Реферат: Оператор сдвига в гильбертовом пространстве

--PAGE_BREAK--Замечания
1)                             Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).
2)                             Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть <shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image196.wmz» o:><img width=«111» height=«43» src=«dopb63286.zip» v:shapes="_x0000_i1165"> (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.
3)                             Резольвентные операторы <shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image198.wmz» o:><img width=«34» height=«32» src=«dopb63287.zip» v:shapes="_x0000_i1166"> и  <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image200.wmz» o:><img width=«28» height=«34» src=«dopb63288.zip» v:shapes="_x0000_i1167">, отвечающие точкам <shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image202.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb63289.zip» v:shapes="_x0000_i1168"> и <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1169">, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению <shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image204.wmz» o:><img width=«178» height=«28» src=«dopb63290.zip» v:shapes="_x0000_i1170">, которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на <shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image206.wmz» o:><img width=«113» height=«21» src=«dopb63291.zip» v:shapes="_x0000_i1171">. Отсюда вытекает, что если <shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image208.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb63292.zip» v:shapes="_x0000_i1172"> – регулярная точка для А, то производная от <shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image200.wmz» o:><img width=«28» height=«34» src=«dopb63288.zip» v:shapes="_x0000_i1173"> по <shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1174"> при <shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1175">=<shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image208.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb63292.zip» v:shapes="_x0000_i1176">, т.е. <shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image210.wmz» o:><img width=«137» height=«60» src=«dopb63293.zip» v:shapes="_x0000_i1177">, существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна <shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image212.wmz» o:><img width=«32» height=«33» src=«dopb63294.zip» v:shapes="_x0000_i1178">.
§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига
В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.
6. Оператор сдвига. Спектр оператора сдвига
Определение 7. Ограниченный линейный оператор U в пространстве Н называется изометрическим, если он не изменяет величины скалярного произведения: <shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image214.wmz» o:><img width=«123» height=«24» src=«dopb63295.zip» v:shapes="_x0000_i1179"> длялюбых <shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image216.wmz» o:><img width=«65» height=«24» src=«dopb63296.zip» v:shapes="_x0000_i1180">.
В этом случае, если х=у, то <shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image218.wmz» o:><img width=«121» height=«24» src=«dopb63297.zip» v:shapes="_x0000_i1181">, или <shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image220.wmz» o:><img width=«63» height=«27» src=«dopb63298.zip» v:shapes="_x0000_i1182">. Значит, изометрический оператор сохраняет норму элемента, а норма самого такого оператора, как следует из определения нормы, равна 1 (<shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image222.wmz» o:><img width=«47» height=«27» src=«dopb63299.zip» v:shapes="_x0000_i1183">).
Понятие изометрического оператора можно ввести также для операторов, действующих в нормированном пространстве.
Определение 8. Ограниченный линейный оператор U в нормированном пространстве Е называется изометрическим, если он не изменяет величины нормы: <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image220.wmz» o:><img width=«63» height=«27» src=«dopb63298.zip» v:shapes="_x0000_i1184"> длялюбых <shape id="_x0000_i1185" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image224.wmz» o:><img width=«45» height=«20» src=«dopb63300.zip» v:shapes="_x0000_i1185">.
Лемма 1. Для того, чтобы линейный оператор U в пространстве Н  был изометрическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: <shape id="_x0000_i1186" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image220.wmz» o:><img width=«63» height=«27» src=«dopb63298.zip» v:shapes="_x0000_i1186"> длялюбых <shape id="_x0000_i1187" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image226.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb63301.zip» v:shapes="_x0000_i1187">.
Доказательство. Нужно доказать только достаточность. Для этого используем тождество <shape id="_x0000_i1188" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image228.wmz» o:><img width=«76» height=«31» src=«dopb63302.zip» v:shapes="_x0000_i1188"><shape id="_x0000_i1189" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image230.wmz» o:><img width=«76» height=«31» src=«dopb63303.zip» v:shapes="_x0000_i1189"><shape id="_x0000_i1190" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image232.wmz» o:><img width=«81» height=«31» src=«dopb63304.zip» v:shapes="_x0000_i1190"><shape id="_x0000_i1191" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image234.wmz» o:><img width=«64» height=«31» src=«dopb63305.zip» v:shapes="_x0000_i1191"><shape id="_x0000_i1192" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image236.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb63306.zip» v:shapes="_x0000_i1192">. Его легко проверить, если представить левую часть в виде скалярных произведений: <shape id="_x0000_i1193" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image238.wmz» o:><img width=«116» height=«24» src=«dopb63307.zip» v:shapes="_x0000_i1193"><shape id="_x0000_i1194" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image240.wmz» o:><img width=«124» height=«24» src=«dopb63308.zip» v:shapes="_x0000_i1194"><shape id="_x0000_i1195" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image242.wmz» o:><img width=«116» height=«24» src=«dopb63307.zip» v:shapes="_x0000_i1195"><shape id="_x0000_i1196" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image243.wmz» o:><img width=«107» height=«24» src=«dopb63309.zip» v:shapes="_x0000_i1196"> <shape id="_x0000_i1197" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image236.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb63306.zip» v:shapes="_x0000_i1197">. Так как левая часть не изменится при замене векторов <shape id="_x0000_i1198" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image245.wmz» o:><img width=«32» height=«20» src=«dopb63310.zip» v:shapes="_x0000_i1198"> на векторы <shape id="_x0000_i1199" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image247.wmz» o:><img width=«52» height=«24» src=«dopb63311.zip» v:shapes="_x0000_i1199">, то правая тоже не изменится, т. е. <shape id="_x0000_i1200" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image249.wmz» o:><img width=«123» height=«24» src=«dopb63312.zip» v:shapes="_x0000_i1200">.
