Реферат: Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

--PAGE_BREAK--Простейшие уравнения и неравенства с модулем
К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов: <img width=«311» height=«365» src=«ref-1_1287980618-3684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">

Примеры решения простейших уравнений.
Пример  Решим уравнение <img width=«161» height=«51» src=«ref-1_1287984302-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">.
Решение.

<img width=«349» height=«51» src=«ref-1_1287984739-771.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">

Ответ. <img width=«95» height=«21» src=«ref-1_1287985510-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">.
Пример  Решим уравнение <img width=«149» height=«24» src=«ref-1_1287985717-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">.
Решение.

<img width=«393» height=«51» src=«ref-1_1287985985-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">

Ответ. <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1287986830-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">.
Пример  Решим уравнение <img width=«127» height=«24» src=«ref-1_1287986956-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">.
Решение.

<img width=«465» height=«139» src=«ref-1_1287987201-1728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">

Ответ. <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1287988929-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">.

Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей (формулы --).
Теорема  Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.
Пример  Решить уравнение

<img width=«197» height=«24» src=«ref-1_1287989091-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">

Решение. Так как <img width=«197» height=«24» src=«ref-1_1287989422-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">, то мы имеем равенство вида <img width=«167» height=«23» src=«ref-1_1287989738-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">, где <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287990059-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, <img width=«53» height=«23» src=«ref-1_1287990188-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

<img width=«267» height=«51» src=«ref-1_1287990324-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">
<img width=«207» height=«48» src=«ref-1_1287991005-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">

Ответ. <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1287991561-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">.
Теорема  Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.
Пример  Решить уравнение

<img width=«264» height=«21» src=«ref-1_1287991705-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">
Решение. ``Загоняем'' коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и ``изолируем'' сумму модулей:

<img width=«243» height=«21» src=«ref-1_1287992111-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">

По константам получаем <img width=«137» height=«21» src=«ref-1_1287992507-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">. Действительно, <img width=«249» height=«21» src=«ref-1_1287992748-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, то есть уравнение имеет вид <img width=«221» height=«24» src=«ref-1_1287993138-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:

<img width=«181» height=«75» src=«ref-1_1287993535-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">

то есть <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1287991561-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">.

Ответ. <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1287991561-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">.

К простейшим (не обязательно простым) неравенствам мы будем относить неравенства, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:

<img width=«255» height=«197» src=«ref-1_1287994693-2213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">
<img width=«257» height=«200» src=«ref-1_1287996906-2261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">
Примеры решения простейших неравенств.
Пример  Решим неравенство <img width=«144» height=«24» src=«ref-1_1287999167-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.
Решение.

<img width=«345» height=«41» src=«ref-1_1287999448-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">.

Ответ. <img width=«60» height=«45» src=«ref-1_1288000052-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">.
Пример  Решим неравенство <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1288000290-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">.
Решение.

<img width=«509» height=«48» src=«ref-1_1288000510-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">

Ответ. <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1288001436-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">.
Как ни странно, но <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288001626-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> достаточно, чтобы избавиться от знака модуля в любых неравенствах.
Пример  Решить неравенство

<img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1288001791-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">
Решение.

<img width=«260» height=«48» src=«ref-1_1288002014-624.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">
<img width=«324» height=«117» src=«ref-1_1288002638-1378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">
<img width=«175» height=«141» src=«ref-1_1288004016-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">

Ответ. <img width=«57» height=«45» src=«ref-1_1288004825-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">.
Пример  Решить неравенство

<img width=«148» height=«21» src=«ref-1_1288005043-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">

Решение. Относительно любого модуля данное неравенство имеет вид <img width=«51» height=«21» src=«ref-1_1288005314-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">. Поэтому перебрав все комбинации знаков двух подмодульных выражений, имеем

<img width=«163» height=«21» src=«ref-1_1288005462-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">
<img width=«341» height=«96» src=«ref-1_1288005749-1592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">

Ответ. <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1288007341-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">.
Пример  При каких значениях параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288007495-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> неравенство

<img width=«171» height=«24» src=«ref-1_1288007578-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">

выполняется при всех значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">?
Решение. Исходное уравнение равносильно системе:

<img width=«336» height=«99» src=«ref-1_1288007959-1681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">

Выполнение для всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414"> исходного неравенства равносильно выполнению для <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> всех неравенств последней системы. А это равносильно тому, что дискриминанты всех четырёх квадратных трёхчленов неположительны: <img width=«213» height=«99» src=«ref-1_1288009808-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">

Ответ. <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_1288010734-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">.

