Реферат: Все формулы по математике в школе

Все формулы по математике в школе

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :

(a±b)?=a?±2ab+b?

(a±b)?=a?±3a?b+3ab?±b?

a?-b?=(a+b)(a-b)

a?±b?=(a±b)(a?∓ab+b?),

(a+b)?=a?+b?+3ab(a+b)

(a-b)?=a?-b?-3ab(a-b)

xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a?xn-3+...+an-1)

ax?+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

где x1 и x2 — корни уравнения

ax?+bx+c=0



Степени и корни :

ap·ag= ap+g

ap:ag=ap-g

(ap)g=apg

ap/bp = (a/b)p

ap×bp= abp

a=1; a1=a

a-p= 1/a

pÖa =b => bp=a

pÖapÖb = pÖab

Öa; a ?

____

/ __ _

pÖgÖa = pgÖa

___ __

pkÖagk= pÖag

p____

/ a pÖa

/ ¾¾= ¾¾¾¾

Öb pÖb

a 1/p= pÖa

pÖag = ag/p




Квадратное уравнение

ax?+bx+c=0; (a¹0)

x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b?-4ac

D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1× x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x?+ px+q =0

x1+x2 = -p

x1×x2= q

Если p=2k (p-четн.)

и x?+2kx+q=0, то x1,2 = -k±Ö(k?-q)

Нахождение длинны отр-ка

по его координатам

Ö((x2-x1)?-(y2-y1)?)

Логарифмы:

logax = b => ab = x; a>0,a¹0

a loga x= x, logaa =1; loga1 = 0

logax = b; x = ab

logab = 1/(log ba)

logaxy = logax + logay

logax/y = logax — logay

logaxk=k logax (x >0)

logakx =1/k logax

logax = (logcx)/( logca); c>0,c¹1

logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая

an = a1 +d(n-1)

Sn= ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая

bn = bn-1 × q

b2n = bn-1× bn+1

bn= b1×qn-1

Sn= b1(1- qn)/(1-q)

S= b1/(1-q)



Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (p-a) = sin a

sin (p/2 -a) = cos a

cos (p/2 -a) = sin a

cos (a+ 2pk) = cos a

sin (a+ 2pk) = sin a

tg (a+ pk) = tg a

ctg (a+ pk) = ctg a

sin?a+ cos?a=1

ctg a= cosa/ sina, a¹pn, nÎZ

tga×ctga= 1, a¹(pn)/2, nÎZ

1+tg?a= 1/cos?a, a¹p(2n+1)/2

1+ ctg?a =1/sin?a, a¹ pn

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y — cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y — sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ¹p/2 + pn

tg(x-y) = (tg x — tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x — y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента.

sin 2a= 2sin acos a

cos 2a= cos?a— sin?a= 2 cos?a— 1 =

= 1-2 sin?a

tg 2a= (2 tga)/ (1-tg?a)

1+ cos a= 2 cos?a/2

1-cosa= 2 sin?a/2

tga= (2 tg (a/2))/(1-tg?(a/2))

Ф-лы половинного аргумента.

sin? a/2 = (1 — cos a)/2

cos?a/2 = (1 + cosa)/2

tg a/2 = sina/(1 + cosa) = (1-cos a)/sin a

a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв.

sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)

sin x — sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)

cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2

cos x — cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2

sin (x+y)

tg x + tg y = —————

cos x cos y

sin (x — y)

tg x — tgy = —————

cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму

sin x sin y = ?(cos (x-y) — cos (x+y))

cos x cos y = ?(cos (x-y)+ cos (x+y))

sin x cos y = ?(sin (x-y)+ sin (x+y))




