Реферат: Математический анализ. Практикум
--PAGE_BREAK--1.2 Теория пределовОпределение 1. Пределом функции <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611101244-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> при <img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> называется число b, если для любого <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1611101578-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> (<img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1611101578-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> – сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента <img border=«0» width=«44» height=«24» src=«ref-1_1611101748-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, начиная с которого выполняется неравенство <img border=«0» width=«87» height=«27» src=«ref-1_1611101865-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">.
Обозначение: <img border=«0» width=«83» height=«29» src=«ref-1_1611102174-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">.
Определение 2. Пределом функции <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611101244-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100"> при <img border=«0» width=«45» height=«15» src=«ref-1_1611102702-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101"> называется число b, если для любого <img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1611101578-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102"> (<img border=«0» width=«13» height=«15» src=«ref-1_1611101578-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> — сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число <img border=«0» width=«15» height=«19» src=«ref-1_1611102990-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству <img border=«0» width=«68» height=«27» src=«ref-1_1611103079-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> выполняется неравенство <img border=«0» width=«87» height=«27» src=«ref-1_1611101865-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">.
Обозначение: <img border=«0» width=«83» height=«29» src=«ref-1_1611103568-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">.
Определение 3.Функция <img border=«0» width=«61» height=«23» src=«ref-1_1611103883-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> называется бесконечно малой при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> или <img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">, если <img border=«0» width=«89» height=«32» src=«ref-1_1611104391-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">или <img border=«0» width=«91» height=«31» src=«ref-1_1611104752-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">.
Свойства.
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Определение 4.Функция <img border=«0» width=«61» height=«23» src=«ref-1_1611103883-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> называется бесконечно большой при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, если <img border=«0» width=«93» height=«32» src=«ref-1_1611105479-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">.
Свойства.
1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.
Теорема.(Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной.) Если функция <img border=«0» width=«33» height=«23» src=«ref-1_1611105840-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116"> бесконечно малая при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> (<img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">), то функция <img border=«0» width=«83» height=«44» src=«ref-1_1611106305-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> является бесконечно большой величиной при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> (<img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">). И, обратно, если функция <img border=«0» width=«33» height=«23» src=«ref-1_1611105840-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> бесконечно большая при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> (<img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">), то функция <img border=«0» width=«83» height=«44» src=«ref-1_1611106305-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> является бесконечно малой величиной при <img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611104139-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> (<img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">).
Теоремы о пределах.
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:
<img border=«0» width=«244» height=«23» src=«ref-1_1611108018-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">.
3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:
<img border=«0» width=«231» height=«23» src=«ref-1_1611108707-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
4. Предел степени равен степени предела:
<img border=«0» width=«159» height=«25» src=«ref-1_1611109372-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">
5. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя существует:
<img border=«0» width=«132» height=«44» src=«ref-1_1611109878-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">.
6. Первый замечательный предел.
<img border=«0» width=«79» height=«39» src=«ref-1_1611110527-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">.
Следствия:
<img border=«0» width=«207» height=«41» src=«ref-1_1611110765-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">
7. Второй замечательный предел:
<img border=«0» width=«308» height=«49» src=«ref-1_1611111208-768.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
Следствия:
<img border=«0» width=«328» height=«44» src=«ref-1_1611111976-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">
Эквивалентные бесконечно малые величины при <img border=«0» width=«44» height=«19» src=«ref-1_1611112725-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">:
<img border=«0» width=«395» height=«68» src=«ref-1_1611112846-1060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">
Вычисление пределов.
При вычислении пределов используют основные теоремы о пределах, свойства непрерывных функций и правила, вытекающие из этих теорем и свойств.
Правило 1.Чтобы найти предел в точке <img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1611113906-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> функции, непрерывной в этой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента xподставить его предельное значение <img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1611113906-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">.
Пример 2. Найти
<img border=«0» width=«124» height=«41» src=«ref-1_1611114094-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">
Правило 2.Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен нулю, а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен <img border=«0» width=«84» height=«19» src=«ref-1_1611114437-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">.
Пример 3. Найти
<img border=«0» width=«101» height=«41» src=«ref-1_1611114603-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">
Правило 3.Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен <img border=«0» width=«16» height=«13» src=«ref-1_1611114906-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен нулю.
Пример 4. Найти
<img border=«0» width=«80» height=«51» src=«ref-1_1611114994-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">
Часто подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида
<img border=«0» width=«193» height=«41» src=«ref-1_1611115259-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">.
Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразование данного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.
Правило 4. Неопределенность вида <img border=«0» width=«29» height=«45» src=«ref-1_1611115691-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> раскрывается путем преобразования подпредельной функции т.о., чтобы в числителе и знаменателе выделить множитель, предел которого равен нулю, и, сократив на него дробь, найти предел частного. Для этого числитель и знаменатель либо раскладывают на множители, либо домножают на сопряженные числителю и знаменателю выражения.
Пример 5.
<img border=«0» width=«370» height=«45» src=«ref-1_1611115860-1115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">
Пример 6.
<img border=«0» width=«408» height=«152» src=«ref-1_1611116975-4013.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">
Правило 5.Если подпредельное выражение содержит тригонометрические функции, тогда, чтобы раскрыть неопределенность вида <img border=«0» width=«29» height=«45» src=«ref-1_1611115691-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> используют первый замечательный предел.
Пример 7.
<img border=«0» width=«224» height=«45» src=«ref-1_1611121157-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">
<img border=«0» width=«236» height=«41» src=«ref-1_1611121796-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.
Пример 8.
<img border=«0» width=«348» height=«49» src=«ref-1_1611122320-836.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">
Правило 6. Чтобы раскрыть неопределенность вида <img border=«0» width=«33» height=«45» src=«ref-1_1611123156-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> при <img border=«0» width=«48» height=«15» src=«ref-1_1611101457-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">, числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо разделить на высшую степень аргумента и находить далее предел частного.
Возможны результаты:
1) искомый предел равен отношению коэффициентов при старших степенях аргумента числителя и знаменателя, если эти степени одинаковы;
2) предел равен бесконечности, если степень аргумента числителя выше степени аргумента знаменателя;
3) предел равен нулю, если степень аргумента числителя ниже степени аргумента знаменателя.
Пример 9.
а) <img border=«0» width=«253» height=«83» src=«ref-1_1611123457-787.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
т.к. <img border=«0» width=«187» height=«41» src=«ref-1_1611124244-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">
Степени равны, значит, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. <img border=«0» width=«15» height=«41» src=«ref-1_1611124685-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.
б) <img border=«0» width=«260» height=«97» src=«ref-1_1611124798-885.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">
Степень числителя <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611125683-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, знаменателя – 1, значит, предел равен <img border=«0» width=«19» height=«15» src=«ref-1_1611125793-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
в) <img border=«0» width=«389» height=«91» src=«ref-1_1611125887-1334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
Степень числителя 1, знаменателя – <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611125683-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, значит, предел равен 0.
Правило 7. Чтобы раскрыть неопределенность вида <img border=«0» width=«51» height=«23» src=«ref-1_1611127331-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">, числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо домножить на сопряженное выражение.
Пример 10.
<img border=«0» width=«403» height=«53» src=«ref-1_1611127488-1331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
<img border=«0» width=«424» height=«76» src=«ref-1_1611128819-1218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
Правило 8. Чтобы раскрыть неопределенность вида <img border=«0» width=«27» height=«24» src=«ref-1_1611130037-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> используют второй замечательный предел и его следствия.
Можно доказать, что
<img border=«0» width=«257» height=«49» src=«ref-1_1611130164-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">
Пример 11.
<img border=«0» width=«377» height=«109» src=«ref-1_1611130847-1464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">
Пример 12.
<img border=«0» width=«468» height=«59» src=«ref-1_1611132311-1143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
Пример 13.
<img border=«0» width=«416» height=«48» src=«ref-1_1611133454-1081.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
Правило 9. При раскрытии неопределенностей, подпредельная функция которых содержит б.м.в., необходимо заменить пределы этих б.м. на пределы б.м., эквивалентных им.
Пример 14.
<img border=«0» width=«429» height=«47» src=«ref-1_1611134535-1220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">
<img border=«0» width=«213» height=«21» src=«ref-1_1611135755-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
Пример 15.
<img border=«0» width=«355» height=«45» src=«ref-1_1611136087-1037.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">
<img border=«0» width=«263» height=«23» src=«ref-1_1611137124-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
Правило 10. Правило Лопиталя (см. 2.6).
продолжение
--PAGE_BREAK--1.3 Непрерывность функции
Функция <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> непрерывна в точке <img border=«0» width=«39» height=«15» src=«ref-1_1611137873-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">, если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.
Эквивалентные условия:
1. <img border=«0» width=«104» height=«29» src=«ref-1_1611137980-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">;
2. <img border=«0» width=«304» height=«29» src=«ref-1_1611138371-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">
3. <img border=«0» width=«128» height=«29» src=«ref-1_1611139024-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">
4. <img border=«0» width=«192» height=«29» src=«ref-1_1611139497-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">
Классификация точек разрыва:
разрыв I рода
— устранимый – односторонние пределы существуют и равны;
— неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;
разрыв II рода: предел функции в точке не существует.
Пример 16. Установить характер разрыва функции <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> в точке <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> или доказать непрерывность функции в этой точке.
а) <img border=«0» width=«83» height=«41» src=«ref-1_1611140443-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
при <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> функция не определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Т.к. <img border=«0» width=«83» height=«41» src=«ref-1_1611140880-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">и, соответственно, <img border=«0» width=«165» height=«41» src=«ref-1_1611141122-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">, то <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> – точка устранимого разрыва первого рода.
б) <img border=«0» width=«171» height=«69» src=«ref-1_1611141622-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
по сравнению с заданием (а) функция доопределена в точке <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> так, что <img border=«0» width=«125» height=«29» src=«ref-1_1611142382-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, значит, данная функция непрерывна в данной точке.
