Реферат: Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике

--PAGE_BREAK--Следовательно, существует предел α. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен                   Такая прямая  есть  касательная  в  данной  точке  С[х,
f(
x)] и  ее угловой
коэффициент tgφ=
f '(
x).

2°. Замечания. 1. Угловой коэффициент k
прямой y
=
kx
+
b
называется наклоном прямой к оси Ох. На­клоном кривой y
=
f
(
x
) вточке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tgφ
=
f
'(х1).

2. Если касательная в точке (х1, y
1
) кривой y
=
f
(
x
) образует сОх: а) острый угол φ, то производная f
'(
x
)>0, так как tgφ
>0(черт.); б) тупой угол φ, то производная f
'(х1)<0, так как tgφ
<0(черт.). Если касательная параллельна оси Оx(черт.), то угол φ
=0, tg
φ=0и f
'(х1) = 0.

<img width=«522» height=«187» src=«ref-1_1925888772-2520.coolpic» v:shapes="_x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191 _x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199 _x0000_s1200 _x0000_s1201 _x0000_s1202 _x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1209 _x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213 _x0000_s1214 _x0000_s1215 _x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223 _x0000_s1224 _x0000_s1225">

Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стрем­ление α к π/2 может дать один и тот же бесконечный пре­дел как «справа», так и «слева»: tgφ
= + ∞(черт.) пли tgφ
=- ∞(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgφ
= +∞, а «справа» tgφ
= — ∞). В первом случае, в точках А и В, функция f
(
x
), говорят, имеет бесконечную производ­ную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

<img width=«252» height=«157» src=«ref-1_1925891292-785.coolpic» v:shapes="_x0000_s1226 _x0000_s1227 _x0000_s1228 _x0000_s1229 _x0000_s1230 _x0000_s1231 _x0000_s1232 _x0000_s1233 _x0000_s1234 _x0000_s1235 _x0000_s1236 _x0000_s1237 _x0000_s1238 _x0000_s1239 _x0000_s1240 _x0000_s1241">Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f
(
x
).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f
(
x
) дифференцируема в промежутке а<х<b
, если ее про­изводная f
'(х) конечна в каждой точке промежутка.
4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

<img width=«398» height=«194» src=«ref-1_1925892077-2272.coolpic» v:shapes="_x0000_s1242 _x0000_s1243 _x0000_s1244 _x0000_s1245 _x0000_s1246 _x0000_s1247 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1250 _x0000_s1251 _x0000_s1252 _x0000_s1253 _x0000_s1254 _x0000_s1255 _x0000_s1256 _x0000_s1257 _x0000_s1258 _x0000_s1259 _x0000_s1260 _x0000_s1261 _x0000_s1262 _x0000_s1263 _x0000_s1264 _x0000_s1265 _x0000_s1266 _x0000_s1267 _x0000_s1268 _x0000_s1269 _x0000_s1270 _x0000_s1271 _x0000_s1272 _x0000_s1273 _x0000_s1274 _x0000_s1275 _x0000_s1276 _x0000_s1277 _x0000_s1278 _x0000_s1279 _x0000_s1280 _x0000_s1281 _x0000_s1282 _x0000_s1283">4°. Прямая, проходящая  через  точку  касания  перпендикулярно к касательной, называется  нормалью  к   кривой. Согласно  условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/
f '(
x1).
Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции
1°. Теорема. Если функция y
=
f
(
x
) имеет в точ­ке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Δy=(Δy/Δx)*Δx

так как всегда считаем Δx ≠ 0. При стремлении Δx  к нулю отношение Δy/Δx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Δx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Δy/Δx)*Δx есть бес­конечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

    продолжение
--PAGE_BREAK-- 



<img width=«176» height=«148» src=«ref-1_1925894349-624.coolpic» v:shapes="_x0000_s1284 _x0000_s1285 _x0000_s1286 _x0000_s1287 _x0000_s1288 _x0000_s1289 _x0000_s1290 _x0000_s1291 _x0000_s1292">Следовательно, данная функция y
=
f
(
x
) непрерывна.

2°, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y
= |х|

(черт.) в точке x
= 0непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3°. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непре­рывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной
Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

<img width=«42» height=«23» src=«ref-1_1925894973-79.coolpic» alt=«Подпись: c» v:shapes="_x0000_s1305" v:dpi=«96»><img width=«43» height=«23» src=«ref-1_1925895052-79.coolpic» alt=«Подпись: c» v:shapes="_x0000_s1306" v:dpi=«96»><img width=«176» height=«148» src=«ref-1_1925895131-660.coolpic» v:shapes="_x0000_s1295 _x0000_s1296 _x0000_s1297 _x0000_s1298 _x0000_s1299 _x0000_s1300 _x0000_s1301 _x0000_s1302 _x0000_s1303 _x0000_s1304 _x0000_s1307 _x0000_s1308 _x0000_s1309 _x0000_s1310">Дано: y
=
c(черт.).

Требуется доказать: с’=0.

  Доказательство: Для любого значения xи для всякого приращения Δxприращение функции Δyравно нулю, также равно нулю и отношение Δx
/Δ
y
.
Отсюда
      продолжение
--PAGE_BREAK--



Таблица элементарных производных


Функция Ее производная xp
pxp-1, pÎR
c (c-const)

1/x
-1/x2
                                                                                                                                           ____ √x
                                                                                                                                                                  ____

1/2√x
ex ex sin x cos x cos x -sin x tg x 1/cos2x ctg x -1/sin2x y = up pu’up-1 ln x 1/x ax ax lna, a>0 log a x 1/(x lna), a>0, a¹ arcsinx                                                                                                                                                          ___________ 1/Ö1-x2 arccosx                                                                                                                                                           ____________ -1/Ö1-x2 arctg x 1/(1+x2) arcctg x -1/(1+x2)


Правила дифференцирования
Пусть c– постоянная, f
(
x
)и g
(
x
)– дифференцируемые функции, тогда

c = 0;

(c * f(x))’ = c * (f(x))’;

(f(x) + g(x))’ = f ‘(x) + g ‘(x);

(f(x) * g(x))’ = f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x);

(f(x)/g(x))’ = (f ‘(x) * g(x) – f(x) * g ‘(x))/g2(x);
ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций
Будем считать, что рассматриваемая функция y
=
f
(
x
) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a
≤
x
≤
b
.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f
(
x
) постоянна на отрезке [а,
b
], если в каждой точке отрезка ее производная
f
'(х) равна нулю.

<img width=«224» height=«148» src=«ref-1_1925895791-872.coolpic» v:shapes="_x0000_s1378 _x0000_s1379 _x0000_s1380 _x0000_s1381 _x0000_s1382 _x0000_s1383 _x0000_s1384 _x0000_s1385 _x0000_s1386 _x0000_s1387 _x0000_s1388 _x0000_s1389 _x0000_s1390 _x0000_s1391 _x0000_s1392 _x0000_s1393 _x0000_s1394 _x0000_s1395 _x0000_s1396 _x0000_s1397">Иллюстрируем это геометрически. Если f
' (
x
) = 0в каждой из точек отрезка [а, b
], то касательная к графику функции y
=
f
(
x
) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b
) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b
]

<img width=«281» height=«148» src=«ref-1_1925896663-1214.coolpic» v:shapes="_x0000_s1312 _x0000_s1313 _x0000_s1314 _x0000_s1315 _x0000_s1316 _x0000_s1317 _x0000_s1318 _x0000_s1319 _x0000_s1320 _x0000_s1321 _x0000_s1322 _x0000_s1323 _x0000_s1324 _x0000_s1325 _x0000_s1326 _x0000_s1327 _x0000_s1328 _x0000_s1329 _x0000_s1330 _x0000_s1331 _x0000_s1332 _x0000_s1333 _x0000_s1334 _x0000_s1335 _x0000_s1336">график функции y
=
f
(
x
) обращается в прямую MN
, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f
(а), остается неизменным (черт.).

