Реферат: Доказательство бесконечности некоторых видов простых чисел

Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел

Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей еры доказал, что количество простых чисел — бесконечено.

Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел />или бесконечность. Это значит, если />, тогда значения многочлена первой степени />будут простыми числами при замене бесконечного количества целых чисел.

Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.

Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.

Рассмотрим многочлен />который при значениях />от /> до />, дает бесконечный ряд натуральных чисел/> (1)

А также рассмотрим ряд простых чисел /> (2) некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.

Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число />c (2) выбивает с ряда чисел (1) />часть, а на все остальные простые числа останется />часть чисел (1).

Если p1 выбивает t/р1, то p2 выбьет еще />часть чисел (1) с тех, что осталась, а вместе они выбьют/>часть чисел(1).

Для всех остальных простых чисел останется

/>

часть чисел (1)

Третье простое число />выбьет еще />часть, а вместе они выбьют />часть чисел (1). На все оставшиеся простые числа с (2) останется

/>

часть чисел (1)

Продолжая ми получим, что простые числа />выбивают

/>(3)

часть чисел (1), а на оставшиеся простые числа останется

/>(4)

часть чисел (1)

Используем тот факт, что простые числа от /> до />выбивают все сложные числа в интервале от />до />.

Пусть />наибольшее простое число с (2) совпадающее с/>последовательности (1). Для того чтобы выяснить, есть ли еще простые числа в последовательности (1) больше за /> достаточно формулу (4) умножить на число А-количество чисел (1) на промежутке от /> до />. И если

/>(5)

значит, там еще есть простые числа больше /> и меньше />.

Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов

Пусть многочлен первой степени />, где />, дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел

/>/>/>/>(6)

/>/>/>/>

Легко показать, что каждое простое число />выбивает по две пары таких чисел, то есть />часть.

Пусть

/>(7)

/>

последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от />до /> выбивают

/>(8)

часть чисел (6). А, используя формулу (4) мы получим , что на все остальные простые числа останется

/>(9)

часть чисел (6).

Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до />.

Если

/>(10)

где А-количество пар чисел (6) на промежутке от />до />, тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида

Так как

/>

тогда последнее число вида (7) меньше />, которое будет делиться простыми числами меньшими за />, будет число

/>.

С учетом этого формула (10) примет вид

/>,

где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.

Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида /> .

Пусть />наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит, /> не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид />, где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида />бесконечно. Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.

Рассмотрим многочлен второй степени

/>(11)

Делителями его будут простые числа вида

/>(12)

Подставляя в (11) значения /> от />до /> получим ряд чисел />(13). Пускай />наибольшее простое число вида />. Требуется доказать что есть еще простые числа вида /> больше за />.

Каждое простое число (12) выбивает с последовательности (13)/>часть чисел. С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от /> до /> выбивают

/>(14)

часть чисел с последовательности (13) На остальные простые числа вида />останется с учетом формулы (4)

/>(15)

часть чисел последовательности (13).

Так как />, тогда последнее число вида />меньше />, которое будет делиться простыми числами вида />меньшим за />, будет число />. .

Для того, чтобы показать, что есть еще простые числа

/>(16)

достаточно доказать, что

/>(17)

Для чего неравенство (17) запишем по-другому

/>(18)

Рассматривая (18), видим, что оно больше за единицу. Это значит что утверждение (16) верно, а значит, и количество простых чисел вида /> бесконечно.