Реферат: П.9.3. Сходимость трехточечной разностной схемы

Для исследования сходимости рассмотрим погрешность разностной схемы в узлах сетки:

Пользуясь линейностью оператора (9.7) и введенными ранее безиндексными обозначениями нетрудно установить, что погрешность в узлах сетки удовлетворяет разностной схеме

(9.11)

где y — погрешность аппроксимации.

Введем оценку для погрешности в узлах сетки zi. Из соотношения (9.10) следует, что

, ,

поэтому схема (9.11) в прогоночном виде запишется следующим образом:

(9.12)

где .

Предположим, что в исходном линейном дифференциальном уравнении (9.3)

Тогда, в частности, имеет место неравенство

(9.13)

Значения zi из схемы (9.12) можно найти методом прогонки

,,, (9.14)

(9.15)

Если, то. И тогда из (9.13) и (9.14) следует .

Поскольку a1 = 0, то по индукции мы получаем, во-первых разрешимость схемы (9.12) в виде (9.15) и во-вторых, справедливость неравенства. Следовательно, из (9.15) можно вывести неравенство .

Учитывая, что zN = 0, получаем соотношение .

Воспользуемся теперь рекуррентной формулой (9.14) для, умножив ее на положительную величину :

Тогда, т.к.
.

Поскольку, то. Т.о. для погрешности в узлах сетки zi можно записать неравенство

, для ,

т.к. .

Переходя к норме, получаем, т.е. разностная схема (9.7) для краевой задачи (9.3)-(9.4) при условиях на коэффициенты (9.10) имеет второй порядок сходимости.