис. 2.3.
Серії Лаймана відповідають переходи
np®1s, (n=2,3,4,...).
Серії Бальмера відповідають переходи
           np®2s,  ns®2p  i  nd®2p, (n=3,4,5,...).
Стан 1s є основним станом атому водню. В цьому стані атом має найменшу енергію. Для виведення атома з основного стану йому слід надати необхідної енергії за рахунок зовнішнього джерела. Таким джерелом енергії може бути нагрівання, електричний розряд або опромінення.
При опромінені водню фотонами від зовнішнього джерела їх енергія поглинається повністю лише у випадку коли енергія фотонів в точності співпадає з різницею енергії двох енергетичних рівнів. В цьому випадку фотон зникає повністю, передаючи атому всю свою енергію. Атом не може поглинути частину фотона, так як фотон є неподільним.
         
2.1..3. Механічний і магнітний моменти атома водню.
Орбітальне квантове число l визначає стан електрона в атомі. Якщо рух електрона характеризується значенням квантового числа l=0, то електрон перебуває в s — стані, а сам електрон називається s-електроном. Квантовому числу l=1 відповідає р-стан електрона,l=2 — d-стан,l=3 -  f-стан і т. д.
Для електрона, що знаходиться в атомі водню на n-му енергетичному рівні, можливі одна колова орбіта при l=n-1 in-1 еліптичних орбіт. Із зменшенням l збільшується ступінь витягнутості орбіти. Отже, при заданому головному квантовому числі орбітальне квантове число lвизначає форму орбіти.
У квантовій механіці орбітальний момент імпульсу електрона визначається таким співвідношенням:
<shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image349.wmz» o:><img width=«116» height=«31» src=«dopb168467.zip» v:shapes="_x0000_i1203">, де   (l=0,1,2,...n-1).                      (2.1.24)
Цей вираз свідчить про можливість таких рухів електрона, для яких (при l=0) орбітальний момент імпульсу електрона дорівнює нулю.
Третє квантове число ml, яке називається магнітним квантовим числом, визначає просторовий розподіл траєкторії руху електрона, а також і проекцію вектора механічного моменту або моменту імпульсу орбіти на заданий напрям.
Орбіту, по якій рухається електрон, можна розглядати як контур струму. Такий контур характеризується певним значенням орбітального магнітного моменту електрона <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image351.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb168468.zip» v:shapes="_x0000_i1204">, векторною величиною, що направлена вздовж осі орбіти в той бік, куди направлена індукція магнітного поля, створюваного цим контуром. Між вектором <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image353.wmz» o:><img width=«29» height=«47» src=«dopb168469.zip» v:shapes="_x0000_i1205">і <shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image355.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb168470.zip» v:shapes="_x0000_i1206">існує наступний зв’язок
<shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image357.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb168468.zip» v:shapes="_x0000_i1207">= — <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image358.wmz» o:><img width=«57» height=«52» src=«dopb168471.zip» v:shapes="_x0000_i1208">=-g<shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image360.wmz» o:><img width=«28» height=«41» src=«dopb168472.zip» v:shapes="_x0000_i1209">,                                     (2.1.25)
де  е — заряд електрона; m — маса електрона; g<shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image362.wmz» o:><img width=«41» height=«44» src=«dopb168473.zip» v:shapes="_x0000_i1210"> - гіромагнітне відношення.
Враховуючи значення Ll з (2.1.24) одержимо:
<shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image364.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb168468.zip» v:shapes="_x0000_i1211">=-g <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image365.wmz» o:><img width=«93» height=«31» src=«dopb168474.zip» v:shapes="_x0000_i1212">=-<shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image367.wmz» o:><img width=«24» height=«29» src=«dopb168475.zip» v:shapes="_x0000_i1213">б<shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image369.wmz» o:><img width=«73» height=«31» src=«dopb168476.zip» v:shapes="_x0000_i1214">,                     (2.1.26)
де <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image371.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb168477.zip» v:shapes="_x0000_i1215">б=g<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image373.wmz» o:><img width=«21» height=«19» src=«dopb168478.zip» v:shapes="_x0000_i1216">  — магнетон Бора.
Як видно з (2.1.26) вектори <shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image375.wmz» o:><img width=«25» height=«41» src=«dopb168468.zip» v:shapes="_x0000_i1217"> і <shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image376.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb168479.zip» v:shapes="_x0000_i1218"> мають протилежні напрямки.
Вектор <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image378.wmz» o:><img width=«20» height=«31» src=«dopb168480.zip» v:shapes="_x0000_i1219"> може мати 2l+1 просторових орієнтацій, а це означає, що при даному l електрон в атомі, який вміщено в зовнішнє магнітне поле, може рухатися по 2l+1 орбітах, які відрізняються своєю орієнтацією щодо напрямку магнітного поля.
<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image380.wmz» o:><img width=«96» height=«28» src=«dopb168481.zip» v:shapes="_x0000_i1220">,                                           (2.1.27)
де ml — магнітне квантове число.
На рис. 2.4. зображено можливі значення проекції орбітального механічного моменту на напрям осі z зовнішнього магнітного поля для випадків l=1  i  l=2.
<img width=«339» height=«169» src=«dopb168482.zip» v:shapes="_x0000_s1600 _x0000_s1601 _x0000_s1602 _x0000_s1603 _x0000_s1604 _x0000_s1605 _x0000_s1606 _x0000_s1607 _x0000_s1608 _x0000_s1609 _x0000_s1610 _x0000_s1611 _x0000_s1612 _x0000_s1613 _x0000_s1614 _x0000_s1615 _x0000_s1616 _x0000_s1617 _x0000_s1618 _x0000_s1619 _x0000_s1620 _x0000_s1621 _x0000_s1622 _x0000_s1623 _x0000_s1624 _x0000_s1625 _x0000_s1626 _x0000_s1627 _x0000_s1628">  