Пример  Найти все значения параметра <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288010884-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">, при каждом из которых число целочисленных решений неравенства

<img width=«221» height=«24» src=«ref-1_1288010974-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">

максимально.
Решение. Так как <img width=«132» height=«48» src=«ref-1_1288011348-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> то исходное уравнение равносильно системе:

<img width=«232» height=«51» src=«ref-1_1288011733-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">

Поскольку оба неравенства в системе линейны относительно <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288010884-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">. Решим систему относительно <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288010884-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">:

<img width=«215» height=«24» src=«ref-1_1288012629-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">        
Условия существования параметра <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288010884-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> равносильно требованию

<img width=«204» height=«21» src=«ref-1_1288013066-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">
<img width=«155» height=«21» src=«ref-1_1288013373-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">
<img width=«173» height=«21» src=«ref-1_1288013635-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">                
Неравенство объявляет все значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">, которые могут быть решением исходного неравенства хотя бы при одном значении параметра. Следовательно, целочисленными решениями исходного неравенства могут быть только целые числа из промежутка <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288013991-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">, то есть

<img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1288014115-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">                              
Естественно, что для любого целого числа из набора надо выяснить, при каких значениях параметра <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1288010884-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> это число будет решением исходного неравенства.

Поскольку исходное неравенство равносильно , то поочерёдно подставляя числа из набора в неравенства , мы сразу и найдём все соответствующие значения параметра. Имеем

<img width=«137» height=«117» src=«ref-1_1288014415-856.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">

Чтобы выявить значения параметра, при которых исходное неравенство имеет максимальное число целочисленных решений, воспользуемся ``разверткой'', полученной информации вдоль от параметра (см. рис. ):
<img width=«456» height=«281» src=«ref-1_1288015271-1276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> 

Очевидно, что максимальное количество целочисленных решений равно трём, и это достигается, когда <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1288016547-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> или <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288016722-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">.

Ответ. <img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1288016858-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">.


Графическое решение уравнений и неравенств с модулем

Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).
Построение графиков вида <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1287910458-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">, <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1287910636-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> и <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1287910815-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">
Отметим правило построения графика функции <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1287910458-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">.

1) Строим сначала график функции <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">.

2) Там, где график функции <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443"> лежит выше оси <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1287962218-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1287962218-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, заменяем симметричными им относительно оси <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1287962218-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> точками.

Для примера, на рисунке изображен график функции <img width=«105» height=«24» src=«ref-1_1288018429-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">.
<img width=«496» height=«307» src=«ref-1_1288018650-2280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> 

Для построения графика функции <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1287910636-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> cтроим график функции <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> для <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288021265-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> и отображаем симметрично относительно оси <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_1287962321-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">.

Для примера, на рисунке изображен график функции <img width=«111» height=«24» src=«ref-1_1288021492-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">.
<img width=«501» height=«309» src=«ref-1_1288021710-2577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> 

Для построения графика функции <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1287910815-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> строим график функции <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> для <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288024620-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> и симметрично отображаем относительно оси <img width=«24» height=«19» src=«ref-1_1287962218-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">.

Для примера, на рисунке изображен график функции <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1288024882-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">.
<img width=«440» height=«439» src=«ref-1_1288025062-2489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> 
Пример  Построить график функции <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1288027551-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">.
Решение. Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1288027761-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">  — биссектриса первого и третьего координатных углов.

2. График функции <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1288027874-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> получается из графика функции <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1288027761-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288028128-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">) симметрично относительно оси абсцисс.

3. График функции <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1288028244-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.

4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1288028411-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">.