2°. Если в промежутке a
<
x
<
bфункция y
=
f
(
x
) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δxи Δу положительны, отношение Δy/Δx положительно и при стремлении Δx к нулю принимает только

положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f
'(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а<х<b
функция y
=
f
(
x
) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения xв то время, когда приращение Δx положительно, приращение Δy отрицательно, отношение Δy/Δx принимает только отрицательные  значения и при стремлении Δxк нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

<img width=«43» height=«52» src=«ref-1_1925897877-118.coolpic» alt=«Подпись: ∆y<0» v:shapes="_x0000_s1358" v:dpi=«96»><img width=«283» height=«186» src=«ref-1_1925897995-1209.coolpic» v:shapes="_x0000_s1337 _x0000_s1338 _x0000_s1339 _x0000_s1340 _x0000_s1341 _x0000_s1342 _x0000_s1343 _x0000_s1344 _x0000_s1345 _x0000_s1346 _x0000_s1347 _x0000_s1348 _x0000_s1349 _x0000_s1350 _x0000_s1351 _x0000_s1352 _x0000_s1353 _x0000_s1354 _x0000_s1355 _x0000_s1356 _x0000_s1357 _x0000_s1359">f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f
'(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y
=
f
(
x
):

f '(x) = tgφ,

и у возрастающей функции f
'(
x
) =
tgφ
≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f
'(х) =
tgφ
≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a
<
x
<
b
возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b
1
(
a
<
a
1
<
b
1
<
b
), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f
'(
x
) = 0на отрезке a
1
≤ х ≤
b
1
то функция f
(
x
) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox
, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция
f
(
x
) возрастает (или убывает) в промежутке
a
<
x
<
b
, если:

1) производная
f
'(х) не отрицательна (или не поло­жительна) в промежутке а<х<
b
,

f
'(
x
) ≥ 0                      (или
f
'(
x
) ≤ 0)

и

2) в этом промежутке не существует отрезка
a
1
≤
x
≤
b
1
(а<а1<
b
1
<
b
), во всех точках которого производная
f
'(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х3 — х2 — 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх2 — 2х — 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

 




Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x+ 4/3 отрицателен при х < — 4/3 и положителен при х > — 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) — ∞ <
x<-4/3, 2) -4/3<
x<2, 3)2<
x< + ∞.

Чтобы определить знак производной  в  каждом из промежутков, составим таблицу:

№ про-межутка



Характеристика промежутка



Знак x+4/3



Знак x-2



Знак f ’(
x)



Данная

функция



1



— ∞ <
x< — 4/3


—



—



+



возрастает



2



-4/3 <
x < 2


+



—



—



убывает



3



2 < х < + ∞


+



+



+



возрастает



<img width=«339» height=«224» src=«ref-1_1925899204-1772.coolpic» v:shapes="_x0000_s1360 _x0000_s1361 _x0000_s1362 _x0000_s1363 _x0000_s1364 _x0000_s1365 _x0000_s1366 _x0000_s1367 _x0000_s1368 _x0000_s1369 _x0000_s1370 _x0000_s1371 _x0000_s1372 _x0000_s1373 _x0000_s1374 _x0000_s1375 _x0000_s1376 _x0000_s1377">Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

— ∞ <
x < -4/3 и 2 <
x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х <2.

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х3(черт.) имеет производную у = 3х2, которая  положительна при всяком значении х, отличном от нуля. Прих = 0 производная у' = 0. Функция у = х3возрастает в промежутке — ∞<x<+∞; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х3 = 0, а при х < 0  х3 < 0 и при х > 0 х3> 0.
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
<img width=«42» height=«52» src=«ref-1_1925900976-116.coolpic» alt=«Подпись: 60-2x» v:shapes="_x0000_s1414" v:dpi=«96»><img width=«147» height=«127» src=«ref-1_1925901092-781.coolpic» v:shapes="_x0000_s1398 _x0000_s1399 _x0000_s1400 _x0000_s1401 _x0000_s1402 _x0000_s1403 _x0000_s1404 _x0000_s1405 _x0000_s1406 _x0000_s1407 _x0000_s1408 _x0000_s1409 _x0000_s1410 _x0000_s1411 _x0000_s1412 _x0000_s1413 _x0000_s1415">1°. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка xм, аплощадь у м2, тогда:

y
= (60-2
x
)
x
= 60
x
— 2х2

Значения xи yне могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 — 2x
> 0, а 0<x
<30.

Площадь yесть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

y
' = 60 — 4
x.

y
'>0, и функция возрастает, когда x
<15; y
<0, и функция убывает, когда x
>15.



Если ширина х =







 5



10



   15



   20



   25



   30



то площадь y
=







  250



400



   450



   400



   250



  0





Кривая (черт.) поднимается от начала до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.

<img width=«177» height=«225» src=«ref-1_1925901873-1297.coolpic» v:shapes="_x0000_s1416 _x0000_s1417 _x0000_s1418 _x0000_s1419 _x0000_s1420 _x0000_s1421 _x0000_s1422 _x0000_s1423 _x0000_s1424 _x0000_s1425 _x0000_s1426 _x0000_s1427 _x0000_s1428 _x0000_s1429 _x0000_s1430 _x0000_s1431 _x0000_s1432 _x0000_s1433 _x0000_s1434 _x0000_s1435 _x0000_s1436 _x0000_s1437 _x0000_s1438 _x0000_s1439 _x0000_s1440 _x0000_s1441 _x0000_s1442 _x0000_s1443 _x0000_s1444 _x0000_s1445 _x0000_s1446 _x0000_s1447 _x0000_s1448 _x0000_s1449 _x0000_s1450 _x0000_s1451">Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 — 2x
= 60 — 30=30 (м)

2°. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x
2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x
м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:

0<
x
<+∞

Определим промежутки ее возрастания и убы­вания:

y’=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.

<img width=«42» height=«33» src=«ref-1_1925903170-94.coolpic» alt=«Подпись: 24» v:shapes="_x0000_s1470" v:dpi=«96»><img width=«263» height=«186» src=«ref-1_1925903264-872.coolpic» v:shapes="_x0000_s1452 _x0000_s1453 _x0000_s1454 _x0000_s1455 _x0000_s1456 _x0000_s1457 _x0000_s1458 _x0000_s1459 _x0000_s1460 _x0000_s1461 _x0000_s1462 _x0000_s1463 _x0000_s1464 _x0000_s1465 _x0000_s1466 _x0000_s1467 _x0000_s1468 _x0000_s1469 _x0000_s1471 _x0000_s1472 _x0000_s1473">Знак производной определяется знаком разности x
-6. В промежутке

0<
x
<6  
y
'<0, а в промежутке 6<x
<+∞ 
y
'>0.


