Реферат: Введение в математический анализ 2

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn }

Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {xn } = {(-1)n } или {xn } = -1; 1; -1; 1; …

{xn } = {sinpn/2} или {xn } = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции :

1) Умножение последовательности на число m: m{xn } = {mxn }, т.е. mx1, mx2, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn } ± {yn } = {xn ±yn }.

3) Произведение последовательностей: {xn }×{yn } = {xn ×yn }.

4) Частное последовательностей: при {yn } ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn } называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {xn }называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £M.

Определение. Последовательность {xn }называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³M

Пример. {xn } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn }, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > Nвыполняется условие:

Это записывается: limxn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn }сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim.

Пусть при n > Nверно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за Nвзять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn }= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn } = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn }имеет два предела aи b, не равные друг другу.

xn ®a; xn ®b; a¹b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a , то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a , то последовательность { xn } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если xn+1 ³xn для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если xn+1 £xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {xn } = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn } = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn }=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1 }=

Найдем знак разности: {xn }-{xn+1 }=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn } = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £xn+1 £ …

Эта последовательность ограничена сверху: xn £M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a — e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn }- неубывающая последовательность, то при N > n а — e < xN £xn,

xn > a — e.

Отсюдаa — e < xn < a + e

-e < xn – a < eилиôxn — aô< e, т.е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е .

Рассмотрим последовательность {xn } = .

Если последовательность {xn } монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {xn } – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn :

Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn } возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.

Итак, последовательность — монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е .

Из неравенства следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn } все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y, следовательно lnx = yln10

у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.

Предел функции в точке.

yf(x)

A + e

A — e

0 a — Daa + Dx

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx — aï < D

верно неравенство ïf(x) — Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а — D < x < a + D, x¹a, то верно неравенство А — e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение. Если f(x) ®A1 при х ® а только при x < a, то — называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ®A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .

f(x)

А2

А1

0 ax

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>Mвыполняется неравенство

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

0 0

Аналогично можно определить пределы для любого х>Mи

для любого х<M.

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f ( x )>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Теорема 6. Если g ( x ) £ f ( x ) £ u ( x ) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<Mвблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f ( x ) имеет конечный предел при х ® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или

, т.е.

где М = e + ïАï

Теорема доказана.

Бесконечно малые функции.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f ( x ) при х ® а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f ( x ) = A + a ( x ),

где a (х) – бесконечно малая при х ® а ( a (х) ® 0 при х ® а).

Свойства бесконечно малых функций:

1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx — aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

axaxax

Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f ( x ) ® 0 при х ® а (если х ® ¥ ) и не обращается в ноль, то

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка .

Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.

Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.

Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a — бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

Пример. Если , то при х®0 не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

1) a ~ a,

2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g,

3) Если a ~ b, то b ~ a,

4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или .

Следствие: а) если a ~ a1 и , то и

б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5xи sin7x ~ 7xпри х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cosx = при х®0, то .

Пример. Найти предел

Если a и b — бесконечно малые при х®а, причем b — бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b — бесконечно малая, эквивалентная a. Это можно доказать следующим равенством .

Тогда говорят, что a — главная часть бесконечно малой функции g.

Пример. Функция х2 +х – бесконечно малая при х®0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем a = х2, b = х, тогда

Некоторые замечательные пределы.

, гдеP(x) = a0xn + a1 xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1 xm-1 +…+bm — многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример . Найти предел.

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x 2 – 6 x + 8 = 0; x 2 – 8 x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x 1 = (6 + 2)/2 = 4; x 1 = (8 + 4)/2 = 6;

x 2 = (6 – 2)/2 = 2; x 2 = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

Пример. Найти предел.

домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

Пример . Найти предел.

Пример. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители.

x 2 – 3 x + 2 = ( x – 1)( x – 2)

x 3 – 6 x 2 + 11 x – 6 = ( x – 1)( x – 2)( x – 3), т.к.

x3 – 6x2 + 11x – 6 x — 1

x3 – x2 x2 – 5x + 6

— 5x2 + 11x

— 5x2 + 5x

6x — 6

6x — 6 0

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

Тогда

Пример . Найти предел.

— не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

Непрерывность функции в точке.

Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0– точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

f(x0)+e

f(x0)

f(x0)-e

0 x0-Dx0x0+Dx

Пример разрывной функции:

f(x0)+e

f(x0)

f(x0)-e

x0x

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x0) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х0.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.

2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

3) Тригонометрические функции sinи cosнепрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y = sinx.

Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) – sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций и . При этом функция косинус – ограниченная функция при Dх®0 , а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой при Dх®0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х0, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х0является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х0

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х0

Определение. Точка х0называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х0называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х0называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х0.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х0= 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример. f(x) = =

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M£f(x) £M.

Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х0, то образуется некоторая окрестность точки х0.

Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.

Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1 ) = m, f(x2 ) = M, причем

m£f(x) £M

Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx).

Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.

Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами.

Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.

Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0.

Т.е. если sign(f(a)) ¹sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого e>0 существует D>0 такое, что для любых точек х1 Î[a,b] и x2 Î[a,b] таких, что

ïх2 – х1 ï< D

верно неравенство ïf(x2 ) – f(x1 )ï < e

Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого e существует свое D, не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности D зависит от e и х.

Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.

(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.)

Пример .

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число D>0 такое, что существуют значения х1 и х2 такие, чтоïf(x1 ) – f(x2 )ï>e, e — любое число при условии, что х1 и х2 близки к нулю.

Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

-4 -1 0 1 х

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

-p -p/2 0 1 x

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Формулы по алгебре

1 Сентября 2013

Реферат по математике