Определение 9. Оператор U называется унитарным, если он изометрический и имеет обратный оператор, определенный на всем пространстве Н.
         Теорема 7. Спектр унитарного оператора – это множество, лежащее на единичной окружности.
Доказательство.  Доказательство проведем в два этапа:
I.    Докажем, что спектр унитарного оператора U содержится в единичном круге.
II. Рассмотрим обратный оператор и покажем, что он тоже унитарный. Докажем, что, если <shape id="_x0000_i1201" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1201"> принадлежит спектру оператора U, то <shape id="_x0000_i1202" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image251.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb63313.zip» v:shapes="_x0000_i1202"> принадлежит спектру обратного оператора и наоборот.
Для доказательства I этапа  применим теорему 4: если А – ограниченный линейный оператор в нормированном пространстве и <shape id="_x0000_i1203" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image253.wmz» o:><img width=«55» height=«27» src=«dopb63269.zip» v:shapes="_x0000_i1203">, то <shape id="_x0000_i1204" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1204">– регулярная точка. Иначе говоря, спектр оператора А содержится  в круге радиуса <shape id="_x0000_i1205" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image094.wmz» o:><img width=«24» height=«27» src=«dopb63235.zip» v:shapes="_x0000_i1205"> с центром в нуле. А норма унитарного оператора U, как было показано, равна 1 (<shape id="_x0000_i1206" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image254.wmz» o:><img width=«47» height=«27» src=«dopb63299.zip» v:shapes="_x0000_i1206">). Следовательно, спектр унитарного оператора содержится в единичном круге.
Перейдем ко  II этапу. Докажем, что оператор, обратный к унитарному оператору, также унитарный оператор. Покажем, что он удовлетворяет условию изометрии:  <shape id="_x0000_i1207" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image255.wmz» o:><img width=«88» height=«31» src=«dopb63314.zip» v:shapes="_x0000_i1207"> для всех <shape id="_x0000_i1208" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image257.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb63315.zip» v:shapes="_x0000_i1208">. Положим Ux=y, тогда  <shape id="_x0000_i1209" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image259.wmz» o:><img width=«69» height=«27» src=«dopb63316.zip» v:shapes="_x0000_i1209">, и <shape id="_x0000_i1210" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image261.wmz» o:><img width=«72» height=«28» src=«dopb63317.zip» v:shapes="_x0000_i1210">, т. е. <shape id="_x0000_i1211" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image263.wmz» o:><img width=«88» height=«31» src=«dopb63314.zip» v:shapes="_x0000_i1211">  для всех <shape id="_x0000_i1212" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image257.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb63315.zip» v:shapes="_x0000_i1212">.
Докажем, что, если точка <shape id="_x0000_i1213" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1213"> является регулярной для оператора U, то точка <shape id="_x0000_i1214" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image264.wmz» o:><img width=«17» height=«41» src=«dopb63313.zip» v:shapes="_x0000_i1214"> является регулярной для обратного оператора U-1. Точка <shape id="_x0000_i1215" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image265.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb63277.zip» v:shapes="_x0000_i1215">, является регулярной для оператора U, если выполняется условие:
<shape id="_x0000_i1216" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image266.wmz» o:><img width=«172» height=«27» src=«dopb63318.zip» v:shapes="_x0000_i1216">    (*).
Оператор U-1является обратным для оператора U, значит, для них верно U-1U=I=UU-1. Используя  это, равенство (*) можно переписать:
<shape id="_x0000_i1217" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image268.wmz» o:><img width=«291» height=«27» src=«dopb63319.zip» v:shapes="_x0000_i1217">, или
<shape id="_x0000_i1218" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image270.wmz» o:><img width=«376» height=«55» src=«dopb63320.zip» v:shapes="_x0000_i1218">.
