Реферат: Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
«Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем»
МИНСК, 2008
Определение статистических характеристик случайных процессов в линейных системах
Задающее воздействие />и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная составляющая напряжения на выходе дискриминатора />(t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется.
Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов.
Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью
/>,
где /> — частотная передаточная функция системы;
/> — спектральная плотность процесса на входе.
Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию:
/>.
Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы:
/>(1)
или:
/>, (2)
где Sv(w) –двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы.
При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде:
/>,
где />; />.
Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов
Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду:
/>,
где />─ полином четной степени частоты/>;
/> — полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной/>; n – степень полинома/>.
Вычисление производят по формулам:
/>; />; />.
При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике.
Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной/>и система должна быть устойчивой.
Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1).
/>
Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения.
Исходные данные:
/>─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью />.
Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле:
/>.
Передаточная функция от воздействия к ошибке
/>;
/>; />.
Выполним расчет:
/>;
/>;
/>; />;
/>; />; />; />; />;
/>. (3)
Приведем />ко входу дискриминатора и упростим выражение (3)
/>, (4)
где />; /> — спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса.
Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей.
Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: />, и
/>;
Если на вход инерционного звена с передаточной функцией
/>
подать шум со спектральной плотностью />, то дисперсия на выходе будет равна
/>;
Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени />.
Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае
/>; />; />; />.
Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении />инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2).
/>
Рис.2. Зависимость АЧХ от постоянной времени инерционного звена.
Используя (4) можно оптимизировать параметры системы, в частности />по критерию минимума флюктуационной ошибки. С этой целью продифференцируем (6.4) по />и приравняем производную нулю.
/>/>;
/>;
/>;
/>; />;
при />; />;
Подставив />в (4), получим
/>,
где /> — собственная частота следящей системы.
Если задающее воздействие представлено спектральной плотностью неточность его воспроизведения также оценивается дисперсией. Рассмотрим пример (рис.3).
/>
Рис.3
Пусть />; />,
где />─ дисперсия задающего воздействия;
/> — параметр, определяющий ширину спектра.
Определим величину дисперсии ошибки слежения />, обусловленную неточностью воспроизведения задающего воздействия.
/>;
/>,
где/>; /> — коэффициент передачи интегратора;
/> — крутизна дискриминационной характеристики.
/>; />;
приведем выражение к стандартному виду:
/>;
/>(jw) =(/>+jw) (Kv+jw) =(jw) 2 +(/>+Kv) jw+/>Kv;
/>; />;
/>; />; />; />;
/>; />;
При увеличении />/>уменьшается, в то время как в первом примере />увеличивается.
Эквивалентная шумовая полоса следящих систем
Под эквивалентной шумовой полосой следящей системы понимают полосу пропускания эквивалентной системы, имеющей прямоугольную АЧХ, одинаковое с исходной системой ее значение на нулевой частоте и одинаковую дисперсию на выходе при воздействии на входы систем белого шума (рис.4).
/>
--PAGE_BREAK--Рис.4. АЧХ исходной и эквивалентной систем.
Чтобы определить полосу пропускания />используем условие равенства дисперсий:
/>
Отсюда
/>.
Использование значения эквивалентной шумовой полосы позволяет упростить вычисление дисперсии:
/>; />.
Если />, то />, или />,
где />─ односторонняя спектральная плотность.
Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы систем приведены в табл.1
Таблица 1. Формулы для расчета эквивалентной шумовой полосы.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Оптимизация параметров следящих систем
Для решения задачи оптимизации необходимо определить структуру системы, предъявляемые требования и ограничения, накладываемые на систему, описать воздействия и возмущения, выбрать критерий оптимизации и метод.
Оптимизируем параметры kи2 и T1 в системе (рис.5), в которой задающее воздействие λ(t) – детерминированная функция, а возмущение ─ случайный процесс ξ(t).
