Реферат: Шатилова Анастасия.

Глава 4

Адаптивное обучение в маленьких играх

В ЭТОЙ ГЛАВЕ мы исследуем свойства адаптивного обучения в играх на две персоны, где каждый игрок имеет ровно два действия. Хотя это особый случай, он может быть использован для отображения широкого спектра социальных и экономических взаимодействий. Мы начнем с введения классическое понятие риска доминирования в игре 2х2, а затем покажем, что она совпадает со случайно стабильным результатом при различных предположениях о процессе обучения. В играх побольше, однако, эти два понятия различаются, как мы увидим в главе 7.

4.1 ДОМИНИРОВАНИЕ РИСКА

Рассмотрим игру двух лиц G с платежной матрицы

G — координационная игра с чистой стратегией равновесия Нэша (1,1) и (2,2), если и только если выплаты удовлетворяют неравенствам

Равновесие (1.1) есть рискодоминирующее, если

Аналогичным образом, равновесие (2, 2) является доминирующим риском, если обратное неравенство (Харсаньи и Сэлтен, 1988). Если неравенство строгое, то соответствующее равновесие строго рискодомонирующая.

Доминирование риска имеет простую интерпретацию, особенно когда игра является симметричной. Рассмотрим симметричную матрицу выигрышей

Представьте себе, что каждый игрок не уверен, что другой игрок собирается совершить. Придадим вероятность пятьдесят на пятьдесят действиям других. Ожидаемый выигрыш от игры в действии 1 (А + С)/2, в то время как ожидаемый выигрыш от действий 2(D + B )/2.Ожидаемая полезность максимизируется, поэтому выбирается действие 1, причем только тогда, когда (А + C) / 2≥ (D + B) / 2, то есть, только если A-D≤B-C. Это равносильно тому, что действие 1 является рискодоминирующим. Другими словами, когда каждый игрок имеет равные шансы на действия 1 или 2 его или ее соперника, оба игрока выберут рискодоминирующие действия.

В более общем случае (4,1), мы можем мотивировать доминирования риска следующим образом. Определим фактор риска равновесия (i, i), где i=1,2, чтобы наименьшая вероятность р была такой, что если один игрок считает, что другой игрок собирается совершить действие i с вероятностью строго больше, чем р, то i – это единственное оптимальное для совершения действие. Рассмотрим, например, равновесие (2,2). Для ряда игроков, наименьшее р удовлетворяет

то есть,

Для игрока столбца, наименьшее из таких р удовлетворяет

то есть,

В общем, пусть

Таким образом, фактором риска для равновесия (2, 2)является α ˄ β, где в общем x ˄ y обозначает минимум х и у. Кроме того, фактором риска для равновесия (1, 1) (1 — α) ˄ (1 — β). Рискодоминирующее равновесие в игре 2х2 есть равновесие, чей фактор риска является самым низким. Таким образом, равновесие (1,1) является рискодоминирующим, если

α ˄ β ≥ (1 — α) ˄ (1 — β)

Равновесие (2, 2) является рискодоминирующим, если выполняется обратное неравенство. Немного алгебраических манипуляций и становится очевидным, что (4,8) эквивалентно

Иными словами, в игре 2 х 2 равновесие является рискодоминирующим, если оно максимизирует выгоду от одностороннего отклонения (Харсаньи и Сэлтен, 1988).