Используем свойство обратных операторов: оператор, обратный произведению операторов, равен произведению обратных операторов к данным, взятых в противоположном порядке, т.е. для двух операторов А и В имеем <shape id="_x0000_i1219" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image272.wmz» o:><img width=«129» height=«24» src=«dopb63321.zip» v:shapes="_x0000_i1219">. Тогда равенство можно переписать в виде:
<shape id="_x0000_i1220" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image274.wmz» o:><img width=«331» height=«48» src=«dopb63322.zip» v:shapes="_x0000_i1220">.
Вычислим отдельно произведение:
<shape id="_x0000_i1221" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image276.wmz» o:><img width=«421» height=«48» src=«dopb63323.zip» v:shapes="_x0000_i1221">.
В итоге <shape id="_x0000_i1222" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image278.wmz» o:><img width=«208» height=«48» src=«dopb63324.zip» v:shapes="_x0000_i1222">, т.е. <shape id="_x0000_i1223" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image280.wmz» o:><img width=«19» height=«48» src=«dopb63325.zip» v:shapes="_x0000_i1223"> является регулярной для обратного оператора U-1.
Возьмем множество точек <shape id="_x0000_i1224" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image282.wmz» o:><img width=«104» height=«28» src=«dopb63326.zip» v:shapes="_x0000_i1224">. Тогда точки вида <shape id="_x0000_i1225" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image280.wmz» o:><img width=«19» height=«48» src=«dopb63325.zip» v:shapes="_x0000_i1225"> лежат вне единичного круга и все являются для оператора <shape id="_x0000_i1226" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image284.wmz» o:><img width=«29» height=«23» src=«dopb63327.zip» v:shapes="_x0000_i1226"> регулярными, так как он унитарный и его норма равна 1. Но поскольку оператор <shape id="_x0000_i1227" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image286.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb63328.zip» v:shapes="_x0000_i1227"> - обратный к оператору <shape id="_x0000_i1228" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image288.wmz» o:><img width=«29» height=«23» src=«dopb63327.zip» v:shapes="_x0000_i1228"> , то точки, входящие в <shape id="_x0000_i1229" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image282.wmz» o:><img width=«104» height=«28» src=«dopb63326.zip» v:shapes="_x0000_i1229">, по предыдущему рассуждению  являются для него  регулярными. Следовательно, спектр оператора U– это множество, лежащее на единичной окружности.
Важным примером  изометрического оператора является оператор сдвига.
Определение 10. Оператор <shape id="_x0000_i1230" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image286.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb63328.zip» v:shapes="_x0000_i1230">, заданный в пространстве последовательностей,  называется оператором  сдвига, если он каждую последовательность вида (х1, х2,…, хn…) переводит в последовательность вида (0, х1, х2, …, хn…), т.е. выполняется равенство: <shape id="_x0000_i1231" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image286.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb63328.zip» v:shapes="_x0000_i1231">(х1, х2,…, хn…)=(0, х1, х2, …, хn…).
Можно также рассматривать оператор сдвига, который действует в пространстве последовательностей, бесконечных в обе стороны. Элемент этого пространства можно представить в таком виде: (…х-2, х-1, х0, х1, х2, …).
Определение 11. Оператор <shape id="_x0000_i1232" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image286.wmz» o:><img width=«19» height=«20» src=«dopb63328.zip» v:shapes="_x0000_i1232"> называется оператором двухстороннего сдвига, если он каждую последовательность, бесконечную в обе стороны, сдвигает вправо, т.е. выполняется равенство: <shape id="_x0000_i1233" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image289.wmz» o:><img width=«281» height=«27» src=«dopb63329.zip» v:shapes="_x0000_i1233">.
Уточним, о каких  пространствах последовательностей будет идти речь:
1) l2– пространство односторонних последовательностей комплексных чисел с натуральной нумерацией, для которых ряд <shape id="_x0000_i1234" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image291.wmz» o:><img width=«51» height=«45» src=«dopb63330.zip» v:shapes="_x0000_i1234"> — сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой <shape id="_x0000_i1235" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image293.wmz» o:><img width=«111» height=«47» src=«dopb63331.zip» v:shapes="_x0000_i1235">.
2)l2(-∞;∞) – пространство двусторонних последовательностей комплексных чисел с нумерацией целыми числами, для которых соответственно ряд <shape id="_x0000_i1236" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image295.wmz» o:><img width=«52» height=«45» src=«dopb63332.zip» v:shapes="_x0000_i1236">– сходящийся. Скалярное произведение в этом пространстве определяется формулой <shape id="_x0000_i1237" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image297.wmz» o:><img width=«113» height=«47» src=«dopb63333.zip» v:shapes="_x0000_i1237">.
