Реферат: Алгоритм решения Диофантовых уравнений
Алгоритм решения Диофантовых уравнений
Нижнегородская область
Г.Заволжье
2009 г.
В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом:
— великая теорема Ферма;
— уравнение Пелля;
— уравнения эллиптических кривых У2=X3+K,
(У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В);
— иррациональные корни уравнения Х2-У2=1;
— поиск Пифагоровых троек;
— уравнение Каталана;
— уравнение гипотезы Билля
Решение Диофантовых уравнений
Лирическое отступление (ЛО) – 1
Всё началось с теоремы Ферма.
В клубе фермистов оказался случайно, решал совершенно другую задачу, и неожиданно пришла идея ВТФ. Я даже не помнил её классическое написание – хn+уn=сn, формулу ВТФ написал в виде хn= уn+ сn, а потом не стал переучиваться, т.к. привык к своему написанию формулы.
ЛО – 2. При доказательстве ссылаюсь на закон распределения простых чисел. Можно было бы обойтись без упоминания оного. Просто сохранил историческую правду, т.к. лично для меня этот закон стал подсказкой.
ЛО – 3. Этот же подход был применён для решения уравнения гипотезы Биля и решения других уравнений. Выводы получились интересными.
Для себя обкатал этот метод на нескольких шуточных уравнениях. При профессиональном подходе, похоже, этот метод может дать как качественные выводы, так и количественные, окончательный же приговор этому методу будет сделан совместными усилиями.
Великая теорема Ферма. Решение
/> – не имеет решений в целых числах при показателе степени n>2.
Для доказательства данного утверждения было рассмотрено аналогичное функциональное уравнение. Чтобы получить функциональное уравнение надо обратиться к закону распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. В таблице изображена матрица распределения составных чисел в ряду натуральных чисел.
/>/>/>
4
/>+2
6
/>+2
8
/>+2
10
/>+2
12
/>+2
14
/>+2
16
/>+2
18
…
/>
+2
/>
+3
/>
+4
/>
+5
/>
+6
/>
+7
/>
+8
/>
+9
6
/>+3
9
/>+3
12
/>+3
15
/>+3
18
/>+3
21
/>+3
24
/>+3
27
…
/>/>/>
/>
8
+4
/>
12
16
20
24
28
32
36
…
/>+2
10
--PAGE_BREAK--/>+5
15
20
25
30
35
40
45
…
/>/>/>
/>
12
+6
18
24
30
36
42
48
54
…
/>+2
/>
14
/>+7
21
28
35
42
49
56
63
…
/>+2
16
/>+8
24
32
40
48
56
64
72
…
/>+2
18
/>+9
27
36
45
54
63
72
81
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Формула любого составного числа, соответствующего этой матрице, имеет вид — (/>i + 1) (/>j + 1), где />i — номер столбца этой матрицы,
/>j – соответственно, номер строки этой матрицы. Для верхней строки (/>= 1) формула составного числа примет вид – 2(/>i + 1) – это ряд чётных чисел.
Всё это пока заготовка для доказательства великой теоремы Ферма (ВТФ).
Нечётные числа примут вид 2(/>i + 1) ± 1. В нашем случае пусть нечётные числа будут — 2(/>i + 1) — 1.
продолжение--PAGE_BREAK--
Чтобы доказать ВТФ надо рассмотреть три варианта:
— I X — чётное число, У — чётное число, Z — чётное число;
II X — чётное число, У — нечётное число, Z — нечётное число;
III X — нечётное число, У — чётное число, Z — нечётное число.
Вариант I. Пусть уравнение ВТФ верно для чётных чисел.
В формулу ВТФ вставим аналитические выражения чётных чисел.
[2(/>1 + 1)]n = [2(/>2 + 1)]n + [2(/>3 + 1)]n ,
где для определённости возьмём />1 > />2 > />3
После упрощения.
(/>1 + 1)n = (/>2 + 1)n + (/>3 + 1)n
По сути, природа этого уравнения та же, что и уравнения ВТФ, т.к. зависимость между Х, У, Z и столбцами матрицы />i – функции соответствующие линейным уравнениям.
Можно составить систему подобных уравнений.
/>/>
/>
…………………………………………(а)
/>
/>
Каждое уравнение этой системы также является функциональным уравнением ВТФ.
Для обоснования данного утверждения рассмотрим следующий пример.
Вычислим несколько значений />соответствующих числу 10 по формуле чётных чисел.
2(/>1 + 1)=10 />1 =4
2(/>2 + 2)=10 />2 =3
2(/>3 + 3)=10 />3 =2
Т.е. переменная />может принимать значения от 1 до ¥.
Условием для существования системы уравнений (а) служат лишь условия
/>и />.