в) <img border=«0» width=«67» height=«36» src=«ref-1_1611142799-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">
При <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> функция не определена;
<img border=«0» width=«303» height=«57» src=«ref-1_1611143195-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.
Т.к. один из односторонних пределов бесконечен, то <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> – точка разрыва второго рода.
Глава 2. Дифференциальное исчисление 2.1 Определение производной
Определение производной
Производная <img border=«0» width=«19» height=«21» src=«ref-1_1611143953-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> или <img border=«0» width=«39» height=«23» src=«ref-1_1611144051-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> от данной функции <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197"> есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:
<img border=«0» width=«83» height=«41» src=«ref-1_1611144526-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> или <img border=«0» width=«171» height=«41» src=«ref-1_1611144793-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">.
Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:
<img border=«0» width=«202» height=«134» src=«ref-1_1611145353-2919.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">
2.2 Основные правила дифференцирования
Наименование
Функция
Производная
Умножение на постоянный множитель
<img border=«0» width=«20» height=«17» src=«ref-1_1611148272-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">
<img border=«0» width=«24» height=«21» src=«ref-1_1611148370-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
Алгебраическая сумма двух функций
<img border=«0» width=«36» height=«17» src=«ref-1_1611148478-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">
<img border=«0» width=«43» height=«19» src=«ref-1_1611148594-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">
Произведение двух функций
<img border=«0» width=«29» height=«15» src=«ref-1_1611148725-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
<img border=«0» width=«68» height=«19» src=«ref-1_1611148826-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
Частное двух функций
<img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611148982-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">
<img border=«0» width=«69» height=«41» src=«ref-1_1611149093-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">
Сложная функция
<img border=«0» width=«61» height=«45» src=«ref-1_1611149309-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">
<img border=«0» width=«145» height=«41» src=«ref-1_1611149688-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">
Производные основных элементарных функций
№ п/п
Наименование функции
Функция и её производная
1
константа
<img border=«0» width=«41» height=«19» src=«ref-1_1611150178-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">
2
степенная функция
частные случаи
<img border=«0» width=«132» height=«31» src=«ref-1_1611150297-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">
<img border=«0» width=«224» height=«52» src=«ref-1_1611150683-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
3
показательная функция
частный случай
<img border=«0» width=«167» height=«31» src=«ref-1_1611151317-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
<img border=«0» width=«64» height=«31» src=«ref-1_1611151754-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">
4
логарифмическая функция
частный случай
<img border=«0» width=«192» height=«41» src=«ref-1_1611152040-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
<img border=«0» width=«71» height=«41» src=«ref-1_1611152536-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">
5
тригонометрические функции
<img border=«0» width=«99» height=«29» src=«ref-1_1611152829-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">
<img border=«0» width=«109» height=«29» src=«ref-1_1611153137-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
<img border=«0» width=«99» height=«41» src=«ref-1_1611153445-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
<img border=«0» width=«115» height=«41» src=«ref-1_1611153798-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">
6
обратные
тригонометрические
функции
<img border=«0» width=«137» height=«47» src=«ref-1_1611154173-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> <img border=«0» width=«151» height=«47» src=«ref-1_1611154606-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">
<img border=«0» width=«117» height=«41» src=«ref-1_1611155045-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">
<img border=«0» width=«136» height=«41» src=«ref-1_1611155437-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">
Пример 17
а) <img border=«0» width=«407» height=«24» src=«ref-1_1611155845-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">
б) <img border=«0» width=«303» height=«51» src=«ref-1_1611156496-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">
в)<img border=«0» width=«85» height=«44» src=«ref-1_1611157190-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">
<img border=«0» width=«392» height=«51» src=«ref-1_1611157414-1230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">
продолжение
--PAGE_BREAK--2.3 Производные высших порядков
Производная второго порядка функции <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Производная второго порядка функции <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">:
<img border=«0» width=«145» height=«44» src=«ref-1_1611159154-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">
Пример 18.
а) Найти производную второго порядка функции <img border=«0» width=«148» height=«24» src=«ref-1_1611159699-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">.
Решение. Найдем сначала производную первого порядка <img border=«0» width=«113» height=«24» src=«ref-1_1611159949-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.
От производной первого порядка возьмем еще раз производную <img border=«0» width=«83» height=«21» src=«ref-1_1611160163-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">.
Пример 19. Найти производную третьего порядка функции <img border=«0» width=«63» height=«17» src=«ref-1_1611096786-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.
Решение.
<img border=«0» width=«249» height=«21» src=«ref-1_1611160483-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">.
2.4 Исследование функций 2.4.1 План полного исследования функции:
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование:
— найти область определения и область значений;
— выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;
— найти точки пересечения с осями координат;
— определить участки знакопостоянства.
2. Асимптоты:
— найти вертикальные асимптоты <img border=«0» width=«37» height=«15» src=«ref-1_1611160808-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">, если <img border=«0» width=«95» height=«29» src=«ref-1_1611160915-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">;
— найти наклонные асимптоты: <img border=«0» width=«281» height=«41» src=«ref-1_1611161249-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.
Если <img border=«0» width=«65» height=«21» src=«ref-1_1611162023-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> любое число, то <img border=«0» width=«39» height=«21» src=«ref-1_1611162174-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">– горизонтальные асимптоты.
3. Исследование с помощью <img border=«0» width=«19» height=«21» src=«ref-1_1611143953-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">:
— найти критические точки, те. точки в которых <img border=«0» width=«43» height=«21» src=«ref-1_1611162394-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> или не существует;
— определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых <img border=«0» width=«43» height=«21» src=«ref-1_1611162525-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">и убывания функции – <img border=«0» width=«43» height=«21» src=«ref-1_1611162657-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">;
— определить экстремумы: точки, при переходе через которые<img border=«0» width=«19» height=«21» src=«ref-1_1611143953-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.
4. Исследование с помощью <img border=«0» width=«20» height=«21» src=«ref-1_1611162886-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">:
— найти точки, в которых <img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1611162988-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> или не существует;
— найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых <img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1611163121-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> и вогнутости – <img border=«0» width=«45» height=«21» src=«ref-1_1611163255-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">;
— найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые <img border=«0» width=«20» height=«21» src=«ref-1_1611162886-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> меняет знак.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.
2.4.2 Примеры исследования функции:
20. <img border=«0» width=«71» height=«44» src=«ref-1_1611163492-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.
1) <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1611163693-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">
2) Функция нечетная:
<img border=«0» width=«245» height=«49» src=«ref-1_1611163886-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">.
3) Асимптоты.
<img border=«0» width=«89» height=«21» src=«ref-1_1611164600-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> – вертикальные асимптоты, т.к.
<img border=«0» width=«99» height=«44» src=«ref-1_1611164756-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">
<img border=«0» width=«216» height=«48» src=«ref-1_1611165033-613.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">
<img border=«0» width=«267» height=«51» src=«ref-1_1611165646-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">
Наклонная асимптота <img border=«0» width=«40» height=«17» src=«ref-1_1611166253-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">.
<img border=«0» width=«433» height=«51» src=«ref-1_1611166367-1420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">
<img border=«0» width=«276» height=«51» src=«ref-1_1611167787-758.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">
<img border=«0» width=«239» height=«72» src=«ref-1_1611168545-2770.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">
5) <img border=«0» width=«311» height=«53» src=«ref-1_1611171315-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">
<img border=«0» width=«277» height=«51» src=«ref-1_1611172351-1017.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">
<img border=«0» width=«313» height=«51» src=«ref-1_1611173368-886.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">
<img border=«0» width=«40» height=«17» src=«ref-1_1611174254-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026"> <img border=«0» width=«88» height=«51» src=«ref-1_1611174832-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> – точка перегиба.
<img border=«0» width=«268» height=«75» src=«ref-1_1611175352-2822.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">
Схематичный график данной функции:
<img border=«0» width=«219» height=«228» src=«ref-1_1611178174-5989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">
21. <img border=«0» width=«96» height=«19» src=«ref-1_1611184163-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">
1) <img border=«0» width=«99» height=«21» src=«ref-1_1611184352-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">
2) Функция нечетная:
<img border=«0» width=«405» height=«23» src=«ref-1_1611184542-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">
3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.
Наклонные:
<img border=«0» width=«401» height=«128» src=«ref-1_1611185316-1641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">
<img border=«0» width=«317» height=«41» src=«ref-1_1611186957-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">– наклонные асимптоты
4) <img border=«0» width=«176» height=«44» src=«ref-1_1611187471-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> – функция возрастает.
5) <img border=«0» width=«345» height=«51» src=«ref-1_1611187839-1079.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">,
<img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> – точка перегиба.
Схематичный график данной функции:
<img border=«0» width=«285» height=«170» src=«ref-1_1611189032-1054.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">
22. <img border=«0» width=«61» height=«24» src=«ref-1_1611190086-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">
1) <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1611190242-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">
2) Функция общего вида
3) Асимптоты
<img border=«0» width=«152» height=«44» src=«ref-1_1611190363-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">
<img border=«0» width=«95» height=«64» src=«ref-1_1611190728-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> – наклонных асимптот нет
<img border=«0» width=«108» height=«31» src=«ref-1_1611191144-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">
<img border=«0» width=«37» height=«21» src=«ref-1_1611191392-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> – горизонтальная асимптота при <img border=«0» width=«61» height=«19» src=«ref-1_1611191516-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">
4) <img border=«0» width=«185» height=«24» src=«ref-1_1611191648-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">
<img border=«0» width=«91» height=«21» src=«ref-1_1611192042-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">
<img border=«0» width=«326» height=«67» src=«ref-1_1611192211-3692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">
<img border=«0» width=«240» height=«24» src=«ref-1_1611195903-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">
<img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1611196357-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> – точка перегиба
<img border=«0» width=«322» height=«80» src=«ref-1_1611196470-3398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Схематичный график данной функции:
<img border=«0» width=«302» height=«179» src=«ref-1_1611199868-2706.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">
23. <img border=«0» width=«63» height=«45» src=«ref-1_1611202574-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">
1) <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1611202846-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">
2) Асимптоты.
