Реферат: Теория автоматического управления
1. Анализ устойчивости замкнутой системы
1.1 Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения
Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:
/>. (1)
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
/>.
Характеристическое уравнение замкнутой системы:
/>(2)
Корни характеристического уравнения (2):
/>
Характеристическое уравнение (2) имеет два правых корня, следовательно, данная замкнутая система неустойчива.
1.2 Анализ устойчивости системы по алгебраическому критерию
Для характеристического уравнения (2) замкнутой системы коэффициенты ai, i=0..3,
а=0.00008,
a1=0.0078,
a2= – 0.03,
a3=48.
Необходимым условием устойчивости системы является:
ai>0, i=0..3
Данное условие не выполняется (a2<0), следовательно, замкнутая система неустойчива.
1.3 Анализ устойчивости системы по частотным критериям
а) Критерий Найквиста (на комплексной плоскости)
Используя передаточную функцию разомкнутой системы (1) запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:
/>. (3)
Найдем корни характеристического уравнения (3):
/>
Характеристическое уравнение разомкнутой системы (3) имеет один правый корень, следовательно, разомкнутая система неустойчива.
Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.
/>(4)
/>(5)
/>(6)
Используя выражения (5) и (6), заполним таблицу:
Таблица 1.3.1
w
-
-
∞
P
-48
-
Q
-
Построим годограф Найквиста (Рис. 1.3.1):
/>
Рис. 1.3.1
Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (/>; />) в положительном направлении на угол />, где l– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы (3) равно единице (l=1), полученный годограф не охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π (годограф охватывает особую точку в направлении по часовой стрелке), следовательно, критерий Найквиста не выполняется и система неустойчива.
б) Критерий Найквиста (на плоскости ЛЧХ)
Построим ЛЧХ заданной системы, для этого определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):
/>(7)
/>(8)
Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:
/>
ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.
Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (7) и (8) изображены на рисунке (1.3.2):
/>
Рис. 1.3.2
wср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;
wкр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;
Система устойчива, если выполняется условие:
wср<wкр
Данное условие не выполняется, следовательно, система неустойчива. Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему, изображенной на рисунке (1.3.3):
--PAGE_BREAK--в) Критерий Михайлова
Используя характеристическое уравнение замкнутой системы (2) введем функцию Михайлова:
/>, где
/>,
/>.
Для заданной системы функция Михайлова примет вид:
/>
/>(9)
/>(10)
Графическое изображение функции Михайлова на комплексной плоскости при /> называется годографом Михайлова. Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты до ∞ проходил последовательно в положительном направлении n квадрантов, нигде не обращаясь в ноль.
Используя выражения (9) и (10), заполним таблицу:
Таблица 1.3.3
w
77,625
-
∞
X(w)
47
-
-∞
Y(w)
-39,748
-∞
Построим годограф Михайлова (Рис. 1.3.4):
/>
Рис. 1.3.4
Полученный годограф начинается на вещественной положительной полуоси, проходит 2 квадранта в отрицательном направлении, таким образом, критерий Михайлова не выполняется, следовательно, система неустойчива.
2. Построение области устойчивости в плоскости параметра Кр
Построим область устойчивости, используя критерий Гурвица.
Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде:
/>.
/>
/>
Для конкретного случая характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:
/>(11)
Для устойчивости системы КРдолжно удовлетворять необходимому условию
/>
/>
Рис. 2.1
Но заметим, что исходный КРудовлетворяет этому условию, и его изменением устойчивости замкнутой системы добиться невозможно, т. к. в ХУ ЗС (2.3) а2<0, и зависит этот коэффициент от постоянных времени.
Построим область устойчивости в плоскости параметра Т2
Необходимое условие устойчивости:
/>/>
Достаточное условие устойчивости для системы третьего порядка по критерию Гурвица имеет вид:
/>/>
/>
/>
/>
Учитывая все условия:
/>
/>
Рис. 2.2
3. Коррекция системы
Для обеспечения устойчивости системы необходимо ввести корректирующее звено с передаточной функцией вида:
/>
Структурная схема скорректированной системы (Рис. 3.1):
/>
Рис. 3.1
Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы имеет вид:
/>(12)
Определим параметр Тиз условия обеспечения минимального запаса устойчивости (Lзап=5 дБ).
Запас по амплитуде определяется на критической частоте – частоте, на которой функция φ(w)принимает значение, равное -π
Расчетное выражение для φ(w):
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>, отсюда
/>(13)
Расчетное выражение для L(w):
/>(14)
Подставим найденное выражение Т (13) в функцию L(w) (14):
/>
На критической частоте значение функции L(w), исходя из условия обеспечения минимального запаса устойчивости, должно быть равно не менее 5 дБ.
