Реферат: Формирование понятия функции в курсе математики средней школы
--PAGE_BREAK--Приведем несколько примеров:у = <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1458240722-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">+<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1458240866-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">; y= <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1458241004-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">+<img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1458240722-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">:
y= <img width=«28» height=«44» src=«ref-1_1458241274-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">+<img width=«40» height=«44» src=«ref-1_1458241416-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">; и т.д.
Что можно сказать об области определения, например, функции
y= <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1458240722-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">+<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1458240866-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">?
Функция у = <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1458240722-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> имеет область определения [2; +<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">), а функция у = <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1458240866-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> — область определения ]-<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">; 1]. Указанные промежутки не пересекаются, значит, формула у = <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1458240722-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">+<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1458240866-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">не определяет никакой функции.
Во всех указанных примерах за формулой не стоит никакой функции, так как область определения выражений f(x) есть пустое множество.
Во-вторых, не всякую функцию можно задать с помощью формулы.
Примером такой функции является функция Дирихле, определенная на числовой прямой:
D(y) = <img width=«236» height=«48» src=«ref-1_1458242596-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">
Эта функция есть отображение множества рациональных чисел в единицу и множества иррациональных чисел в нуль.
В-третьих, несколько формул могут задавать одну-единственную функцию.
Пример:
у = <img width=«115» height=«77» src=«ref-1_1458243300-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">
Эта функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) = (-<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">;+<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">) и задана с помощью трех аналитических выражений, а именно на промежутке (-<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">;0) используется закон числового соответствия, описываемый формулой у = 2, на отрезке [0;2] – формулой 1+x<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">, а на промежутке (2;+<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">) – формулой у = х-1.
Таким образом, формула – это не сама функция, а всего лишь один из способов ее задания.
§3. Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции
Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.
Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.
Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как
f(x) =<img width=«9» height=«20» src=«ref-1_1458244210-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"><img width=«32» height=«44» src=«ref-1_1458244283-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">, D(f) = [0;<img width=«37» height=«49» src=«ref-1_1458244434-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">]
Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f(x) = <img width=«32» height=«44» src=«ref-1_1458244283-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> имеет смысл при всех х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">R.
Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.
Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.
Пример:
у = <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1458244867-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">,
определенная на отрезке [-6;-1], у = <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1458244867-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">, определенная на промежутке (0;+<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">), это разные функции.
Косинус, определенный, например, на отрезке [0;<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">], косинус, определенный на отрезке [<img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1458245298-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">, и косинус, определенный на всей числовой прямой, — это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.
Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.
Рассмотрим примеры:
1. Пусть дана функция
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1458240366-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1060">
y= <img width=«77» height=«27» src=«ref-1_1458245507-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">.
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1458240366-73.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1062">
Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">sinx<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458245873-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">0 и sinx>0. Так как <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1458245960-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"><img width=«23» height=«17» src=«ref-1_1458246103-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">, то для 0 < sinx< 1 log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">sinx< 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение
log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">sin x = 0
log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">sin x = log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">1
sin x = 1, откуда
x = <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458246521-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> + 2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">n, n<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">Z.
Таким образом, D(y) = {<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458246521-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">+2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">n, n<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">Z}.
Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку
log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">sin(<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458246521-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">+ 2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">n) = log<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">1 = 0.
2. Найти область изменения функции
у = <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">.
Решение:
Составим уравнение <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> = а, и исследуем множество его решений.
При а <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458245873-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х<img width=«14» height=«20» src=«ref-1_1458247858-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">= а<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> или х<img width=«14» height=«20» src=«ref-1_1458248016-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">= 1 — а<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">. Это уравнение имеет решение лишь при 1 — а<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"><img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458245873-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> 0, откуда а<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">[-1;1], но с учетом, а <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458245873-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">[0;1], поэтому E(y) = [0;1].
3. Найти область определения функции
y= <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1458241004-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> + <img width=«51» height=«44» src=«ref-1_1458248724-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">.
Решение:
Функция y<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">= <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1458241004-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> определена для значений x<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458249110-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">0;
Функция y<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098"> = <img width=«51» height=«44» src=«ref-1_1458248724-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099"> определена для значений 4+x<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1458245873-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">0;
Т.е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток x<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">(-4;0]. Он и есть область определения данной функции.
Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.
§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические
Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">Х для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).
Примеры симметричных относительно нуля множеств:
отрезок [-5;5];
интервал [-3;3];
числовая прямая (-<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1458249799-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">);
Примеры несимметричных множеств:
отрезок [-5;4];
интервал (-2;3);
луч [-10;+<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">);
Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.
Определение:
Функция у = f(x) называется четной, если:
1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;
2) для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">D(f) выполняется равенство
f(-x) = f(x)
Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.
Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458244043-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">не является нечетной.
Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции
у=1+sinx; у = 2<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458250337-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">; у = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">.
Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:
а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;
б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;
в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:
f(-x) = f(x) (1)
или f(-x) = f(x) (2) для всех х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">D(f)
Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:
<img width=«113» height=«63» src=«ref-1_1458250613-355.coolpic» alt=«Блок-схема: альтернативный процесс: f(x)» v:shapes="_x0000_s1026">
<img width=«115» height=«138» src=«ref-1_1458250968-686.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029 _x0000_s1027 _x0000_s1028">
<img width=«12» height=«39» src=«ref-1_1458251654-110.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030">
<img width=«222» height=«203» src=«ref-1_1458251764-1417.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: D (f) симметрична относительно нуля» v:shapes="_x0000_s1031">
_
<img width=«12» height=«134» src=«ref-1_1458253181-168.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032"><img width=«278» height=«2» src=«ref-1_1458253349-85.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033">
<img width=«12» height=«50» src=«ref-1_1458253434-120.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034">
+
<img width=«224» height=«104» src=«ref-1_1458253554-825.coolpic» alt=«Блок-схема: решение: F(-x) = f(x)» v:shapes="_x0000_s1035">
<img width=«150» height=«42» src=«ref-1_1458254379-358.coolpic» alt=«Блок-схема: знак завершения: f(x) — четная» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«153» height=«81» src=«ref-1_1458254737-618.coolpic» alt=«Блок-схема: знак завершения: f(x) – ни четная, ни нечетная» v:shapes="_x0000_s1037"> +
<img width=«39» height=«12» src=«ref-1_1458255355-96.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038"> <img width=«12» height=«86» src=«ref-1_1458255451-143.coolpic» v:shapes="_x0000_s1039"> <img width=«224» height=«134» src=«ref-1_1458255594-948.coolpic» v:shapes="_x0000_s1041 _x0000_s1040">
_
<img width=«267» height=«2» src=«ref-1_1458256542-85.coolpic» v:shapes="_x0000_s1042"> <img width=«12» height=«61» src=«ref-1_1458256627-129.coolpic» v:shapes="_x0000_s1043">
+
<img width=«234» height=«54» src=«ref-1_1458256756-583.coolpic» alt=«Блок-схема: знак завершения: F(x) — нечетная» v:shapes="_x0000_s1044">
Пример
:исследовать на четность и нечетность функции:
1) у = 8<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1458257339-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">; 2) у = <img width=«47» height=«47» src=«ref-1_1458257457-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> ; 3) у = <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">; 4) у = <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_1458257809-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.
Областью определения функции у = 8<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1458257339-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">является числовая прямая (-<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">; +<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1458257339-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">;
f(-x) = 8<img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1458258396-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">= 8<img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1458257339-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">. Таким образом, f(-x) = f(x), т.е. функция является чётной.
2) Областью определения функции y= <img width=«47» height=«47» src=«ref-1_1458257457-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> является промежуток (0; +<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y= <img width=«47» height=«47» src=«ref-1_1458257457-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> не является ни чётной, ни нечётной.
3) Область определения функции у = <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> находится из условия<img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1458259291-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"><img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1458259411-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> или (x– 1)(x+ 1)<img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1458259517-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">, таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем
f(x) = <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">; f(-x) = <img width=«73» height=«29» src=«ref-1_1458259778-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">= <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">, т.е. функция у = <img width=«53» height=«27» src=«ref-1_1458247459-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> является чётной.
4) Функция у = <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_1458257809-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> не определена при тех значениях x, при которых знаменатель <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1458260457-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">; -3) <img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1458260672-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> (-3; 3) <img width=«17» height=«13» src=«ref-1_1458260672-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> (3; +<img width=«16» height=«13» src=«ref-1_1458242000-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">) — симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_1458257809-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">; f(x) = <img width=«67» height=«45» src=«ref-1_1458261111-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> = — <img width=«47» height=«41» src=«ref-1_1458261353-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">.
Так как f(-x)<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">f(x) и f(-x)<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">-f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.
продолжение
--PAGE_BREAK--Свойство 1.Если y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.
Доказательство.
Пусть Функции y= (x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций
<img width=«19» height=«35» src=«ref-1_1458261901-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">(x) и <img width=«20» height=«35» src=«ref-1_1458262001-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">(x) соответственно:
<img width=«19» height=«35» src=«ref-1_1458261901-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">(x) = f(x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">(x); <img width=«20» height=«35» src=«ref-1_1458262001-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> = f(x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">(x).
Так как по определению f(-x) = -f(x) и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">(-x) = -<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">(x), то
<img width=«19» height=«35» src=«ref-1_1458261901-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">(-x) = f(-x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">(-x) = -f(x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">(x) = — (f(x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">(x)) = -<img width=«19» height=«35» src=«ref-1_1458261901-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">(x)
<img width=«20» height=«35» src=«ref-1_1458262001-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">(-x) = f(-x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">(-x) = -f(x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">(x) = — (f(x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">(x)) = -<img width=«20» height=«35» src=«ref-1_1458262001-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">(x).
Полученные равенства означают, что <img width=«19» height=«35» src=«ref-1_1458261901-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">(x) и <img width=«20» height=«35» src=«ref-1_1458262001-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">(x) – нечётные функции.
Свойство 2.Если y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">(x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.
Доказательство
Пусть функции y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">(x) и Ф<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">(x) соответственно:
Ф<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">(x) = f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">(x); Ф<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">(x) = <img width=«39» height=«44» src=«ref-1_1458264440-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> (<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">(x) <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">0).
Учитывая, что функции f(x) и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">(x) – нечётные, будем иметь:
Ф<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">(-x) = f(-x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">(-x) = (-f(x)) (-<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">(x)) = f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">(x) = Ф<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">(x);
Ф<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">(-x) = <img width=«48» height=«44» src=«ref-1_1458265429-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> = <img width=«51» height=«44» src=«ref-1_1458265646-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> = <img width=«39» height=«44» src=«ref-1_1458264440-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> = Ф<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">(x).