Рассмотрим  оператор  одностороннего сдвига U(x1, x2, …, xn, …)=(0, x1, x2, …). Покажем, что этот оператор является изометрическим. Действительно, для любых <shape id="_x0000_i1238" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image299.wmz» o:><img width=«48» height=«20» src=«dopb63301.zip» v:shapes="_x0000_i1238">  <shape id="_x0000_i1239" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image300.wmz» o:><img width=«143» height=«51» src=«dopb63334.zip» v:shapes="_x0000_i1239">. А, значит, этот оператор по лемме 1 является изометрическим. Указанный оператор U не является унитарным, так как его образ – это не все пространство l2; векторы, имеющие ненулевую первую координату (например векторы вида (1, х1, х2, …)) не имеют прообраза. Значит, обратного оператора он не имеет.
Теорема 8. Оператор двухстороннего сдвига является унитарным оператором
Доказательство. Рассмотрим оператор двустороннего сдвига
U(…, x-1, x, x1, …)=(…, x-2, x-1, x, x1, …).
Очевидно, что этот оператор сохраняет норму, т.е. является изометрическим: <shape id="_x0000_i1240" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image302.wmz» o:><img width=«152» height=«49» src=«dopb63335.zip» v:shapes="_x0000_i1240">. Покажем, что он имеет обратный оператор – это оператор, который любую последовательность сдвигает влево.
В пространстве последовательностей, как и в любом метрическом пространстве, любой вектор представляется как линейная комбинация элементов базиса. В этом пространстве имеется канонический базис – это последовательности вида
                                                            ………………………
l-1=(.., 0,1-1, 0, …)
l=(…, 0,10, 0, …)
l1=(…, 0,11, 0, …)
………………………
Подействуем оператором U на произвольный элемент базиса:
Ulk=U(…, 0,1k, 0,…)=(…, 0,1k+1, 0)=lk+1.
Т.е. каждый элемент базиса оператор U переводит в последующий элемент. Чтобы осуществлялось обратное действие, мы должны каждый элемент базиса перевести в предыдущий элемент, т.е. U-1lk=lk-1.
Каждый вектор пространства l2х=(…,х-1, х0, х1, …) может быть представлен в виде: <shape id="_x0000_i1241" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image304.wmz» o:><img width=«77» height=«45» src=«dopb63336.zip» v:shapes="_x0000_i1241">. А так как операторU-1элементы базиса переводит в предыдущие, то, действуя на последовательность <shape id="_x0000_i1242" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image306.wmz» o:><img width=«37» height=«30» src=«dopb63337.zip» v:shapes="_x0000_i1242">, сдвинет ее влево.
Итак, мы получили, что оператор двухстороннего сдвига U имеет обратный оператор и является изометрическим, следовательно, он является унитарным. Спектр этого оператора лежит на единичной окружности.
7.Взвешенные сдвиги
Определение 12. Оператором взвешенного сдвига называется произведение оператора сдвига (одностороннего или двустороннего) на диагональный (в этом же базисе) оператор.
Более подробно: пусть <shape id="_x0000_i1243" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image308.wmz» o:><img width=«32» height=«25» src=«dopb63338.zip» v:shapes="_x0000_i1243">– ортонормированный базис (n= 0, 1, 2, … или  n= 0, <shape id="_x0000_i1244" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image310.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63339.zip» v:shapes="_x0000_i1244">1, <shape id="_x0000_i1245" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image310.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63339.zip» v:shapes="_x0000_i1245">2, …) и пусть <shape id="_x0000_i1246" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image312.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb63340.zip» v:shapes="_x0000_i1246"> – ограниченная последовательность комплексных чисел (n пробегает те же значения, что и выше). Оператором взвешенного сдвига называется оператор вида SP, где S– оператор сдвига (Sln= ln+1), а Р – диагональный оператор с диагональю <shape id="_x0000_i1247" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image312.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb63340.zip» v:shapes="_x0000_i1247">(Pln= <shape id="_x0000_i1248" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image314.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb63341.zip» v:shapes="_x0000_i1248">ln).
Найдем выражение для нормы и спектрального радиуса оператора взвешенного сдвига через его веса.