5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции (см. рис ).
<img width=«424» height=«261» src=«ref-1_1288028601-1873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> 

Исследуемая функция допускает другую форму записи <img width=«187» height=«96» src=«ref-1_1288030474-905.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">
Пример  В зависимости от параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287911409-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, найти количество решений уравнения

<img width=«161» height=«24» src=«ref-1_1288031463-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">
Решение. Построим график функции <img width=«156» height=«24» src=«ref-1_1288031747-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> (см. рис. ).
<img width=«487» height=«300» src=«ref-1_1288032028-2743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> 

В зависимости от положения прямой <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1288034771-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">, получаем следующее: при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287917383-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> нет корней, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287918743-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">  — бесконечно много корней, при <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1288035122-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">  — четыре корня, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288035266-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">  — три корня, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288035381-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">  — два корня.
Пример  Докажите, что на графике функции <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288035498-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> можно отметить такую точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">, а на графике функции <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1288035722-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">  — такую точку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">, что расстояние <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_1287971271-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> не превышает <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288036133-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">.
Решение. Положим <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1288036256-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">. Точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> с координатами <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1288036481-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">, где <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1288036602-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">, очевидно, лежит на графике функции <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1288035722-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">.

Рассмотрим положительное число <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1288036979-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">. Тогда <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288037141-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">, следовательно, точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"> с координатами <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1288037400-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> лежит на графике функции <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1288035498-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">.

Расстояние между точками <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> равно <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1288037862-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">. Но из равенства <img width=«139» height=«24» src=«ref-1_1288037944-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> следует, что <img width=«139» height=«21» src=«ref-1_1288038192-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">, <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1288038437-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">, <img width=«273» height=«24» src=«ref-1_1288038603-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">.
Пример  На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1288039059-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">.
Решение. <img width=«756» height=«24» src=«ref-1_1288039295-1073.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> или <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1288040368-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">.

Ответ. см. рисунок
<img width=«325» height=«324» src=«ref-1_1288040523-2125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">
Пример  Дана функция <img width=«131» height=«21» src=«ref-1_1288042648-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">. Сколько решений имеет уравнение <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1288042906-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">?
Решение. Пусть <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1288043099-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">  — решение уравнения <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1288042906-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">, а <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288043385-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">. Тогда и <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288043564-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">, а потому точка с координатами <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1288043742-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> лежит на каждом из графиков <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288044050-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">. Наоборот, если точка <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1288043742-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> лежит на пересечении этих графиков, то <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1288043385-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517"> и <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1288044537-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">, откуда <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1288044712-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">. Тем самым показано, что число решений уравнения <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1288042906-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> совпадает с числом точек пересечения графиков <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> и <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288044050-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">, а их 16 (см. рис. ).
<img width=«315» height=«384» src=«ref-1_1288045429-2982.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> Ответ. 16.
Графики функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины
Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).
Теорема  Алгебраическая сумма модулей <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1288048495-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1288048605-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> точкам, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя — с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.
Замечание.Аналогично можно строить графики вида <img width=«327» height=«24» src=«ref-1_1288048805-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">.

Примеры построения графиков

1. <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_1288049263-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">. Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис. ).
<img width=«421» height=«260» src=«ref-1_1288049456-1714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> 

2. <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1288051170-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двух лучей (см. рис. ).
<img width=«399» height=«245» src=«ref-1_1288051430-1331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532"> 

3. <img width=«200» height=«21» src=«ref-1_1288052761-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">. Для построения графика ``по отрезкам'' вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис. ).
<img width=«425» height=«263» src=«ref-1_1288053091-1489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> 

4. <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1288054580-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">. График разности модулей строиться аналогично (см. рис. ).
<img width=«421» height=«260» src=«ref-1_1288054839-1521.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> 

Анализируя вид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что сумма модулей линейных выражений вида <img width=«117» height=«45» src=«ref-1_1288056360-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> достигает своего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулей нечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно. График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, а график суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Более точно:

Теорема  Пусть корни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию <img width=«209» height=«24» src=«ref-1_1288056767-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">. Тогда если число слагаемых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> нечётно и <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1288057131-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">, то наименьшее значение функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1287933650-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> достигается в точке <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1288057376-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">, а если число слагаемых <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> чётно и <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1288057556-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">, то наименьшее значение функции достигается во всех точках отрезка <img width=«59» height=«24» src=«ref-1_1288057687-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">.
Используем утверждение для решения задачи, предлагавшейся на одной из олимпиад Санкт-Петербургского государственного университета.
Пример  В зависимости от значения параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287911409-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">, найти количество корней уравнения