Данные условия слабее условий существования пифагоровых троек, где, если (а, в, с) – пифагорова тройка, то таковою будет и тройка (nа, nв, nс), при всех n = 1, 2, 3 …
Т.е. система (а) должна быть справедливой для всего ряда натуральных чисел, при условии неизменности величин р и f, и условии />3 +1<½K½<¥.
Это следует при предположении справедливости уравнения ВТФ – />.
У системы уравнений (а) есть 2 варианта:
— I — каждое уравнение системы имеет решение;
— II — каждое из уравнений системы не имеет решений.
Если взять в уравнении системы к = -/>3, тогда уравнение примет вид
/>
Данное уравнение вида />не может иметь решений в целых числах при n>2.
Тогда не верно любое уравнение системы и следовательно не верно и уравнение ВТФ.
Рассматривались чётные значения Х, У, Z.
В системе уравнений (а) переменные />I принимают значения всех чисел натурального ряда, и чётных и не чётных. Тогда ВТФ тоже доказана для всего ряда натуральных чисел. Если же рассматривать варианты II и III доказательства ВТФ, тогда функциональные уравнения примут вид:
II [2(/>1+1)]n=[2(/>2+1)-1]n+[2(/>3+1)-1]n
III [2(/>1+1)-1]n=[2(/>2+1)]n+[2(/>3+1)-1]n
Принципиально в доказательстве ВТФ это ничего не меняет.
Для обоснования данного, довольно – таки экзотического на сегодняшний день метода, далее будут рассмотрены некоторые известные задачи.
Уравнение Пелля
/>(1)
Рассмотрим 3 варианта:
— I Х — чётное число, У — нечётное число, n — нечётное число;
— II Х — нечётное число, У — нечётное число, n — чётное число;
— III Х — нечётное число, У — чётное число, n – любое, и чётное, и нечётное число.
И всегда ½Х½ > ½У½
Вариант I.
Составим функциональное уравнение.
/>, где, конечно же, />1 > />2
Возьмём к = — />2, тогда
/>
После преобразований
/>(2)
где />; />.
Окончательно, после подстановки будет
/>, где n = 3, 15… .
Проверим при n = 3
а) />, />
продолжение--PAGE_BREAK--
б) />, />
Подставим (а) в уравнение (1)
/>
/>/>
/>/>/>
Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет
/>
Подставим (б) в уравнение (1)
/>
/>
/>/>
Для /> />
Проверка даёт
/>
Для /> />
Проверка даёт
/>
Составим последующее функциональное уравнение.
/>
После упрощения
/>
где />, />
После подстановки
/>
Следующее функциональное уравнение примет вид
/>
После упрощения
/>
где />, />
После подстановки
/>
Получилась система бесконечных решений:
/>/>
/>
/>(3)
/>
Вариант II.
Функциональное уравнение примет вид.
/>
/>
После преобразований будет
/>, где n чётные числа n = 8, 24 ……
Само же выражение идентично формуле (2).
Система бесконечных решений примет вид системы (3).
Тогда система решений (3) будет общей для вариантов I и II при n – чётных и нечётных числах.
Вариант III.
Также напишем функциональное уравнение.
/>
Опускаю все вычисления, — напишу окончательный результат:
/>/>
/>
/>
/>
На решении данного уравнения Пелля подтверждено следующее утверждение из доказательства ВТФ:
Или все формулы системы функциональных уравнений имеют решения, или же в системе уравнений нет ни одной такой формулы.
Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, — для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.
Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:
/>,
а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.
Уравнение
/>. (1)
(У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В)
Рассмотрим 4 варианта:
— I У — нечётное число, Х — нечётное число, К — чётное число;
— II У — нечётное число, Х — чётное число, К — нечётное число;
— III У — чётное число, Х — чётное число, К — чётное число;
— IV У — чётное число, Х — нечётное число, К — нечётное число.
Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, — в обоих уравнениях наличие двух переменных.
Вариант I.
/>
Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно />1>/>2
/>
/>
/>/>
/>
Тогда будет
/>(2)
Получилась система уравнений (1) и (2).
Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.
/>/>
/>
Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.
/>, при m≥1.
Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….
продолжение--PAGE_BREAK--
Получится возрастающий ряд K.
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и
У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.
Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:
1) У-Х=2 K=8
2) У-Х=4 K=24
3) У-Х=6 K=48
4) У-Х=8 K=80
1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8
/>
/>
Х1=1 Х2=2 Х3=-2
У1=3 У2=4 У3=0
K=8 K=8 K=8
2) У=Х+4
Х=1
У=5
K=24
3) У=Х+6
Х=1
У=7
K=48
4) У=Х+8
Х1=1 Х2=4 Х3=-4
У1=9 У2=12 У3=4
K=80 K=80 K=80
Вариант II.
/>
/>
/>(3)
/>/>
/>
Подставляем в (3), получаем
/>, m≥1.
При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;
Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:
У-Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У-Х=-3, -5, -7, -9….
Вариант III.