Соотнош. между ф-ями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg22/x)/ (1+ tg?x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin?a= 1/(1+ctg?a) = tg?a/(1+tg?a)

cos?a= 1/(1+tg?a) = ctg?a/ (1+ctg?a)

ctg2a= (ctg?a-1)/ 2ctga

sin3a= 3sina-4sin?a= 3cos?asina-sin?a

cos3a= 4cos?a-3 cosa=

= cos?a-3cosasin?a

tg3a= (3tga-tg?a)/(1-3tg?a)

ctg3a= (ctg?a-3ctga)/(3ctg?a-1)

sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2)

cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2)

tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))=

sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))=

sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina




sin(arcsin a) = a

cos( arccos a) = a

tg ( arctg a) = a

ctg ( arcctg a) = a

arcsin (sina) = a; aÎ[-p/2; p/2]

arccos(cos a) = a; aÎ[0; p]

arctg (tg a) = a; aÎ[-p/2; p/2]

arcctg (ctg a) = a; aÎ[ 0; p]

arcsin(sina)=

1)a— 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk]

2) (2k+1)p— a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk]

arccos (cosa) =

1) a-2pk; aÎ[2pk;(2k+1)p]

2) 2pk-a; aÎ[(2k-1)p; 2pk]

arctg(tga)= a-pk

aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk)

arcctg(ctga) = a-pk

aÎ(pk; (k+1)p)

arcsina= -arcsin (-a)= p/2-arccosa=

= arctg a/Ö(1-a?)

arccosa= p-arccos(-a)=p/2-arcsin a=

= arc ctga/Ö(1-a?)

arctga=-arctg(-a) = p/2 -arcctga=

= arcsin a/Ö(1+a?)

arc ctg a= p-arc cctg(-a) =

= arc cos a/Ö(1-a?)

arctg a= arc ctg1/a=

= arcsin a/Ö(1+a?)= arccos1/Ö(1+a?)

arcsin a+ arccos = p/2

arcctg a+ arctga= p/2

Тригонометрические уравнения

sin x = m; |m|? 1

x = (-1)narcsin m + pk, kÎZ

sin x =1 sin x = 0

x = p/2 + 2pk x = pk

sin x = -1

x = -p/2 + 2 pk

cos x = m; |m| ?1

x = ±arccos m + 2pk

cos x = 1 cos x = 0

x = 2pk x = p/2+pk

cos x = -1

x = p+ 2pk

tg x = m

x = arctg m + pk

ctg x = m

x = arcctg m +pk

sin x/2 = 2t/(1+t2); t — tg

cos x/2 = (1-t?)/(1+t?)

Показательные уравнения.

Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)

1) a>1, то знак не меняеться.

2) a<1, то знак меняется.

Логарифмы: неравенства:

logaf(x) >(<) log aj(x)

1. a>1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)>j(x)

2. 0<a<1, то: f(x) >0

j(x)>0

f(x)<j(x)

3. log f(x)j(x) = a

ОДЗ: j(x) > 0

f(x) >0

f(x ) ¹ 1

Тригонометрия:

1. Разложение на множители:

sin 2x — Ö3 cos x = 0

2sin x cos x -Ö3 cos x = 0

cos x(2 sin x — Ö3) = 0

....

2. Решения заменой…

3.

sin?x — sin 2x + 3 cos?x =2

sin?x — 2 sin x cos x + 3 cos ?x = 2 sin?x + cos?x

Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,

а такое невозможно, => можно поделить на cos x




Тригонометрические нер-ва :

--PAGE_BREAK--sin a³m

2pk+a1?a?a2+ 2pk

2pk+a2?a?(a1+2p)+ 2pk

Пример:

I cos (p/8+x) < Ö3/2

pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk

2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;;

II sin a?1/2

2pk +5p/6 ?a?13p/6 + 2pk

cos a³(?) m

2pk + a1< a< a2+2 pk

2pk+a2< a< (a1+2p) + 2pk

cos a³— Ö2/2

2pk+5p/4 ?a?11p/4 +2pk

tg a³(?) m

pk+ arctg m ?a?arctg m + pk

ctg ³(?) m

pk+arcctg m < a< p+pk




Производная:

(xn)’ = n× xn-1

(ax)’ = ax×ln a

(lg ax)’= 1/(x×ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos?x

(ctg x)’ = — 1/sin?x

(arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x?)