                                   
Рис. 2.4.
Таким чином просторове квантування приводить до розчеплення в магнітному полі енергетичного рівня електрона на ряд підрівнів, а отже, і до розчеплення спектральних ліній. Таке явище спостерігав Зеєман.  Розчеплення спектральних ліній також можливе в електричному полі — дослід Штарка.
<img width=«353» height=«175» src=«dopb168483.zip» v:shapes="_x0000_s1629 _x0000_s1630 _x0000_s1631 _x0000_s1632 _x0000_s1633 _x0000_s1634 _x0000_s1635 _x0000_s1636 _x0000_s1637 _x0000_s1638 _x0000_s1639 _x0000_s1640 _x0000_s1641 _x0000_s1642 _x0000_s1643 _x0000_s1644 _x0000_s1645 _x0000_s1646 _x0000_s1647 _x0000_s1648 _x0000_s1649 _x0000_s1650 _x0000_s1651 _x0000_s1652 _x0000_s1653 _x0000_s1654 _x0000_s1655 _x0000_s1656 _x0000_s1657 _x0000_s1658 _x0000_s1659 _x0000_s1660 _x0000_s1661 _x0000_s1662 _x0000_s1663 _x0000_s1664 _x0000_s1665 _x0000_s1666 _x0000_s1667 _x0000_s1668 _x0000_s1669 _x0000_s1670 _x0000_s1671 _x0000_s1672 _x0000_s1673 _x0000_s1674 _x0000_s1675 _x0000_s1676 _x0000_s1677 _x0000_s1678 _x0000_s1679 _x0000_s1680 _x0000_s1681 _x0000_s1682 _x0000_s1683 _x0000_s1684 _x0000_s1685 _x0000_s1686 _x0000_s1687 _x0000_s1688 _x0000_s1689 _x0000_s1690 _x0000_s1691 _x0000_s1692 _x0000_s1693 _x0000_s1694 _x0000_s1695 _x0000_s1696 _x0000_s1697 _x0000_s1698 _x0000_s1699 _x0000_s1700 _x0000_s1701 _x0000_s1702 _x0000_s1703 _x0000_s1704 _x0000_s1705 _x0000_s1706 _x0000_s1707 _x0000_s1708 _x0000_s1709">  

                                     
                                          Рис. 2.5

Між розщепленими рівнями можливі переходи електронів згідно правил відбору  (рис. 2.5)
Dl=±1       i        Dml=0; ±1.
2.2 Багатоелектронні  атоми.
2.2.1.    Досліди Штерна і Герлаха. Спін електрона.
2.2.2. Принцип нерозрізненості тотожних частинок. Принцип
Паулі.
2.2.3. Розподіл електронів за станами. Періодична система
елементів.
2.2.4. Рентгенівські промені. Суцільний спектр і його межі.
Характеристичний спектр. Закон  Мозлі.
2.2.1. Досліди Штерна і Герлаха. Cпін електрона
Висновки квантової механіки про просторове квантування потребували експериментального підтвердження. Виявилось, що всі електронні лінії мають так звану «тонку структуру», яка спостерігається навіть при відсутності зовнішнього магнітного поля. Так, всі спектральні лінії водню і лужних металів є дублетами, тобто складаються з двох окремих, близько розташованих ліній. Була висунута гіпотеза про наявність у електронів власного механічного моменту, пов’язаного з обертанням його навколо власної осі. Пізніше власний механічний момент електронів S назвали спіном. Чисельно спін електрона дорівнює 1/2<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image348.wmz» o:><img width=«13» height=«17» src=«dopb168289.zip» v:shapes="_x0000_i1221">. Електрону властивий також магнітний момент, що дорівнює магнетону БораmБ=<shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image117.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb168348.zip» v:shapes="_x0000_i1222">g, деg — гіромагнітне відношення, рівне  e/2m; Власний механічний і магнітний моменти електрона можуть бути орієнтовані лише двома способами: паралельно або антипаралельно відносно вибраного напрямку. Ці дві орієнтації визначаються четвертим квантовим числом, яке називається спіновим. Спінове квантове число може набувати значень 1/2 і -1/2. Отже, на ряду з уже введеними раніше трьома квантовими числами  n, l, ml є ще четверте квантове число  ms — яке квантує власний механічний момент електрона.
Гіпотезу про існування власного механічного моменту (спіну) і власного магнітного моменту було пояснено в дослідах Штерна і Герлаха, виконаних ними ще в 1921-1923р.р.
Для дослідження були використані нейтральні атоми срібла, на зовнішніх оболонках яких рухається по одному електрону. Схема установки дослідів Штерна і Герлаха показана на рис. 2.6.
<fill src=«36289.files/image384.gif» o: type=«pattern»><fill src=«36289.files/image384.gif» o: type=«pattern»><shapetype id="_x0000_t7" coordsize=«21600,21600» o:spt=«7» adj=«5400» path=«m@0,l,21600@1,21600,21600,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«custom» o:connectlocs="@4,0;10800,@11;@3,10800;@5,21600;10800,@12;@2,10800" textboxrect=«1800,1800,19800,19800;8100,8100,13500,13500;10800,10800,10800,10800»><fill src=«36289.files/image385.gif» o: type=«pattern»><fill src=«36289.files/image386.gif» o: type=«pattern»><fill src=«36289.files/image386.gif» o: type=«pattern»><shapetype id="_x0000_t135" coordsize=«21600,21600» o:spt=«135» path=«m10800,qx21600,10800,10800,21600l,21600,,xe»><path gradientshapeok=«t» o:connecttype=«rect» textboxrect=«0,3163,18437,18437»><fill src=«36289.files/image384.gif» o: type=«pattern»><img width=«407» height=«194» src=«dopb168484.zip» v:shapes="_x0000_s1710 _x0000_s1711 _x0000_s1712 _x0000_s1713 _x0000_s1714 _x0000_s1715 _x0000_s1716 _x0000_s1717 _x0000_s1718 _x0000_s1719 _x0000_s1720 _x0000_s1721 _x0000_s1722 _x0000_s1723 _x0000_s1724 _x0000_s1725 _x0000_s1726 _x0000_s1727 _x0000_s1728 _x0000_s1729 _x0000_s1730 _x0000_s1731 _x0000_s1732 _x0000_s1733 _x0000_s1734 _x0000_s1735 _x0000_s1736 _x0000_s1737 _x0000_s1738 _x0000_s1739 _x0000_s1740 _x0000_s1741 _x0000_s1742 _x0000_s1743 _x0000_s1744 _x0000_s1745 _x0000_s1746 _x0000_s1747 _x0000_s1748 _x0000_s1749 _x0000_s1750 _x0000_s1751 _x0000_s1752 _x0000_s1753 _x0000_s1754 _x0000_s1755 _x0000_s1756 _x0000_s1757 _x0000_s1758 _x0000_s1759 _x0000_s1760 _x0000_s1761 _x0000_s1762 _x0000_s1763 _x0000_s1764 _x0000_s1765 _x0000_s1766 _x0000_s1767 _x0000_s1768 _x0000_s1769 _x0000_s1770 _x0000_s1771 _x0000_s1772 _x0000_s1773 _x0000_s1774 _x0000_s1775 _x0000_s1776 _x0000_s1777 _x0000_s1778 _x0000_s1779 _x0000_s1780 _x0000_s1781 _x0000_s1782 _x0000_s1783 _x0000_s1784"> 
    продолжение
--PAGE_BREAK--
                     