Периметр убывает в промежутке 0<x
<6и возрастает в промежутке 6<x
<+∞. График (черт.) построим по таблице:

Если х =



  →0



    3



   4



   5



     6



      7



    8



→∞

То у =



 →∞



   30



  26



 24,4



  24



  24,3



    25



→∞

Следовательно, периметр прямоугольника имеет  наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.
Максимум и минимум функции
Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

<img width=«244» height=«186» src=«ref-1_1925904136-1584.coolpic» v:shapes="_x0000_s1474 _x0000_s1475 _x0000_s1476 _x0000_s1477 _x0000_s1478 _x0000_s1479 _x0000_s1480 _x0000_s1481 _x0000_s1482 _x0000_s1483 _x0000_s1484 _x0000_s1485 _x0000_s1486 _x0000_s1487 _x0000_s1488 _x0000_s1489 _x0000_s1490 _x0000_s1491 _x0000_s1492 _x0000_s1493 _x0000_s1494 _x0000_s1495 _x0000_s1496 _x0000_s1497 _x0000_s1498 _x0000_s1499 _x0000_s1500 _x0000_s1501 _x0000_s1502 _x0000_s1503 _x0000_s1504">Определение. 1. Функция f
(
x
) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f
(
x
) имеет при
x
= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины «максимум» и «минимум»объединяются в один общий для них термин «экстремум».

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y
= 60
x
— 2х2(черт. 111), или только минимум, например   функция у = 2х+72/x
(черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х3— — х2 — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y
=
ctgx
,
y
=
ax
не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

<img width=«43» height=«100» src=«ref-1_1925905720-149.coolpic» alt=«Подпись: f(c-Δx)» v:shapes="_x0000_s1550" v:dpi=«96»><img width=«42» height=«100» src=«ref-1_1925905869-158.coolpic» alt=«Подпись: f(c+Δx)» v:shapes="_x0000_s1551" v:dpi=«96»><img width=«43» height=«42» src=«ref-1_1925906027-116.coolpic» alt=«Подпись: f(c)» v:shapes="_x0000_s1552" v:dpi=«96»><img width=«176» height=«196» src=«ref-1_1925906143-1142.coolpic» v:shapes="_x0000_s1531 _x0000_s1532 _x0000_s1533 _x0000_s1534 _x0000_s1535 _x0000_s1536 _x0000_s1537 _x0000_s1538 _x0000_s1539 _x0000_s1540 _x0000_s1541 _x0000_s1542 _x0000_s1543 _x0000_s1544 _x0000_s1545 _x0000_s1546 _x0000_s1547 _x0000_s1548 _x0000_s1549 _x0000_s1553">Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1М1и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c
2
m
1, и c
4
m
2, минимум c
4
m
2
больше максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.
Признаки существования экстремума
1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δточки х=с:

1) функция f
(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f
(
x
), то ее производная в точке с равна нулю,
m
.
e
.
f
'(
c
) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c
есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с — Δx:, а правой в виде с+ Δx
, где 0< Δx
<
δ. Значение функции f
(
x
) в точке с есть f
(
c
), в левой полуокрестности оно равно f
(с — Δ
x), а в правой f
(
c
+ Δ
x
). Значения f
(
x
) в окрестности 2δточки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Δx, причем значение х = с -/+ Δxнеограниченно приближается к числу с, если Δxстремится к нулю.

По определению максимума функции:

f
(
c
— Δ
x
)<
f
(
c
) и f
(
c
+ Δ
x
)<
f
(
c
).

Отсюда:

f
(
c
-Δ
x
)-
f
(
c
)<0 иf
(
c
+ Δx)-
f
(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на — Δx и + Δx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

  (
f
(
c
—Δx)—
f
(с))/(-Δx))>0         (1);                               (f
(с + Δx)—
f
(с)/(+Δx))<0            (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при Δx → 0, так как по условно функция f
(
x
) имеет в точке с определенную произвольную:
Из неравенства (1) следует, что f
'(с)  либо положительна, либо равна  нулю, а неравенство (2) показы­вает, что f
'(с) не  может быть положительной. Следовательно,

f
‘(
c
) = 0,

что и требовалось доказать.

2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2δ
точки
x
= с:

1) функция f
(
x
)непрерывна,

2) ее производная, f
'(х), слева от точки х = с по­ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

  Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c
, поэтому число f
(с) есть общий пре­дел для f
(
c
— Δx) и f
(
c
+Δx) при Δx → 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Δx< δ
):
Данная функция f
(
x
)в левой полуокрестности точки с — возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности — убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f
(
c
—Δx) иf
(
c
+Δx)

<img width=«42» height=«81» src=«ref-1_1925907285-142.coolpic» alt=«Подпись: f(c-Δx)» v:shapes="_x0000_s1526" v:dpi=«96»><img width=«43» height=«62» src=«ref-1_1925907427-105.coolpic» alt=«Подпись: f(c)» v:shapes="_x0000_s1529" v:dpi=«96»><img width=«42» height=«62» src=«ref-1_1925907532-148.coolpic» alt=«Подпись: f(c+Δx)» v:shapes="_x0000_s1530" v:dpi=«96»><img width=«215» height=«215» src=«ref-1_1925907680-1104.coolpic» v:shapes="_x0000_s1507 _x0000_s1508 _x0000_s1509 _x0000_s1510 _x0000_s1511 _x0000_s1512 _x0000_s1513 _x0000_s1514 _x0000_s1515 _x0000_s1516 _x0000_s1517 _x0000_s1518 _x0000_s1519 _x0000_s1520 _x0000_s1521 _x0000_s1522 _x0000_s1523 _x0000_s1524 _x0000_s1525 _x0000_s1527 _x0000_s1528">возрастают при стремлении Δx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x
1
>
x
2f
(x1)<
f
(x2)).

Другими словами, как f
(
c
— Δx), так и f
(
c
+Δx) приближаются к своему пределу f
(с) так, что для каждого значения Δx ≠ 0:

f
(
c
— Δx) <
f
(
c
) иf
(
c
+ Δx) <
f
(
c
).

Но в таком случае f
(
c
) есть максимум функции f
(
x
) в точке х = с.

3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2δ
точки х = с:

1) функция f
(
x
) непрерывна, 2) производная f
'(
x
) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х3 имеет в точке x
=0производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х3при всех значениях х, в том числе и при x
= 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f
(
x
) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f
'(х) равна нулю, называются стационарнымиточками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная состав­ляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).
Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:


1) найти производную данной функции;


2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;


3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;


4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;


5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.


Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

Нахождение экстремума при помощи второй производной
1°. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

  Доказательство от противного. Пусть для определенности f
'(
c
)>0, т. е.
Предположим, что при стремлении ∆x к нулю приращения ∆yи ∆x имеют разные знаки. Тогда отношение ∆y/∆x отрицательно и его предел

f '(c) ≤ 0,

что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

2°. Теорема. Если при х = с первая производная функции f
(
x
) равна нулю,
f
'(
c
)=0, а вторая производная положительна,
f
"(
c
)>0, то в точке х = с функция
f
(
x
) имеет минимум;

если же вторая производная отрицательна,
f
"(с) < 0, то в точке х = с функция f
(
x
) имеет максимум.

  Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.
Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2δточки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

f '(c — ∆x)—f(c)<0,            (0 < ∆x < δ).

Отсюда:

  f '(c-∆x)<f '(c) = 0.                                       (1).

Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

f '(c +∆x)-f '(c)>0.

Отсюда:

f '(c + ∆x)>f '(c) = 0.                                       (2)

Получили: первая производная функции f
(
x
) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f
(
x
) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема и в случае f
"(с)<0.

3°. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:



Если знак числа f
"(с),

то при х = с   f
(
x
) имеет



плюс

минус



минимум

                        максимум



Если f
'(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

4°. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию: у = 5 — х2 — х3 —
x4/4.

Решение. 1. Находим первую производную:

y ' = — 2х — З
x2 —
x3

2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:

— 2
x — З
x2 —
x3 = 0, или x(
x2+3х+2) = 0,

отсюда x = 0 или x2+ 3х + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение x2 + 3х + 2 = 0, получаем:

x = (-3 + 1)/2.

Стационарных точек три: x1 = — 2,
x2 = — 1 их3 = 0.

3. Находим вторую производную:

у" = — 2 — б
x — З
x2.

4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем  во второй и потом в третьей стационарной

точке:

при х = — 2 у'' = — 2 — 6(— 2) — 3(— 2)2 = — 2, при х = — 1  у" = — 2 — 6(— 1) — 3(—
l)2 = + 1, при x = 0  у" = — 2.

Следовательно, данная функция имеет минимум при х = —1 и максимум при х = — 2 и при х =0,

Пример  2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х4.

Решение: 1)
y' = 4
x3;

2) 4х3 = 0; х = 0;

3) y" = 12
x2;

4) при х = 0 
y" = 0.

Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х < 0   у' = 4
x3 < 0, а при х > 0    у' = 4
x3 > 0. Следовательно, функция у = х4имеет минимум в точке x = 0.

5°. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.
Направление вогнутости кривой
Пусть две точки M
1и M
2имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M
1более (менее) ординаты точки M
2, то говорят, что точка M
1лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке а<х<b
линия y
=
f
(
x
)лежит выше (ниже) линии у=φ
(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если

f
(
x
)>
φ
(
x
)[или f
(
x
)<
φ
(
x
)].

Определение. В промежутке а < х < b
кривая— график дифференцируемой функции y
=
f
(
x
) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

<img width=«416» height=«202» src=«ref-1_1925908784-2295.coolpic» v:shapes="_x0000_s1556 _x0000_s1557 _x0000_s1558 _x0000_s1559 _x0000_s1560 _x0000_s1561 _x0000_s1562 _x0000_s1563 _x0000_s1564 _x0000_s1565 _x0000_s1566 _x0000_s1567 _x0000_s1568 _x0000_s1569 _x0000_s1570 _x0000_s1571 _x0000_s1572 _x0000_s1573 _x0000_s1574 _x0000_s1575 _x0000_s1576 _x0000_s1577 _x0000_s1578 _x0000_s1579 _x0000_s1580 _x0000_s1581 _x0000_s1582 _x0000_s1583 _x0000_s1584 _x0000_s1585 _x0000_s1586 _x0000_s1587 _x0000_s1588 _x0000_s1589 _x0000_s1590 _x0000_s1591 _x0000_s1592 _x0000_s1593">Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < b
и вогнутой вниз в промежутке b
< х < с.

2°. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f
'(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х <
b
, то кривая
y
=
f
(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)

произвольно ряд точек и проведем через каждую из них

прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к неко­торой кривой линии [tgφ= f
'(
x
)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.

3°. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а<х<b
вторая производная
f
''(
x
) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=
f
(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).

Действительно, если в промежутке а<х<b
вторая производная f
"(
x
), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f
'(х)—возрастающая функция, а кривая y
=
f
(
x
), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.

Если f
"(
x
) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f
'(
x
) — постоянная функция, af
(
x
) — линейная функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Точки перегиба
1°. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая —график дифференцируемой функции y
=
f
(
x
) — имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

<img width=«175» height=«148» src=«ref-1_1925911079-957.coolpic» v:shapes="_x0000_s1594 _x0000_s1595 _x0000_s1596 _x0000_s1597 _x0000_s1598 _x0000_s1599 _x0000_s1600 _x0000_s1601 _x0000_s1602 _x0000_s1603 _x0000_s1604 _x0000_s1605 _x0000_s1606 _x0000_s1607 _x0000_s1608 _x0000_s1609 _x0000_s1610 _x0000_s1611 _x0000_s1612 _x0000_s1613 _x0000_s1614 _x0000_s1615 _x0000_s1616 _x0000_s1617 _x0000_s1618 _x0000_s1619">Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.

2°. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y
=
f
(
x
) разного направления, то вторая производная f
"(
x
) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.

f
(
c
) = 0.

3°. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no
величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить проме­жутки вогнутости вверх и вниз кривых:

1) у =
lп х.

Р е ш е н и е. Находим вторую производную:

y '=1/x;       y ''= -1/x2.

При всяком значении x = (0 < х <+∞) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.

2) у =
sin
x.

Решение. Находим вторую производную:

y' =cos x,         y'' = -sin x.

Полагая  —
sin
x = 0, находим, что x =
kπ, где k — целое число.

Если 0 <
x<
π, то sin
x положителен и y '' отрицательна, если же π <
x< 2
π, то sin
x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0,
π, 2
π,...

В первом промежутке 0 <
x<
π она обращена вогнутостью вниз, во втором    — вогнутостью вверх и т. д.

Механическое значение второй производной
Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s
=
f
(
t
), где tвремя. Скорость v
в момент времени t
есть производная от пути по времени, т. е.

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени t
есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t3 — 2) м
.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение  а =
d2
s/
dt2.

Дифференцируя функцию s=
t3 — 2, находим d2
s/
dt2 =6
t

Следовательно,

a = 6
t = 6*10 = 60;
a = 60 м\сек2.

2°. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t
соответствует определенное значение действующей силы F
, и сила, таким образом, есть функция времени t, F
=
f
(
t
).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F
равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, илиf(t) = ma.

При прямолинейном движении a=d
2
s
/
dt
2, поэтому

f(t) = m*d2s/dt2.

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А
*sin(ωt + ω0).

Решение. f(
f) =
m*
d2
s/
dt2, поэтому находим  вторую производную функции:

s = А*
sin(
ωt +
ω0),
ds/
dt= А*
cos(
ωt+
ω0)*
ω,

d2s/dt2=— А
*sin (ωt + ω0)* ω2 = — s*ω2 = — ω2s; f(t) = — mω2s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению sи направленной в противоположную сторону.

    продолжение
--PAGE_BREAK--ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Сравнение бесконечно малых
1°.Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда значения α = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;

значения β
=1000; 1; 0,001; 0,000001и т.д.

Отношение β
/α =100; 1; 0, 01; 0, 0001и т.д., т.е.

значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,—величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.

2°. Определения:  1) β
называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем α, если предел отношения
β
/α равен нулю, т. е. если

lim
β
/α =0;

2) βназывается бесконечно малой низшего порядка малости, чемα, если

lim
β
/α = ∞;

3) βиαназываются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если

lim
β
/α = k, где k
≠ 0и k
≠ ∞

4) β и α называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.