Полученные равенства доказывают, что Ф<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">(x) и Ф<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">(x) функции чётные.
Свойство 3.Если y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">(x) – чётные функции, то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.
Пусть функции y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">(x),
разность функций G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">(x), произведение функций G<img width=«9» height=«24» src=«ref-1_1458266643-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">(x), частное данных функций G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458266722-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">(x) соответственно:
G<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">(x) = f(x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">(x); G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">(x) = f(x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">(x); G<img width=«9» height=«24» src=«ref-1_1458266643-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">(x) = f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">(x);
G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458266722-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">(x) = <img width=«39» height=«44» src=«ref-1_1458264440-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> (<img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1458267600-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> 0).
Докажем, что G<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">(x), G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">(x), G<img width=«9» height=«24» src=«ref-1_1458266643-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">(x), G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458266722-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">(x) – чётные функции.
Доказательство
Учитывая, что f(x) и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">(x) – чётные функции будем иметь:
G<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">(-x) = f(-x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">(-x) = f(x) + <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">(x) = G<img width=«8» height=«23» src=«ref-1_1458248907-77.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">(x);
G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">(-x) = f(-x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">(-x) = f(x) — <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">(x) = G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458245794-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">(x);
G<img width=«9» height=«24» src=«ref-1_1458266643-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">(-x) = f(-x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">(-x) = f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">(x) = G<img width=«9» height=«24» src=«ref-1_1458266643-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">(x);
G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458266722-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">(-x) = <img width=«41» height=«44» src=«ref-1_1458269336-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> = <img width=«36» height=«44» src=«ref-1_1458269543-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> = G<img width=«11» height=«23» src=«ref-1_1458266722-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">(x).
Свойство 4.Если y= f(x) – чётная функция, а y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">(x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.
Пусть функции y= f(x) и y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению
F(-x) = f(x), <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">(-x) = -<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">(x).
Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">(x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.
Доказательство
Учитывая, что f(x) – функция чётная, а <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">(x) – функция нечётная, будем иметь:
Q(-x) = f(-x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">(-x) = f(x) (-<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">(x)) = -f(x) <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">(x) = -Q(x).
Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.
Свойство 5.Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве Xи одна из которых чётная, а другая нечётная.
Доказательство
Пусть функция y= f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.
Покажем, что существуют функции y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">(x) и y= <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">(x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что
y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">(x) + <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">(x) = f(x), где y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">(x) – чётная функция, а y= <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">(x) – нечётная функции.
Положим <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">(x) = <img width=«84» height=«41» src=«ref-1_1458271324-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">; <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">(x) = <img width=«83» height=«41» src=«ref-1_1458271673-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">.
Тогда ясно, что <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">(x) и <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">(x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве Xи
<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">(-x) = <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1458272203-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> = <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1458272483-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> = <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">(x);
<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">(-x) = <img width=«96» height=«41» src=«ref-1_1458272917-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> = <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1458273190-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> = -<img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1458273432-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">= -<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">(x);
<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">(x) + <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">(x) = <img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1458273956-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> + <img width=«75» height=«41» src=«ref-1_1458273432-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> = <img width=«155» height=«41» src=«ref-1_1458274444-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> = <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_1458274829-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> =
=<img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">f(x),
что и требовалось доказать.
Пример.Функцию y= 2<img width=«11» height=«20» src=«ref-1_1458275099-78.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">можно представить в виде суммы двух функций y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">(x), где <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">(x) = <img width=«59» height=«44» src=«ref-1_1458275365-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, и y= <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">(x), где <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">(x) = <img width=«59» height=«44» src=«ref-1_1458275743-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">, причём функция y= <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1458261713-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">(x) – чётная, а функция y= <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1458270760-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">(x) – нечётная.
Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.
Определение.Функция y= f(x) называется периодической, если существует число <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">0 такое, что выполняются следующие два условия:
1) для любого xиз области определения функции y= f(x) числа (x+ <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">) и (x– T) также входят в область определения и 2) для любого xиз области определения выполняется равенство f(x+ <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">) = f(x).
Число Т называют периодом функции y= f(x).
Замечание.Для периодической функции имеет место равенство
f(x– T) = f(x). Действительно, функция y= f(x) в точке (x– T) определена и
f(x) = f[(x– T) + T] = f(x– T).
Покажем, что если число Т есть период функции y= f(x), то любое из чисел nT, где n<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"><img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276553-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">, n<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">0 является периодом этой функции.
Действительно, пусть n= 1, тогда согласно определению и замечанию:
а) точки (x+ <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">) и (x– T) принадлежат области определения функции y= f(x);
б) f(x) = f(x+ <img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">) и f(x) = f(x– T).
Предположим, что для n= kсправедливо утверждение точки (x+ kT) и (x– kT) принадлежат области определения функции y= f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n= k+ 1.
По предположению точки (x+ kT) и (x– kT) принадлежат области определения функции y= f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки
[(x+ kT) + T] и [(x– kT) – T], т.е. точки [x+ (k+ 1)T] и [x— (k+ 1)T], принадлежат её области определения.
Итак, для любого xиз области определения функции y= f(x) при любом n<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">Z, n<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">0 точки (x+ n<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458276114-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">) и (x– nT) принадлежат области её определения.