/>
Из данного выражения найдем wкр
wкр=308,4185,следовательно,
Т=0,001198
Анализируя данное значение и область устойчивости, найденную в п. 2, можно сделать вывод, что введение корректирующего звена с передаточной функцией />обеспечит не только устойчивость системы, но и более чем минимальный запас устойчивости по амплитуде.
4. Построение и анализ ЛЧХ системы и годографа Найквиста скорректированной системы
Используя передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы (12), запишем характеристическое уравнение скорректированной разомкнутой системы:
/>(15)
Найдем корни характеристического уравнения (15):
/>
Уравнение (15) имеет один правый корень, следовательно, скорректированная разомкнутая система неустойчива.
Построим годограф Найквиста. Для этого определим частотную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы и ее действительную и мнимую части.
/>
/>(16)
/>(17)
Используя выражения (16) и (17), заполним таблицу:
Таблица 4.1
w
-
328,8237
∞
P
-48
-0,485
Q
-
Построим годограф Найквиста (Рис. 4.1):
/>/>
Рис. 4.1
Для случая, когда разомкнутая система неустойчива критерий Найквиста звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал особую точку (/>; />) в положительном направлении на угол />, где l– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
Число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно единице (l=1), полученный годограф охватывает особую точку (-1, j0) на угол lπ=π, следовательно, критерий Найквиста выполняется и система устойчива.
Построим ЛЧХ разомкнутой скорректированной системы:
Определим расчетные выражения для L(w) и φ(w):
/>(18)
/>(19)
Для построения асимптотической ЛАЧХ найдем параметры:
/>
ЛФЧХ системы также можно построить как геометрическую сумму ЛФЧХ отдельных звеньев системы.
Графики расчетных ЛЧХ, построенные по формулам (18) и (19), изображены на рисунке (4.2):
/>
Рис. 4.2
wср(частота среза) – частота, соответствующая пересечению ЛАЧХ с осью lgw;
wкр(критическая частота) – частота, соответствующая пересечению ЛФЧХ уровня –π;
Система устойчива, если выполняется условие:
wср<wкр
Данное условие выполняется, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по амплитуде: Lзап= 5,8 дБ
Запас устойчивости по фазе: φзап=0,2 рад
Аналогичный вывод можно сделать по асимптотической ЛАЧХ и ЛФЧХ системы, построенной как сумма отдельных звеньев, входящих в систему.
5. Анализ качества системы в переходном режиме
продолжение--PAGE_BREAK--
Определим прямые показатели качества, для этого построим переходную характеристику:
/>, где (20)
/>(21)
Ф(s) – передаточная функция скорректированной замкнутой системы.
Переходная характеристика, построенная по формуле (20), изображена на рисунке (5.1):
/>
Рис. 5.1
По рисунку (5.1) определим: hmax=0.3; hуст=0.17; h(0)=0, время регулирования на уровне 0.05 (hуст-h(0)).
Коридор: [0.95 (hуст-h(0)); 1.05 (hуст-h(0))].
Коридор: [0.1615; 0.1785].
Время регулирования: tрег= 0,15 с.
Перерегулирование равно:
/>(5.3)
/>.
Определим показатель коллебательности. Используя передаточную функцию скорректированной замкнутой системы (21), запишем частотную передаточную функцию скорректированной замкнутой системы:
/>
Выделим действительную и мнимую части:
/>
/>
Модуль частотной передаточной функции замкнутой системы:
/>(22)
Построим амплитудно-частотную характеристику, используя выражение (22) (Рис. 5.2):
/>
Рис. 5.2
По рисунку (5.2) определим: />; />.
Показатель колебательности M есть отношение максимальной ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к начальной ординате:
/>
/>
Определим запасы устойчивости системы.
Найдем критическую частоту – частоту, на которой значение φ(w) равняется –π.
/>(23)
/>
wкр=328,824
Рассчитаем запас по амплитуде:
/>(24)
/>
Запас по амплитуде: Lзап= 5,797 дБ
Найдем частоту среза – частоту, на которой значение L(w) равняется 0, используя выражение (24):
/>
wср=232,624
Рассчитаем запас по фазе, используя выражение (23):
/>
Запас по фазе:φзап=0,168 рад.
6. Анализ качества системы в установившемся режиме
Установившаяся ошибка системы равна:
/>(25)
εустХо=С0Х0(t)+ С1Х'0(t)+…
εуст f=С0F0(t)+ С1F'0(t)+…
Так как в заданном случае задающее и возмущающее воздействия – константы, необходимо найти лишь первые коэффициенты функций ошибок.
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по задающему воздействию:
/>
/>
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
/>
Запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке по возмущению:
/>/>
Установившаяся ошибка системы по задающему воздействию:
/>
Рассчитаем установившуюся ошибку системы, используя выражение (25):
/>
Приведем размерность установившейся ошибки к размерности входного сигнала:
/>;
/>
Система является статической как относительно возмущения, так и относительно задающего воздействия, установившаяся ошибка системы равна 7/282.