<img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> – вертикальная асимптота, т.к.
<img border=«0» width=«102» height=«51» src=«ref-1_1611203078-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">
<img border=«0» width=«112» height=«63» src=«ref-1_1611203538-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> – наклонных асимптот нет
<img border=«0» width=«110» height=«49» src=«ref-1_1611203998-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">, <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1611204423-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> – горизонтальная асимптота
Схематичный график данной функции:
<img border=«0» width=«285» height=«141» src=«ref-1_1611204542-3060.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">
24. <img border=«0» width=«43» height=«33» src=«ref-1_1611207602-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
1) <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1611202846-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">
2) Асимптоты
<img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611140329-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> – вертикальная асимптота при <img border=«0» width=«68» height=«19» src=«ref-1_1611207980-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">, т.к.
<img border=«0» width=«180» height=«43» src=«ref-1_1611208129-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">
<img border=«0» width=«95» height=«54» src=«ref-1_1611208533-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> – наклонных асимптот нет
<img border=«0» width=«96» height=«46» src=«ref-1_1611208799-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">, <img border=«0» width=«36» height=«21» src=«ref-1_1611204423-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> – горизонтальная асимптота
3) <img border=«0» width=«148» height=«48» src=«ref-1_1611209183-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> – функция убывает на каждом из промежутков.
Схематичный график данной функции:
<img border=«0» width=«291» height=«196» src=«ref-1_1611209572-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">
2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:
1. Найти производную функции <img border=«0» width=«39» height=«23» src=«ref-1_1611144051-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">.
2. Найти критические точки функции, в которых <img border=«0» width=«64» height=«23» src=«ref-1_1611210626-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> или не существует.
3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее <img border=«0» width=«33» height=«24» src=«ref-1_1611210886-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> и наименьшее <img border=«0» width=«35» height=«24» src=«ref-1_1611211012-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">.
Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.
25. <img border=«0» width=«117» height=«24» src=«ref-1_1611211137-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> на промежутке <img border=«0» width=«39» height=«23» src=«ref-1_1611211359-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">
1) <img border=«0» width=«97» height=«24» src=«ref-1_1611211497-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">
2) <img border=«0» width=«264» height=«23» src=«ref-1_1611211700-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> – критические точки
3) <img border=«0» width=«63» height=«23» src=«ref-1_1611212184-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">,
<img border=«0» width=«155» height=«23» src=«ref-1_1611212366-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> – <img border=«0» width=«35» height=«24» src=«ref-1_1611211012-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">
<img border=«0» width=«57» height=«23» src=«ref-1_1611212838-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> – <img border=«0» width=«33» height=«24» src=«ref-1_1611210886-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">
<img border=«0» width=«123» height=«23» src=«ref-1_1611213215-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">
26. <img border=«0» width=«75» height=«47» src=«ref-1_1611213540-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> на промежутке <img border=«0» width=«33» height=«21» src=«ref-1_1611213801-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">.
<img border=«0» width=«287» height=«63» src=«ref-1_1611213922-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">
Производная не существует при <img border=«0» width=«35» height=«19» src=«ref-1_1611214708-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">, но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция <img border=«0» width=«75» height=«47» src=«ref-1_1611213540-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> убывает на промежутке <img border=«0» width=«33» height=«21» src=«ref-1_1611213801-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">, значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение <img border=«0» width=«93» height=«27» src=«ref-1_1611215199-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">.
продолжение
--PAGE_BREAK--2.5 Правило Лопиталя
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Т.е. при раскрытии неопределенностей вида <img border=«0» width=«29» height=«45» src=«ref-1_1611115691-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">или <img border=«0» width=«33» height=«45» src=«ref-1_1611123156-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> можно использовать формулу:
<img border=«0» width=«167» height=«52» src=«ref-1_1611215761-873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">.
Примеры.
27. <img border=«0» width=«264» height=«64» src=«ref-1_1611216634-927.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">
28. <img border=«0» width=«405» height=«53» src=«ref-1_1611217561-1325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">
<img border=«0» width=«180» height=«49» src=«ref-1_1611218886-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
Глава 3. Интегрально исчисление 3.1 Неопределенный интеграл 3.1.1 Определения и свойства
Определение 1. Функция <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611219371-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> называется первообразной для <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611101244-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">, если <img border=«0» width=«85» height=«23» src=«ref-1_1611219796-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">.
Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.
Обозначение: <img border=«0» width=«113» height=«29» src=«ref-1_1611220121-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">, где c— произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла: <img border=«0» width=«141» height=«40» src=«ref-1_1611220540-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">
2. Дифференциал неопределенного интеграла: <img border=«0» width=«165» height=«33» src=«ref-1_1611220943-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">
3. Неопределенный интеграл от дифференциала: <img border=«0» width=«144» height=«33» src=«ref-1_1611221387-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">
4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:
<img border=«0» width=«314» height=«33» src=«ref-1_1611221749-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">;
5. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:
<img border=«0» width=«169» height=«33» src=«ref-1_1611222480-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">
3.1.2 Таблица интегралов
<img border=«0» width=«192» height=«44» src=«ref-1_1611222920-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> <img border=«0» width=«107» height=«29» src=«ref-1_1611223396-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">
<img border=«0» width=«339» height=«44» src=«ref-1_1611223725-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">
<img border=«0» width=«225» height=«44» src=«ref-1_1611224414-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> <img border=«0» width=«116» height=«29» src=«ref-1_1611224924-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">
<img border=«0» width=«425» height=«91» src=«ref-1_1611225255-1500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">
<img border=«0» width=«384» height=«29» src=«ref-1_1611226755-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">
3.1.3 Основные методы интегрирования
1. Использование свойств неопределенного интеграла.
Пример 29.
<img border=«0» width=«394» height=«54» src=«ref-1_1611227391-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">
<img border=«0» width=«393» height=«80» src=«ref-1_1611228360-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">
2. Подведение под знак дифференциала.
Пример 30.
<img border=«0» width=«327» height=«91» src=«ref-1_1611229203-1104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">
3. Метод замены переменной:
а) замена <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611230307-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> в интеграле
<img border=«0» width=«59» height=«29» src=«ref-1_1611230548-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">: <img border=«0» width=«429» height=«33» src=«ref-1_1611230859-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">
<img border=«0» width=«236» height=«24» src=«ref-1_1611231813-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">,
где <img border=«0» width=«129» height=«23» src=«ref-1_1611232432-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> — функция, интегрируемая легче, чем исходная; <img border=«0» width=«56» height=«23» src=«ref-1_1611232912-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> — функция, обратная функции <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611230307-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">; <img border=«0» width=«32» height=«23» src=«ref-1_1611233402-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> — первообразная функции <img border=«0» width=«29» height=«23» src=«ref-1_1611233616-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">.
Пример 31.
<img border=«0» width=«423» height=«73» src=«ref-1_1611233826-1303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">
<img border=«0» width=«441» height=«99» src=«ref-1_1611235129-1710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">
б) замена <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611236839-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> в интеграле вида:
<img border=«0» width=«358» height=«33» src=«ref-1_1611237085-813.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">
<img border=«0» width=«269» height=«24» src=«ref-1_1611237898-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">;
Пример 32.
<img border=«0» width=«349» height=«71» src=«ref-1_1611238397-999.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">
<img border=«0» width=«99» height=«45» src=«ref-1_1611239396-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"><img border=«0» width=«96» height=«48» src=«ref-1_1611239644-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">
Пример 33.
<img border=«0» width=«428» height=«48» src=«ref-1_1611239927-1043.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">
<img border=«0» width=«344» height=«96» src=«ref-1_1611240970-1361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">
4. Метод интегрирования по частям:
<img border=«0» width=«133» height=«33» src=«ref-1_1611242331-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">
Пример 34.
<img border=«0» width=«345» height=«53» src=«ref-1_1611242673-858.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">
<img border=«0» width=«235» height=«29» src=«ref-1_1611243531-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">
Пример 35.
<img border=«0» width=«369» height=«51» src=«ref-1_1611243976-1082.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">
<img border=«0» width=«89» height=«29» src=«ref-1_1611245058-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"><img border=«0» width=«239» height=«24» src=«ref-1_1611245361-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">
Возьмем отдельно интеграл
<img border=«0» width=«400» height=«48» src=«ref-1_1611245875-969.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">
<img border=«0» width=«153» height=«19» src=«ref-1_1611246844-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">
Вернемся к нашему интегралу:
<img border=«0» width=«91» height=«24» src=«ref-1_1611247082-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"><img border=«0» width=«91» height=«29» src=«ref-1_1611247403-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"><img border=«0» width=«257» height=«24» src=«ref-1_1611247708-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">
<img border=«0» width=«239» height=«24» src=«ref-1_1611245361-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">
продолжение
--PAGE_BREAK--3.2 Определенный интеграл 3.2.1 Понятие определенного интеграла и его свойства
Определение. Пусть на некотором интервале <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611248794-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> задана непрерывная функция <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1611248936-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">. Построим ее график.
<img border=«0» width=«288» height=«179» src=«ref-1_1611249189-1265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">
Фигура, ограниченная сверху кривой <img border=«0» width=«60» height=«23» src=«ref-1_1611091181-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">, слева и справа прямыми <img border=«0» width=«88» height=«21» src=«ref-1_1611250709-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> и снизу отрезком оси абсцисс между точками aи b, называется криволинейной трапецией.
S – область – криволинейная трапеция.