Предположим, что для любого n= kсправедливо утверждение
f(x) = f(x + kT) иf(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n= k+ 1. Действительно, так как Т является периодом функции y= f(x), то для точки (x+ kT) имеем [(x+ kT) + T] = f(x+ kT), но по предположению
f(x) = f(x+ kT) следовательно, f(x) = f[x+ (k+ 1)T].
Аналогично для точки (x– kT) доказывается, что f(x) = f[x— (k+ 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля nутверждение f(x) = f(x+ nT) и
f(x) = f(x— nT) доказано.
Число Т называется продолжение
--PAGE_BREAK--главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y= f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).
Рассмотрим примеры.
Пример №1.Функция y={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1458277167-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> = х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции — вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого T<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">x, Т<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">0 числа (х + Т) и (х — Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x+T) = {x+T} = x+ T– [x+ T] = x+ T–([x] + T) = x+ T– [x] – T= x– [x] = {x}, где Т<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">Z, T<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">0.
Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">Z, T<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">0.
Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.
Построим график функции у = {x}.
Для этого сначала построим график функции на промежутке х <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.
Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">[0;1) вдоль оси абсцисс на <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_1458278117-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> = 1.
<img width=«402» height=«208» src=«ref-1_1458278227-1429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">
Пример № 2
Функция Дирихле – периодическая с периодом T= r, где r= Q.Действительно,
D(x) = <img width=«239» height=«48» src=«ref-1_1458279656-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">
D(x+ r) = <img width=«239» height=«48» src=«ref-1_1458279656-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">
Так как r– рациональное число, то сумма х + r— рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r— иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.
Следовательно, D(x+ r) = D(x).
Пример № 3
Функция y= sin<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">не является периодической, так как, например для числа
х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.
Пример № 4
Найти период функции
y= Asin(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">), где А, m, <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"> — постоянные величины, A<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">0, m<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">0,
x– аргумент.
Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х<img width=«15» height=«16» src=«ref-1_1458281541-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">Т)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">R, где Т<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство
A sin (m (x + T) + <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">) = A sin (mx + <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">).
Следовательно,
A(sin(m(x+ T) + <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">) – sin(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">) = 0.
Применяя формулу разности синусов, будем иметь:
2Аsin<img width=«160» height=«41» src=«ref-1_1458282150-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> cos <img width=«160» height=«41» src=«ref-1_1458282524-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> = 0
2Аsin<img width=«149» height=«41» src=«ref-1_1458282901-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> cos <img width=«149» height=«41» src=«ref-1_1458283225-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> = 0
2Аsin<img width=«31» height=«41» src=«ref-1_1458283566-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> cos <img width=«107» height=«41» src=«ref-1_1458283714-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> = 0
2Аsin<img width=«31» height=«41» src=«ref-1_1458283566-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> cos<img width=«101» height=«41» src=«ref-1_1458284144-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> = 0
Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.
Так как х — переменная величина, то 2cos<img width=«101» height=«41» src=«ref-1_1458284144-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"><img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">0, А<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458261543-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">0 по условию, тогда sin<img width=«31» height=«41» src=«ref-1_1458283566-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> = 0, откуда следует
<img width=«31» height=«41» src=«ref-1_1458283566-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> = <img width=«21» height=«15» src=«ref-1_1458285154-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">, или <img width=«59» height=«41» src=«ref-1_1458285250-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, где n<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_1458240554-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">Z.
Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n= 1, значит период данной функции
<img width=«59» height=«41» src=«ref-1_1458285250-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">.
Заметим, что период функции у = А sin(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">) не зависит от Aи <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">.
Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.
Таким образом, функции
y= sinxи y= cosxимеют основной период Т = 2<img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">
у = tgxи у = ctgxимеют основной период Т = <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458245209-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">,
а функции у = sin(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">) и у = cos(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">) имеют основной период Т = <img width=«25» height=«41» src=«ref-1_1458286258-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">.
Функции у = tg(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">) и у = ctg(mx+ <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1458281195-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">) имеют основной период Т = <img width=«20» height=«41» src=«ref-1_1458286579-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">.
<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1458240366-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.
Теорема 1.Если периодические функции y= f1 (x) и y= f2 (x), xÎX, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.
ДоказательствоТак как функция y= f1 (x) – периодическая с периодом Т ¹0, то для любого xÎXвыполняется равенство
f1 (x+Т) = f1 (x) (1)
Так как функция y= f2 (x) – периодическая с периодом Т ¹0, то для любого xÎXвыполняется равенство
f2 (x+Т) = f2 (x) (2)
Рассмотрим функцию z(x) = f1 (x) ±f2 (x), заданную на множестве X. Тогда для любого xÎXсогласно равенствам (1) и (2) будем иметь
z (x +T) = f1 (x +T) ±f2 (x +Т) = f1 (x) ±f2 (x) = Z (x).
Последнее равенство доказывает периодичность функции z(x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.
Рассмотрим функцию t(x) = f1(x)×f2 (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого xÎXсогласно равенствам (1) и (2) будем иметь
t (x +T) = f1 (x +T) ×f2 (x +Т) = f1 (x) ×f2 (x) = t (x).
Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).
Замечание.
Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.
Пример 5.Функция f1 (x) = 3 sinx+ 2 имеет основной период 2p, функция f2 (x) = 2 – 3 sinxимеет основной период 2p, а их сумма
z (x ) = f1 (x) +f2 (x) = 3 sin x + 2 + 2 – 3 sin x = 4
наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении a¹0 z(x+a) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.