<img width=«232» height=«21» src=«ref-1_1288057932-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">
Решение. Решим задачу графически. Пусть <img width=«252» height=«21» src=«ref-1_1288058297-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">, определим количество точек пересечения графика функции <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288017808-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"> и прямой <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1288034771-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> в зависимости от <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287911409-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">. Исходя из сформулированного выше утверждения, график функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1287933650-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> будет иметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этого участка составляют отрезок <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1288059139-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, и во всех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288059337-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">, причем

<img width=«376» height=«21» src=«ref-1_1288059500-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">

Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первым членом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равна

<img width=«216» height=«41» src=«ref-1_1288060040-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">

Тогда при <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288060508-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> уравнение не будет иметь решений, при <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288060652-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> их будет бесконечно много, а при <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288060793-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559"> уравнение будет иметь два решения.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Иные способы решения уравнений и неравенств с модулемМетод раскрытия модулей


Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:
Пример  Решить уравнение

<img width=«191» height=«21» src=«ref-1_1288060936-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">
Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.

Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1288061251-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">, <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_1288061388-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">; <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1288061513-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">, <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_1288061649-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">; <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1288061777-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">, <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1288061927-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.

1) При <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062054-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567"> или <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1288062170-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">. Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569"> из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570"> из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> из этого промежутка выражение будет положительным.

Возьмем значение <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> из промежутка <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288062708-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573"> и подставим его значение в выражение <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288062852-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574">, получаем <img width=«92» height=«19» src=«ref-1_1288062962-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">, значит на этом промежутке <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288062852-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1288063237-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">.

При этом значении <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">, выражение <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288063466-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> получит значение <img width=«91» height=«19» src=«ref-1_1288063575-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">, значит, оно на промежутке <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288062708-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581"> также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1288063882-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">.

Выражение <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1288064024-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> получит значение <img width=«107» height=«19» src=«ref-1_1288064148-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584"> и ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'': <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1288064333-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">.

Уравнение на этом промежутке получится таким: <img width=«199» height=«21» src=«ref-1_1288064492-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">, решая его, находим: <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288064797-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">.

Выясняем, входит ли это значение в промежуток <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288062708-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">. Оказывается входит, значит <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288064797-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589"> является корнем уравнения.

2) При <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288065159-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">. Выбираем любое значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591"> из этого промежутка. Пусть <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288065399-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">. Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">. Оказывается, что выражение <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288062852-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594"> положительно, а два других отрицательны.

Уравнение на этом промежутке примет вид: <img width=«176» height=«21» src=«ref-1_1288065726-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">. Решая его, находим <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">. Это значение не входит в промежуток <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288066118-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">, а значит, не является корнем уравнения.

3) При <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1288066245-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">. Выбираем произвольное значение <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> из этого промежутка, скажем, <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_1288066487-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288062852-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601"> и <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288063466-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602"> положительны, а <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1288064024-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">  — отрицательно. Получим следующее уравнение: <img width=«165» height=«21» src=«ref-1_1288066936-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">.

После преобразования, получим: <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1288067198-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">, а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.

4) При <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1288067312-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">. Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: <img width=«155» height=«19» src=«ref-1_1288067491-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">, <img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1288067723-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">, <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288067862-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> которое входит в промежуток и является корнем уравнения.

Ответ. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288064797-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">, <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1288067862-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">.
Пример  Решить уравнение

<img width=«139» height=«24» src=«ref-1_1288068227-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">
Решение.

<img width=«412» height=«123» src=«ref-1_1288068490-1563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">
<img width=«88» height=«53» src=«ref-1_1288070053-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">, <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1288070448-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Использование тождества <img width=«108» height=«21» src=«ref-1_1288070603-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">, при решении уравнений


Из сформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:

<img width=«208» height=«21» src=«ref-1_1288070832-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">
<img width=«217» height=«21» src=«ref-1_1288071203-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">

Проиллюстрируем применение первого из них для решения задачи вступительного экзамена в Санкт-Петербургский государственный университет.
Пример  Изобразить график функции

<img width=«213» height=«45» src=«ref-1_1288071589-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">
Решение. Перепишем задающую функцию выражение, используя первое следствие:

<img width=«511» height=«48» src=«ref-1_1288072149-1121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">.

Осталось только построить графики функций <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1288073270-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">, <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1288073449-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> в одной системе координат и определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис. ).
<img width=«496» height=«307» src=«ref-1_1288018650-2280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> 
Использование второго тождества удобно для построения графика функции <img width=«231» height=«28» src=«ref-1_1288075913-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">.