Разделим интервал точками <img border=«0» width=«265» height=«24» src=«ref-1_1611250873-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"> и получим:
<img border=«0» width=«327» height=«45» src=«ref-1_1611251222-823.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">
Интегральная сумма:
<img border=«0» width=«269» height=«51» src=«ref-1_1611252045-866.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">
<img border=«0» width=«88» height=«24» src=«ref-1_1611252911-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">
Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
<img border=«0» width=«143» height=«51» src=«ref-1_1611253105-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:
<img border=«0» width=«269» height=«51» src=«ref-1_1611253710-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c<img border=«0» width=«71» height=«23» src=«ref-1_1611254702-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">:
<img border=«0» width=«200» height=«51» src=«ref-1_1611254984-775.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">
4. Если на отрезке <img border=«0» width=«35» height=«23» src=«ref-1_1611248794-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> <img border=«0» width=«79» height=«23» src=«ref-1_1611255901-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">, то и <img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1611256217-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">
<img border=«0» width=«129» height=«51» src=«ref-1_1611256290-579.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">
5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:
6. <img border=«0» width=«140» height=«51» src=«ref-1_1611256869-583.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">
7. Интеграл в точке равен 0:
<img border=«0» width=«84» height=«51» src=«ref-1_1611257452-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">
8. <img border=«0» width=«315» height=«77» src=«ref-1_1611257845-1233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">
9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на [a,b]. Тогда <img border=«0» width=«144» height=«51» src=«ref-1_1611259078-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">, где <img border=«0» width=«59» height=«23» src=«ref-1_1611259648-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, f(c) – среднее значение f(x) на [a,b]:
<img border=«0» width=«141» height=«43» src=«ref-1_1611259826-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">
10. Формула Ньютона-Лейбница
<img border=«0» width=«151» height=«51» src=«ref-1_1611260319-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">,
где F(x) – первообразная для f(x).
3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла.
1. Непосредственное интегрирование
Пример 35.
а) <img border=«0» width=«304» height=«53» src=«ref-1_1611260900-825.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">
б) <img border=«0» width=«233» height=«53» src=«ref-1_1611261725-733.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">
в) <img border=«0» width=«309» height=«63» src=«ref-1_1611262458-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">
<img border=«0» width=«431» height=«128» src=«ref-1_1611263377-1526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">
д) <img border=«0» width=«324» height=«61» src=«ref-1_1611264903-790.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
2. Замена переменных под знаком определенного интеграла.
<img border=«0» width=«181» height=«52» src=«ref-1_1611265693-2654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">
<img border=«0» width=«139» height=«23» src=«ref-1_1611268347-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">
Пример 36.
<img border=«0» width=«369» height=«104» src=«ref-1_1611268740-1464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">
<img border=«0» width=«432» height=«72» src=«ref-1_1611270204-1221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
<img border=«0» width=«150» height=«55» src=«ref-1_1611271425-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">
Пример 37.
а) <img border=«0» width=«323» height=«55» src=«ref-1_1611271918-757.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
б) <img border=«0» width=«380» height=«69» src=«ref-1_1611272675-1167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">
<img border=«0» width=«108» height=«19» src=«ref-1_1611273842-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">
в) <img border=«0» width=«379» height=«53» src=«ref-1_1611274017-1110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">
<img border=«0» width=«108» height=«29» src=«ref-1_1611275127-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">
<img border=«0» width=«369» height=«69» src=«ref-1_1611275462-1198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">
<img border=«0» width=«387» height=«41» src=«ref-1_1611276660-899.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">
д) <img border=«0» width=«416» height=«75» src=«ref-1_1611277559-1325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">
<img border=«0» width=«436» height=«53» src=«ref-1_1611278884-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">
продолжение
--PAGE_BREAK--3.2.3 Приложения определенного интеграла
Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: <img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1611291114-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">и <img border=«0» width=«63» height=«21» src=«ref-1_1611291308-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">.
Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение <img border=«0» width=«361» height=«24» src=«ref-1_1611291449-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">
Итак, точки пересечения <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1611291866-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> и <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1611292107-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">.
<img border=«0» width=«187» height=«146» src=«ref-1_1611292349-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">
Площадь фигуры найдем, используя формулу
<img border=«0» width=«136» height=«48» src=«ref-1_1611293013-1600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">.
В нашем случае
<img border=«0» width=«339» height=«45» src=«ref-1_1611294613-3281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">
<img border=«0» width=«387» height=«48» src=«ref-1_1611297894-4193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">
Ответ: площадь равна <img border=«0» width=«15» height=«41» src=«ref-1_1611302087-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> (квадратных единиц).
Глава 4. Функции нескольких переменных
4.1 Основные понятия
Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел <img border=«0» width=«37» height=«23» src=«ref-1_1611302201-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная zназывается функцией двух переменных.
Определение. Областью определения функции zназывается совокупность пар <img border=«0» width=«37» height=«23» src=«ref-1_1611302201-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">, при которых функция zсуществует.
Область определения функции двух переменных <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата zназывается аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E3. Например:
<img width=«199» height=«181» src=«ref-1_1611302803-6357.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1029">
Рис.1
Пример 39. Найти область определения функции.
а) <img border=«0» width=«132» height=«29» src=«ref-1_1611309160-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">
Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при <img border=«0» width=«88» height=«24» src=«ref-1_1611309533-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">. Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса Rс центром в начале координат.
<img border=«0» width=«260» height=«160» src=«ref-1_1611309727-5370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">
б) <img border=«0» width=«48» height=«44» src=«ref-1_1611315097-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">.
Область определения данной функции – все точки плоскости <img border=«0» width=«31» height=«21» src=«ref-1_1611315260-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">, кроме точек прямых <img border=«0» width=«85» height=«21» src=«ref-1_1611315381-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">, т.е. осей координат.
Определение. Линии уровня функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> – это семейство кривых на координатной плоскости <img border=«0» width=«31» height=«21» src=«ref-1_1611315260-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, описываемое уравнениями вида <img border=«0» width=«12» height=«23» src=«ref-1_1611256217-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"><img border=«0» width=«79» height=«21» src=«ref-1_1611315911-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">.
Пример 40. Найти линии уровня функции <img border=«0» width=«143» height=«24» src=«ref-1_1611316090-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">.
Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости <img border=«0» width=«31» height=«21» src=«ref-1_1611315260-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, описываемое уравнением
<img border=«0» width=«147» height=«24» src=«ref-1_1611316447-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">, или <img border=«0» width=«168» height=«24» src=«ref-1_1611316694-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">.
Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О1(1, 1) радиуса <img border=«0» width=«76» height=«24» src=«ref-1_1611316976-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">. Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x= 1, y= 1. (Рис. 4)
<img border=«0» width=«473» height=«383» src=«ref-1_1611317156-16335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">
Рис.4
продолжение
--PAGE_BREAK--4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.
1. Пределы.
Определение. Число Aназывается пределом функции <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1611333491-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> при стремлении точки <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611333637-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> к точке <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611333892-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">, если для каждого сколь угодно малого числа <img border=«0» width=«39» height=«19» src=«ref-1_1611334180-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> найдется такое число <img border=«0» width=«37» height=«19» src=«ref-1_1611334297-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">, что для любой точки <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611333637-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> верно условие <img border=«0» width=«65» height=«24» src=«ref-1_1611334666-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">, также верно условие <img border=«0» width=«104» height=«27» src=«ref-1_1611334838-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">. Записывают: <img border=«0» width=«108» height=«41» src=«ref-1_1611335170-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">.
Пример 41. Найти пределы:
<img border=«0» width=«342» height=«111» src=«ref-1_1611335607-1678.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">
т.е. предел зависит от <img border=«0» width=«13» height=«19» src=«ref-1_1611337285-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, а, значит, он не существует.
<img border=«0» width=«402» height=«128» src=«ref-1_1611337374-2193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">
2. Непрерывность.
Определение. Пусть точка <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611333892-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> принадлежит области определения функции <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1611333491-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">. Тогда функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> называется непрерывной в точке <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611333892-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, если
<img border=«0» width=«172» height=«46» src=«ref-1_1611340459-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> (1)
причем точка <img border=«0» width=«55» height=«23» src=«ref-1_1611333637-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> стремится к точке <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611333892-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> произвольным образом.
Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции <img border=«0» width=«51» height=«21» src=«ref-1_1611333491-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">. Это может быть в следующих случаях:
1) Функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> не определена в точке <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611333892-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">.
2) Не существует предел <img border=«0» width=«84» height=«44» src=«ref-1_1611342285-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">.
3) Этот предел существует, но он не равен <img border=«0» width=«71» height=«28» src=«ref-1_1611342749-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">.
Пример 42. Определить, является ли данная функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">непрерывной в точке <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1611343256-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">, если <img border=«0» width=«72» height=«21» src=«ref-1_1611343523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">.
<img border=«0» width=«153» height=«52» src=«ref-1_1611343698-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">
<img border=«0» width=«425» height=«52» src=«ref-1_1611344218-1270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">
Получили, что <img border=«0» width=«136» height=«42» src=«ref-1_1611345488-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> значит, данная функция непрерывна в точке <img border=«0» width=«57» height=«24» src=«ref-1_1611343256-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">.
<img border=«0» width=«331» height=«104» src=«ref-1_1611346285-1782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">
предел зависит от k, т.е. он в данной точке не существует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв.
4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 4.3.1 Частные производные первого порядка
Частная производная функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">по аргументу xявляется обыкновенной производной функции одной переменной xпри фиксированном значении переменной yи обозначается:
<img border=«0» width=«121» height=«41» src=«ref-1_1611348237-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">
Частная производная функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">по аргументу yявляется обыкновенной производной функции одной переменной yпри фиксированном значении переменной xи обозначается:
<img border=«0» width=«123» height=«44» src=«ref-1_1611348719-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">
Пример 43. Найти частные производные функций.
<img border=«0» width=«363» height=«103» src=«ref-1_1611349054-1601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">
продолжение
--PAGE_BREAK--4.3.2 Частные производные второго порядка
Частные производные второго порядка – это частные производные от частных производных первого порядка. Для функции двух переменных вида <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> возможны четыре вида частных производных второго порядка:
<img border=«0» width=«321» height=«99» src=«ref-1_1611350825-1573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">
Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции равны.
Пример 44. Найти частные производные второго порядка.
