Реферат: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Контрольная работа
По дисциплине:
«Высшая математика»
Тема:
«Длина дуги кривой в прямоугольных координатах»
1. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
Сформулируемследующее свойство определенных интегралов:
Пусть функция /> непрерывна на />. Составим для нее определенный интеграл />. Пусть для определенности /> на всем отрезке. Тогда с геометрической точки зрения составленный интеграл не что иное, как площадь криволинейной трапеции с основанием />, которая ограничена линией />.
Если в рассматриваемом интеграле заменить переменную интегрирования /> на />, то величина его, очевидно, не изменится. Поэтому в дальнейшем для удобства будем считать, что площадь трапеции определяется интегралом />.
/>
Величина определенного интеграла зависит от значений верхнего и нижнего пределов интегрирования, то есть от длины основания криволинейной трапеции. Рассмотрим поэтому теперь случай, когда нижний предел интеграла фиксирован и равен />, а верхний может меняться, принимая значения />, где />. В этом случае определенный интеграл будет соответствовать площади криволинейной трапеции, величина которой меняется. Зависеть эта площадь будет от значения />, то есть />. Если /> будет меняться непрерывно, то и площадь трапеции будет меняться непрерывно, то есть /> – непрерывная функция, которую можно дифференцировать.
Теорема. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, у которой переменная интегрирования заменена этим верхним пределом, то есть />или />.
Для вычисления производной проделаем все стандартные операции. Зададим приращение аргументу: />, что, в свою очередь, приведет к приращению функции: />. Так как />, а />, то приращение функции определяется выражением:
/>.
Применим к полученному выражению теорему о среднем в определенном интеграле:
/>, где />.
Составим отношение />. Чтобы получить производную />, перейдем в составленном отношении к пределу: />. Так как />, то при стремлении /> точка /> будет стремиться к />. Следовательно, вычисление предела приведет к выражению: />.
Из доказанной теоремы следует, что /> – это первообразная от />, следовательно, определенный интеграл /> также является первообразной от />, и вычислять его, очевидно, необходимо с помощью тех же приемов, что и неопределенный интеграл.
2. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы представляет собой довольно сложную задачу и может быть выполнено лишь в некоторых наиболее простых случаях. Однако полученная в п. 1 связь между определенным интегралом и первообразной позволяет получить простой метод для вычисления этих интегралов.
Теорема. Если />какая-либо первообразная от непрерывной функции />, то справедлива формула: />.
В предыдущем пункте было показано, что /> – это первообразная от функции />. Но как было показано при изучении неопределенного интеграла, любая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому, если /> какая-то другая первообразная от той же функции />, то />.
Оказывается, что в случае определенного интеграла постоянную /> можно вычислить. Действительно, так как /> может принимать любые значения между /> и /> (п. 1), то пусть />. Тогда: />. Но определенный интеграл с равными пределами равен нулю, следовательно, />. Значит,
/>.
Положим теперь, что />, тогда
/>.
Полученное выражение называется формулой Ньютона – Лейбница. Другая форма записи этого выражения следующая:
/>.
Обычно в полученных выражениях переменная интегрирования обозначается буквой />.
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти любую первообразную от /> и вычислить разность ее значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Полученная простая формула позволяет легко находить решения многих математических и прикладных задач, связанных с вычислением определенного интеграла.
3. Замена переменной в определенном интеграле
При изучении неопределенного интеграла было показано (п. 5.4), что одним из наиболее часто встречающихся методов его вычисления является замена переменных. Так как вычисление определенного интеграла, согласно формуле Ньютона – Лейбница, также связано с нахождением первообразной, то метод замены переменной применим и в нем, однако при этом имеются некоторые особенности. В неопределенном интеграле замена переменной приводила в конце вычислений к обратной замене, в определенном же, оказывается, можно обойтись без этого.
Теорема. Если в определенном интеграле />, где />непрерывна на />, сделать замену переменной />и при этом:
1) />, />;
2) />и />непрерывны на />;
--PAGE_BREAK--3) />непрерывна на />и при изменении />от />до />не выходит за пределы отрезка />,
то />.
Пусть /> – какая-то первообразная от />, тогда />. Согласно формуле Ньютона – Лейбница, получим соответствующий определенный интеграл: />. Но, как было показано в п. 5.4, в неопределенном интеграле можно сделать замену переменной />, тогда />. В этом случае соответствующий определенный интеграл будет иметь вид:
/>.