                                    Рис. 2.6
 В установці на рис. 2.6. було створено досить   неоднорідне магнітне поле за рахунок особливої конструкції магнітних   полюсів постійного магніту.
Потенціальна енергія атомів срібла пов’язана з  Рмі В співвідношенням
                         <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image388.wmz» o:><img width=«88» height=«28» src=«dopb168485.zip» v:shapes="_x0000_i1223">                                       (2.1.28)
де   <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image390.wmz» o:><img width=«25» height=«28» src=«dopb168486.zip» v:shapes="_x0000_i1224">  - вектор магнітного моменту атому срібла:
<shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image392.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb168487.zip» v:shapes="_x0000_i1225">   — вектор індукції зовнішнього магнітного поля.
 Якщо зовнішнє магнітне поле буде постійним, то магнітні моменти атомів срібла, здійснювали б прецесію навколо вектора <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image394.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb168487.zip» v:shapes="_x0000_i1226">, а магнітні сили були б відсутні.
В сильно неоднорідному магнітному полі цього не спостерігається, так як
<shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image395.wmz» o:><img width=«115» height=«51» src=«dopb168488.zip» v:shapes="_x0000_i1227">,  тому що  <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image397.wmz» o:><img width=«61» height=«48» src=«dopb168489.zip» v:shapes="_x0000_i1228">
Отже
                                 <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image399.wmz» o:><img width=«112» height=«51» src=«dopb168490.zip» v:shapes="_x0000_i1229">                                (2.1.29)
Під дією цієї   магнітної сили (2.1.29.) повинно бути розчеплення спектральних рівнів.
Якщо просторового квантування немає, тобто орієнтація магнітних моментів атомів у зовнішньому магнітному полі довільна, то на екрані спостерігатиметься неперервний розподіл атомів. При просторовому квантуванні пучок атомів після проходження неоднорідного поля розчеплюється на кілька пучків. Таке розчеплення атомних пучків спостерігали Штерн і Герлах і тим самим довели справедливість  положення  про просторове квантування магнітних моментів атомів. Проте виявилося, що в окремих дослідах є розбіжність між результатами експерименту і вимогами теорії.
Так, в експерименті з атомами срібла спостерігалось розчеплення пучка атомів, що проходили неоднорідне магнітне поле на два пучки, тоді як за теорією ці атоми не повинні зазнавати дії магнітного поля, оскільки їх орбітальні магнітні моменти в основному стані дорівнюють нулю.
Аномальне розчеплення атомних пучків водню, літію, срібла на два пучки неоднорідним магнітним полем       пов’язане з квантуванням власного магнітного моменту атомів.
<imagedata src=«36289.files/image401.wmz» o:><img width=«108» height=«27» src=«dopb168491.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1785">                 (2.1.30)


де  ms -  спінове квантове число, рівне 1/2 і -1/2.
В дослідах Штерна і Герлаха було встановлено, що власний магнітний момент електронів дорівнює
                             <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image403.wmz» o:><img width=«121» height=«28» src=«dopb168492.zip» v:shapes="_x0000_i1232">                                   (2.1.31)   
Спінове гіромагнітне відношення в два рази перевищує орбітальне. Наявність власного механічного моменту електрона  заборонена теорією відносності. Це говорить про те, що класичної інтерпретації власний механічний момент немає.
З квантової точки зору цю властивість частинок називають спіном, і інтерпретують як невід’ємну  властивість елементарних частинок.
Спін та власний магнітний момент мають протони, нейтрони та інші елементарні частинки.
2.2.2. Принцип нерозрізненості тотожних частинок. Принцип Паулі
До цих пір ми розглядали рух лише однієї квантової частинки. Незвичайні, з класичної точки зору властивості, проявляються при вивченні руху системи квантових частинок. Квантова теорія систем частинок полягає в тому, що в цій теорії поняття  хвильової функції відноситься лише  до системи частинок. Кожна окрема частинка системи не знаходиться  в  певному квантовому стані і не може бути охарактеризована своєю хвильовою функцією, яка б залежала лише від параметрів даної частинки.
Система квантових частинок набуває властивостей, яким не має аналога ні в класичній фізиці ні в квантовій механіці однієї частинки. Специфічна особливість квантової теорії систем частинок  полягає в їх принциповій нерозрізненості. Всі частинки такої квантової системи є тотожними.
Нерозрізненість тотожних частинок в квантових системах не властива для систем класичних частинок, де кожна частинка системи має свою індивідуальність.
В квантовій фізиці однакові частинки втрачають свою індивідуальність, так як рухаються не по траєкторіях. Поняття траєкторії квантових частинок із за хвильових властивостей  втрачає будь-який фізичний зміст.
Із принципової нерозрізненості однакових частинок випливає, що перестановка місцями двох однакових частинок в системі не впливає ні на одну із фізичних величин, що характеризують цю систему.
Слід відмітити, що при перестановці місцями двох частинок в системі хвильова функція, яка є функцією всіх параметрів частинок цієї системи, змінюється з Yна Y1. Однак густина імовірності при цьому не змінюється, тобто
 