<img border=«0» width=«336» height=«107» src=«ref-1_1611352398-1226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">
<img border=«0» width=«387» height=«56» src=«ref-1_1611353624-886.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
<img border=«0» width=«339» height=«173» src=«ref-1_1611354510-2222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">
4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.
Определение. Дифференциал первого порядка функции двух переменных <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> находится по формуле
<img border=«0» width=«123» height=«44» src=«ref-1_1611356902-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">.
Пример 45. Найти полный дифференциал для функции <img border=«0» width=«41» height=«44» src=«ref-1_1611357250-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">.
Решение. Найдем частные производные:
<img border=«0» width=«137» height=«45» src=«ref-1_1611357397-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">
тогда
<img border=«0» width=«239» height=«45» src=«ref-1_1611357684-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">.
При малых приращениях аргументов xи yфункция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">получает приращение <img border=«0» width=«21» height=«17» src=«ref-1_1611358349-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">, приблизительно равное dz, т.е. <img border=«0» width=«53» height=«19» src=«ref-1_1611358450-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">.
Формула для нахождения приближенного значения функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> в точке <img border=«0» width=«171» height=«24» src=«ref-1_1611358765-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">, если известно ее точное значение в точке <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1611359156-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">:
<img border=«0» width=«396» height=«25» src=«ref-1_1611359395-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">.
Пример 46. Найти <img border=«0» width=«108» height=«27» src=«ref-1_1611360277-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">.
Решение. Пусть <img border=«0» width=«277» height=«25» src=«ref-1_1611360683-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">,
<img border=«0» width=«244» height=«24» src=«ref-1_1611361283-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">.
Тогда используем формулу
<img border=«0» width=«396» height=«25» src=«ref-1_1611359395-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">.
Получим:
<img border=«0» width=«167» height=«27» src=«ref-1_1611362539-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">.
<img border=«0» width=«424» height=«121» src=«ref-1_1611363013-2509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">
Ответ. <img border=«0» width=«151» height=«27» src=«ref-1_1611365522-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">.
Пример 47. Вычислить приближенно <img border=«0» width=«47» height=«24» src=«ref-1_1611365998-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">.
Решение. Рассмотрим функцию <img border=«0» width=«81» height=«24» src=«ref-1_1611366150-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">. Имеем
<img border=«0» width=«433» height=«79» src=«ref-1_1611366433-1881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">
Ответ. <img border=«0» width=«91» height=«24» src=«ref-1_1611368314-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">.
Пример 48. Вычислить приближенно <img border=«0» width=«72» height=«44» src=«ref-1_1611368527-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">.
Решение. Рассмотрим функцию <img border=«0» width=«115» height=«44» src=«ref-1_1611368791-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">. Получим:
<img border=«0» width=«444» height=«196» src=«ref-1_1611369176-2971.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">
<img border=«0» width=«377» height=«67» src=«ref-1_1611372147-997.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">
Ответ. <img border=«0» width=«116» height=«44» src=«ref-1_1611373144-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">.
4.3.4 Дифференцирование неявной функции
Определение. Функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> называется неявной, если она задается уравнением <img border=«0» width=«88» height=«23» src=«ref-1_1611373646-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">, не разрешимым относительно z.
Частные производные такой функции находятся по формулам:
<img border=«0» width=«228» height=«48» src=«ref-1_1611373943-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">
Пример 49. Найти частные производные функции z, заданной уравнением <img border=«0» width=«128» height=«24» src=«ref-1_1611374573-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">.
Решение. <img border=«0» width=«405» height=«75» src=«ref-1_1611374802-1131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">
Определение. Функция <img border=«0» width=«61» height=«21» src=«ref-1_1611375933-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">называется неявной, если она задается уравнением <img border=«0» width=«75» height=«23» src=«ref-1_1611091436-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">, не разрешимым относительно y.
Производная такой функции находится по формуле:
<img border=«0» width=«124» height=«48» src=«ref-1_1611376362-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">.
Пример 50. Найти производные данных функций.
<img border=«0» width=«381» height=«72» src=«ref-1_1611376813-989.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">
<img border=«0» width=«327» height=«47» src=«ref-1_1611377802-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"><img border=«0» width=«300» height=«47» src=«ref-1_1611378473-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">
<img border=«0» width=«271» height=«93» src=«ref-1_1611379033-1192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">
Глава 5. Классические методы оптимизации
5.1 Локальный экстремум функции нескольких переменных
Определение 1. Функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> имеет максимум в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">, если <img border=«0» width=«128» height=«24» src=«ref-1_1611380672-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"> для всех точек <img border=«0» width=«37» height=«23» src=«ref-1_1611302201-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> достаточно близких к точке <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1611381139-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> и отличных от нее.
Определение 2. Функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> имеет минимум в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">, если <img border=«0» width=«127» height=«24» src=«ref-1_1611381821-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> для всех точек <img border=«0» width=«37» height=«23» src=«ref-1_1611302201-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> достаточно близких к точке <img border=«0» width=«52» height=«24» src=«ref-1_1611381139-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"> и отличных от нее.
Необходимое условие экстремума. Если функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">достигает экстремума в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">, то частные производные от функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> обращаются в нуль или не существуют в этой точке.
Точки, в которых частные производные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими.
Достаточный признак экстремума. Пусть функция <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">определена в некоторой окрестности критической точки <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
<img border=«0» width=«400» height=«25» src=«ref-1_1611383588-860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">
Тогда
1) <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> имеет локальный максимум в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">, если <img border=«0» width=«87» height=«21» src=«ref-1_1611384895-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">и <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1611385074-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">;
2) <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560"> имеет локальный минимум в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, если <img border=«0» width=«87» height=«21» src=«ref-1_1611384895-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">и <img border=«0» width=«40» height=«19» src=«ref-1_1611385823-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">;
3) <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"> не имеет локального экстремума в точке <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611380395-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">, если <img border=«0» width=«87» height=«21» src=«ref-1_1611386393-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">;
Схема исследования на экстремум функции двух переменных.
1. Найти частные производные функции <img border=«0» width=«76» height=«21» src=«ref-1_1611302633-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">:<img border=«0» width=«19» height=«24» src=«ref-1_1611386748-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> и <img border=«0» width=«19» height=«25» src=«ref-1_1611386849-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">.
2. Решить систему уравнений <img border=«0» width=«45» height=«24» src=«ref-1_1611386953-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">, <img border=«0» width=«45» height=«25» src=«ref-1_1611387086-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремумы функции.
Пример 51. Найти экстремумы функции <img border=«0» width=«144» height=«24» src=«ref-1_1611387227-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">.
Решение.
1) Найдем частные производные <img border=«0» width=«203» height=«27» src=«ref-1_1611387488-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.
2) Решим систему уравнений <img border=«0» width=«53» height=«53» src=«ref-1_1611387830-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">
3)
<img border=«0» width=«389» height=«123» src=«ref-1_1611388073-2102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">
4) Найдем частные производные второго порядка и их значения в критических точках: <img border=«0» width=«224» height=«25» src=«ref-1_1611390175-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">. В точке <img border=«0» width=«33» height=«23» src=«ref-1_1611390543-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577"> получим:
<img border=«0» width=«379» height=«51» src=«ref-1_1611390760-1065.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">
значит, в точке <img border=«0» width=«33» height=«23» src=«ref-1_1611390543-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> экстремума нет. В точке <img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1611392042-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580"> получим:
<img border=«0» width=«327» height=«77» src=«ref-1_1611392269-1353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">
значит, в точке <img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1611393622-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582"> минимум.
5) <img border=«0» width=«347» height=«49» src=«ref-1_1611393847-776.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">.
Ответ. <img border=«0» width=«92» height=«23» src=«ref-1_1611394623-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">
продолжение
--PAGE_BREAK--5.2 Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции)
Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.
1) Найти критические точки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.
2) Исследовать функцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий, то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.
3) Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 52. Найти наибольшее и наименьшее значения функции <img border=«0» width=«156» height=«24» src=«ref-1_1611394940-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> в прямоугольнике <img border=«0» width=«63» height=«21» src=«ref-1_1611395191-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1611395345-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.
Решение. 1) Найдем критические точки функции, для этого найдем частные производные: <img border=«0» width=«160» height=«25» src=«ref-1_1611395502-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">, и решим систему уравнений:
<img border=«0» width=«217» height=«51» src=«ref-1_1611395767-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">
Получили критическую точку A<img border=«0» width=«43» height=«23» src=«ref-1_1611396382-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">. Полученная точка лежит внутри заданной области, <img border=«0» width=«257» height=«24» src=«ref-1_1611396611-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">
<img border=«0» width=«195» height=«144» src=«ref-1_1611397119-3056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">
Границу области составляют четыре отрезка: <img border=«0» width=«84» height=«21» src=«ref-1_1611400175-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> и<img border=«0» width=«32» height=«21» src=«ref-1_1611400364-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">. найдем наибольшее и наименьшее значение функции на каждом отрезке.
<img border=«0» width=«423» height=«408» src=«ref-1_1611400473-7489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">
4) Сравним полученные результаты и получим, что <img border=«0» width=«181» height=«24» src=«ref-1_1611407962-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596"> в точках <img border=«0» width=«133» height=«23» src=«ref-1_1611408382-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">.
Глава 6. Модель потребительского выбора
Будем полагать, что имеется nразличных товаров. Тогда некоторый набор товаров будем обозначать через n-мерный вектор <img border=«0» width=«112» height=«27» src=«ref-1_1611408866-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">, где <img border=«0» width=«16» height=«24» src=«ref-1_1611409175-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> – количество i-того товара<img border=«0» width=«91» height=«27» src=«ref-1_1611409266-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">. Множество всех наборов товаров Xназывается пространством.
