Реферат: Алгебры и их применение

--PAGE_BREAK--Н1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1<img width=«17» height=«12» src=«ref-1_607633094-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">Н1, но также π(х)f <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">Н1. Отсюда для любого вектора f<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">Н

π(х)Р1f <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">Н1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">Н1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост- ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi)i<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">I — семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (i<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">I). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = <img width=«26» height=«41» src=«ref-1_607636771-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует πi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое <img width=«26» height=«41» src=«ref-1_607636771-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">πi или π1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">…..<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)i<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">I – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {Нα}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Нα}<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нα}. Но тогда Н=<img width=«26» height=«41» src=«ref-1_607639246-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">Нα; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(<img width=«26» height=«41» src=«ref-1_607639246-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">Нα) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Нα}<img width=«13» height=«20» src=«ref-1_607640120-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">Н0<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">М, содержащую максимальную систему {Нα}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При f<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607640614-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">Н, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f, х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">А, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{α f | α <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х); в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0. Отсюда

В=<img width=«24» height=«49» src=«ref-1_607641294-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">λ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=<img width=«53» height=«41» src=«ref-1_607641689-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, В2=<img width=«53» height=«41» src=«ref-1_607642224-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т: Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">А, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т: Н → Н΄ — оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т*: Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| — полярное разложение Т. Тогда для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">А

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того, <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_607643260-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">= Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ — неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т: Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* — скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">…..<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">πn, где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120"> π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607644778-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">…..<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi. Итак, перегруп- пировав πi, получаем, что π = ν1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">…..<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">…..<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">В, Ш<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">T, Г), где (H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство <img width=«33» height=«36» src=«ref-1_607647890-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">Н(t);

существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">T элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">Г функция t→||x(t)|| μ – измерима;

пусть х – векторное поле; если для любого y<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">Г.

Пусть ε = ((H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">T, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">Г и <img width=«21» height=«39» src=«ref-1_607649832-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">С) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = <img width=«21» height=«39» src=«ref-1_607649832-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">T, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">T определен оператор S(t)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">L(H(t)). Если для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ — положительная мера на Т, t→Н(t) — μ — измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">А поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">А можно образовать непрерывный оператор π(х)=<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, y<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">А имеем

π(х+y) = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">π(t) (x+y) dμ(t) = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">(π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">π(t) (x )dμ(t) +

+<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">T, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=<img width=«57» height=«61» src=«ref-1_607657444-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">. Тогда отображение, которое каждому х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">Н==<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">Н(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">Н(t) dμ(t), π1==<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 – мера на Т, эквивалентная μ,

Н1 =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">Н(t) dμ1(t), π1 =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">π(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)=<img width=«57» height=«61» src=«ref-1_607657444-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">x(t) dμ(t)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">Н в

Ux = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">ρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">А. Имеем

π1(α)Ux = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = U<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">π(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если S<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">Д, то аналогично SUx = USx, для любого х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">Н.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">    продолжение
--PAGE_BREAK--T, Г), Z1 = ((H1(t1))t1<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">T1, Г), — μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">T, обладающее следующими свойствами:

для любого t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">T отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));

для того, чтобы поле векторов t→x(t)<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле х<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">Н =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) <img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607636269-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">Н1 = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">Н1(t) dμ1(t), есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) — μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">Н(t) dμ(t), π ==<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;

борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;

η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (t<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">Z\N) на поле t1→Н1(t1) (t1<img width=«13» height=«13» src=«ref-1_607613760-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если f<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">L∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">f(t)It dμ(t) в <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб- разует Д в Д1. С другой стороны, пусть α<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">А и х = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">х(t) dμ(t)<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">Н.

Тогда

Vπ(α)х = V<img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">π(t)(α) х(t) dμ(t) = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х

Поэтому V преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств <img width=«84» height=«35» src=«ref-1_607674835-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого n<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">N. Тогда

<img width=«21» height=«51» src=«ref-1_607675879-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">Н(n) dμ(n) = <img width=«20» height=«39» src=«ref-1_607676365-456.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ- ной сумме.

Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке t<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">Т соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">С dt = L2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = <img width=«21» height=«49» src=«ref-1_607650834-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">х(t) dt →х(t)<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть <img width=«64» height=«35» src=«ref-1_607678141-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">  — конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, <img width=«67» height=«48» src=«ref-1_607678886-857.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">  — некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

<img width=«140» height=«40» src=«ref-1_607679743-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> (3.1.)