|Y|2=|Y1|2.
В той же час хвильова функція Y1 відрізняється від Y на множник  eia, де a — деяка дійсна величина. Переставимо ті ж частинки ще раз місцями, тобто повернемось в попередній стан. Густина імовірностей знову ж не зміниться, а от хвильова функція Y буде відрізнятись від Y в початковий  момент на е2іa. Для рівності імовірностей необхідно, щоб  е2іa=1, а еіa= ±1. З цих міркувань видно, що при перестановці місцями довільної пари частинок системи хвильова функція може залишитися такою ж, або змінювати знак.
Хвильова функція, яка при перестановці місцями двох частинок системи свого знаку не змінює — називається симетричною. В тих випадках, коли при аналогічній перестановці частинок системи хвильова функція змінює знак, вона є антисиметричною.
Симетрія хвильової функції системи однакових частинок зберігається з часом. Тому тип симетрії хвильової функції є властивістю тільки самих частинок.
Системи однакових частинок з нульовими, або цілочисловими спінами описуються лише симетричними хвильовими функціями і називаються бозонами.
Системи однакових частинок з напівцілими спінами описуються лише антисиметричними хвильовими функціями і називаються  ферміонами.
До ферміонів відносяться електрони (<shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image405.wmz» o:><img width=«67» height=«48» src=«dopb168493.zip» v:shapes="_x0000_i1233">), протони і нейтрони (<shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image407.wmz» o:><img width=«67» height=«48» src=«dopb168493.zip» v:shapes="_x0000_i1234">) й інші частинки.
До бозонів відносяться p — мезони (<shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image408.wmz» o:><img width=«45» height=«19» src=«dopb168494.zip» v:shapes="_x0000_i1235">), фотони (<shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image410.wmz» o:><img width=«40» height=«16» src=«dopb168495.zip» v:shapes="_x0000_i1236">) і інші частинки.
Спін мікроскопічної частинки є її  найважливішою характеристикою. Так від спінів частинок залежать статистичні властивості квантових систем, які складаються з багатьох частинок. Статистичні властивості частинок з нульовими і цілочисловими спінами вперше вивчали Бозе й Ейнштейн ще в 1924 році, від чого відповідна квантова статистика дістала назву статистики Бозе і Ейнштейна. Статистичні властивості частинок з напівцілими спінами вивчали в 1926 році Фермі і Дірак — звідки назва відповідної квантової статистики Фермі і Дірака.
Зупинимось на розподілі електронів в атомі на відповідних енергетичних рівнях. Відомо, що стан кожного із електронів можна характеризувати чотирма квантовими числами: n, l, ml, ms, де n — головне квантове число, яке квантує енергію електрона в атомі  і визначає розміри орбіти електрона;l — орбітальне квантове число, що визначає (квантує) орбітальний момент імпульсу (механічний момент); ml-  магнітне квантове число, квантує проекцію вектора механічного моменту на заданий напрям зовнішнього магнітного поля; ms — спінове квантове число, що визначає орієнтацію власного механічного і магнітного моментів електрона.
За принципом Паулі (1924 р.) електрони, які входять до складу якої-небудь системи, зокрема електрони атомних оболонок, не можуть перебувати в тотожних станах руху. Інакше кажучи, в будь-якому стаціонарному стані, що характеризується сукупністю чотирьох квантових чисел n,l,ml,ms, не може перебувати більше одного електрона.
Принцип Паулі має використання лише для систем, частинок з антисиметричними хвильовими функціями, тобто до ферміонів.
2.2.3. Розподіл електронів за станами.
Періодична система елементів.
Сукупність електронів, які перебувають у всіх можливих станах з однаковим значенням головного квантового числа n, утворює електронну оболонку (електронний шар). Енергетичні шари прийнято позначати великими латинськими літерами відповідно до значень головного квантового числа.
Найближче до ядра в будь-якому атомі розташований К-шар, для якого n=1. Далі йдуть L- шар (n=2), M- шар (n=3), N- шар (n=4) тощо. Кількість електронів в шарі визначається формулою
<shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image412.wmz» o:><img width=«95» height=«32» src=«dopb168496.zip» v:shapes="_x0000_i1237">                                     (2.2.1)
де n — головне квантове число.
Згідно формули (2.2.1), в К-шарі міститься не більше двох електронів (два s- електрони); в L- шарі не більше восьми електронів (з них два в s- стані і шість в p-стані); в М-шарі не більше вісімнадцяти електронів (з яких два в s-стані, шість в р-стані і десять в d-стані) і т. д. Число електронів в тому чи іншому квантовому стані визначається за формулою
<shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image414.wmz» o:><img width=«123» height=«24» src=«dopb168497.zip» v:shapes="_x0000_i1238">                                (2.2.2)
де l — орбітальне квантове число.
Згідно формули (2.2.2), в s-стані перебуває не більше двох електронів (l=0); в p-стані перебуває не більше шeсти електронів (l=1); в d- стані перебуває не більше десять електронів (l=2); в f- стані не більше чотирнадцяти електронів (l=3), тощо.
 Для станів з фіксованими квантовими числами   n і l використовують позначення типу  1s,2s,2p  і т.д.: значення n  вказується цифрою, яка стоїть зліва від букви, що вказує значення числа  l. Як уже було відмічено в кожній такій групі є 2(2l+1) станів. Вони відрізняються один від одного значеннями магнітного квантового числа  ml — значення спінового квантового числа можуть бути лише  ms=1/2 і ms=-1/2.
Наприклад, у кожного стану із групи 1s орбітальне квантове число  l=0, так що група 1s містить лише два окремі квантові стани. В цих станах
n=1, l=0, ml=0, ms=1/2,
n=1, l=0, ml=0, ms=-1/2.
Група 2s також містить два стани, оскільки в ній також l=0; група 2p містить уже 2(21+1)=6 станів. В цих станах:
n=2,  l=1,  ml=1,  ms=1/2,
n=2,  l=1,  ml=1,  ms=-1/2,
n=2,  l=1,  ml=0,  ms=1/2,
n=2,  l=1,  ml=0,  ms=-1/2,
n=2,  l=1,  ml=-1,  ms=-1/2,
n=2,  l=1,  ml=-1,  ms=-1/2.
Аналогічно можна показати, що в d- стані число електронів не може перевищувати 10 електронів; в f- стані — не більше 14 електронів.