3°. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limβ/α = 0, β высшего порядка малости, чем α, alimα/β = ∞и α низшего порядка, чем β.

  2. α =1—х и β=1— x2—бесконечно малые, если х→1. Отношение β/α=(1- x2)/(1-x) = 1+x.
Значит, 1—х и 1—x2 —бесконечно малые одинакового порядка малости при х→1.

3. Сравним 1 —cos
x  с  х при x→ 0.

 



т. е. 1—cos

xпри х → 0 есть бесконечно малая высшего порядка малости, чем х.
Дифференциал функции
1°. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f'(х) на произвольное приращение∆xаргументах, т. е.

 


 (I)
2°. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ∆x.

Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy
=
f
'(х)*∆х. Найдем dyсначала для произвольных значений х и ∆x.

f '(x) = (x2)' =2x.

Поэтому

dy=2x*∆x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ∆x = 3,1 — 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

<img width=«234» height=«206» src=«ref-1_1925912036-1081.coolpic» v:shapes="_x0000_s1620 _x0000_s1621 _x0000_s1622 _x0000_s1623 _x0000_s1624 _x0000_s1625 _x0000_s1626 _x0000_s1627 _x0000_s1628 _x0000_s1629 _x0000_s1630 _x0000_s1631 _x0000_s1632 _x0000_s1633 _x0000_s1634 _x0000_s1635 _x0000_s1636 _x0000_s1637 _x0000_s1638 _x0000_s1639">Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции
f
(
x
) есть линейная функция приращения независимого переменного ∆х.

3°. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. в точке х проведена касательная к графику функцииy
=
f
(
x
). Из ∆MPT следует, что

PT = MP*tgφ = ∆x*f '(x).

Но по определению f
'(х) *∆x =dy, поэтому PT
=
dy
.

Дифференциал функции
f
(
x
) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции
y
=
f
(
x
) в точке х.

4°. Дифференциал dy и приращение ∆у вообще не равны между собой. На черт. dy
=
PTменее ∆y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ∆y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MNбудет вогнута вниз.

5°. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ∆y = 2x*∆x + + ∆x2= 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *∆x  = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ∆у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ∆у—dy
=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:

(∆y—dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6°. Разность между приращением и дифференциалом функции, ∆у—dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ∆x.

Действительно, отношение ∆y/∆x отличается от своего предела f
'(
x
)на бесконечно малую α, причем α → 0 при стремлении ∆x к нулю,

∆y/∆x — f '(x)= α.

Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(∆y-f '(x)*∆x)/∆x = α, или(∆у — dy) ∆x= α,

 




7°. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.

8°. Из изложенного следует, чтодифференциал dy функции y
=
f
(
x
) обладает двумя свойствами:

1) dy пропорционален ∆x (dy = k∆x, где
k
=
y
');

2) отношение
(∆y—dy)/∆x

 стремится к нулю при стремлении ∆x к нулю.

Обратно.Если величина z
обладает двумя свойствами:

<img width=«158» height=«42» src=«ref-1_1925913117-325.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: lim((∆y—z)/ ∆x) = 0∆x→0» v:shapes="_x0000_s1644">1) z
=k∆xи2)то z
есть дифференциал функции у.
<img width=«630» height=«43» src=«ref-1_1925913442-812.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: lim((∆y-k*∆x)/ ∆x) = lim(∆y/∆x—k) = lim(∆y/∆x)—limk = y’—k=0, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0» v:shapes="_x0000_s1645">Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е.                                                             k = y',

а следовательно,

z
=
k
∆
x
=
y
’∆
x,

т. е. zесть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.
Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов
1°. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ∆x:

                                                                    dx = ∆х                                                     (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ∆x, илиdy= ∆x.

Но так как

dy
=
dx
,то dx = ∆x,

т.е. дифференциал функции у =хи приращение ее аргумента совпадают.

      2°. Внеся в формулу (I) значение ∆x=dx, получаем:

 

                                                                                                                                (III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциаларгумента.

3°. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно:формула dy
=
f
'(
x
)dx справедлива и в том случае, еслиx не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f
(
x
) есть сложная функция от uприращение dx обусловлено приращением ∆u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f 'u (x)* ∆u.

Но

f 'u (x)= f’x (x)* x’u

Значит,

dy
=
f
’(
x
)—
x
'
u
* ∆
u
.

Но так как, по определению,

x'u ∆u = dx,

то, следовательно,

dy
=
f
'(
x
)
dx
.

4°. Пример. Найти дифференциал функции:

                               _____________________

у = √ (
e2
x—1).

Решение. По формуле (III)

dy = у
'*dx.

Находиму
':                                                           ________            ________

y’ = e2x*2/( 2√ (e2x—1)) = e2x/ √ (e2x—1).

Значит                                                                                  _______

dy =
e2
x*
dx/ √ (
e2
x—1)

5°. Из формулы (III) следует;

f’(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgφ=f '(x)

для произвольного значения dx
=
MP
.
Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям
1°. Разность ∆y—dy
—бесконечно малая высшего порядка малости, чем ∆x, поэтому при достаточно малом ∆x

 



(IV)

Это означает, чтопри малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y
=
f
(
x
) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной
f
'(
x
); кривую
y
=
f
(
x
) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как∆у = f(х + ∆x)—f
(
x
), то, заменяя в формуле (IV) ∆у его выражением, имеем: f(x+∆x) — f(x) ≈ f '(x)* ∆x

 


(V)
В математике производную применяют для:

1.        Исследования функции на монотонность, экстремумы.

2.        Нахождения касательной к графику.

3.        Нахождения наибольших, наименьших значений функций.

4.        Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.

5.        Для доказательства неравенств.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.

Задача

1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+…+100(1/3)99;

Решение.

Найду сумму g
(
x
)=1+2
x
+3
x
2
+…+100
x
99и подставлю в нее x
=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f
(
x
)=
x
+
x
2
+…+
x
100.

Ясно, что f
’(
x
)=
g
(
x
).

f
(
x
)— сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f
(
x
)=(
x
—
x
101
)/(1—
x
). Значит,

g
(
x
) =
f
’(
x
) = ((1—101
x
100
)(1—
x
)—(
x
—
x
100
)(-1))/(1—
x
)2=(1—102
x
100
+101
x
101
)(1—
x
)2.

Подставлю x = 1/3.

Ответ: 0,25(9—205*3-99)

Задача

2. Найти сумму 1+2*3+3*32+…+100*399;

Решение.

Найду сумму g
(
x
)=1+2
x
+3
x
2
+…+100
x
99и подставлю в нее x
=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f
(
x
)=
x
+
x
2
+…+
x
100.

Ясно, что f
’(
x
)=
g
(
x
).

f
(
x
)— сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f
(
x
)=(
x
—
x
101
)/(1—
x
). Значит,

g
(
x
) =
f
’(
x
) = ((1—101
x
100
)(1—
x
)—(
x
—
x
100
)(-1))/(1—
x
)2=(1—102
x
100
+101
x
101
)(1—
x
)2.

Подставлю x = 3.

Ответ: ≈ 2,078176333426855507665737416578*1050.