Выбор индивида-потребителя характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель может сказать о любых двух наборах, какой более желателен, или он не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно: если набор <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> предпочтительнее набора <img border=«0» width=«15» height=«25» src=«ref-1_1611409691-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">, а набор <img border=«0» width=«15» height=«25» src=«ref-1_1611409691-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> предпочтительнее набора <img border=«0» width=«13» height=«21» src=«ref-1_1611409885-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">, то набор <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"> предпочтительнее набора <img border=«0» width=«13» height=«21» src=«ref-1_1611409885-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">. Будем полагать, что поведение потребителя полностью описывается аксиомой индивида-потребителя: каждый индивид-потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.п., исходя из своей системы предпочтений.
6.1 Функция полезности
На множестве потребительских наборов Xопределена функция <img border=«0» width=«129» height=«27» src=«ref-1_1611410150-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">, значение которой на потребительском наборе <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> равно потребительской оценке индивида для этого набора. Функция <img border=«0» width=«29» height=«25» src=«ref-1_1611410676-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> называется функцией полезности потребителя или функцией потребительского предпочтения. Т.е. каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Но все множество потребителей можно разделить на определенные классы потребителей (по возрасту, имущественному положению и т.п.) и каждому классу приписать некоторую, может быть, осредненную функцию полезности.
Т.о., функция <img border=«0» width=«29» height=«25» src=«ref-1_1611410676-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610"> является потребительской оценкой или уровнем удовлетворения потребностей индивида при приобретении данного набора <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">. Если набор <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612"> предпочтительнее набора <img border=«0» width=«15» height=«25» src=«ref-1_1611409691-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> для данного индивида, то <img border=«0» width=«72» height=«25» src=«ref-1_1611411423-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">.
Свойства функции полезности.
1. <img border=«0» width=«180» height=«45» src=«ref-1_1611411793-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">
Первые частные производные функции полезности называются предельными полезностями продуктов. Из этого свойства следует, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других продуктов приводит к росту потребительской оценки. Вектор <img border=«0» width=«163» height=«51» src=«ref-1_1611412164-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616"> является градиентом функции <img border=«0» width=«29» height=«25» src=«ref-1_1611410676-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">, он показывает направление наибольшего роста функции. Для функции <img border=«0» width=«29» height=«25» src=«ref-1_1611410676-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"> ее градиент представляет собой вектор предельных полезностей продуктов.
2. <img border=«0» width=«176» height=«48» src=«ref-1_1611413148-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">
Т.е. предельная полезность любого товара уменьшается с ростом потребления.
3. <img border=«0» width=«259» height=«49» src=«ref-1_1611413541-634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">
Т.е. предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.
Некоторые виды функций полезности.
1) Неоклассическая: <img border=«0» width=«252» height=«24» src=«ref-1_1611414175-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">.
2) Квадратическая: <img border=«0» width=«184» height=«47» src=«ref-1_1611414685-734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, где матрица <img border=«0» width=«35» height=«32» src=«ref-1_1611415419-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">отрицательно определена и <img border=«0» width=«108» height=«47» src=«ref-1_1611415578-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> для <img border=«0» width=«77» height=«21» src=«ref-1_1611415975-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">.
3) Логарифмическая функция: <img border=«0» width=«377» height=«45» src=«ref-1_1611416138-916.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">.
продолжение
--PAGE_BREAK--6.2 Линии безразличия
В прикладных задачах и моделях потребительского выбора часто используется частный случай набора из двух товаров, т.е. когда функция полезности зависит от двух переменных. Линия безразличия – это линия, соединяющая потребительские наборы, имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида. По сути своей линии безразличия представляют собой линии уровня функции <img border=«0» width=«85» height=«23» src=«ref-1_1611417054-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">. Уравнения линий безразличия: <img border=«0» width=«109» height=«23» src=«ref-1_1611417343-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">.
Основные свойства линий безразличия.
1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.
2. Линии безразличия убывают.
3. Линии безразличия выпуклы вниз.
<img border=«0» width=«247» height=«152» src=«ref-1_1611417669-3763.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">
Из свойства 2 следует важное приближенное равенство <img border=«0» width=«79» height=«47» src=«ref-1_1611421432-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">.
Это соотношение показывает, на сколько индивид должен увеличить (уменьшить) потребление второго продукта при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Отношение <img border=«0» width=«44» height=«47» src=«ref-1_1611421705-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> называется нормой замены первого продукта вторым, а величина <img border=«0» width=«31» height=«47» src=«ref-1_1611421889-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> – предельной нормой замены первого продукта вторым.
Пример 53. Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.
6.3 Бюджетное множество
Пусть <img border=«0» width=«104» height=«27» src=«ref-1_1611422054-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> – вектор цен на набор из nпродуктов <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">; I– доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов <img border=«0» width=«13» height=«23» src=«ref-1_1611409602-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">. Множество наборов товаров стоимостью не более Iпри данных ценах <img border=«0» width=«16» height=«25» src=«ref-1_1611422548-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636"> называется бюджетным множеством B. При этом множество наборов стоимостью Iназывается границей Gбюджетного множества B. Т.о. множество Bограничено границей Gи естественными ограничениями <img border=«0» width=«37» height=«23» src=«ref-1_1611422645-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">.
Бюджетное множество описывается системой неравенств:
<img border=«0» width=«321» height=«24» src=«ref-1_1611422773-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">.
<img border=«0» width=«225» height=«118» src=«ref-1_1611423329-2359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">
Рис. 1
Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B(рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат <img border=«0» width=«41» height=«23» src=«ref-1_1611425688-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">, ограниченный осями координат и прямой <img border=«0» width=«184» height=«24» src=«ref-1_1611425825-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">.
6.4 Теория потребительского спроса
В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор <img border=«0» width=«143» height=«27» src=«ref-1_1611426109-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи:
<img border=«0» width=«188» height=«75» src=«ref-1_1611426463-970.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">
В случае набора из двух товаров:
<img border=«0» width=«119» height=«72» src=«ref-1_1611427433-601.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">
Геометрически решение этой задачи – это точка касания границы бюджетного множества Gи линии безразличия.
<img border=«0» width=«452» height=«336» src=«ref-1_1611428034-7638.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">
Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:
<img border=«0» width=«113» height=«72» src=«ref-1_1611435672-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> (1)
Решение этой системы <img border=«0» width=«65» height=«23» src=«ref-1_1611436137-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> является решением задачи потребительского выбора.
Решение задачи потребительского выбора <img border=«0» width=«23» height=«23» src=«ref-1_1611436399-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648"> называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен <img border=«0» width=«16» height=«25» src=«ref-1_1611422548-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> и дохода I. Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса – это набор nфункций, каждая из которых зависит от <img border=«0» width=«33» height=«19» src=«ref-1_1611436602-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> аргумента:
<img border=«0» width=«173» height=«96» src=«ref-1_1611436715-987.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">
Эти функции называются функциями спроса соответствующих товаров.
Пример 54. Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них <img border=«0» width=«19» height=«23» src=«ref-1_1611437702-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> и <img border=«0» width=«20» height=«23» src=«ref-1_1611437799-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> и дохода Iнайти функции спроса, если функция полезности имеет вид <img border=«0» width=«139» height=«24» src=«ref-1_1611437899-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">.
Решение. Продифференцируем функцию полезности:
<img border=«0» width=«288» height=«48» src=«ref-1_1611438288-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">.
Подставим полученные выражения в (1) и получим систему уравнений:
<img border=«0» width=«400» height=«51» src=«ref-1_1611438980-931.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">
В данном случае расход на каждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.
Пример 55. Пусть функция полезности для первого товара <img border=«0» width=«75» height=«24» src=«ref-1_1611439911-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">, второго <img border=«0» width=«85» height=«24» src=«ref-1_1611440087-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">,
цена первого товара <img border=«0» width=«45» height=«23» src=«ref-1_1611440282-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">, цена второго <img border=«0» width=«48» height=«23» src=«ref-1_1611440416-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">. Доход <img border=«0» width=«52» height=«19» src=«ref-1_1611440550-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">. Какое количество товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?
Решение. Найдем производные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:
<img border=«0» width=«400» height=«96» src=«ref-1_1611440688-1400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">
Этот набор товаров является оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.
Задания для домашней контрольной работы
Контрольная работа должна быть выполнена в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номера зачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробное решение и вывод.
1. Введение в математический анализ
Задача 1. Найти область определения функции.
1.<img border=«0» width=«361» height=«45» src=«ref-1_1611442088-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">
2. <img border=«0» width=«413» height=«67» src=«ref-1_1611442942-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">
3. <img border=«0» width=«357» height=«45» src=«ref-1_1611443989-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">
4. <img border=«0» width=«392» height=«47» src=«ref-1_1611444714-910.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">
5. <img border=«0» width=«379» height=«69» src=«ref-1_1611445624-936.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">
6. <img border=«0» width=«357» height=«45» src=«ref-1_1611446560-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">
7. <img border=«0» width=«411» height=«44» src=«ref-1_1611447270-930.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">
8. <img border=«0» width=«407» height=«45» src=«ref-1_1611448200-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">
9. <img border=«0» width=«357» height=«45» src=«ref-1_1611449119-740.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">
10. <img border=«0» width=«412» height=«44» src=«ref-1_1611449859-939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">
Задача 2. Найти пределы функций.
<img border=«0» width=«397» height=«96» src=«ref-1_1611450798-1538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> <img border=«0» width=«392» height=«93» src=«ref-1_1611452336-1608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">
<img border=«0» width=«366» height=«94» src=«ref-1_1611453944-1517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">
<img border=«0» width=«397» height=«48» src=«ref-1_1611455461-1032.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">
<img border=«0» width=«247» height=«45» src=«ref-1_1611456493-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">
<img border=«0» width=«384» height=«96» src=«ref-1_1611457134-1530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">
<img border=«0» width=«404» height=«44» src=«ref-1_1611458664-876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">
<img border=«0» width=«248» height=«49» src=«ref-1_1611459540-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">
<img border=«0» width=«348» height=«91» src=«ref-1_1611460136-1305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">
<img border=«0» width=«391» height=«93» src=«ref-1_1611461441-1611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">
<img border=«0» width=«375» height=«96» src=«ref-1_1611463052-1504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">
<img border=«0» width=«392» height=«99» src=«ref-1_1611464556-1672.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">.