Розподіл електронів за одночастинковими станами називається електронною конфігурацією. Електронні конфігурації позначаються символами типу 1s2 2s2 2p6 3s2. Тут цифрою над s i p справа, указують число електронів в станах 1s, 2s, 2p i 3s.
Якщо шар повністю заповнений то він називається замкнутим.
Кожен період таблиці Менделєєва починається елементом, який перебуває в стані 1s1, 2s1, 3s1, і т.д. Закінчується період елементом з повністю заповненим зовнішнім електронним шаром.
Процес забудови електронних оболонок у елементів перших двох періодів таблиці Менделєєва показано нижче:
          1H   — 1s1
          2He  — 1s2
          3Li  — 1s22s1
          4Be – 1s22s2
          5B  — 1s22s22p1
          6C  — 1s22s22p2
          7N  — 1s22s22p3
          8O  — 1s22s22p4
          9F   — 1s22s22p5
          10Ne –1s22s22p6
          18Ar – 1s22s22p63s23p6
          36Kr – 1s22s22p63s23p63d104s24p6
Електронні оболонки в інертних газів є повністю заповненими.
Періодичність властивостей атомів пояснюється періодичністю заповнення їх електронних оболонок, яка випливає з принципу Паулі. Періодичність у фізичних властивостей окремих хімічних елементів виявляється насамперед в структурі лінійчатих спектрів, які випромінюють атоми цих елементів. Подібність спектрів лужних металів обумовлена подібністю забудови зовнішніх електронних оболонок. Це пояснюється тим, що оптичні лінійчаті спектри випромінюються електронами зовнішніх електронних оболонок. Періодичність властивостей хімічних елементів проявляється також і в електричних властивостях атомів.
В основі періодичного закону лежить не лише уявлення про періодичну залежність властивостей елементів, а й уявлення про закономірний зв’язок між властивостями елементів у кожному періоді і в кожній групі періодичної системи, а також всередині цієї системи по діагональних напрямках. Саме цей закономірний зв’язок між кількісними і якісними характеристиками елементів, вперше відкритий і досліджений Менделєєвим, дав змогу йому передбачити існування і властивості невідомих на той час хімічних елементів.
Періодичний закон став одним з основних законів природознавства, які становлять фундамент сучасного фізичного вчення про будову матерії.
2.2.4. Рентгенівські промені. Суцільний спектр і його межі. Характеристичний спектр. Закон Мозлі.
Випромінювання, яке було відкрите в 1895 році німецьким фізиком Рентгеном і пізніше назване на його честь рентгенівським відіграє велику роль у дослідженнях будови електронних оболонок і властивостей складних атомів, при вивченні будови молекул, а особливо твердих тіл.
Рентгенівське випромінювання виникає при гальмуванні речовиною швидких електронів внаслідок перетворення кінетичної енергії цих електронів в електромагнітне випромінювання. Довжини хвиль рентгенівського випромінювання перебувають в межах від 0.01 до 80 нм.
Для одержання рентгенівського випромінювання використовують рентгенівські трубки. Вони мають скляний або металевий корпус в якому вмонтовано катод і анод і створено глибокий  вакуум. Катод рентгенівської трубки є джерелом електронів, а анод — джерелом рентгенівського випромінювання. Між катодом і анодом створюють електричне поле, яке здатне прискорювати електрони до 104 — 105 еВ.
Досліди показують, що при бомбардуванні високо енергетичними електронами тіло аноду виникають два типи рентгенівського випромінювання. Перший тип називають білим, власний спектр якого є суцільним, подібним до спектру білого світла. Біле рентгенівське випромінювання утворюється при гальмуванні швидких електронів тілом анода. Тому це випромінювання називають ще гальмівним. Гальмівний рентгенівський спектр має короткохвильову межу lmin, яка визначається величиною анодної напруги, прикладеної між катодом і анодом.
Завдяки випадковому характеру зіткнень електронів з атомними оболонками анода, втрати енергії електронів на теплоту і випромінювання розподіляються довільно. Тому енергія фотонів гальмівного випромінювання може бути різною, а його спектр — суцільним.
При підвищенні напруги на рентгенівській трубці інтенсивність випромінювання зростає. Примітним також є те, що спектр рентгенівського випромінювання при всякій напрузі в короткохвильовій частині різко обривається (рис.2.7).
<img width=«266» height=«253» src=«dopb168498.zip» v:shapes="_x0000_s1786 _x0000_s1787 _x0000_s1788 _x0000_s1789 _x0000_s1790 _x0000_s1791 _x0000_s1792 _x0000_s1793 _x0000_s1794 _x0000_s1795 _x0000_s1796 _x0000_s1797 _x0000_s1798 _x0000_s1799 _x0000_s1800 _x0000_s1801 _x0000_s1802 _x0000_s1803 _x0000_s1804 _x0000_s1805 _x0000_s1806 _x0000_s1807 _x0000_s1808 _x0000_s1809 _x0000_s1810 _x0000_s1811 _x0000_s1812 _x0000_s1813 _x0000_s1814 _x0000_s1815 _x0000_s1816 _x0000_s1817 _x0000_s1818 _x0000_s1819 _x0000_s1820 _x0000_s1821 _x0000_s1822 _x0000_s1823 _x0000_s1824 _x0000_s1825 _x0000_s1826 _x0000_s1827 _x0000_s1828 _x0000_s1829 _x0000_s1830 _x0000_s1831 _x0000_s1832 _x0000_s1833 _x0000_s1834 _x0000_s1835 _x0000_s1836 _x0000_s1837 _x0000_s1838 _x0000_s1839 _x0000_s1840 _x0000_s1841 _x0000_s1842 _x0000_s1843 _x0000_s1844 _x0000_s1845 _x0000_s1846 _x0000_s1847 _x0000_s1848 _x0000_s1849 _x0000_s1850 _x0000_s1851 _x0000_s1852 _x0000_s1853 _x0000_s1854 _x0000_s1855 _x0000_s1856 _x0000_s1857 _x0000_s1858 _x0000_s1859 _x0000_s1860 _x0000_s1861 _x0000_s1862 _x0000_s1863 _x0000_s1864 _x0000_s1865 _x0000_s1866 _x0000_s1867 _x0000_s1868 _x0000_s1869 _x0000_s1870 _x0000_s1871 _x0000_s1872 _x0000_s1873 _x0000_s1874 _x0000_s1875 _x0000_s1876 _x0000_s1877 _x0000_s1878 _x0000_s1879 _x0000_s1880 _x0000_s1881 _x0000_s1882 _x0000_s1883 _x0000_s1884 _x0000_s1885 _x0000_s1886 _x0000_s1887 _x0000_s1888 _x0000_s1889 _x0000_s1890 _x0000_s1891 _x0000_s1892 _x0000_s1893 _x0000_s1894 _x0000_s1895 _x0000_s1896 _x0000_s1897 _x0000_s1898 _x0000_s1899 _x0000_s1900 _x0000_s1901 _x0000_s1902 _x0000_s1903 _x0000_s1904 _x0000_s1905 _x0000_s1906 _x0000_s1907 _x0000_s1908 _x0000_s1909 _x0000_s1910 _x0000_s1911 _x0000_s1912 _x0000_s1913 _x0000_s1914 _x0000_s1915 _x0000_s1916 _x0000_s1917 _x0000_s1918 _x0000_s1919 _x0000_s1920 _x0000_s1921 _x0000_s1922">  