Пример 6.Функция j1(x) = sinx+1 и j2(x) = 1- sinxимеют наименьший положительный период 2p, а для произведения
t(x) = j1(x) ×j2(x) = (sin x +1)(1- sin x) = 1- sin2x = cos2x =<img width=«67» height=«41» src=«ref-1_1458286775-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">
наименьшим положительным периодом есть число p.
ОпределениеПериоды функций Т1 и Т2 называются соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа mи n, что m×T1= n×Т2.
Пример 7.Выясним, являются ли соизмеримыми периоды Т1 = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"> и
Т2=<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287097-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">
Решение. Данные периоды будут соизмеримыми, если уравнение <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">×m= <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287097-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">×nимеет решение на множестве Z\ {}. Умножим обе части данного уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), получим равносильное уравнение 4m= 15n, откуда m= 15k, n= 4k, где kÎZ\ {}. Например, при k= 1 получим
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">×15 = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287097-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">×4 = 10
Ответ: Периоды Т1 и Т2 соизмеримы.
Теорема 2.Если периодические функции y= f1(x) и y= f2(x), xÎX, имеют соизмеримые периоды Т1 и Т2 то они имеют общий период.
Доказательство. Так как периоды Т2 и Т2 соизмеримы, то существуют целые отличные от нуля числа mи nтакие, что m×T1= n×T2 = T¹0. Следовательно, Т – общий период функций y= f1(x) и y= f2 (x). Теорема доказана.
Замечание. По теореме 1 число Т будет также периодом функций
z (x)= f1(x) ±f2 (x), t(x) = f1(x) f2 (x).
Пример 8.Найти период функции
f(x) = sin2x + 3sin(3x-2) — <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">cos(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287756-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">x +1).
Решение. Так как период синуса равен 2p, функция sin2xимеет период <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458287867-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">= pфункция sin(3x-2) = sin(3x-2 + 2p) = 3sin3(x-<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">+ <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458288116-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">) и ее период равен <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458288116-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">. Аналогично, функция -<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">cos(<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287756-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">x+1) имеет период <img width=«27» height=«63» src=«ref-1_1458288614-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">= <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287756-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">p.
Для того, чтобы найти общий период функции, представим периоды
Т1 = p; Т2 =<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">pи Т3 = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287097-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">pв другом виде, а именно, коэффициенты при pв полученных периодах приведем к общему знаменателю, получим
Т1 = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458289107-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">p= 6×<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458289220-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">; Т2 = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458289339-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">p= 4×<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458289220-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> и Т3 = <img width=«21» height=«41» src=«ref-1_1458289571-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">p= <img width=«21» height=«41» src=«ref-1_1458289571-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">×pи найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число Т = 60×<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458289220-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364"> = 10p– основной период данной функции.
продолжение
--PAGE_BREAK--Пример 9.Найти период функции y= cos5x-sin2x.
Решение. Функция y= cos5xимеет период T1= <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458289948-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">; функция y= sin2x– период Т2 = <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458287867-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> = p. Представим периоды Т1 и Т2 в другом виде: Т1 = 2×<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458290226-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">; Т2 = 5×<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458290226-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">. Таким образом видно, что периоды Т1 и Т2 соизмеримы: 5Т1 = 2Т2, откуда 5×<img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458289948-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> = 2×p= 2p. Следовательно, число 2pявляется периодом данной функции.
Пример 10.Найти основной период функции y= sin2x.
Решение. Понизим степень функции y= sin2x. Тогда y= <img width=«69» height=«41» src=«ref-1_1458290597-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">=
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">-<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">cos2x. Период этой функции равен периоду cos2x<img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458287867-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">= p. Таким образом основной период данной функции равен p.
Замечание.Если Т1 и Т2 – основные периоды функций f1(x) и f2(x), то наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условиям:
Т = mT1= nT2, где m, nÎZ\ {0}, не обязательно является основным периодом функций f1(x) ±f2(x) и f1(x) ×f2(x).
Например, основные периоды функций y= cos2x+ sinxи y= -sinxравны 2p, а основной период их суммы y= cos2xравен p.
Или, вернемся к примеру 6 и посмотрим на функцию y= sin2xкак на произведение функций y= sinx×sinx. Основной период функции y= sinxесть число 2p, но решая пример 6, мы показали, что основной период функции
y= sin2xравен p.
Заметим, что сложная функция, промежуточным аргументом которой служит периодическая функция, есть функция периодическая, причем периоды этих функций совпадают. Докажем
Теорему 3.Если y= f(j(x)) – сложная функция, где j(x) – периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция периодическая с периодом Т.
Доказательство. Так как j(x) – периодическая функция с периодом Т, то для любого действительного xиз области определения функции j(x) имеем
j(x+ Т) = j(x),
тогда для функции y= f(j(x)) при любом действительном х из области определения функции j(x) будем иметь
j(x+ Т) = f(j(x)) = f(j(x)) = y(x).
Последнее равенство доказывает, что функция y= f(j(x)) периодическая с периодом Т.
Пример 11.Функция y= cos3xпериодическая с периодом <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458287867-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> = p. В силу теоремы 3 функция y= 5cos22x+ <img width=«67» height=«43» src=«ref-1_1458291300-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">+3 периодическая с периодом p.
Рассмотрим примеры на доказательство периодичности или не периодичности функций.
Пример 12.Доказать, что функция y= sin<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> не является периодической.