Задача
3. Найдите площадь треугольника AMB, если Aи B— точки пересечения с осью OXкасательных, проведенных к графику y
= (9—
x
2
)/6из точки M
(4;3).

Решение.

<img width=«2» height=«88» src=«ref-1_1925914254-79.coolpic» v:shapes="_x0000_s1690">т. A
= укас1∩
OX
                      Решение:

т. B= укас2∩OX                       укас =y
(
x

)+у’(
x

)(
x
—
x

);

y = (9—x2)/6                y’(x0) = -2x*1/6 = -x/3;

M
(4;3)________                     т.к. укас проходит через M
(4;3), то

SAMB —?                                 3 = (9—x02) — (4—x0)* x0/3  | *3

           

18 = 9—x02—2x0(4—x0);

            x
2
—8
x

—9 = 0;

            Д/4 = 16 + 9;

             x
0
= 4+5 = 9;

             x
0
= 4—5 = -1

укас1 = -12 — (
x
—9)*9/3 = -3
x
+15;

укас1 = 4/3 + (
x
+1)*1/3 =
x
/3+5/3;

A(5;0);   B(-5;0);

AM = √10 (ед.);

AB = 10 (
ед
.);

BM = 3√10 (
ед
.);

p— полупериметр;   __

p
= (4√10 + 10)/2 = 2√10 + 5;

              __               __             __        __              __       __

S
=√(2√10 + 5) (2√10 + 5—√10) (2√10 + 5—3√10) (2√10 + 5—10) =

= √(2√10 + 5)(√10 + 5)(5—3√10)(2√10—5) =

= √(40—25)(25—10) = 15 (ед2);

Ответ: 15 (ед2).
<img width=«282» height=«175» src=«ref-1_1925914333-900.coolpic» v:shapes="_x0000_s1681 _x0000_s1682 _x0000_s1683 _x0000_s1684 _x0000_s1685 _x0000_s1686 _x0000_s1687 _x0000_s1688 _x0000_s1689">Задача 4. Какая наименьшая плоскость может  быть у треугольника OAB, если его стороны OAи OBлежат на графике функции y
= (|
x
|—
x
)/2, а прямая ABпроходит через точку M
(0;1).

Решение:

<img width=«12» height=«50» src=«ref-1_1925915233-124.coolpic» v:shapes="_x0000_s1691">        -x
,
x
<0

y =

         0, x>0
A(a;-a);   B(b;0);_

AO = |a|√2 = -a√2 (
т
.
к
. a<0);

BO
=
b;
Для т. B:

у1 =
kx
+
z
;

т.к. у1—график линейной пропорциональности, проходящий  через т M
(0;1), то z
= 1.

                            0=kx+1;

                            k=-1/b;

Для т. A:

                    у1=kx
+1;

                    -a=kx+1;

                    k=(-1-1a)/a;

                    у
1A
=
у
1B


            (-a—a)/a = -1/b;

            b+ab=a;

            a(1—b)=b;

            a = b/(1-b);
S∆AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB

Ð
AOB =180o—45o =  135o

S∆AOB=0,5*(√2/2)* (-a)b√2 = -ab/2;

S∆AOB = -b2/(2(1—b)) = b2/(2(1—b));            D(y): b>1(т
.
к
.
при
b<1
не

образует
∆AOB.);

т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b
>1, то найду ее производную:

 S’ = (4b(b—1)—b2)/(4(b—1)2) = (4b2—4b—2b2)/(4(b—1)2) = 2b(b—2)/(4(b—1)2) =

= b(b—2)/(2(b—1)2);

                      S’ = 0;

точки экстремума:

<img width=«21» height=«41» src=«ref-1_1925915357-145.coolpic» v:shapes="_x0000_s1692 _x0000_s1693 _x0000_s1694 _x0000_s1695 _x0000_s1696 _x0000_s1697 _x0000_s1698">                                        b=0;

                                        b=1;

                                        b=2;

но b
>1, значит

S
наим =S
(2) = 4/(2(2—1))=2(ед2);

Ответ: 2 ед2.
Задача
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1с ребрами CD
= 24, AD
= 6и DD
1

=4проведена плоскость через центр симметрии грани A
1
B
1
C
1
D
1, вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DCв этом случае?

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.).АО Î
А
A
1
C
1
С — линия, принадлежащая данной плоскости. ПродолжимАО до пересечения сCC
1
в точкеS
. ТогдаSP
— линия пересечения граниDD
1
C
1
C
и данной плоскости, а сечениеANMP
— параллелограмм.Sсеч =  SAMNP
=
SK
*
AP
/2, потому чтоSK
/2— высота параллелограммаANMP
. Это видно из следующего рассуждения.

<img width=«581» height=«407» src=«ref-1_1925915502-5182.coolpic» v:shapes="_x0000_s1703 _x0000_s1704 _x0000_s1705 _x0000_s1706 _x0000_s1707 _x0000_s1708 _x0000_s1709 _x0000_s1710 _x0000_s1711 _x0000_s1712 _x0000_s1713 _x0000_s1714 _x0000_s1715 _x0000_s1716 _x0000_s1717 _x0000_s1718 _x0000_s1719 _x0000_s1720 _x0000_s1721 _x0000_s1722 _x0000_s1723 _x0000_s1724 _x0000_s1725 _x0000_s1726 _x0000_s1727 _x0000_s1728 _x0000_s1729 _x0000_s1730 _x0000_s1731 _x0000_s1732 _x0000_s1733 _x0000_s1734 _x0000_s1735 _x0000_s1736 _x0000_s1737 _x0000_s1738 _x0000_s1739 _x0000_s1740 _x0000_s1741 _x0000_s1742 _x0000_s1743 _x0000_s1744 _x0000_s1745 _x0000_s1746 _x0000_s1747 _x0000_s1748 _x0000_s1749 _x0000_s1750 _x0000_s1751 _x0000_s1752 _x0000_s1753 _x0000_s1754 _x0000_s1755 _x0000_s1756 _x0000_s1757 _x0000_s1758 _x0000_s1759 _x0000_s1760 _x0000_s1761 _x0000_s1762 _x0000_s1763 _x0000_s1764 _x0000_s1765 _x0000_s1766 _x0000_s1767 _x0000_s1768 _x0000_s1769 _x0000_s1770 _x0000_s1771 _x0000_s1772 _x0000_s1773 _x0000_s1774 _x0000_s1775">В ΔASC  ОC
1— средняя линия (значит SC
1
= 4), в ΔPSC также средняя линия МC
1, а плоскость A
1
B
1
C
1
D
1делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC
=
x; ΔCLPподобен ΔDAP
,

LC/AD = x/(24—x), LC = 6x/(24—x);_____________            ____________

ИзΔ
CLP: KC= (6x*x/(24—x))/(√(36x2/(24—x)2)+x2) = 6x/(√(36+ (24—x)2);

                             ________       ___________________         __________________

ИзΔ
SCK: SK = √SC2+ KC2 = √64+36x2/(36+(24—x)2)  = 2√16+9x2/(36+(24—x)2) ;

Из ΔADP
:
AP
= √36+(24—
x
)2;_____      _________________       __________________

Sсеч =
AP
*
SK
/2 = 0,5*(√36+(24—
x
)2) 2√16+9
x
2
/(36+(24—
x
)2) = √16(36+(24—
x
)2)+9
x
2;