(arccos x)’ = — 1/ Ö(1-x?)

(arctg x)’ = 1/ Ö(1+x?)

(arcctg x)’ = — 1/ Ö(1+x?)

Св-ва:

(u ×v)’ = u’×v + u×v’

(u/v)’ = (u’v — uv’)/ v?

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k =

= производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х




Интегралы :

ò xn dx = xn+1/(n+1) + c

òax dx = ax/ln a + c

òexdx = ex+ c

òcos x dx = sin x + cos

òsin x dx = — cos x + c

ò1/x dx = ln|x| + c

ò1/cos?x = tg x + c

ò1/sin?x = — ctg x + c

ò1/Ö(1-x?) dx = arcsin x +c

ò1/Ö(1-x?) dx = — arccos x +c

ò1/1+ x?dx = arctg x + c

ò 1/1+ x? dx = — arcctg x + c




Площадь криволенейной трапеции.



Геометрия

Треугольники

/>

a + b + g =180

Теорема синусов

a? = b?+c? — 2bc cos a

b?= a?+c?— 2ac cos b

c?= a?+ b?— 2ab cos g

Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит

противопол. сторону напополам.

Биссектриса — угол.

Высота падает на пр. сторону

под прямым углом.

Формула Герона :

p=?(a+b+c)

_____________

S = Öp(p-a)(p-b)(p-c)

S = ?ab sin a

Sравн.=(a?Ö3)/4

S = bh/2

S=abc/4R

S=pr

Трапеция.

/>




S = (a+b)/2× h

Круг

/>

S= pR?

Sсектора=(pR?a)/360

Стереометрия

Параллепипед

V=Sосн×Р

Прямоугольный

V=abc

Пирамида

V =1/3Sосн.×H

Sполн.= Sбок.+ Sосн.

Усеченная:

H . _____

V = 3 (S1+S2+ÖS1S2)

S1 иS2— площадиосн.

Sполн.=Sбок.+S1+S2

Конус

V=1/3 pR?H

Sбок.=pRl

Sбок.= pR(R+1)

Усеченный

Sбок.= pl(R1+R2)

V=1/3pH(R12+R1R2+R22)

Призма

V=Sосн.×H

прямая: Sбок.=Pосн.×H

Sполн.=Sбок+2Sосн.

наклонная :

Sбок.=Pпс×a

V = Sпс×a, а -бок. ребро.

Pпс — периметр

Sпс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр.

V=pR?H; Sбок.= 2pRH

Sполн.=2pR(H+R)

Sбок.= 2pRH

Сфера и шар .

V = 4/3 pR? — шар

S = 4pR? — сфера

Шаровой сектор

V = 2/3 pR?H

H — высота сегм.

Шаровой сегмент

V=pH?(R-H/3)

S=2pRH




град













0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°




180°

a

-p/2

-p/3

-p/4

-p/6

0

p/6

p/4

p/3

p/2

2p/3

3p/4

3p/6

p

sina

-1

-Ö3/2

-Ö2/2

— ?

0

?

Ö2/2

Ö3/2

1







— ?

0

cosa













1

Ö3/2

Ö2/2

?

0

— ?

-Ö2/2

— Ö3/2

-1

tga

Ï

-Ö3

-1

-1/Ö3

0

1/Ö3

1

Ö3

Î

-Ö3

-1




0

ctga













---

Ö3

1

1/Ö3

0

-1/Ö3

-1




--































n

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

9

16

25

36

49

64

81

3

8

27

64

125

216

343

512

729

4

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

5

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

6

64

729

4096

15625

46656

7

128

2181

8

256

6561


































-a

p-a

p+a

p/2-a

p/2+a

3p/2 — a

3p/2+a

sin

-sina

sina

-sina

cosa

cosa

-cosa

-cosa

cos

cosa

-cosa

-cosa

sina

-sina

-sina

sina

tg

-tga

-tga

tga

ctga

-ctga

ctga

-ctga

ctg

-ctga

-ctga

ctga

tga

-tga

tga

-tga

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта ilib.ru/