Задача 3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.
1. <img border=«0» width=«69» height=«41» src=«ref-1_1611466228-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">2. <img border=«0» width=«99» height=«45» src=«ref-1_1611466439-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">3. <img border=«0» width=«107» height=«41» src=«ref-1_1611466736-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">
4. <img border=«0» width=«75» height=«44» src=«ref-1_1611467002-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">5. <img border=«0» width=«75» height=«41» src=«ref-1_1611467233-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">6. <img border=«0» width=«55» height=«36» src=«ref-1_1611467440-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">
7. <img border=«0» width=«68» height=«41» src=«ref-1_1611467600-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">8. <img border=«0» width=«55» height=«24» src=«ref-1_1611467787-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">9. <img border=«0» width=«75» height=«44» src=«ref-1_1611467935-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">10. <img border=«0» width=«77» height=«41» src=«ref-1_1611468151-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">
Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Задача 4. Найти производные данных функций.
1. а)<img border=«0» width=«71» height=«38» src=«ref-1_1611468362-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">; б) <img border=«0» width=«82» height=«31» src=«ref-1_1611468599-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> в) y= <img border=«0» width=«55» height=«29» src=«ref-1_1611468873-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">;
г) y = <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611469055-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">x6 + <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611469166-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699"> + <img border=«0» width=«37» height=«44» src=«ref-1_1611469314-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">+ 5; д) y = x tg x + ln sin x + e3x;
е) y = 2 x — arcsin x.
2. а) <img border=«0» width=«109» height=«41» src=«ref-1_1611469478-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">; б) y= <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611469728-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702"><img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611470010-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">; в) y= <img border=«0» width=«61» height=«27» src=«ref-1_1611470261-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">; г) y= <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611470440-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">x2–<img border=«0» width=«45» height=«47» src=«ref-1_1611470549-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">+ 3; д) y= ecos<img border=«0» width=«13» height=«24» src=«ref-1_1611470730-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">; е) y= <img border=«0» width=«52» height=«41» src=«ref-1_1611470821-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">.
3. а) y= <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1611471014-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709"> lnx; б) y=<img border=«0» width=«36» height=«41» src=«ref-1_1611471280-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">; в) y= ln<img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611471442-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">;
г) y= <img border=«0» width=«57» height=«41» src=«ref-1_1611471598-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">; д) y= <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611471800-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">x7+ <img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611471908-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">+ 1; е) y= 2<img border=«0» width=«25» height=«32» src=«ref-1_1611472069-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">.
4. а) y= <img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611472187-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">; б) y= (e5x– 1)6; в) y= <img border=«0» width=«55» height=«29» src=«ref-1_1611472343-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">; г) y= <img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611472526-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">; д) y= <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611469055-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">x8+<img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611469166-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">+ <img border=«0» width=«37» height=«44» src=«ref-1_1611469314-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">+ 5; е) y= 3 x— arcsinx.
5. а) y= 2x3— <img border=«0» width=«28» height=«44» src=«ref-1_1611473115-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">+ ex; б) y= <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611473265-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">; в) y= <img border=«0» width=«73» height=«24» src=«ref-1_1611473414-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">;
г) y= <img border=«0» width=«9» height=«20» src=«ref-1_1611473600-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"><img border=«0» width=«63» height=«27» src=«ref-1_1611473679-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">; д) y= 2 cos<img border=«0» width=«13» height=«24» src=«ref-1_1611470730-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">; е) y= <img border=«0» width=«52» height=«41» src=«ref-1_1611473952-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">.
6. а) y= <img border=«0» width=«60» height=«24» src=«ref-1_1611471014-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729"> lnx; б) y=<img border=«0» width=«36» height=«41» src=«ref-1_1611471280-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">; в) y= ln<img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611471442-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">;
г) y= <img border=«0» width=«57» height=«41» src=«ref-1_1611471598-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">; д) y= <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611471800-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">x7+ <img border=«0» width=«36» height=«44» src=«ref-1_1611471908-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">+ 1; е) y= 2<img border=«0» width=«25» height=«32» src=«ref-1_1611472069-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">.
7. а) <img border=«0» width=«109» height=«41» src=«ref-1_1611469478-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">; б) y= <img border=«0» width=«68» height=«24» src=«ref-1_1611469728-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737"><img border=«0» width=«49» height=«24» src=«ref-1_1611470010-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">; в)y= <img border=«0» width=«61» height=«27» src=«ref-1_1611470261-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">; г)y= x2 + xsinx+ <img border=«0» width=«53» height=«27» src=«ref-1_1611476273-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">; д) y= ecos<img border=«0» width=«13» height=«24» src=«ref-1_1611470730-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">; е) y= <img border=«0» width=«52» height=«41» src=«ref-1_1611470821-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">.
8. а) y= <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611476713-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">; б) y= (3x– 4)6; в) y= sintg<img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611476862-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> продолжение
--PAGE_BREAK--;
г) y = 3x4 – <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611476971-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745"> – 9<img border=«0» width=«40» height=«27» src=«ref-1_1611477115-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">+ 9; д) y = <img border=«0» width=«40» height=«41» src=«ref-1_1611477257-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">;
е)y = x2 + arcsin x — x<img border=«0» width=«53» height=«27» src=«ref-1_1611476273-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">.
9. а)<img border=«0» width=«71» height=«44» src=«ref-1_1611477589-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">; б)<img border=«0» width=«111» height=«28» src=«ref-1_1611477788-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">; в) y= <img border=«0» width=«54» height=«37» src=«ref-1_1611478027-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">; г) y= 5 sin3x; д) y= <img border=«0» width=«16» height=«41» src=«ref-1_1611478246-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">x3– <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611476971-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753"> – 6<img border=«0» width=«40» height=«27» src=«ref-1_1611477115-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">+ 3; е) y= 4x4<img border=«0» width=«25» height=«24» src=«ref-1_1611478642-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">+ ln<img border=«0» width=«53» height=«27» src=«ref-1_1611476273-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">.
10. а) <img border=«0» width=«177» height=«41» src=«ref-1_1611478913-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">б) y= <img border=«0» width=«31» height=«41» src=«ref-1_1611476713-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">; в) y= (3x– 4)6; г) y= <img border=«0» width=«40» height=«41» src=«ref-1_1611477257-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">; д)y= x2— x<img border=«0» width=«53» height=«27» src=«ref-1_1611476273-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">; е) y= esin3x+ 2.
Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график.
1. а) <img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611479764-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761"> б) <img border=«0» width=«159» height=«24» src=«ref-1_1611479979-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762"> в) <img border=«0» width=«49» height=«44» src=«ref-1_1611480252-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">.
2. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611480415-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764"> б) <img border=«0» width=«141» height=«24» src=«ref-1_1611480622-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765"> в) <img border=«0» width=«80» height=«25» src=«ref-1_1611480877-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">.
3. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611481057-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767"> б) <img border=«0» width=«101» height=«24» src=«ref-1_1611481267-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> в) <img border=«0» width=«57» height=«41» src=«ref-1_1611481461-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">.
4. <img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611481634-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770"> б) <img border=«0» width=«141» height=«24» src=«ref-1_1611481834-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771"> в) <img border=«0» width=«64» height=«21» src=«ref-1_1611482081-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">
5. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611482237-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773"> б) <img border=«0» width=«112» height=«24» src=«ref-1_1611482433-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774"> в) <img border=«0» width=«69» height=«41» src=«ref-1_1611482645-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">.
6. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611482835-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776"> б) <img border=«0» width=«109» height=«24» src=«ref-1_1611483025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> в) <img border=«0» width=«65» height=«24» src=«ref-1_1611483230-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">.
7. а)<img border=«0» width=«79» height=«41» src=«ref-1_1611483386-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779"> б)<img border=«0» width=«157» height=«24» src=«ref-1_1611483608-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780"> в) <img border=«0» width=«77» height=«21» src=«ref-1_1611483879-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">.
8. а)<img border=«0» width=«87» height=«41» src=«ref-1_1611484040-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782"> б) <img border=«0» width=«149» height=«24» src=«ref-1_1611484260-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783"> в) <img border=«0» width=«63» height=«44» src=«ref-1_1611484518-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">.
9. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611484705-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785"> б) <img border=«0» width=«159» height=«24» src=«ref-1_1611484920-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786"> в) <img border=«0» width=«77» height=«41» src=«ref-1_1611485190-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">.
10. а)<img border=«0» width=«76» height=«41» src=«ref-1_1611485407-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788"> б) <img border=«0» width=«121» height=«24» src=«ref-1_1611485616-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789"> в) <img border=«0» width=«84» height=«24» src=«ref-1_1611485827-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">.
Задача 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.
1. <img border=«0» width=«193» height=«45» src=«ref-1_1611486103-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">.
2. <img border=«0» width=«201» height=«29» src=«ref-1_1611486590-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">.
3. <img border=«0» width=«199» height=«44» src=«ref-1_1611487043-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">.
4. <img border=«0» width=«201» height=«25» src=«ref-1_1611487630-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">.
5. <img border=«0» width=«196» height=«31» src=«ref-1_1611487963-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">.
6. <img border=«0» width=«212» height=«41» src=«ref-1_1611488482-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796">.
7. <img border=«0» width=«205» height=«29» src=«ref-1_1611488827-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">.
8. <img border=«0» width=«200» height=«44» src=«ref-1_1611489280-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">.
9. <img border=«0» width=«175» height=«41» src=«ref-1_1611489665-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">.
10. <img border=«0» width=«173» height=«44» src=«ref-1_1611490190-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800">.
Глава 3. Интегральное исчисление
Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
1. а) <img border=«0» width=«148» height=«48» src=«ref-1_1611490741-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">б)<img border=«0» width=«52» height=«29» src=«ref-1_1611491181-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">;
в) <img border=«0» width=«76» height=«29» src=«ref-1_1611491433-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">; г) <img border=«0» width=«60» height=«44» src=«ref-1_1611491724-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">.