Если S
’(
x
) = 0, то 18
x
+16*2(24—
x
)(-1) = 0;

50
x
—32*24 = 0,
x
= 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

Sсеч = 312;

DP
= 24—16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC
: 384/25; 216/25.
<img width=«523» height=«244» src=«ref-1_1925920684-2755.coolpic» v:shapes="_x0000_s1776 _x0000_s1777 _x0000_s1778 _x0000_s1779 _x0000_s1780 _x0000_s1781 _x0000_s1782 _x0000_s1783 _x0000_s1784 _x0000_s1785 _x0000_s1786 _x0000_s1787 _x0000_s1788 _x0000_s1789 _x0000_s1790 _x0000_s1791 _x0000_s1792 _x0000_s1793 _x0000_s1794 _x0000_s1795 _x0000_s1796 _x0000_s1797 _x0000_s1798 _x0000_s1799 _x0000_s1800 _x0000_s1801 _x0000_s1802 _x0000_s1803 _x0000_s1804 _x0000_s1805 _x0000_s1806 _x0000_s1807 _x0000_s1808 _x0000_s1809 _x0000_s1810 _x0000_s1811 _x0000_s1812 _x0000_s1813 _x0000_s1814 _x0000_s1815 _x0000_s1816 _x0000_s1817 _x0000_s1818">
Задача
6. Высота пирамиды TABCс основанием ABCпроходит через середину ребра AC. Выберите на ACточку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TCи вершину B, была наименьшей, если AB
=
BC
=
AC
=
TC
=2.

Решение. HF
=
FC
=1/2;

S∆BME = BM*EK*1/2;___       _

Из∆TCH =>TH = √4—1=√3;

EF = TH/2=√3/2;

ПустьMC = x.

Из ∆BMCпо теореме косинусов MB
2
=
x
2
+4—2*2*
x
*1/2;

MB = √x2—2x+4;                               _            _

S∆BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2√3 /2 = x√3/2;

S∆BMC = 0,5*BM*PC,            _   ________

PC = (2S∆BMC)/BM,  PC = x√3/√x2—2x+4 ;

∆
KMFподобен ∆PMC(по двум углам):

KF
/
PC

=
MF
/
MC
(рис2),_____       _                 _________

KF
=
x
√3(
x
—1/2)/(
x
√
x
2
—2
x
+4) = √3(
x
—1/2)/(√
x
2
—2
x
+4);

                                 ________       ______________________

Из ∆KEF
=>
KE
= √
K
F
2
+
EF
2
= √3(
x
—1/2)2/(
x
2
—2
x
+4)+3/4;                                     _


S
∆
BME
= 0,5√
x
2
—2
x
+4 *√3(
x
—1/2)2/(
x
2
—2
x
+4)+3/4 = 0,5√3(
x
—1/2)2+(
x
2
—2
x
+4)*3/4;

Если S
’(
x
) = 0, то

    6(x
—1/2)+(2
x
—2)*3/4 = 0;

15
x
—9 = 0;

x = 3/5;    __

S(3/5) = √15/5
кв
.
ед
.


Ответ: √15/5 кв.ед.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Задача
7. В сферу радиусом Rвписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M
лежит на апофеме пирамиды, а BK
—высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?

Решение. TP = 2R,
Ð
ATO = 60o.
ПустьAB = BC= CA = a(рис
.)

Тогда AO = a√3/3,

AD = BK = a√3/2,     _           _

TO = AO*ctg60o= a√3/3*1/√3 = a/3,

OD = a√3 /6,

<img width=«282» height=«254» src=«ref-1_1925923439-2438.coolpic» v:shapes="_x0000_s1898 _x0000_s1899 _x0000_s1900 _x0000_s1901 _x0000_s1902 _x0000_s1903 _x0000_s1904 _x0000_s1905 _x0000_s1906 _x0000_s1907 _x0000_s1908 _x0000_s1909 _x0000_s1910 _x0000_s1911 _x0000_s1912 _x0000_s1913 _x0000_s1914 _x0000_s1915 _x0000_s1916 _x0000_s1917 _x0000_s1918 _x0000_s1919 _x0000_s1920 _x0000_s1921 _x0000_s1922 _x0000_s1923 _x0000_s1924 _x0000_s1925 _x0000_s1926 _x0000_s1927 _x0000_s1928 _x0000_s1929 _x0000_s1930 _x0000_s1931 _x0000_s1932 _x0000_s1933">AO2 = TO*OP = TO(2R — TO),

a2/3 = a(2R – a/3)/3,  a = 3R/2.

S∆MBK = BK*LM*1/2, BK = const,

S∆MBK =f(LM),__

LM = √MN2+NL2

Пусть MD
=
x, тогда MN
=
x

cos
/
NM
D
;        _

cos
Ð
NMD = TO/TD = a/(3√a2/9+a2/12 = 2/√7, MN = 2x/√7 .

Из∆ONL: LN = ON cos30o (Ð
ONL = 30o);

ON = OD – ND,              _   _                 _          _    _

ND = x sin
Ð
NMD = x √3/√7, ON = a√3/6 — x√3/√7,

LN = (a√3/6 — x√3/7)√3/2 = (a/4 – 3x/(2√7)),

LM = √4x2/7+(a/4 – 3x/(2√7))2.               
_             _

Если LM
’(
x
)= 0, то 8x
/7+2(
a
/4 – 3
x
/(2√7))(-3/2√7) = 0,

8x/7 – 3a/4√7  + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4√7, 

x = 21a/50√7.  __        __

MN = (21a/50√7)*(2/√7) = 3a/25,

LN = a/4 – (3/2√7)*(21a/50√7) = 4a/25,

LM = √a2/625 + 9a2/625 = a√10/25.   _

S∆MBK = a√3/2*a/5*1/2 = a√3/20 = 9√3 R2/80.

Ответ: 9√3 R
2
/80.

Задача
8. В сферу радиусом Rвписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение. SABC– правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO
*1,5 =
AD,

LMN– правильная четырехугольная призма.

Найти. V
пр
=
f
(
LM
).

ПустьSO = H, тогдаAD = 1,5H;

SO
1
=
R– радиус сферы; LM
=
x–высота призмы.

∆SKO1подобен∆SOD=> O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.

Из ∆AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 — R)2,

R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 –AD*R*4/3,

8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD
=
R
/2;

AO1= R
и
SO1 =R;    _

SD = √R2 + R2/4 = R√5/2,  _

OK1 = 2*R*R/(2R√5) = R√5/5;

O1K = R√5/5.