α = (α1,…, αn) <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"><img width=«128» height=«29» src=«ref-1_607681009-628.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> (n раз), то есть рассмотрим упорядо- ченную последовательность (<img width=«67» height=«35» src=«ref-1_607681637-742.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро- ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">,…, <img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">Нn = <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">. Его векторы имеют вид:

f = <img width=«76» height=«45» src=«ref-1_607684251-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> (fα<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">C), || f ||2 =<img width=«75» height=«51» src=«ref-1_607685295-941.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">< ∞ (3.2.)

Пусть g = <img width=«75» height=«45» src=«ref-1_607686236-836.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"><img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"><img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, тогда скалярное произведение опреде- ляется формулой

(f, g) = <img width=«81» height=«49» src=«ref-1_607688340-872.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> (3.3.)

Пусть f(k) = <img width=«79» height=«47» src=«ref-1_607689212-945.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"><img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">(к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">…<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> f(n) = <img width=«127» height=«48» src=«ref-1_607691645-1209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> (3.4.)

Коэффициенты fα = <img width=«79» height=«39» src=«ref-1_607692854-801.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">, при этом

|| f || = <img width=«87» height=«45» src=«ref-1_607694713-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> (3.5.)

Функция Н1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">,…, <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">Нn <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_607696261-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"><<img width=«76» height=«37» src=«ref-1_607696504-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">> <img width=«21» height=«16» src=«ref-1_607697148-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"><img width=«117» height=«37» src=«ref-1_607697400-881.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"><img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">  — эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается α. <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса <img width=«67» height=«48» src=«ref-1_607678886-857.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">в каждом сомножителе <img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">. При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> f2, причем считается, что

(f1 + g1)<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> f2 = f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> f2 + g1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> f2 (3.6.)

f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> (f2 + g2) = f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> f2 + f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> g2 (3.7.)

(λ f1)<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> f2=λ (f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> f2) (3.8.)

f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> λ (f2) = λ (f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> f2) (3.9.)

f1, g1<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">Н1; f2, g2 <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">Н2; λ <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> f2, g1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)

f1, g1<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607708907-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">Н1; f2, g2 <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть <img width=«64» height=«35» src=«ref-1_607709394-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, <img width=«63» height=«35» src=«ref-1_607709764-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">  — две последовательности гильбер- товых пространств, <img width=«63» height=«35» src=«ref-1_607710128-747.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">  — последовательность операторов Ак<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">L(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> …<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">Аn = <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">Ак формулой

(<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607713087-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">) f = <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607713087-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">(<img width=«76» height=«45» src=«ref-1_607684251-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">) = <img width=«219» height=«45» src=«ref-1_607715465-1632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> (3.11.)

(f <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"><img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607718959-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">и определяет оператор <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607713087-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"><img width=«14» height=«13» src=«ref-1_607720493-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> L (<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607718959-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">), причем

|| <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"><img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607713087-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">|| = <img width=«33» height=«45» src=«ref-1_607723935-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">|| <img width=«37» height=«32» src=«ref-1_607713087-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">|| (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">,…, <img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">Нn = (Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">,…, <img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">Нn-1)<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">Нn общий случай получается по индукции.

Пусть <img width=«64» height=«48» src=«ref-1_607726894-854.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">- некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = <img width=«120» height=«45» src=«ref-1_607727748-1311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">G1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> G2. В качестве f возьмем вектор из Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1 <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> Z+ и обозначим через f(α2) <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">Н1 вектор f(α2) = <img width=«79» height=«51» src=«ref-1_607730503-982.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> и через g(β1)<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">G2 – вектор g(β1) =<img width=«79» height=«53» src=«ref-1_607731695-1058.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">. Получим

<img width=«262» height=«74» src=«ref-1_607732753-2261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">= <img width=«295» height=«66» src=«ref-1_607735014-2492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">=

= <img width=«292» height=«71» src=«ref-1_607737506-2838.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">≤ <img width=«310» height=«61» src=«ref-1_607740344-2894.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">=

= <img width=«233» height=«48» src=«ref-1_607743238-1867.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">≤ <img width=«251» height=«46» src=«ref-1_607745105-1921.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">=

= <img width=«175» height=«44» src=«ref-1_607747026-1506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">G2 ряда <img width=«161» height=«45» src=«ref-1_607748939-1479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> уже при произвольном c <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">Н2 и оценка его нормы в G1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> A2: Н1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> Н2 →G1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> A2) (f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">Нк, к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">L(Hк, Gк), Вк <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

(<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">Вк) (<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">Ак) = <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">(Вк Ак) (3.13.)