Рис. 2.7
Для короткохвильової межі гальмівного спектра маємо
 
<shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image417.wmz» o:><img width=«125» height=«45» src=«dopb168499.zip» v:shapes="_x0000_i1239">.                            (2.2.3)

Звідки
                                <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image419.wmz» o:><img width=«72» height=«44» src=«dopb168500.zip» v:shapes="_x0000_i1240">,                                      (2.2.4)
                                                  
де h — стала Планка; с — швидкість світла; q — заряд електрона  U — анодна напруга. Формула (2.2.4) добре узгоджується з дослідними даними. В свій час вона виявилась одним з найточніших методів експериментального визначення сталої Планка. Це співвідношення добре збігається з рівнянням Ейнштейна для фотоефекту, якщо в ньому знехтувати роботою виходу електрона з металу.
Другим типом випромінювання є характеристичне рентгенівське випромінювання. Його називають так через те, що воно характеризує речовину анода рентгенівської трубки. Спектр характеристичного рентгенівського випромінювання — лінійчатий. Особливість цих спектрів полягає в тому, що кожний хімічний елемент дає певний характеристичний рентгенівський спектр незалежно від того, чи збуджується атом у вільному стані, чи він входить до хімічної сполуки. Спектр характеристичного рентгенівського випромінювання істотно відрізняється від оптичних електронних спектрів тих же атомів. Вплив хімічного зв’язку на оптичні спектри досить значний, так як оптичні спектри випромінюються якраз валентними електронами. В той же час характеристичне рентгенівське випромінювання здійснюється електронами  глибоких енергетичних рівнів.
В 1913р.Англійський фізик Мозлі встановив закон, який виражає частоти у характеристичних спектрах речовини залежно від її атомного номера, а саме:
 
                        <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image421.wmz» o:><img width=«173» height=«41» src=«dopb168501.zip» v:shapes="_x0000_i1241">,                             (2.2.5)
де R — стала Рідберга в, с-1; m і n — номери числа рівнів, між якими здійснюється перехід електрона; s — стала екранування, яка зберігає своє значення в межах даної серії для всіх елементів. Для К-серії s=1; для L- серії  s=7.5 і т.д.
Інколи закон Мозлі пишуть в такій формі
                                               <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image423.wmz» o:><img width=«109» height=«48» src=«dopb168502.zip» v:shapes="_x0000_i1242">,                               (2.2.6)
де n*=1/l — хвильове число; R1 — стала Рідберга в м-1; <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image425.wmz» o:><img width=«13» height=«15» src=«dopb168503.zip» v:shapes="_x0000_i1243"> - стала величина; s — стала екранування.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Для довжини хвиль, які характеризують переходи електронів на  Кa рівень Мозлі дістав таке співвідношення
      <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image427.wmz» o:><img width=«37» height=«48» src=«dopb168504.zip» v:shapes="_x0000_i1244">=<shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image429.wmz» o:><img width=«75» height=«47» src=«dopb168505.zip» v:shapes="_x0000_i1245">                         (2.2.7)
Співставляючи (2.2.6) і (2.2.7), маємо, що для цих ліній
<shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image431.wmz» o:><img width=«53» height=«47» src=«dopb168506.zip» v:shapes="_x0000_i1246">    і    s=1.
Застосування закону Мозлі до атомів хімічних елементів періодичної системи Менделєєва підтвердило закономірне зростання електричного заряду ядра на одиницю при послідовному переході від одного елемента до іншого.
         