Вспомним, что сдвиг S1– изометрический оператор,  значит, не изменяет нормы элемента: <shape id="_x0000_i1249" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image316.wmz» o:><img width=«69» height=«28» src=«dopb63342.zip» v:shapes="_x0000_i1249"> для любого <shape id="_x0000_i1250" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image090.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63233.zip» v:shapes="_x0000_i1250">.Поэтому  норма оператора А равна норме соответствующего диагонального оператора: для любого <shape id="_x0000_i1251" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image090.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63233.zip» v:shapes="_x0000_i1251"> <shape id="_x0000_i1252" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image318.wmz» o:><img width=«141» height=«28» src=«dopb63343.zip» v:shapes="_x0000_i1252">  и <shape id="_x0000_i1253" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image320.wmz» o:><img width=«103» height=«27» src=«dopb63344.zip» v:shapes="_x0000_i1253"> . Найдем норму диагонального оператора Pln= <shape id="_x0000_i1254" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image322.wmz» o:><img width=«21» height=«24» src=«dopb63341.zip» v:shapes="_x0000_i1254"><shape id="_x0000_i1255" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image323.wmz» o:><img width=«15» height=«25» src=«dopb63345.zip» v:shapes="_x0000_i1255">, где <shape id="_x0000_i1256" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image312.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb63340.zip» v:shapes="_x0000_i1256">– некоторая ограниченная последовательность комплексных чисел. Рассмотрим произвольную последовательность <shape id="_x0000_i1257" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image325.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb63346.zip» v:shapes="_x0000_i1257"> с единичной нормой: <shape id="_x0000_i1258" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image327.wmz» o:><img width=«129» height=«51» src=«dopb63347.zip» v:shapes="_x0000_i1258">. При этом в базисе <shape id="_x0000_i1259" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image329.wmz» o:><img width=«29» height=«25» src=«dopb63348.zip» v:shapes="_x0000_i1259"> элемент <shape id="_x0000_i1260" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image325.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb63346.zip» v:shapes="_x0000_i1260"> имеет разложение <shape id="_x0000_i1261" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image331.wmz» o:><img width=«78» height=«51» src=«dopb63349.zip» v:shapes="_x0000_i1261">. Подействуем на элемент х оператором Р: <shape id="_x0000_i1262" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image333.wmz» o:><img width=«99» height=«51» src=«dopb63350.zip» v:shapes="_x0000_i1262"><shape id="_x0000_i1263" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image335.wmz» o:><img width=«82» height=«51» src=«dopb63351.zip» v:shapes="_x0000_i1263">. При этом  <shape id="_x0000_i1264" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image337.wmz» o:><img width=«149» height=«51» src=«dopb63352.zip» v:shapes="_x0000_i1264"> <shape id="_x0000_i1265" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image339.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb63353.zip» v:shapes="_x0000_i1265"><shape id="_x0000_i1266" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image341.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1266"><shape id="_x0000_i1267" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image343.wmz» o:><img width=«89» height=«51» src=«dopb63355.zip» v:shapes="_x0000_i1267"><shape id="_x0000_i1268" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image345.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1268">. Отсюда следует, что <shape id="_x0000_i1269" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image346.wmz» o:><img width=«40» height=«28» src=«dopb63356.zip» v:shapes="_x0000_i1269"> <shape id="_x0000_i1270" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image348.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1270">. Покажем, что выполняется также и обратное неравенство. Если для последовательности <shape id="_x0000_i1271" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image312.wmz» o:><img width=«33» height=«24» src=«dopb63340.zip» v:shapes="_x0000_i1271"> <shape id="_x0000_i1272" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image345.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1272"> достигается, т.е. <shape id="_x0000_i1273" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image349.wmz» o:><img width=«101» height=«39» src=«dopb63357.zip» v:shapes="_x0000_i1273"> при некотором <shape id="_x0000_i1274" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image351.wmz» o:><img width=«19» height=«25» src=«dopb63358.zip» v:shapes="_x0000_i1274">, то возьмем элемент <shape id="_x0000_i1275" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image353.wmz» o:><img width=«20» height=«28» src=«dopb63359.zip» v:shapes="_x0000_i1275">: <shape id="_x0000_i1276" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image355.wmz» o:><img width=«48» height=«28» src=«dopb63360.zip» v:shapes="_x0000_i1276"><shape id="_x0000_i1277" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image357.wmz» o:><img width=«41» height=«28» src=«dopb63361.zip» v:shapes="_x0000_i1277">, <shape id="_x0000_i1278" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image359.wmz» o:><img width=«89» height=«33» src=«dopb63362.zip» v:shapes="_x0000_i1278"><shape id="_x0000_i1279" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image361.wmz» o:><img width=«69» height=«36» src=«dopb63363.zip» v:shapes="_x0000_i1279">. Если же <shape id="_x0000_i1280" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image345.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1280"> не достигается, то можно взять подпоследовательность  <shape id="_x0000_i1281" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image363.wmz» o:><img width=«39» height=«28» src=«dopb63364.zip» v:shapes="_x0000_i1281"> <shape id="_x0000_i1282" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image365.wmz» o:><img width=«77» height=«36» src=«dopb63365.zip» v:shapes="_x0000_i1282">, тогда <shape id="_x0000_i1283" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image367.wmz» o:><img width=«91» height=«33» src=«dopb63366.zip» v:shapes="_x0000_i1283"><shape id="_x0000_i1284" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image369.wmz» o:><img width=«77» height=«36» src=«dopb63365.zip» v:shapes="_x0000_i1284">. Это говорит о том, что не может быть <shape id="_x0000_i1285" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image370.wmz» o:><img width=«40» height=«28» src=«dopb63367.zip» v:shapes="_x0000_i1285"><shape id="_x0000_i1286" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image348.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1286">. Итак, <shape id="_x0000_i1287" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image372.wmz» o:><img width=«41» height=«28» src=«dopb63368.zip» v:shapes="_x0000_i1287"> <shape id="_x0000_i1288" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image348.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1288"> и <shape id="_x0000_i1289" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image374.wmz» o:><img width=«41» height=«28» src=«dopb63369.zip» v:shapes="_x0000_i1289"> <shape id="_x0000_i1290" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image348.wmz» o:><img width=«55» height=«36» src=«dopb63354.zip» v:shapes="_x0000_i1290">. Мы получили, что норма оператора взвешенного сдвига равна  точной верхней грани модулей его весов.