(<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">Ак)* = <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">Ак* (3.14)

(<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">Ак) (f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> …<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607758485-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> fn) = A1 f1<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">…<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> An fn (3.15.)

(fк <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">Hк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2(<img width=«23» height=«52» src=«ref-1_607760430-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">(0,1), d (<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.) <img width=«140» height=«40» src=«ref-1_607679743-1056.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"> <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"> поставим в соответствие функцию <img width=«179» height=«35» src=«ref-1_607763711-1260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"> <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между <img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607683193-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"><img width=«40» height=«32» src=«ref-1_607683787-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 – 1, v = 2p2 – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2, с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2. Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С < р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π — *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">    продолжение
--PAGE_BREAK--H | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2. Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ — ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">Н1┴, Н=H2<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">Н2┴

Введем дополнительные обозначения:

Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид <img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">. Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

<img width=«15» height=«62» src=«ref-1_607767811-327.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">Пусть g1 = a11e1 + a12 e2

<img width=«15» height=«62» src=«ref-1_607768138-357.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029"> g2 = a21e1 + a22e2

e1 = b11g1 + b12g2

e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотримвекторыh1 = eite1 иh2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1, eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид <img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">. Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или <img width=«83» height=«52» src=«ref-1_607769163-698.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">, тогда существует такое комплексное число r, что

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_607769861-284.coolpic» v:shapes="_x0000_s1030">a22 = — ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_607770145-333.coolpic» v:shapes="_x0000_s1031">a112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда| r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдемb11 иb21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_607770478-330.coolpic» v:shapes="_x0000_s1032">b11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0 или

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_607770478-330.coolpic» v:shapes="_x0000_s1033">b11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 — b12a11 r = 0,

Тогдаb11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

<img width=«14» height=«50» src=«ref-1_607770478-330.coolpic» v:shapes="_x0000_s1034">b21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюданаходим, чтоb21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = <img width=«123» height=«56» src=«ref-1_607771468-1049.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">, гдеa11>0, a12>0 иa112 + a122 =1

А) Пустьa112 = τ, тогдаa122 =1 – τ, a11a12 = <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_607772517-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">. Так как a11a12 >0, то τ<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">(0, 1).

Тогда Р2 = <img width=«148» height=«53» src=«ref-1_607773254-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">.

В) Положим a11 = cosφ, тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = <img width=«211» height=«59» src=«ref-1_607774321-1509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">.

Найдем коммутант π(P2). Пусть Т = <img width=«53» height=«48» src=«ref-1_607775830-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 = <img width=«53» height=«48» src=«ref-1_607775830-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"><img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> = <img width=«52» height=«48» src=«ref-1_607778178-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">

Р1Т = <img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"><img width=«53» height=«48» src=«ref-1_607775830-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> = <img width=«52» height=«48» src=«ref-1_607780416-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">

Следовательно b = c = 0.

ТР2 = <img width=«53» height=«48» src=«ref-1_607781190-814.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"><img width=«148» height=«53» src=«ref-1_607773254-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> = <img width=«167» height=«53» src=«ref-1_607783071-1354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">

Р2Т = <img width=«148» height=«53» src=«ref-1_607773254-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"><img width=«53» height=«48» src=«ref-1_607781190-814.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> = <img width=«167» height=«53» src=«ref-1_607786306-1412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U= <img width=«52» height=«48» src=«ref-1_607787928-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">, a, b <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">C

UР2 (τ) = <img width=«52» height=«48» src=«ref-1_607787928-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"><img width=«148» height=«53» src=«ref-1_607773254-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> = <img width=«164» height=«53» src=«ref-1_607790767-1380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">

Р2 (ν) U = <img width=«151» height=«53» src=«ref-1_607792147-1137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"><img width=«52» height=«48» src=«ref-1_607787928-781.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> = <img width=«168» height=«53» src=«ref-1_607794065-1391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) — *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1) <img width=«64» height=«48» src=«ref-1_607795456-720.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> , π(p2) <img width=«164» height=«53» src=«ref-1_607796176-1229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> τ<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) = <img width=«211» height=«59» src=«ref-1_607774321-1509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397"> φ<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> (0, <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_607799334-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2. Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">Н1 такой, что Р1Р2х = λх, где λ<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">С.