Решение. В силу второго тождества, выражение задающее функцию, записывается в виде: <img width=«340» height=«28» src=«ref-1_1288076324-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">.

Искомый график изображен на рисунке (см. рис. ).
<img width=«501» height=«309» src=«ref-1_1288021710-2577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> 

Пример  Найдите масимальное значение выражения

<img width=«193» height=«24» src=«ref-1_1288079491-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">

где <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1287937482-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">, <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1287937574-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, ..., <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_1288079981-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">  — различные натуральные числа от 1 до 1990.
Решение. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_1288080095-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632"> не больше, чем <img width=«77» height=«23» src=«ref-1_1288080243-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">, <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1288080434-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634"> не больше, чем <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1288080630-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">, <img width=«188» height=«24» src=«ref-1_1288080842-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636"> не больше, чем <img width=«141» height=«23» src=«ref-1_1288081143-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">. Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы <img width=«415» height=«23» src=«ref-1_1288081415-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">. Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:

<img width=«492» height=«13» src=«ref-1_1288082007-576.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">

Ответ. 1989.


Решение уравнений содержащих модули неотрицательных выражений


Пример  Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения

<img width=«227» height=«44» src=«ref-1_1288082583-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">
Решение. Рассмотрим выражение

<img width=«168» height=«44» src=«ref-1_1288083072-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">

и преобразуем его к виду

<img width=«131» height=«44» src=«ref-1_1288083479-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">

Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1288083828-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> (т.к. <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1288083963-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">). Преобразуем полученное выражение, при условии <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288084130-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">. Получим уравнение, равносильное исходному:

<img width=«243» height=«44» src=«ref-1_1288084243-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">
<img width=«284» height=«24» src=«ref-1_1288084700-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">

Ответ. <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1288085102-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">.
Пример  Решить уравнение

<img width=«107» height=«47» src=«ref-1_1288085222-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">
Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1288085551-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">, на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1288085668-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">. Решая его и учитывая ограничение <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1288085551-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">, получаем

Ответ. <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1288064797-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">.
Пример  Решить уравнение:

<img width=«176» height=«21» src=«ref-1_1288086075-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">
Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим

<img width=«359» height=«21» src=«ref-1_1288086386-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">
<img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1288086898-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации


Геометрический смысл выражения <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1287961468-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">  — длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287911409-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">. Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.
Пример  Решим уравнение <img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1288087535-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">.
Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662"> до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288087843-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"> обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.

Ответ. <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1288087843-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">.
Пример  Решим уравнение <img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1288088091-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">.
Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.

Ответ. <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288088309-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">.
Пример  Решить неравенство <img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1288088458-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">.


Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287915629-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"> и <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1288088782-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> в точности равна <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1288088864-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">. Это все точки отрезка <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1288088950-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">. Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. <img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1288089080-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">.

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

<img width=«305» height=«45» src=«ref-1_1288089315-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">
Пример  Решите неравенство: <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1288090020-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">.
Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">, которые находятся ближе к точке с координатой <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1288090385-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">, чем к точке с координатой <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1288090520-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677">. Так как <img width=«132» height=«41» src=«ref-1_1288090640-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">, то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой <img width=«24» height=«21» src=«ref-1_1288090960-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">.

Ответ. <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_1288091066-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">.
Пример  Решите уравнение <img width=«268» height=«21» src=«ref-1_1288091258-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">.
Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">. Сумма <img width=«247» height=«21» src=«ref-1_1288091750-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> равна сумме расстояний от точки <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684"> до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686"> не меньше длины отрезка <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_1287971271-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687"> (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке <img width=«27» height=«17» src=«ref-1_1287971271-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">). Отсюда получаем, что <img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1288092611-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> не меньше 4, а <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1288092822-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> не меньше 2 при любом <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">. Поэтому для того, чтобы сумма <img width=«247» height=«21» src=«ref-1_1288091750-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692"> была равна <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1288093487-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">, необходимо, чтобы <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1288093628-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">. Итак, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695"> необходимо равен <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287918971-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">. Легко проверить, что значение <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697"> действительно является решением данного уравнения.