          Чтобы найти спектральный радиус оператора взвешенного сдвига, найдем нормы его степеней. Вычислим степени оператора А: Aln = <shape id="_x0000_i1291" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image376.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb63370.zip» v:shapes="_x0000_i1291">, A2ln = <shape id="_x0000_i1292" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image378.wmz» o:><img width=«71» height=«24» src=«dopb63371.zip» v:shapes="_x0000_i1292">,A3ln = <shape id="_x0000_i1293" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image380.wmz» o:><img width=«99» height=«24» src=«dopb63372.zip» v:shapes="_x0000_i1293">, и так далее. Следовательно, Ак можно представить в виде произведения изометрии (к-й степени оператора сдвига) и диагонального оператора, у которого n-й диагональный член равен произведению к последовательных чисел <shape id="_x0000_i1294" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image382.wmz» o:><img width=«20» height=«25» src=«dopb63373.zip» v:shapes="_x0000_i1294">, начиная с <shape id="_x0000_i1295" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image384.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63374.zip» v:shapes="_x0000_i1295">.  Значит, <shape id="_x0000_i1296" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image386.wmz» o:><img width=«145» height=«54» src=«dopb63375.zip» v:shapes="_x0000_i1296">, отсюда, <shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image388.wmz» o:><img width=«191» height=«57» src=«dopb63376.zip» v:shapes="_x0000_i1297">.
8. Операторы сдвига в пространстве функции на единичной окружности
  Рассмотрим единичную окружность на комплексной плоскости, т. е. всевозможные комплексные числа <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image390.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb63277.zip» v:shapes="_x0000_i1298">, по модулю равные 1. Рассмотрим  комплексную последовательность <shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image391.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb63377.zip» v:shapes="_x0000_i1299"> и составим ряд <shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image393.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb63378.zip» v:shapes="_x0000_i1300">. Если он сходится для всех <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image395.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb63277.zip» v:shapes="_x0000_i1301">, таких, что <shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image396.wmz» o:><img width=«45» height=«28» src=«dopb63379.zip» v:shapes="_x0000_i1302">, то <shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image398.wmz» o:><img width=«105» height=«45» src=«dopb63380.zip» v:shapes="_x0000_i1303">– функция от переменной <shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image154.wmz» o:><img width=«15» height=«19» src=«dopb63265.zip» v:shapes="_x0000_i1304">, определенная на единичной окружности. Заметим, что для последовательностей из  пространства <shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image400.wmz» o:><img width=«83» height=«27» src=«dopb63381.zip» v:shapes="_x0000_i1305">, таких, что ряд <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image402.wmz» o:><img width=«53» height=«47» src=«dopb63382.zip» v:shapes="_x0000_i1306">сходящийся, ряд <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image393.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb63378.zip» v:shapes="_x0000_i1307">сходится для всех <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image395.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb63277.zip» v:shapes="_x0000_i1308">, таких, что <shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image396.wmz» o:><img width=«45» height=«28» src=«dopb63379.zip» v:shapes="_x0000_i1309">. Итак, существует взаимно однозначное соответствие <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image404.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb63383.zip» v:shapes="_x0000_i1310"> между пространством <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image400.wmz» o:><img width=«83» height=«27» src=«dopb63381.zip» v:shapes="_x0000_i1311"> и множеством  A функций на единичной окружности, представимых в виде суммы обобщенного степенного ряда с абсолютно сходящимся рядом коэффициентов. Рассмотрим, в какой оператор переходит при этом оператор сдвига U.   Обозначим этот оператор <shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image406.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb63384.zip» v:shapes="_x0000_i1312">.  Пусть <shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image408.wmz» o:><img width=«157» height=«27» src=«dopb63385.zip» v:shapes="_x0000_i1313"> и <shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image410.wmz» o:><img width=«53» height=«24» src=«dopb63386.zip» v:shapes="_x0000_i1314"><shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image412.wmz» o:><img width=«113» height=«45» src=«dopb63387.zip» v:shapes="_x0000_i1315"> – соответствующая функция. Тогда <shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image414.wmz» o:><img width=«193» height=«45» src=«dopb63388.zip» v:shapes="_x0000_i1316"> <shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image416.wmz» o:><img width=«101» height=«48» src=«dopb63389.zip» v:shapes="_x0000_i1317"> <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image418.wmz» o:><img width=«59» height=«48» src=«dopb63390.zip» v:shapes="_x0000_i1318">. Итак, в пространстве А оператору сдвига соответствует оператор умножения на функцию <shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image420.wmz» o:><img width=«73» height=«48» src=«dopb63391.zip» v:shapes="_x0000_i1319">.