У обоих определенных интегралов правые части равны, следовательно, равны и левые части:
/>,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что при замене переменной в определенном интеграле должны поменяться пределы интегрирования, и обратная замена здесь уже не нужна, так как и при старой и при новой переменной в ответе получается одно и то же число.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть даны функции /> и />, которые непрерывны со своими производными на />. Составим их произведение и продифференцируем его:
/>.
Возьмем от обеих частей полученного равенства определенные интегралы:
/>.
Но />, />, />. Следовательно, />, откуда: />. Так же как и в неопределенном интеграле, данная формула требует правильного выбора множителей /> и />.
5. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
При вычислении длины кривой линии может быть использована та же методика, что и при вычислении площадей криволинейных трапеций, то есть кривую разбивают на такие малые участки, длину которых можно посчитать геометрическими методами.
Определение. Длиной дуги кривой линии называют предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломаной линии при неограниченном увеличении числа ее звеньев и при стремлении длины наибольшего звена к нулю.
/>
Итак, пусть кривая линия /> описывается функцией /> на отрезке />. При этом пусть /> непрерывна на этом отрезке вместе со своей производной />. Разобьем кривую /> на /> частичных дуг точками />. Соединив начало и конец каждой частичной дуги хордой, получим в результате вписанную ломаную линию, длина которой равна сумме длин ее звеньев:
/>.
Обозначим: />, />,…, />,…, />. Кроме того, />, />,…, />,…, />. В таком случае /> можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного треугольника и поэтому
/>.
Согласно теореме Лагранжа о среднем
/>, где />,
следовательно,
/>.
Отсюда длина ломаной линии равна
/>.
Переходя к пределу в данной интегральной сумме, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю, получаем длину кривой линии в прямоугольной системе координат:
/>.
Данный интеграл существует, поскольку по условию производная /> непрерывна.
Из полученной формулы можно получить выражение для дифференциала дуги, которое используется как в математике, так и в некоторых задачах теоретической механики. Пусть положение правого конца кривой линии является переменной величиной, тогда ее длина будет функцией точки, в которой она заканчивается, то есть
/>.
Возьмем производную данного интеграла по переменному верхнему пределу (п. 1.):
/>.
Отсюда следует, что
/>.
6. Длина дуги кривой при ее параметрическом задании
Рассмотрим теперь случай, когда кривая, длину которой необходимо вычислить, задана параметрически, то есть /> при этом изменение /> от /> до /> приводит к изменению /> от /> до />. Пусть функции /> и /> непрерывны вместе со своими производными на отрезке /> и при этом />. Тогда />, а />. Подставим значение данной производной и дифференциала в формулу для длины дуги в прямоугольной системе координат (п. 5):
/>.
В случае пространственной кривой ее параметрическое задание будет выглядеть следующим образом:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке />, то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле
/>.
7. Длина дуги в полярной системе координат
Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией />, где />. Пусть /> непрерывна вместе со своей производной на отрезке />.
Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат: />. Но так как />, то получаем, что />. Иначе говоря, /> и /> выражены через параметр />, поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):
/>
Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
/>.
Обычно данную формулу записывают следующим образом:
/>.
8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
/>
Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси />между точками />и />. Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь />его любого поперечного сечения плоскостью />, то есть плоскостью, перпендикулярной оси />. Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то />. В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то />будет непрерывной функцией.
Разобьем отрезок />точками />на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси />. Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: />.
Найдем приближенно величину объема />-ого слоя />. Для этого рассмотрим отрезок />, длина которого равна />. Возьмем некоторую точку />и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси />. Если />достаточно мало, то слой, соответствующий объему />, можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным />. Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, />. Отсюда следует, что
/>.
Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция />по условию непрерывна, то предел этой суммы при />и />существует и равен определенному интегралу:
/>.
Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:
/>.
9. Объем тела вращения
Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси />. Пусть основанием этой трапеции является отрезок />, расположенный на оси />, и она ограничена непрерывной кривой />. В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси />, будет круг, радиус которого совпадает со значением функции />в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна />.
Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:
/>.
Если трапеция вращается вокруг оси />, то должна быть задана функция />на отрезке />. В этом случае объем тела вращения равен:
/>.
Литература
Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.