Ответ. <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288062594-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">.
Пример Гальперин Г.А.  Положительные числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1287971779-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1287972045-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702"> таковы, что система уравнений

<img width=«92» height=«51» src=«ref-1_1288094534-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">

имеет <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1288094896-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704"> решений, а система уравнений

<img width=«128» height=«51» src=«ref-1_1288094984-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">

имеет <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706"> решений. Известно, что <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1288095521-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">. Найдите <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1288094896-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">.
Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962532-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"> и <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1287962916-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1288094896-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_1287971779-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1287972045-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714"> либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1288048411-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715"> может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо <img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1288096379-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">. Условию <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1288095521-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717"> удовлетворяет только вариант <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288096614-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288096737-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">.

Ответ. <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1288096614-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288096737-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">.

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык — удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:
Пример  Дана функция: <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_1288097092-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">.

а) Решите уравнение <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_1288097365-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">;

б) Решите неравенство <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1288097546-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">;

в) Найдите количество решений уравнения <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288097721-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> в зависимости от значений параметра <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287911409-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">.
Решение. Построим график функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1287933650-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">. Для этого заметим, что <img width=«176» height=«29» src=«ref-1_1288098053-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">, а тогда мы можем сначала построить график функции <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_1288098412-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">, и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1288098618-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">:

<img width=«225» height=«48» src=«ref-1_1288098707-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. ).
<img width=«493» height=«334» src=«ref-1_1288099222-3024.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> 

Теперь решение задач не представляет труда:

а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1288102246-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733"> с графиком функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1287933650-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">. Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1287915629-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1288102581-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">, а искомая абсцисса равна <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1288102695-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">.

б) Неравенство <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1288097546-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738"> выполнено при всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287933743-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739"> из отрезка <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1288103101-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">.

в) При <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287917383-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">, <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288035381-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> решений нет, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1287918743-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> уравнение <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1288097721-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744"> имеет три решения, при <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1288035122-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">  — четыре решения, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1288035266-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">  — два решения.


    продолжение
--PAGE_BREAK--Решение уравнений с использованием тождества <img width=«65» height=«28» src=«ref-1_1287911222-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">


Пример  Решить уравнение

<img width=«204» height=«27» src=«ref-1_1288104191-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">
Решение. Дважды применяя тождество <img width=«109» height=«29» src=«ref-1_1288104544-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">, получим уравнение

<img width=«125» height=«21» src=«ref-1_1288104814-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">

решением которого является интервал <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288088309-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">.

Ответ. <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1288088309-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">.
Пример  Решить уравнение

<img width=«255» height=«29» src=«ref-1_1288105346-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">
Решение. <img width=«901» height=«31» src=«ref-1_1288105802-1275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">.

Ответ. <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1288107077-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">.


Применение теоремы о знаках при решении уравнений


Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:

Теорема  Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.
Пример  Решить неравенство

<img width=«184» height=«47» src=«ref-1_1288107210-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">
Решение. Воспользуемся теоремой:

<img width=«397» height=«47» src=«ref-1_1288107697-903.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

<img width=«345» height=«48» src=«ref-1_1288108600-759.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">

Ответ. <img width=«96» height=«21» src=«ref-1_1288109359-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">


Решение уравнений переходом к следствию


Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.
Пример  Решим уравнение

<img width=«223» height=«25» src=«ref-1_1288109571-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">
Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:
<img width=«284» height=«53» src=«ref-1_1288109932-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">
<img width=«268» height=«51» src=«ref-1_1288110643-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">
<img width=«268» height=«99» src=«ref-1_1288111254-1036.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">
<img width=«259» height=«96» src=«ref-1_1288112290-964.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">

Нетрудно убедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. нет решения.

В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.
Пример  Решите уравнение

<img width=«219» height=«25» src=«ref-1_1288113254-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">


 Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений

<img width=«231» height=«80» src=«ref-1_1288113624-785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">

которые можно переписать в виде

<img width=«233» height=«80» src=«ref-1_1288114409-797.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">

Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:

<img width=«207» height=«125» src=«ref-1_1288115206-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">

что приводит к четырём уравнениям:

<img width=«80» height=«125» src=«ref-1_1288116370-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">

Отсюда получаем 4 решения: <img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1288116899-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">, <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_1288117024-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">, <img width=«55» height=«27» src=«ref-1_1288117185-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">, <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1288117344-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773"> среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.

Ответ. 3.


    продолжение
--PAGE_BREAK--