          Рассмотрим теперь оператор  <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image422.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb63392.zip» v:shapes="_x0000_i1320"> взвешенного сдвига с весами <shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image424.wmz» o:><img width=«52» height=«25» src=«dopb63393.zip» v:shapes="_x0000_i1321">. Его область определения – не все пространство <shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image426.wmz» o:><img width=«83» height=«27» src=«dopb63381.zip» v:shapes="_x0000_i1322">, а только те последовательности <shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image427.wmz» o:><img width=«63» height=«25» src=«dopb63346.zip» v:shapes="_x0000_i1323">, для которых сходится ряд  <shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image428.wmz» o:><img width=«67» height=«45» src=«dopb63394.zip» v:shapes="_x0000_i1324">.   При этом
<shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image430.wmz» o:><img width=«228» height=«46» src=«dopb63395.zip» v:shapes="_x0000_i1325"><shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«13928.files/image432.wmz» o:><img width=«187» height=«44» src=«dopb63396.zip» v:shapes="_x0000_i1326">. Таким образом, в пространстве А оператору сдвига  <shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image422.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb63392.zip» v:shapes="_x0000_i1327"> соответствует оператор дифференцирования.
Часть 2. Нестандартное расширение оператора сдвига
1. Нестандартное расширение поля действительных чисел
                                             
Поле R действительных чисел является расширением поля рациональных чисел с помощью определенной конструкции. Например,  можно рассматривать действительные числа как классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Существует некоторая конструкция и  для расширения поля R. При этом получается новое поле с линейным порядком, но без выполнения аксиомы  Архимеда: <shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image434.wmz» o:><img width=«165» height=«45» src=«dopb63397.zip» v:shapes="_x0000_i1328">. В новом поле существуют положительные элементы, меньшие любой дроби <shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image436.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb63227.zip» v:shapes="_x0000_i1329">, где <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image437.wmz» o:><img width=«43» height=«19» src=«dopb63398.zip» v:shapes="_x0000_i1330">. Такие элементы называются  бесконечно малыми. Также существуют положительные элементы, большие любого <shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image437.wmz» o:><img width=«43» height=«19» src=«dopb63398.zip» v:shapes="_x0000_i1331">, они называются  бесконечно большими.  Это поле называется нестандартным расширением поля действительных чисел и обозначается *R.
Та же конструкция (которую мы не будем здесь описывать), дает расширение любого множества, построенного на основании поля действительных чисел, например, булеана <shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image439.wmz» o:><img width=«17» height=«19» src=«dopb63399.zip» v:shapes="_x0000_i1332">, или прямого произведения <shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image441.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb63400.zip» v:shapes="_x0000_i1333">. Поскольку отображение <shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image443.wmz» o:><img width=«79» height=«24» src=«dopb63401.zip» v:shapes="_x0000_i1334"> можно рассматривать как подмножество <shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image445.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb63400.zip» v:shapes="_x0000_i1335">, то получаем также расширения всех числовых отображений. Всю полученную совокупность множеств называют нестандартным универсумом. На основании нестандартного универсума можно построить  теорию, аналогичную математическому анализу, или  нестандартный математический анализ.
         Мы перечислим без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем утверждения нестандартного анализа.
Принцип переноса Если в стандартной теории верно некоторое утверждение, записанное логической формулой с конечным числом логических символов, то аналогичное утверждение верно и в нестандартном универсуме и наоборот.