2.3 Молекула
2.3.1. Взаємодія атомів. Іонний ковалентний зв’язок атомів у
молекулах. Поняття про теорію обмінних сил.
2.3.2. Енергетичні рівні молекул. Молекулярні спектри.
Парамагнітний резонанс.
2.3.3. Комбінаційне розсіювання світла.
2.3.4. Поглинання, спонтанне і вимушене випромінюва-ння.
Оптичні квантові генератори.
2.3.1 Взаємодія атомів. Іонний і ковалентний зв’язок атомів у  
молекулах. Поняття про теорію обмінних сил. 
Молекули складаються з однакових або різних атомів, сполучених між собою в одне ціле міжатомними зв’язками. Саме існування молекул як стійких систем показує, що хімічні зв’язки атомів у молекулах повинні бути зумовлені наявністю між атомами деяких сил взаємодії, що зв’язує атоми в молекулах один з одним. Для роз’єднання молекули на атоми слід виконати певну роботу. Це підтверджує факт виділення енергії при утворенні молекули. Так, наприклад, два атоми водню у вільному стані мають більшу енергію ніж ті самі атоми, сполучені в двохатомну молекулу. Це є доказом наявності сил, які зв’язують атоми в молекулах, причому енергія, яка виділяється при утворенні молекули, є мірою тих сил взаємодії.
Експерименти показують, що сили міжатомної взаємодії в молекулах виникають між зовнішніми, валентними електронами атомів. Про це свідчить різка зміна оптичного спектра атомів при утворенні ними молекул і, навпаки, збереження особливостей рентгенівського характеристичного спектра атомів незалежно від того чи атоми вільні чи утворюють молекулярні сполуки.
Важливо відмітити, що атоми на значних відстанях не взаємодіють один з одним. Із зменшенням відстані r між ядрами атомів зростають сили взаємного притягування. Проте ці сили не єдині. На малих відстанях між атомами виникають сили взаємного відштовхування, величина яких різко зростає в момент перекриття електронних оболонок. Сили відштовхування більш короткодіючі, ніж сили притягування. На рис.2.8 наведено криві залежності від відстані r сил притягування  F2; відштовхування  F1 і результуючої сили  F взаємодії атомів у такій молекулі, причому сили відштовхування вважаються додатними.
<img width=«221» height=«238» src=«dopb168507.zip» v:shapes="_x0000_s1923 _x0000_s1924 _x0000_s1925 _x0000_s1926 _x0000_s1927 _x0000_s1928 _x0000_s1929 _x0000_s1930 _x0000_s1931 _x0000_s1932 _x0000_s1933 _x0000_s1934 _x0000_s1935 _x0000_s1936 _x0000_s1937 _x0000_s1938 _x0000_s1939 _x0000_s1940 _x0000_s1941 _x0000_s1942 _x0000_s1943 _x0000_s1944">  

                        
                                 Рис. 2.8 Bнаслідок протилежної дії сил F1 i F2 на деякій відстані r0між атомами обидві сили  врівноважуються і її геометрична сума стає рівною нулю. На цій відстані найменша взаємна потенціальна енергія W(r) атомів двохатомної молекули. На рис. 2.9 зображено криву залежності від r потенціальної енергії W(r) взаємодії двох атомів у молекулі.

<img width=«241» height=«235» src=«dopb168508.zip» v:shapes="_x0000_s1945 _x0000_s1946 _x0000_s1947 _x0000_s1948 _x0000_s1949 _x0000_s1950 _x0000_s1951 _x0000_s1952 _x0000_s1953 _x0000_s1954 _x0000_s1955 _x0000_s1956 _x0000_s1957 _x0000_s1958">  

                                                     
Рис. 2.9
 Величина D (на рис. 2.9) чисельно дорівнює роботі, яку потрібно виконати, щоб розірвати зв’язки атомів у молекулі, тобто роз’єднати молекулу на атоми. Цю роботу ще називають енергією дисоціації молекули або енергією зв’язку. Зрозуміло, що при утворенні молекули з окремих атомів така енергія повинна звільнитись.
Нехай один із атомів в результаті взаємодії приєднує до себе один або кілька електронів  стає негативним іоном, а інший атом, віддає відповідну кількість електронів і перетворюється в позитивний іон. Такі атоми  за рахунок електростатичного притягування утворюють молекулу. Молекули, в яких здійснюється такий тип зв’язку називають іонними або гетерополярними молекулами.
Однак більшість молекул в природі утворенні із електрично   нейтральних атомів. Хімічний зв’язок, який здійснюється між електрично нейтральними атомами в молекулі називають ковалентним, або гемополярним. Природу ковалентного зв’язку вдалось з’ясувати  лише на основі квантової механіки.
Зупинимось більш детально на механізмі утворення іонних молекул. Типовим прикладом такої молекули є кухонна сіль NaCl. Метали першої групи таблиці Менделєєва мають порівняно невеликі величини потенціалу іонізації. Так для натрію потенціал іонізації становить 5.1 еВ. З другого боку електронна спорідненість атома хлору має значну величину, порядку 3.8 еВ. Перехід електрона від атома Na до атома Cl приводить до утворення іонів Na+ i Cl-, які притягуючись між собою за допомогою електростатичних сил, утворюють стійку молекулу з іонним зв’язком. Електростатичне притягування між іонами  Na+ i Cl- на певній відстані зрівноважується електростатичним відштовхуванням оболонок обох іонів. Іонний зв’язок не може бути насиченим.
Порівняння потенціалу іонізації атомів натрію і електронної спорідненості атомів хлору показує, що майже завжди величина еj енергії іонізації трохи перевищує електронну спорідненість. Для кухонної солі це перевищення становить 1.3 еВ. Отже електрон від атома натрію не може самочинно перейти до атома хлору. В той же час, при утворенні молекули NaCl енергія виділяється. Пояснити цей процес можна лише значним зближенням іонів, від чого виділяється електростатична енергія їх взаємодії. Утворення іонів і їх зближення — це єдиний процес, який відбувається одночасно і лише після того, як атоми так наблизилися, що разом з утворенням іонів виділяється потрібна для цього кількість енергії.
Ковалентний хімічний зв’язок здійснюється між нейтральними атомами. Цей зв’язок має властивість насичення. Атом водню може вступити у взаємодію лише з одним атомом водню. Атом вуглецю може при взаємодії  зв’язати лише чотири атома водню і т.д.
Таким чином, насичення ковалентних зв’язків є істотно не класичним ефектом. Можливість його пояснення за допомогою гравітаційних сил в цьому випадку повністю виключається.
Кількісну теорію ковалентного зв’язку, стосовно молекули водню, розробили Гейтлер і Лондон у 1927р. на основі квантової механіки. Розглянемо два атоми водню, ядра яких перебувають у точках <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image425.wmz» o:><img width=«18» height=«20» src=«dopb168509.zip» v:shapes="_x0000_i1247"> і <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image436.wmz» o:><img width=«18» height=«25» src=«dopb168510.zip» v:shapes="_x0000_i1248"> на відстані R. Якщо відстань R дуже велика, то атоми не взаємодіють і повна енергія системи із двох атомів водню дорівнюватиме подвійній енергії основного стану атома водню, тобто:
W=2W1,
 де                                   <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image438.wmz» o:><img width=«117» height=«48» src=«dopb168511.zip» v:shapes="_x0000_i1249">.
При наближенні атомів між ними виникає взаємодія, яка характеризується деякою енергією Wp( R ), що залежить від відстані між атомами. Загальна енергія тоді буде рівною
                                                W=2W1+WP ( R ).                        (2.3.1)
Якщо R®¥, то Wp(R)®0. При наближенні двох атомів водню один до одного Wp(R) спочатку буде зменшуватись від 0 (при R=¥)  до деяких від’ємних значень (при скінчених R), що відповідає притяганню атомів. Потім при зменшенні R Wp(R) буде зростати, що відповідає відштовхуванню атомів. Такий характер зміни Wp(R) не залежить від природи хімічного зв’язку і показаний на рис. 2.9.
На рис. 2.10 зображено електронні хмари двох атомів водню, які при скінченній відстані R між ядрами частково перекриваються.
Обидва електрони в молекулі водню є тотожні й нерозрізнені частинки. Згідно принципу Паулі при переміні місцями цих електронів  система не зміниться.                               