2. а) <img border=«0» width=«165» height=«53» src=«ref-1_1611492041-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805">; б)<img border=«0» width=«85» height=«43» src=«ref-1_1611492519-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806"> в) <img border=«0» width=«87» height=«49» src=«ref-1_1611492803-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807"> г) <img border=«0» width=«72» height=«29» src=«ref-1_1611493087-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">.
3. <img border=«0» width=«341» height=«53» src=«ref-1_1611493362-824.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809"><img border=«0» width=«349» height=«48» src=«ref-1_1611494186-695.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">
4. <img border=«0» width=«316» height=«53» src=«ref-1_1611494881-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811"> <img border=«0» width=«97» height=«43» src=«ref-1_1611495659-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"> г)<img border=«0» width=«80» height=«29» src=«ref-1_1611495941-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813">
5. а)<img border=«0» width=«148» height=«45» src=«ref-1_1611496236-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">; б)<img border=«0» width=«60» height=«29» src=«ref-1_1611496724-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">; в) <img border=«0» width=«79» height=«38» src=«ref-1_1611496996-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">; г)<img border=«0» width=«59» height=«45» src=«ref-1_1611497332-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">.
6. а)<img border=«0» width=«153» height=«45» src=«ref-1_1611497577-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818">; б)<img border=«0» width=«88» height=«49» src=«ref-1_1611498082-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">; в)<img border=«0» width=«64» height=«41» src=«ref-1_1611498589-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">; г)<img border=«0» width=«80» height=«29» src=«ref-1_1611498910-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">
7. а) <img border=«0» width=«141» height=«48» src=«ref-1_1611499203-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">; б) <img border=«0» width=«124» height=«51» src=«ref-1_1611499709-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823">; в) <img border=«0» width=«53» height=«41» src=«ref-1_1611500183-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">; г) <img border=«0» width=«65» height=«29» src=«ref-1_1611500464-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">
8. а) <img border=«0» width=«148» height=«53» src=«ref-1_1611500731-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">; б)<img border=«0» width=«60» height=«29» src=«ref-1_1611501258-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">; в)<img border=«0» width=«129» height=«44» src=«ref-1_1611501522-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">; г) <img border=«0» width=«57» height=«29» src=«ref-1_1611502067-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829">.
9. а) <img border=«0» width=«165» height=«53» src=«ref-1_1611492041-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">; б) <img border=«0» width=«87» height=«49» src=«ref-1_1611492803-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831"> в)<img border=«0» width=«68» height=«47» src=«ref-1_1611503090-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832">; г)<img border=«0» width=«72» height=«29» src=«ref-1_1611493087-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">.
10. а) <img border=«0» width=«149» height=«48» src=«ref-1_1611503624-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">б)<img border=«0» width=«103» height=«29» src=«ref-1_1611504058-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835"> в) <img border=«0» width=«52» height=«29» src=«ref-1_1611491181-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836">; г) <img border=«0» width=«61» height=«44» src=«ref-1_1611504645-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">.
Задача 8. Вычислить определенные интегралы.
1. <img border=«0» width=«236» height=«51» src=«ref-1_1611504964-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">
2. <img border=«0» width=«229» height=«63» src=«ref-1_1611505617-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">
3. <img border=«0» width=«241» height=«63» src=«ref-1_1611506271-686.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">
4. <img border=«0» width=«263» height=«52» src=«ref-1_1611506957-791.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">
5. <img border=«0» width=«225» height=«51» src=«ref-1_1611507748-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">
6. <img border=«0» width=«221» height=«51» src=«ref-1_1611508367-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">
7. <img border=«0» width=«248» height=«51» src=«ref-1_1611508985-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">.
8. <img border=«0» width=«253» height=«51» src=«ref-1_1611509655-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">
9. <img border=«0» width=«237» height=«75» src=«ref-1_1611510386-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">
10. <img border=«0» width=«233» height=«75» src=«ref-1_1611511131-729.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">
Задача 9. Найти несобственные интегралы или доказать, что они расходятся.
1. <img border=«0» width=«169» height=«51» src=«ref-1_1611511860-597.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">.
2. <img border=«0» width=«169» height=«49» src=«ref-1_1611512457-591.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">.
3. <img border=«0» width=«185» height=«55» src=«ref-1_1611513048-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">.
4. <img border=«0» width=«192» height=«51» src=«ref-1_1611513763-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">.
5. <img border=«0» width=«192» height=«60» src=«ref-1_1611514374-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852">.
6. <img border=«0» width=«168» height=«51» src=«ref-1_1611515130-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">.
7. <img border=«0» width=«188» height=«51» src=«ref-1_1611515735-609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">.
8. <img border=«0» width=«207» height=«51» src=«ref-1_1611516344-761.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855">.
9. <img border=«0» width=«176» height=«51» src=«ref-1_1611517105-618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">.
10. <img border=«0» width=«157» height=«60» src=«ref-1_1611517723-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">.
Задача 10. Найти площадь области, ограниченной кривыми
1. <img border=«0» width=«141» height=«24» src=«ref-1_1611518316-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">.2. <img border=«0» width=«140» height=«25» src=«ref-1_1611518554-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">.
3.<img border=«0» width=«161» height=«24» src=«ref-1_1611518806-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">4. <img border=«0» width=«171» height=«24» src=«ref-1_1611519180-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">
5. <img border=«0» width=«157» height=«24» src=«ref-1_1611519413-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">6. <img border=«0» width=«144» height=«24» src=«ref-1_1611519660-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863">
7. <img border=«0» width=«88» height=«41» src=«ref-1_1611519883-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">, <img border=«0» width=«100» height=«21» src=«ref-1_1611520206-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">.8.<img border=«0» width=«168» height=«41» src=«ref-1_1611520398-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">.
9.<img border=«0» width=«236» height=«24» src=«ref-1_1611520721-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">
10. <img border=«0» width=«88» height=«41» src=«ref-1_1611521082-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868">, <img border=«0» width=«111» height=«21» src=«ref-1_1611521405-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869">.
Глава 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
Задача 11. Найти область определения функции (показать на чертеже).
1. <img border=«0» width=«407» height=«44» src=«ref-1_1611521620-839.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">
2. <img border=«0» width=«364» height=«53» src=«ref-1_1611522459-707.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">.
3. <img border=«0» width=«364» height=«49» src=«ref-1_1611523166-795.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">.
4. <img border=«0» width=«407» height=«44» src=«ref-1_1611523961-839.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">
5. <img border=«0» width=«361» height=«49» src=«ref-1_1611524800-758.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">.
6. <img border=«0» width=«373» height=«52» src=«ref-1_1611525558-724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875">.
7. <img border=«0» width=«371» height=«45» src=«ref-1_1611526282-755.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">.
8. <img border=«0» width=«333» height=«49» src=«ref-1_1611527037-849.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877">.
9. <img border=«0» width=«373» height=«45» src=«ref-1_1611527886-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">.
10. <img border=«0» width=«420» height=«44» src=«ref-1_1611528646-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879">
Задача 12. Исследовать на непрерывность функции при
<img border=«0» width=«78» height=«18» src=«ref-1_1611529500-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"> и <img border=«0» width=«84» height=«23» src=«ref-1_1611529665-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881">.
1. <img border=«0» width=«325» height=«45» src=«ref-1_1611529947-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">
2. <img border=«0» width=«324» height=«45» src=«ref-1_1611530627-673.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883">
3. <img border=«0» width=«333» height=«45» src=«ref-1_1611531300-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">
4. <img border=«0» width=«333» height=«45» src=«ref-1_1611532001-700.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885">
5. <img border=«0» width=«316» height=«45» src=«ref-1_1611532701-663.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886">
6. <img border=«0» width=«325» height=«45» src=«ref-1_1611533364-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">
7. <img border=«0» width=«324» height=«45» src=«ref-1_1611534068-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">
8. <img border=«0» width=«332» height=«45» src=«ref-1_1611534767-703.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">
9. <img border=«0» width=«332» height=«45» src=«ref-1_1611535470-713.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">
10. <img border=«0» width=«332» height=«45» src=«ref-1_1611536183-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891">
Задача 13. Найти производную неявно заданной функции.
1. <img border=«0» width=«368» height=«44» src=«ref-1_1611536879-784.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892">.
2. <img border=«0» width=«395» height=«44» src=«ref-1_1611537663-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">.
3. <img border=«0» width=«351» height=«24» src=«ref-1_1611538493-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">.
4. <img border=«0» width=«424» height=«44» src=«ref-1_1611539009-896.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">.
5. <img border=«0» width=«367» height=«44» src=«ref-1_1611539905-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">.
6. <img border=«0» width=«351» height=«44» src=«ref-1_1611540691-850.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897">.
7. <img border=«0» width=«405» height=«24» src=«ref-1_1611541541-765.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">.
8. <img border=«0» width=«372» height=«44» src=«ref-1_1611542306-901.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899">.
9. <img border=«0» width=«420» height=«44» src=«ref-1_1611543207-853.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900">.
10. <img border=«0» width=«363» height=«24» src=«ref-1_1611544060-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901">.
Задача 14. Вычислить приближенно
1. а) <img border=«0» width=«48» height=«24» src=«ref-1_1611544600-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902">; б) <img border=«0» width=«115» height=«24» src=«ref-1_1611544754-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">; в)<img border=«0» width=«101» height=«29» src=«ref-1_1611545015-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904">
2. а) <img border=«0» width=«119» height=«24» src=«ref-1_1611545264-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905">; б) <img border=«0» width=«47» height=«24» src=«ref-1_1611545514-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906">; в) <img border=«0» width=«116» height=«24» src=«ref-1_1611545663-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">.
3. а)<img border=«0» width=«101» height=«29» src=«ref-1_1611545926-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">; б) <img border=«0» width=«115» height=«24» src=«ref-1_1611546172-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909"> продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Все формулы по математике в школе
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Шпора по математике
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании
1 Сентября 2013