Реферат: Теория автоматического управления

1. Анализ устойчивости замкнутой системы

1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

/>. (1)

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

/>.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

/>(2)

Корни характеристического уравнения (2):

/>

Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.

1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию

Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты aii=0..3,

а=0.00008,

a1=0.0078,

a2= – 0.03,

a3=48.

Необходимым условием устойчивости системы является:

ai>0, i=0..3

Данное условие не выполняется (a2<0), следовательно, замкнутая система неустойчива.

1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критериям

а) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости)

Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:

/>. (3)

Найдем корни характеристического уравнения (3):

/>

Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива.

Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.

/>(4)

/>(5)

/>(6)

Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу:

Таблица 1.3.1

w

-

-

P

-48

-

Q

-

Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1):

/>

Рис. 1.3.1

Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (/>; />) в положительном направлении на угол />, где lчисло правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l=1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива.

б) Критерий Найквиста (на плоскости ЛЧХ)

Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):

/>(7)

/>(8)

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:

/>

ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.

Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):

/>

Рис. 1.3.2

wср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;

wкр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;

Система устойчива, если выполняется условие:

wср<wкр

Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):

--PAGE_BREAK--

в) Критерий Михайлова

Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:

/>, где

/>,

/>.

Для заданной системы функция Михайлова примет вид:

/>

/>(9)

/>(10)

Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при /> называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.

Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу:

Таблица 1.3.3

w

77,625

-

X(w)

47

-

-∞

Y(w)

-39,748

-∞

Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4):

/>

Рис. 1.3.4

Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива.

2. Построение области устойчивости в плоскости параметра Кр

Построим область устойчивости, используя критерий Гурвица.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде:

/>.

/>

/>

Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

/>(11)

Для устойчивости системы КРдолжно удовлетворять необходимому условию

/>

/>

Рис. 2.1

Но заметим, что исходный КРудовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а2<0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени.

Построим область устойчивости в плоскости параметра Т2

Необходимое условие устойчивости:

/>/>

Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид:

/>/>

/>

/>

/>

Учитывая все условия:

/>

/>

Рис. 2.2





3. Коррекция системы

Для обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида:

/>

Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1):

/>

Рис. 3.1

Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид:

/>(12)

Определим параметр Тиз условия обеспечения минимального запаса устойчивости (Lзап=5 дБ).

Запас по амплитуде определяется на критической частоте – частоте, на которой функция φ(w)принимает значение, равное -π

Расчетное выражение для φ(w):

    продолжение
--PAGE_BREAK--

/>

/>, отсюда

/>(13)

Расчетное выражение для L(w):

/>(14)

Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L(w) (14):

/>

На критической частоте значение функции L(w), исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.

/>

Из данного выражения найдем wкр

wкр=308,4185,следовательно,

Т=0,001198

Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией />обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.

4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системы

Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы:

/>(15)

Найдем корни характеристического уравнения (15):

/>

Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.

Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.

/>

/>(16)

/>(17)

Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:

Таблица 4.1

w

-

328,8237

P

-48

-0,485

Q

-

Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1):

/>/>

Рис. 4.1

Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (/>; />) в положительном направлении на угол />, где lчисло правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l=1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.

Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:

Определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):

/>(18)

/>(19)

Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:

/>

ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.

Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):

/>

Рис. 4.2

wср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;

wкр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;

Система устойчива, если выполняется условие:

wср<wкр

Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: Lзап= 5,8 дБ

Запас устойчивости по фазе: φзап=0,2 рад

Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.

5. Анализ качества системы в переходном режиме

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:

/>, где (20)

/>(21)

Ф(s) – передаточная функция скорректированной замкнутой системы.

Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):

/>

Рис. 5.1

По рисунку (5.1) определим: hmax=0.3; hуст=0.17; h(0)=0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст-h(0)).

Коридор: [0.95 (hуст-h(0)); 1.05 (hуст-h(0))].

Коридор: [0.1615; 0.1785].

Время регулирования: tрег= 0,15 с.

Перерегулирование равно:

/>(5.3)

/>.

Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:

/>

Выделим действительную и мнимую части:

/>

/>

Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы:

/>(22)

Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):

/>

Рис. 5.2

По рисунку (5.2) определим: />; />.

Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:

/>

/>

Определим запасы устойчивости системы.

Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ(w) равняется –π.

/>(23)

/>

wкр=328,824

Рассчитаем запас по амплитуде:

/>(24)

/>

Запас по амплитуде: Lзап= 5,797 дБ

Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L(w) равняется 0, используя выражение (24):

/>

wср=232,624

Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):

/>

Запас по фазе:φзап=0,168 рад.

6. Анализ качества системы в установившемся режиме

Установившаяся ошибка системы равна:

/>(25)

εустХо=С0Х0(t)+ С1Х'0(t)+…

εуст f=С0F0(t)+ С1F'0(t)+…

Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:

/>

/>

Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:

/>

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:

/>/>

Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:

/>

Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):

/>

Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:

/>;

/>

Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.


еще рефераты
Еще работы по коммуникациям