Доказательство. Пусть <img width=«53» height=«35» src=«ref-1_607800175-779.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, <img width=«57» height=«37» src=«ref-1_607800954-873.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид <img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607801827-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">, где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

<img width=«27» height=«62» src=«ref-1_607802511-412.coolpic» v:shapes="_x0000_s1035"><img width=«27» height=«62» src=«ref-1_607802923-417.coolpic» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«97» height=«45» src=«ref-1_607803340-984.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> <img width=«96» height=«45» src=«ref-1_607804324-993.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">Н1, то <img width=«96» height=«45» src=«ref-1_607805527-911.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">, gk <img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">C, к = 1,…, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2<img width=«60» height=«45» src=«ref-1_607806648-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">= Р1Р2<img width=«43» height=«45» src=«ref-1_607807404-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"><img width=«64» height=«45» src=«ref-1_607808078-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">= Р1<img width=«43» height=«45» src=«ref-1_607807404-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"><img width=«64» height=«45» src=«ref-1_607809622-825.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">=

= Р1<img width=«43» height=«45» src=«ref-1_607807404-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"><img width=«44» height=«45» src=«ref-1_607811121-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"><img width=«59» height=«47» src=«ref-1_607811813-824.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">= <img width=«43» height=«45» src=«ref-1_607807404-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"><img width=«44» height=«45» src=«ref-1_607811121-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"><img width=«59» height=«47» src=«ref-1_607814003-777.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">= <img width=«32» height=«47» src=«ref-1_607814780-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">(<img width=«31» height=«45» src=«ref-1_607815311-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"><img width=«83» height=«45» src=«ref-1_607815848-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">)<img width=«20» height=«29» src=«ref-1_607816840-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> = <img width=«69» height=«47» src=«ref-1_607817206-894.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:

<img width=«27» height=«62» src=«ref-1_607818100-417.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037"><img width=«31» height=«45» src=«ref-1_607815311-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"><img width=«83» height=«45» src=«ref-1_607815848-992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">= <img width=«35» height=«32» src=«ref-1_607820046-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">

j = 1,…, n

Подбирая λ<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_607820806-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_607820806-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_607820806-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_607821430-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> Р2х, значит <img width=«16» height=«41» src=«ref-1_607821430-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">= 0 или 1 и х <img width=«12» height=«12» src=«ref-1_607820806-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред- ставлений *-алгебры P2. Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе- ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">Н0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">Н1,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">Н1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> (<img width=«27» height=«55» src=«ref-1_607823796-547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">(С2<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">Нк)), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> (0, <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_607799334-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j, Рφк: Н → С2<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">Нк – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> P0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> P1,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">P1,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">(<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">Рφк), (1.2.)

P1 = P1,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">P1,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">(<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">(<img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"><img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">Iк)) (1.3)

Р2 = P0,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">P1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> (<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"><img width=«240» height=«61» src=«ref-1_607831283-1708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"><img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">Iк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> Н0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> Н1,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">Н1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого- нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк<img width=«13» height=«12» src=«ref-1_607671505-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> (0, <img width=«17» height=«41» src=«ref-1_607799334-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">):

Н΄ = <img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607835417-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">Нφк, (l = n — <img width=«48» height=«37» src=«ref-1_607835933-648.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">)

Собирая вместе все Нφк, у которых одно φк, получим изоморфизм

Нφк<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">…<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">Нφк ≈ С2<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">Нк, где Нφк nк экземпляров, dim(Нφк<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">…<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">Нφк )=2nк dim(С2<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">Нк) = dimС2 dimНк = 2nк. Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> Н0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> Н1,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">Н1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477"> (<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">(С2<img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">Нк))

Пусть πi,j – сужение π на Нi,j ( i, j= 0,1), πк – сужение π на Нφк (к = 1,…, m), то есть πi,j и πк — *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0π0,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">n0,1π0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">n1,0π1,0<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">n1,1π1,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">(<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">nкπк) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> P0,1<img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> P1,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">P1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> (<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">Рφк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">P1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491"> (<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">(<img width=«51» height=«48» src=«ref-1_607767143-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493"><img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">Iк ))

Р2 = P0,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">P1,1 <img width=«26» height=«43» src=«ref-1_607637703-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> (<img width=«28» height=«55» src=«ref-1_607827176-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"><img width=«240» height=«61» src=«ref-1_607831283-1708.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498"><img width=«22» height=«34» src=«ref-1_607682379-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">Iк ))

Причем n1,0π1,0(р1) = P1,0, n0,1π0,1(p2) = P0,1, n1,1π1,1(р1) = P1,1, n0,0π0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2. Пусть А = Р1 — Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I, В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВL<img width=«17» height=«12» src=«ref-1_607633094-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">    продолжение
--PAGE_BREAK--