Доказательство.Iспособ: D(y) = [0;+¥). Пусть положительное число
Т – период данной функции, тогда должно выполнятся условие (х-Т) ÎD(y), для любого xÎD(y). Но при x= 0 (х-Т) ÏD(y), следовательно, T> 0 не является периодом функции.
Докажем, что Т < 0 не может быть периодом функции y= sin<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">.
Если T< 0 – период данной функции, то должно выполнятся условие (х + Т) ÎD(y) для любого xÎD(y). Но при x= 0 (х + Т) ÏD(y), следовательно, T< 0 не является периодом функции.
IIспособ: Предположим, что функция y= sin<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> имеет период, равный Т. Тогда y= sin<img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1458291859-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">= y= sin<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> при любом действительном xÎD(y). При x= 0 будем иметь, что sin<img width=«27» height=«23» src=«ref-1_1458292125-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">= sin0 = 0. Значит
<img width=«27» height=«23» src=«ref-1_1458292125-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">= pn, (1)
а при x= Tполучим sin<img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1458292363-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">= sin<img width=«27» height=«23» src=«ref-1_1458292125-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">= 0. Следовательно,
sin<img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1458292363-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">= pk. (2)
Разделив почленно (2) на (1) при n¹0, получим <img width=«39» height=«48» src=«ref-1_1458292750-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">= <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1458292939-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> =<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458293053-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">, чего не может быть, так как <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1458292939-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> число иррациональное.
Пример 13.Доказать, что функция y= cos2 xне является периодической.
Доказательство.Пусть данная функция имеет период Т ¹0. Тогда для любого xÎD(y) (D(y) = R) должно выполнятся равенство
cos (x+T)2 = cos x2или
cos(x+T)2 — cosx2 = 0
Преобразуем данное равенство по формуле разности косинусов, получим
2 sin <img width=«95» height=«44» src=«ref-1_1458293281-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">×sin <img width=«119» height=«44» src=«ref-1_1458293544-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">
2sin (x2 + T×x + <img width=«27» height=«44» src=«ref-1_1458293827-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">) ×sin (T×x + <img width=«27» height=«44» src=«ref-1_1458293827-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">) = o
Это произведение должно равняться нулю независимо от значений переменной величины x, а это невозможно, sin(T×x+ <img width=«27» height=«44» src=«ref-1_1458293827-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">) ¹oи
sin(x2+ T×x+ <img width=«27» height=«44» src=«ref-1_1458293827-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">) ¹0. Значит допущение, что функция y= cos2 xпериодическая неверно, т.е. данная функция не является периодической.
Пример 14.Доказать, что функция y= |sin(x)| является периодической с периодом p.
Доказательство.D(y) = R. Пусть периодом данной функции будет число Т ¹0. Тогда
|sin(x+ Т)| = |sin(x)| (3)
Это равенство будет выполнятся в двух случаях:
1) sin(x+ Т) = sin(x) и тогда
sin (x + Т)-sin (x) = 0
2 cos (x + <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">)×sin <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> = 0.
Это произведение должно равняться нулю независимо от переменной x, а это возможно только при sin<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> = 0. Откуда
<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> = pkи Т = 2pk, что приводит к основному периоду 2p.
2) sin(x+ Т) = -sin(x). (4)
Тогда sin(x+ Т) +sin(x) = 0 и
2 sin(x+ <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">)×cos<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> = 0.
Откуда <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458294375-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> = <img width=«24» height=«41» src=«ref-1_1458295180-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">и Т = pn, что приводит к основному периоду Т = p. Так как при Т = pвыполняется равенство (4), следовательно, и равенство (3). Значит, Т = pесть период функции y= |sin(x)|.
§5 Тестовые контрольные работы по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные нечетные функции. Периодические функции»
Рассмотрим комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные нечетные функции. Периодические функции».
При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты:
1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;
2) в задания сделан акцент не на проверку навыков, а на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;
3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.
4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.
Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.
Вариант
I
1. Какое равенство не задает функцию?
а) y2= x2; б) y= x2; в) y= lgx; г) y= <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?
<img width=«217» height=«206» src=«ref-1_1458295426-2993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"><img width=«221» height=«208» src=«ref-1_1458298419-3027.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">
<img width=«227» height=«216» src=«ref-1_1458301446-3563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"><img width=«194» height=«183» src=«ref-1_1458305009-2513.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">
3) Для каких функций fи gравенство f(g(x)) = xверно не на всей области определения функции f(g(x)) ?
а) f(x) = tg(x), g(x) = arctg x; б) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458307522-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">, g(x) = x3;
в) f(x) = x2, g(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">; г) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, g(x) = x2.
4) Даны функции f(x) = x2и g(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">. Какая запись в таком случае верна?
а) f(g(x)) = (<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">)2; б) f(g(x)) = <img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458308103-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">;
в) f(g(x)) = |x|; г) f(g(x)) = x.
5) На каком из рисунков изображен график четной функции?
<img width=«204» height=«193» src=«ref-1_1458308236-828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"><img width=«202» height=«191» src=«ref-1_1458309064-761.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">
<img width=«204» height=«193» src=«ref-1_1458309825-766.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"><img width=«204» height=«193» src=«ref-1_1458310591-828.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">
6. Укажите четную функцию.
а) y = sin (2x+1); б) y = sin (x2+1);
в) y= cos(x2+1); г) y= x+cosx.
7. Укажите нечетную функцию.