Пусть дано бинарное отношение <shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image446.wmz» o:><img width=«64» height=«17» src=«dopb63402.zip» v:shapes="_x0000_i1336">. Отношение называется направленным, если для любого конечного набора элементов <shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image448.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb63403.zip» v:shapes="_x0000_i1337"> существует элемент <shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image450.wmz» o:><img width=«44» height=«20» src=«dopb63404.zip» v:shapes="_x0000_i1338">, который  находится в отношении  <shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image452.wmz» o:><img width=«12» height=«13» src=«dopb63405.zip» v:shapes="_x0000_i1339"> со всеми элементами данного набора.<shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image454.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb63207.zip» v:shapes="_x0000_i1340">
Принцип направленности. Пусть дано направленное отношение <shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image446.wmz» o:><img width=«64» height=«17» src=«dopb63402.zip» v:shapes="_x0000_i1341"> . Тогда  во множестве  *В существует элемент <shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image455.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb63406.zip» v:shapes="_x0000_i1342">, находящийся в отношении  <shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image457.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb63407.zip» v:shapes="_x0000_i1343"> со всеми элементами множества А: <shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image459.wmz» o:><img width=«173» height=«24» src=«dopb63408.zip» v:shapes="_x0000_i1344">
Пример. Выведем из принципа направленности существование бесконечно большого числа в *R. Возьмем  прямое произведение <shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image461.wmz» o:><img width=«45» height=«19» src=«dopb63409.zip» v:shapes="_x0000_i1345"> и на нем обычное отношение порядка: элементы x и y находятся в отношении <shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image452.wmz» o:><img width=«12» height=«13» src=«dopb63405.zip» v:shapes="_x0000_i1346">, если  <shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image463.wmz» o:><img width=«43» height=«20» src=«dopb63410.zip» v:shapes="_x0000_i1347">. По принципу направленности: <shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image465.wmz» o:><img width=«175» height=«24» src=«dopb63411.zip» v:shapes="_x0000_i1348">, что и означает, что   в расширении <shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image467.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb63412.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> существует элемент, который больше любого стандартного действительного числа, т. е. бесконечно большое число.
Теорема 10 [2]. Пусть <shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image469.wmz» o:><img width=«35» height=«25» src=«dopb63413.zip» v:shapes="_x0000_i1350"> - стандартная последовательность. Тогда  <shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image471.wmz» o:><img width=«227» height=«31» src=«dopb63414.zip» v:shapes="_x0000_i1351">. То есть число <shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image455.wmz» o:><img width=«13» height=«20» src=«dopb63406.zip» v:shapes="_x0000_i1352"> является пределом стандартной последовательности тогда  и только тогда, когда для расширенной последовательности все члены с гипернатуральными номерами бесконечно близки к b.
(Соотношение <shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image473.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb63415.zip» v:shapes="_x0000_i1353">, <shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image475.wmz» o:><img width=«68» height=«23» src=«dopb63416.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> , означает, что <shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image477.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb63417.zip» v:shapes="_x0000_i1355"> – бесконечно малое число).
Доказательство.
1) Пусть <shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image479.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb63418.zip» v:shapes="_x0000_i1356">, тогда по определению предела стандартной последовательности  выполняется условие <shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image481.wmz» o:><img width=«269» height=«27» src=«dopb63419.zip» v:shapes="_x0000_i1357">.  Применим принцип переноса: <shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image483.wmz» o:><img width=«215» height=«28» src=«dopb63420.zip» v:shapes="_x0000_i1358">. Но все бесконечно большие номера будут больше n0, поэтому при любом стандартном положительном <shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image485.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb63421.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> для любого бесконечного номера  выполняется неравенство <shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image487.wmz» o:><img width=«81» height=«28» src=«dopb63422.zip» v:shapes="_x0000_i1360"> , что и означает  <shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image489.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb63423.zip» v:shapes="_x0000_i1361">.
2)     Пусть <shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image491.wmz» o:><img width=«139» height=«25» src=«dopb63424.zip» v:shapes="_x0000_i1362">. Возьмем стандартное ε>0, тогда верно утверждение: <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image493.wmz» o:><img width=«251» height=«27» src=«dopb63425.zip» v:shapes="_x0000_i1363">. По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, следовательно,  <shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image479.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb63418.zip» v:shapes="_x0000_i1364">, что и требовалось доказать.
Множества, входящие  в нестандартный универсум, называются внутренними. Это множества, которые являются элементами расширения булеана какого-то стандартного множества. Рассмотрим множества, являющиеся элементами <shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image495.wmz» o:><img width=«55» height=«24» src=«dopb63426.zip» v:shapes="_x0000_i1365">, где <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image497.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb63427.zip» v:shapes="_x0000_i1366"> – булеан <shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image439.wmz» o:><img width=«17» height=«19» src=«dopb63399.zip» v:shapes="_x0000_i1367">. Для всех множеств  <shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image499.wmz» o:><img width=«21» height=«19» src=«dopb63428.zip» v:shapes="_x0000_i1368"> из <shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image497.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb63427.zip» v:shapes="_x0000_i1369"> выполняется утверждение: если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань (аксиома непрерывности). И определение ограниченности сверху, и определение точной нижней грани можно записать формулой с конечным числом символов, поэтому к данному утверждению применим принцип переноса. Значит, если множество <shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image501.wmz» o:><img width=«84» height=«24» src=«dopb63429.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> ограничено сверху некоторым гипердействительным числом, то оно имеет точную верхнюю грань в <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image467.wmz» o:><img width=«28» height=«19» src=«dopb63412.zip» v:shapes="_x0000_i1371">, которую также будем обозначать <shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«13928.files/image503.wmz» o:><img width=«48» height=«24» src=«dopb63430.zip» v:shapes="_x0000_i1372">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--