Из∆O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,

<img width=«358» height=«290» src=«ref-1_1925925877-3750.coolpic» v:shapes="_x0000_s1934 _x0000_s1935 _x0000_s1936 _x0000_s1937 _x0000_s1938 _x0000_s1939 _x0000_s1940 _x0000_s1941 _x0000_s1942 _x0000_s1943 _x0000_s1944 _x0000_s1945 _x0000_s1946 _x0000_s1947 _x0000_s1948 _x0000_s1949 _x0000_s1950 _x0000_s1951 _x0000_s1952 _x0000_s1953 _x0000_s1954 _x0000_s1955 _x0000_s1956 _x0000_s1957 _x0000_s1958 _x0000_s1959 _x0000_s1960 _x0000_s1961 _x0000_s1962 _x0000_s1963 _x0000_s1964 _x0000_s1965 _x0000_s1966 _x0000_s1967 _x0000_s1968 _x0000_s1969 _x0000_s1970 _x0000_s1971 _x0000_s1972 _x0000_s1973 _x0000_s1974 _x0000_s1975 _x0000_s1976">
NF = √R2 – R2/5 – 2x(√5)2/5 – x2 ,


S
осн
= 2NF2.                                _

V
пр
= S
осн
*x = 2(R2 – R2/5 – 2x√5 R/5 — x2)*x;

V
пр
= 2(4R2x/5 – 2x2√5 R/5 — x3);

V’
пр
(x) = 2(4R2/5 – 2x√5 R/5 — 3x2) = 0;           _

x1,2 = (2R√5/5 + √4R2/5 + 12R2/5)/(-3) = (2R√5/5 + 4R/√5)/(-3);

x = 2√5 R/15         _                      _

V
пр
.max
= 2(4R2*2√5R/(5*15) – 2√5R*4R2/(45*5) -      _ 40√5R3/(225*15)) = 16R3√5(1 – 1/3 – 5/45)/75 = 16√5R3/135.

Ответ: 16√5R
3
/135 м3при H
= 2√5
R
/15.
<img width=«397» height=«244» src=«ref-1_1925929627-2589.coolpic» v:shapes="_x0000_s1985 _x0000_s1986 _x0000_s1987 _x0000_s1988 _x0000_s1989 _x0000_s1990 _x0000_s1991 _x0000_s1992 _x0000_s1993 _x0000_s1994 _x0000_s1995 _x0000_s1996 _x0000_s1997 _x0000_s1998 _x0000_s1999 _x0000_s2000 _x0000_s2001 _x0000_s2002 _x0000_s2003 _x0000_s2004 _x0000_s2005 _x0000_s2006 _x0000_s2007 _x0000_s2008 _x0000_s2009 _x0000_s2010 _x0000_s2011 _x0000_s2012 _x0000_s2013 _x0000_s2014 _x0000_s2015 _x0000_s2016 _x0000_s2017">
Задача
9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса – Hи радиус основания – R.

Дано. ASO– конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобыVпр
= max
Решение. BN
=
x, CM
=
h, V
пр
=
S
осн

CM
=
CL
2
h
/2.

∆CSDподобен∆ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H – x — h)/H;

CD = R(H – x -h)/H.

∆BSEподобен∆ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H — h)/H;

BE = R(H — h)/H.

Находим отношение CD
/
BE
= (
H
–
x
—
h
)/(
H
—
x
).

Исходя из условия (CL
/
CM
=
BK
/
BN) задачи делаем вывод,

чтоCD/BE = h/x, т. е. (H – x — h)/(H — x) = h/x => h = (Hx – x2)/H

ТогдаCD = R(H – x – (Hx – x2)/H)/H = R(H2 – Hx – Hx +x2)/H2 = R(H — x)2/H2,

CL = 2CD = 2R(H — x)2/H2.

V = 4R2(H — x)4(H — x)x/(2H*H4) = 2R2(H — x)5x/H5;

<img width=«186» height=«60» src=«ref-1_1925932216-288.coolpic» v:shapes="_x0000_s1977 _x0000_s1978 _x0000_s1979 _x0000_s1980 _x0000_s1981 _x0000_s1982 _x0000_s1983 _x0000_s1984">V’(x) = 2R2((H — x)5 – 5(H — x)4 x)/H5 = 0,

(H – x) – 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.

Ответ: при H
/6, Vmax
= 2
R
2
H
*55/66.

В физике производная применяется  в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.Потенциальная энергия Uполя частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U
=
a
/
r
2
–
b
/
r, где aи b— положительные постоянные, r— расстояние между частицами.

      Найти:

                   а) значение r
соответствующее равновесному положению частицы;

                   б) выяснить устойчиво ли это положение;

                   в) Fmaxзначение силы притяжения;

                   г) изобразить примерные графики зависимости U
(
r
)и F
(
r
).
<img width=«2» height=«79» src=«ref-1_1925932504-78.coolpic» v:shapes="_x0000_s1699">U
=
a
/
r
2
–
b
/
r;             Решение:

a
и
b
—
counts;             Для определения r
соответствующего равновесному

<img width=«107» height=«2» src=«ref-1_1925932582-79.coolpic» v:shapes="_x0000_s1700">r

— ?                положению частицы исследуем f
=
U
(
r
)на экстремум.

Fmax
— ?                        Используя связь между потенциальной энергией поля

                              Uи F, тогда F
= -
dU
/
dr, получим F
= -
dU
/
dr
= — (-2
a
/
r
3
+
b
/
r
2
) = 0;

приэтомr = r0;  2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения Fmaxпритяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3— b/r2;

dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;

приr = r1 = 3a/b;

подставляя, получу Fmax
= 2
a
/
r
3
1
—
b
/
r
3
1
= —
b
3
/27
a
2;

<img width=«369» height=«253» src=«ref-1_1925932661-1746.coolpic» v:shapes="_x0000_s1651 _x0000_s1652 _x0000_s1653 _x0000_s1654 _x0000_s1655 _x0000_s1656 _x0000_s1657 _x0000_s1658 _x0000_s1659 _x0000_s1660 _x0000_s1661 _x0000_s1662 _x0000_s1663 _x0000_s1664 _x0000_s1665 _x0000_s1666 _x0000_s1667 _x0000_s1668 _x0000_s1669 _x0000_s1670 _x0000_s1671 _x0000_s1672 _x0000_s1673 _x0000_s1674 _x0000_s1675 _x0000_s1676 _x0000_s1677 _x0000_s1678">
U(r) = 0;       приr = a/b;       U(r)min приr = 2, a/b = r0;

F = 0;          F(r)max приr = r1 = 3a/b;
Задача 2. Три резистора сопротивлениями R
1
,
R
2
,
R
3соединены параллельно. Сопротивление R
1в 9 раз больше сопротивления R
2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.


<img width=«2» height=«108» src=«ref-1_1925934407-80.coolpic» v:shapes="_x0000_s1701">R
1
= 9
R
2                                                                     Решение:

 При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R
1
,
R
2
,
R
3                      сопротивление по формуле:

<img width=«79» height=«2» src=«ref-1_1925934487-78.coolpic» v:shapes="_x0000_s1702">                                     1/Rэкв
= 1/R1+1/R2+1/R3;

R
экв
max
— ?                          выражуR3черезR2:

                                     R3 = R— R1—R2=R—10R2;

    тогда1/Rэкв
= (10R—91R2)/(9R2(R—10R2));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R
/10].

Возьмем производную от f
(1/
R
экв
)по R
2и преобразуем ее:

(1/
R
экв
)’ = -910(
R
2
—
R
/7)(
R
2
—
R
/13)/(9
R
2
2
(
R
-10
R
2
)2);

В интересующем нас интервале только одна точка R
2
=
R
/13в которой эта производная меняет знак с “—” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R
2
=
R
/13достигается минимум функции 1/R
экви максимум функции R
экв, при этом

R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;

R
экв
max
= 9R/169;    продолжение
--PAGE_BREAK--