а) f(x) = x3+1; б) f(x) = 2x– 2-x;
в) f(x) = 2x+ 2-x; г) f(x) = <img width=«135» height=«29» src=«ref-1_1458311419-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">
8. Какое высказывание ложно?
а) Сумма двух четных на Rфункций есть функция четная.
б) Разность двух четных на Rфункций есть функция четная.
в) Произведение двух четных на Rфункций есть функция четная.
г) Всякая функция есть функция четная, либо нечетная.
9. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) (-¥; +¥); б) (0;+¥); в) множество всех чисел, кроме чисел вида pk, где k= 0, ±1, ±2, …
10. Какая из функций обладает следующими свойствами:
существует такое t¹0, что при любом xиз области определения выполняется равенство f(x+t) = f(x)?
а) y= <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">; б) y= x2; в) y= sin<img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458308103-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">; г) y= xsinx.
11. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin(x+1);
б) y = cos x + tg x;
в) y= x+ sinx;
г) y= {x}.
12. Какая из функций имеет период <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458246521-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">?
а) y = tg x – ctg x; б) y = sin 2x;
в) y = cos <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458312078-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">; г) y = sin x + cos x.
продолжение
--PAGE_BREAK--Вариант
II
1. Какое равенство задает отношение, при котором каждому значению xсоответствует не более одного значения y?
а) y2= x2; б) x2y2= 1; в) <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">= x; г) siny= x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?
<img width=«209» height=«202» src=«ref-1_1458312302-2221.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1045"><img width=«201» height=«194» src=«ref-1_1458314523-2430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">
<img width=«194» height=«187» src=«ref-1_1458316953-2290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"><img width=«204» height=«196» src=«ref-1_1458319243-2367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">
3. Для каких функций fи gравенство f(g(x)) = xверно не на всей области определения функции f(g(x))?
а) f(x) = sin x, g(x) = arcsin x; б) f(x) = arcsin x, g(x) = sin x;
в) f(x) = ex, g(x) = lnx; г) f(x) = lnx, g(x) = ex.
Даны функции f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458307522-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> и g(x) = x2. Какая запись не верна?
а) f(g(x)) = <img width=«21» height=«33» src=«ref-1_1458321731-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">; б)f(g(x)) = <img width=«32» height=«36» src=«ref-1_1458321844-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">;
в) f(g(x)) = <img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458321988-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">; г) f(g(x)) = (<img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458322127-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">)2;
4. На каком из рисунков изображен график четной функции?
<img width=«179» height=«173» src=«ref-1_1458322259-1907.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"><img width=«199» height=«192» src=«ref-1_1458324166-2209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">
<img width=«199» height=«192» src=«ref-1_1458326375-2440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"><img width=«194» height=«187» src=«ref-1_1458328815-2170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">
5. Укажите четную функцию.
а) y= x2– x; б) y= 2x– 2-x;
в) 2x+ 2-x; г) y= <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458330985-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">.
6. Укажите нечетную функцию.
а) f(x) = cos x + sin x; б) f(x) = sin x + tg x;
в) f(x) = cos x + sin x; г) f(x) = tg x×ctg x.
7. Какое высказывание ложно?
а) Сумма двух нечетных функций на Rесть функция нечетная.
б) Разность двух нечетных функций на Rесть функция нечетная.
в) Произведение двух нечетных функций на Rесть функция нечетная.
г) Произведение трех нечетных функций на Rесть функция нечетная.
8. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) R– множество действительных чисел;
б) (-2; +¥); в) R\ {2pk, kÎZ}.
9. Какая из функций обладает следующим свойством:
существует такое t¹0, что при любом xиз области определения верно равенство f (x+t) = f(x)?
а) y= x3; б) y= <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">; в) y= xcosx; г) y= sin(<img width=«55» height=«29» src=«ref-1_1458331220-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">).
10. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin x + ctg x; б) y = cos (2x+1);
в) y = sin (<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">)2; г) y = sin x×tg x.
11. У какой функции наименьший положительный период больше 2p?
а) y = sin x + <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">sin 2x + <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_1458331614-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">sin 3x;
б) y = 3 tg <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458331723-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">;
в) y = tg x + ctg <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458312078-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">;
г) y= sin2x.
Вариант
III
1. Какое равенство задает отношение, при котором некоторым значениям xсоответствует более одного значения y?
а) y= arctgx; б) y= tgx; в) tgy= x; г) arctgy= x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое можно рассматривать как график функции?
<img width=«177» height=«171» src=«ref-1_1458331940-1818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"><img width=«184» height=«180» src=«ref-1_1458333758-2380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">
<img width=«187» height=«180» src=«ref-1_1458336138-2322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"><img width=«191» height=«185» src=«ref-1_1458338460-2717.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">
3. Для каких функций fи gравенство f(g(x)) = xверно не на всей области опреднления функции f(g(x))?
4.
а) f(x) = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458341177-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, g(x) = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458341177-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">; б) f(x) = 2x, g(x) = 0,5x;
в) f(x) = arccos x, g(x) = cos x; г) f(x) = cos x, g(x) = arccos x.
5. Для каких функций fи gимеет место равенство f(g(x)) = g(f(x))?
6.
а) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">, g(x) = x; б) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">, g(x) = x4;
в) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, g(x) = x2; г) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">, g(x) = x3.
7. На каком из рисунков изображен график четной функции?