В качестве критерия оптимизации используем критерий минимума среднего квадрата ошибки:
/>; (5)
где /> — квадрат математического ожидания ошибки слежения.
/>
Рис.5. Структурная схема оптимизируемой системы.
Исходные данные:
/>; />.
Необходимо определить />и />по критерию (5).
Величина математического ожидания (динамической ошибки) определяется выражением
/>.
Величина дисперсии ошибки:
/>
/>. (6)
Для определения оптимальных значений параметров воспользуемся методом дифференцирования:
/>.
Из этого уравнения определяем
/>. (7)
Подставив в исходное уравнение (6) вместо T1 его оптимальное значение (7) и продифференцировав по переменной kи2, найдем ее оптимальное значение
/>.
Пусть задающее воздействие является случайным процессом с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью
/>
Флюктуационная составляющая характеризуется спектральной плотностью />.
В качестве фильтра используется идеальный интегратор:
/>.
Найдем оптимальное значение коэффициента передачи интегратора />по критерию минимума суммарной ошибки слежения:
/>,
где />─ величина дисперсии ошибки, обусловленная неточным воспроизведением входного воздействия; />─ величина дисперсии ошибки обусловленная воздействием флюктуационной составляющей.
/>
/>. (8)
Продифференцируем (8) по />и приравняем производную нулю. В результате получим
/>.
Память следящих систем
Радиотехнические системы работают в условиях многолучевого распространения радиоволн, поэтому при приеме сигнала наблюдается эффект замирания сигнала. Попадание на вход приемника мощной широкополосной помехи приводит к смещению рабочей точки характеристики активного элемента на нелинейный участок характеристики и в результате – к подавлению полезного сигнала мощной помехой. Сигнал на входе следящей системы пропадает, что эквивалентно размыканию контура. На структурной схеме (Рис.6) это явление можно отобразить введением двух ключей Кл1 и Кл2. Пропадание сигнала приводит к размыканию ключа Кл1 и переводу ключа Кл2 в положение 2, поскольку меняется характер флюктуаций.
/>
Рис.6. Структурная схема следящей системы с учетом пропадания полезного сигнала на входе.
Если в режиме слежения закон распределения ошибки нормальный с нулевым математическим ожиданием и в момент времени />следящая система разомкнулась, то через время />, характер распределения ошибки слежения изменится: увеличится математическое ожидание и дисперсия. Если в момент />значение ошибки не выходит за пределы апертуры дискриминационной характеристики, то появление сигнала приведет к восстановлению режима слежения. Если же />, то происходит срыв слежения.
Вероятность того, что через />после пропадания сигнала ошибка слежения не превышает />определяет память следящей системы:
/>.
/>
Рис.7. Распределение плотности вероятности ошибки слежения.
/>
Рис.8. Дискриминационная характеристика.
Рассмотрим пример.
Пусть следящая система имеет два интегратора (рис.9).
/>
Рис.9. Структурная схема системы.
Задающее воздействие определяется линейной зависимостью
/>;
Поскольку система является астатической с астатизмом второго порядка установившееся значение ошибки равно нулю, т.е.
/>.
Следовательно,
/>; />, а />,
т.е. напряжение на входе второго интегратора пропорционально скорости изменения задающего воздействия />.
Таким образом, система отслеживает скорость изменения входного процесса не по рассогласованию а по памяти. При пропадании сигнала на вход система будет отслеживать его изменение, если скорость не изменятся. При восстановлении сигнала ошибка будет минимальной, или равной нулю (в реальной ситуации срыв может произойти в результате флюктуаций управляемой величины под воздействием помех).
Память следящих систем определяется числом интегрирующих звеньев. Одно звено обеспечивает память по положению, два – по скорости, три – по ускорению.
Таким образом, система с астатизмом n –го порядка обладает памятью по n-1 производной задающего воздействия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред.В.А. Бесекерского. — М.: Высш. шк., 2005.
3… Первачев С. В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации / Под ред. М.И. Жодзишского – М.: Радио, 2000