<img width=«249» height=«152» src=«dopb168512.zip» v:shapes="_x0000_s1959 _x0000_s1960 _x0000_s1961 _x0000_s1962 _x0000_s1963 _x0000_s1964 _x0000_s1965 _x0000_s1966 _x0000_s1967 _x0000_s1968 _x0000_s1969 _x0000_s1970 _x0000_s1971 _x0000_s1972 _x0000_s1973 _x0000_s1974 _x0000_s1975 _x0000_s1976 _x0000_s1977 _x0000_s1978 _x0000_s1979 _x0000_s1980 _x0000_s1981 _x0000_s1982 _x0000_s1983 _x0000_s1984 _x0000_s1985 _x0000_s1986 _x0000_s1987 _x0000_s1988 _x0000_s1989 _x0000_s1990 _x0000_s1991 _x0000_s1992 _x0000_s1993 _x0000_s1994 _x0000_s1995">  

Рис. 2.10
Однак стан такої системи в квантовій механіці може визначатись або  симетричною або антисиметричною хвильовою функцією. В цьому випадку хвильова функція повинна бути обов’язково антисиметричною. При цьому енергія взаємодії Wp(R) буде визначатись з урахуванням обох можливих станів молекули водню за формулою:
 
                                      <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image441.wmz» o:><img width=«156» height=«44» src=«dopb168513.zip» v:shapes="_x0000_i1250">,                               (2.3.2)
де знак плюс стосується випадку опису стану молекули симетричною координатною хвильовою функцією, а мінус — антисиметричною координатною функцією.
Безрозмірний інтеграл S(R) називають інтегралом перекривання; він характеризує перекривання електронних хмар при наближенні атомів один до одного. При R®¥, коли атоми не взаємодіють, інтеграл S(R) перетворюється в нуль. Найбільшого значення S(R)=1 цей інтеграл досягає при R=0, коли обидва атоми сумістяться своїми ядрами і оболонками. Зрозуміло, що таких випадків не буває. В молекулі водню Н2 інтеграл S(R) має додатне значення менше за одиницю. На знак енергії Wp(R) інтеграл S(R) не впливає.
          Інтеграл C(R) називають кулонівським інтегралом. Він характеризує кулонівську взаємодію ядер і електронів у молекулі Н2. Найбільший інтерес становить інтеграл А(R), який називають обмінним інтегралом. Наявність цього інтеграла пов’язана з нерозрізненістю електронів у молекулі і можливістю їх перестановки  місцями. Інтеграл А( R ) має розмірність енергії і характеризує особливу квантово-механічну взаємодію, яка виникає між двома тотожними електронами, і яку умовно називають «обмінною взаємодією». «Обмінну взаємодію» електронів в молекулі водню розуміють так, що електрон кожного із її атомів періодично перебуває то біля одного атома, то біля іншого атома, здійснюючи тим самим зв’язок обох атомів. Сили, які проявляються при цьому, називають «обмінними».
Розрахунки показують, що на великих відстанях R C(R) i A(R) мають зникаюче мале значення. На великих відстанях взаємодія між окремими атомами водню відсутня. На середніх відстанях, співрозмірних з борівським радіусом водневого атома, обидва інтеграли C(R) i A(R) є від’ємні, причому çA(R)ç>çC(R)ç. Тому енергія в формулі (2.3.2) матиме такі два значення:
<shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image443.wmz» o:><img width=«181» height=«44» src=«dopb168514.zip» v:shapes="_x0000_i1251">;       <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image445.wmz» o:><img width=«181» height=«44» src=«dopb168515.zip» v:shapes="_x0000_i1252">.               (2.3.3)
Перше з них W+p(R) відповідає притяганню і характеризує стійкий стан молекули водню. Друге W-p(R) відповідає відштовхуванню і визначає нестійкий стан молекули. Для стійкого стану молекули, координатна хвильова функція є симетричною, а спіни електронів повинні бути антипаралельними. Лише в такому випадку за принципом Паулі повна хвильова функція буде антисиметричною*. У нестійкому стані молекули водню координатні  хвильові функції є антисиметричними. Для збереження антисиметричного характеру повної хвильової функції  необхідно щоб спіни електронів в обох атомах молекули були паралельними.
*Y( r ) — координатна хвильова функція
 Y( r,q,j ) — повна хвильова функція.
2.3.2. Енергетичні рівні молекул. Молекулярні спектри. Парамагнітний резонанс.
У попередніх лекціях були розглянуті спектри атомів, що складаються з окремих ліній, які утворюють серії. В середині кожної серії атомного спектра спектральні лінії розміщені на різніх відстанях одна від одної, при чому до межі кожної із серій вони зближуються. Молекулярні спектри вже за зовнішнім виглядом значно відрізняються від атомних. Молекулярні спектри являють собою широкі смуги, які утворені досить тісно розміщеними окремими лініями. Короткохвильовий край кожної із смуг має розмитий характер. Це пов’язано з тим, що окремі спектральні лінії так близько розміщені одна від одної, що сучасними спектральними приладами вже не розділяються.
Молекулярні спектри за їх характерний вигляд називають смугастими спектрами. Смуги і групи смуг молекулярних спектрів розміщуються як в інфрачервоній, видимій, так і в ультрафіолетовій області довжин електромагнітних хвиль. З ускладненням молекул ускладнюються і їх молекулярні спектри. В досить складних молекул в різних областях довжин хвиль спостерігаються суцільні широкі смуги поглинання або випромінювання.
Розглянемо механізм утворення молекулярних спектрів. Повна енергія молекули W може бути розглянута, як суперпозиція: Wпост — енергії поступального руху центра інерції молекули; Wел — енергії руху електронів в атомах молекули; Wкол — енергії коливального руху ядер атомів, що входять до складу молекули, біля їх положення рівноваги; Wоб — енергії обертального руху молекули як цілого; Wяд — енергія ядер атомів у молекулі. Тобто
                    W = Wпост+ Wел+ Wкол+ Wоб+ Wяд.                (2.3.4)
Енергія Wпост не квантується, тому її зміна на молекулярні спектри не впливає. Енергія, пов’язана з впливом ядра Wяд на процеси в молекулі, досить мала й істотної ролі не відіграє. Тому надтонка структура в молекулярних спектрах пов’язана з впливом ядра, практично нехтується. Тому енергія молекули, яка визначає її оптичні властивості, складається з суми трьох доданків:
                                      W1=Wел+Wкол+Wоб                              (2.3.5)
За правилом Бора частота n кванта, який випускає молекула при зміні її енергетичного стану дорівнює:
                                      <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image447.wmz» o:><img width=«237» height=«44» src=«dopb168516.zip» v:shapes="_x0000_i1253">                   (2.3.6)
де DWел, DWкол, DWоб — зміни відповідних частин енергії молекули.
Оскільки кожний з доданків (2.3.5) набуває ряду дискретних квантових значень, тобто їх зміни також мають дискретні значення і тому спектр молекул складається з густо розміщених спектральних ліній. Як показують досліди і теоретичні розрахунки, зміни енергій DWел, DWкол, i DWоб мають різну величину
DWоб<<DWкол<<DWел.
Для виділення частот, які відповідають змінам різних видів енергії в молекулі зручніше розглянути її спектр поглинання. Припустимо, на речовину, яка складається з молекул, що не взаємодіють між собою, падає довгохвильове випромінювання з мало енергетичними квантами hn. До тих пір, доки енергія кванта hn не стане рівною найменшій різниці енергії між двома найближчими енергетичними рівнями молекул, поглинання не буде. Поглинання настане при довжинах хвиль зовнішнього опромінення порядку (0.1-1) мкм, тобто в далекій інфрачервоній області спектра. Кванти енергії таких хвиль можуть перевести молекулу з одного обертального енергетичного рівня на інший, вищий. А це призведе до виникнення спектра поглинання.
Довжини хвиль в кілька мікрон мають енергію, з допомогою якої можна збуджувати відповідні переходи коливальних рівнів. В цьому випадку будуть також збуджуватись відповідні обертальні рівні. Виникне коливально-обертальний спектр (рис.2.11).
<img width=«304» height=«160» src=«dopb168517.zip» v:shapes="_x0000_s1996 _x0000_s1997 _x0000_s1998 _x0000_s1999 _x0000_s2000 _x0000_s2001 _x0000_s2002 _x0000_s2003 _x0000_s2004 _x0000_s2005 _x0000_s2006 _x0000_s2007 _x0000_s2008 _x0000_s2009 _x0000_s2010 _x0000_s2011 _x0000_s2012 _x0000_s2013 _x0000_s2014 _x0000_s2015 _x0000_s2016">  

                                     
  
Рис. 2.11
У видимій і ультрафіолетовій області енергії квантів достатньо для  збудження в молекулах переходів між відповід-ними електронними рівнями.                                                          
<img width=«309» height=«170» src=«dopb168518.zip» v:shapes="_x0000_s2017 _x0000_s2018 _x0000_s2019 _x0000_s2020 _x0000_s2021 _x0000_s2022 _x0000_s2023 _x0000_s2024 _x0000_s2025 _x0000_s2026 _x0000_s2027 _x0000_s2028 _x0000_s2029 _x0000_s2030 _x0000_s2031 _x0000_s2032 _x0000_s2033 _x0000_s2034 _x0000_s2035 _x0000_s2036 _x0000_s2037 _x0000_s2038 _x0000_s2039 _x0000_s2040 _x0000_s2041 _x0000_s2042 _x0000_s2043 _x0000_s2044 _x0000_s2045">                                    
Рис. 2.12

Одночасно з цими переходами будуть збуджуватись коливальні і обертальні енергетичні рівні. Це дасть можливість одержати електронно-коливальний спектр, який показано на (рис.2.12).
Отже, кожному електронно-коливальному переходу відповідатиме певна смуга, тому весь електронно-коливальний спектр у видимій і близькій до неї області є системою з кількох груп смуг, розміщених в цих ділянках спектра.
У 1996р.  Зеєман знайшов, що коли джерело світла помістити між полюсами електромагніту, відбувається розчеплення спектральних ліній, а відповідно і атомних рівнів речовини джерела, на ряд компонентів. Цей ефект було названо на честь Зеємана — зеєманівським.
Якщо направити промінь світла перпендикулярно до напрямку силових ліній магнітного поля, то спектральні лінії частотою n0симетрично розчеплюються на три компоненти n0+Dn,  n0   і    n0-Dn.
Ефект Зеємана (нормальний) спостерігається лише у парамагнітних атомів, так як лише ці атоми мають нульовий орбітальний магнітний момент і можуть взаємодіяти із зовнішнім магнітним полем.
Відстань між середньою і крайніми лініями зеєманівського розчеплення виявляється рівною
 
<shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«36289.files/image451.wmz» o:><img width=«160» height=«47» src=«dopb168519.zip» v:shapes="_x0000_i1254">
де <shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«36289.files/image453.wmz» o:><img width=«69» height=«45» src=«dopb168520.zip» v:shapes="_x0000_i1255">  - магнетон Бора;  m0 — магнітна стала; h — стала Планка.
Нормальний ефект Зеємана пов’язаний з розчепленням атомних рівнів і відповідно спектральних ліній завдяки взаємодії орбітальних магнітних моментів з зовнішнім магнітним полем. У випадку слабих магнітних полів можна спостерігати розчеплення пов’язане із взаємодією спінових магнітних моментів електронів. В цьому випадку ефект Зеємана називається аномальним. З ним пов’язана тонка структура спектральних ліній.
    продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по физике