<img width=«191» height=«185» src=«ref-1_1458341857-2675.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"><img width=«189» height=«182» src=«ref-1_1458344532-2118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">
<img width=«211» height=«203» src=«ref-1_1458346650-6218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> <img width=«211» height=«203» src=«ref-1_1458352868-2906.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">
8. Укажите четную функцию.
9.
а) y = sin x + tg x; б) y = sin x×tg x;
в) y = cos x×ctg x; г) y = tg x + ctg x.
10. Укажите, какая из приведенных функций нечетная?
11.
а) f(x) = <img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458321988-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">; б) f(x) = lg<img width=«37» height=«41» src=«ref-1_1458355913-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">;
в) f(x) = 10x+ 10-x; г) f(x) = x5– 1.
12. Пусть f– четная функция на R, а g– нечетная функция на R. Какое утверждение истинно?
а) f+ g– функция четная; б) f– g– фуункция нечетная;
в) f×g– функция нечетная; г) <img width=«19» height=«45» src=«ref-1_1458356072-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> – функция четная.
13. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) Q– множество рациональных чисел;
б) (-¥; 0);
в) множество интервалов вида (2pk, p(2k+1)), где k= 0, ±1; ±2…
14. Какая из периодических функций не имеет наименьшего положительного периода?
а) y= sinx; б) y= {x}; в) y= 5;
г) y = tg (80x + 3).
15. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458312078-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">; б) y = tg x + sin 2x;
в) y = <img width=«40» height=«41» src=«ref-1_1458356304-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">; г) y = cos 4x.
16. Какие из следующих утверждений истинны?
а) Если число T– период функции f, то число 2Tтакже период этой функции.
б) Если числа Т1 и Т2 – периоды функции f, то число (Т1+Т2) также период этой функции.
в) Если 2T– период функции f, то число T– также период этой функции.
г) Если T– период функции f, то число -T– также период этой функции.
Вариант
IV
1. Какое равенство задает отношение, которое не является функцией?
а) ln y = x; б) arcsin y = x; в) sin y = sin x; г) ey = arcsin x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое можно рассматривать как график функции?
<img width=«182» height=«173» src=«ref-1_1458356457-2462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"><img width=«175» height=«166» src=«ref-1_1458358919-1889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">
<img width=«175» height=«166» src=«ref-1_1458360808-2224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"><img width=«194» height=«187» src=«ref-1_1458363032-2367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">
3. Для каких функций fи gравенство f(g(x)) = xверно не на всей области определения функции f(g(x))?
а) f(x) = tg x, g(x) = arctg x; б) f(x) = arctg x, g(x) = tg x;
в) f(x) = 3x+ 2, g(x) = <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_1458331614-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> x-<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458286987-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">; г) f(x) = — x, g(x) = — x.
4. Для каких функций fи gимеет место равенство f(g(x)) = g(f(x))?
а) f(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">, g(x) = <img width=«33» height=«27» src=«ref-1_1458308103-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">; б) f(x) = 10x, g(x) = lgx;
в) f(x) = x2, g(x) = x3; г) f(x) = x4, g(x) = <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458330985-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">
5. На каком из рисунков изображен график четной функции?
<img width=«174» height=«168» src=«ref-1_1458365986-3528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"><img width=«194» height=«189» src=«ref-1_1458369514-2274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">
<img width=«196» height=«189» src=«ref-1_1458371788-2265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"><img width=«191» height=«187» src=«ref-1_1458374053-2379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">
6. Укажите четную функцию.
7.
а) y = sin (<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458376432-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> — x); б) y = 1 – sin x;
в) y= cosx+ x3; в) y= (x+ 4)2
8. Какая из приведенных функций нечетная?
а) f(x) = x sin x; б) f(x) = x + sin x;
в) f(x) = ctg2x; г) f(x) = cos(<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458376432-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">— x) + 2.
9. На какой вопрос следует дать отрицательный ответ?
а) Может ли четная функция быть периодической?
б) Может ли периодическая функция иметь лишь один нуль?
в) Верно ли, что произведение двух функций различной четности есть функция нечетная?
10. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) N– множество натуральных чисел;
б) [-p; p];
в) множество всех чисел, кроме числа вида <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458376432-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> (2k+ 1),
где k = 0; ±1; ±2, …
11. Какая из функций обладает следующим свойством: существует такое t¹0, что при любом xиз области определения верно равенство
f(x) = f(x — t)?
а) y = 2 cos |x|; б) y = 3 + sin (2 + <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1458250414-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">);
в) y = <img width=«28» height=«44» src=«ref-1_1458376898-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> ; в) y = 2x×cos x.
12. Какая из функций не является периодической?
13.
а) y = |cos 2x|; б) y = sin x×cos <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_1458377041-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">;
в) y= <img width=«15» height=«41» src=«ref-1_1458377171-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">sin(6x+ <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458377280-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">); г) y= 4 – cos(<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458289220-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">+ x).
14. У какой функции наименьший положительный период меньше <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458376432-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">?
а) y= <img width=«27» height=«41» src=«ref-1_1458377635-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">; б) y= 3 cos<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458287647-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">x;
в) y= 2 sin(6x+ <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458377886-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">); г) y= -3 tg(<img width=«17» height=«41» src=«ref-1_1458377886-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">— <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_1458378118-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">).
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Тригонометрия
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Иррациональные уравнения
1 Сентября 2013
Реферат по математике
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
1 Сентября 2013