/>
/>
/>
/>
/>/>
/>
После подстановки />1, />2, окончательно получим
/>, m≥1.
При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=0, 2, 4, 6….; У-Х=-4, -6, -8, -10….
Вариант IV.
/>
/>
/>
/>/>
/>
/>, m≥1.
При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….
Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.
Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.
— I У — чётное число, Х — нечётное число;
— II У — чётное число, Х — чётное число, всегда У > Х, и как следствие />1>/>2.
Вариант I.
/>
/>
/>
Т.к.
/>/>
/>
Тогда
/>/>
/>
После подстановки
/>
Вариант II.
Сразу пишу ответ
/>
И после всех преобразований и подстановок
/>
Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.
Исследование уравнения />проведено, кстати, не до конца.
Не рассмотрена ситуация У < Х.
Иррациональные корни уравнения
/>.
Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.
Рассмотрим 2 варианта:
— I Х — чётное число, У — нечётное число;
— II Х — нечётное число, У — чётное число.
Всегда Х > У
Вариант I.
Функциональное уравнение общего вида будет:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>, где />, /> (1)
Преобразования изображу подробно
/>
/>
/>(2)
В уравнении (1) />, />
Тогда />, />
Значения /> и /> подставим в формулу (2)
/>
Исходное уравнение
/>
запишем в виде
/>
Тогда
/>
До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы
/>/>/>
/>
Вариант II.
/>, где />, /> (4)
Преобразования без комментариев.
/>
/>
/>(5)
В уравнении (4)
/>
/>
Тогда />, />
Значения /> и /> подставим в формулу (5)
И сразу пишу систему решений
/>/>
/>/>
Итого: иррациональными решениями уравнения
/>
являются две системы уравнений (3) и (6).
Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.
Поиск Пифагоровых троек
/>(1)
Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число
и Х > У > Z.
/>
/>,
уравнение /> представлено в виде />, и далее оно расписано в виде произведения /> (2)
/>
Можно составить три системы уравнений:
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>/>
/>/>
/>
И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.
Заранее составим заготовку для их решения.
/>/>
/>
/>
Откуда следует
/>/>
/>(3)
/>
/>/>/>
/>
Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.
/>/>
/>
/>
После соответствующих преобразований будет
/>
/>
Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.
Простой перебор значений m даёт следующие результаты:
— при m=2 />, тогда /> />
— при m=7 />, тогда /> />
б) Система (б) после сокращений примет вид
/>/>
/>
После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:
продолжение--PAGE_BREAK--
/>/>
/>
/>
/>
откуда
/>
При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).
Из (Х-У)(Х+У)=Z2 получаем, систему уравнений
/>/>(4)
/>
Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.
Х
5
13
25
41
61
85
113
145
181
221
265
313
365
421
У
4
12
24
40
60
84
112
144
180
220
264
312
364
420
Z
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.
Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.
Возьмём Z=15 Z2=225
225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25
Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения .
/>
/>Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три
/>Х=13, У=12, Z=5
/>
/>Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять
/>Х=5, У=4, Z=3
/>
/>Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный
/>результат, ибо рассматривается по условию У > Z.
Возьмём Z=27 Z2=729
729=1х729; 3х243; 9х81
Расчёт показывает
Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9;
Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3.
Возьмём Z=35 Z2=1225
1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.
Х = 125 (25), 91 (13), 37
У = 120 (24), 84 (12), 12
Z = 35 (7), 35 (5), 35
И последний раз в качестве примера
Возьмём Z=39 Z2=1521
1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.
Х = 255 (85), 89, 65
У = 252 (84), 80, 52
Z = 39 (13), 39, 39
К сожалению системы пока не вижу.
в) После преобразований получается:
/>/>
/>
/>
И формула для Z.
/>
Рассмотрим следующий вариант.
От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,
а следовательно и /> </>.
/>
/>
/>
/>
/>
Получается девять систем уравнений.
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
/>/>/>
/>
И после подстановки в эти девять систем значений />
из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
И далее, — все девять систем надо решить.
г) />
— нет решения в целых числах при любых m.
д) />
е) />, при m=2, У=8;
Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений
64=1х64; 2х32; 4х16.
Из соотношения 2х32, получаем
/>
/>
/>
т.е.
/>/>
/>
/>
Система
/>
/>
/>
Даёт значения
/>/>
/>
/>
ж) /> — нет корней в целых числах.
з) />, при m=2, У=12 и т.д.
Разберём до конца У=12 и соответственно У2=144.
Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения
144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.
Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У2 получим следующие значения Х, У, Z.
Х 37
20 (5)
15 (5)
13
У 12
12 (3)
12 (4)
12
Z35
16 (4)
9 (3)
5
и) /> — нет корней в целых числах.
к) /> — нет корней в целых числах.
л) /> — нет корней в целых числах.
м) /> — нет корней в целых числах.
продолжение--PAGE_BREAK--
Рассмотрим следующий вариант:
— пусть все три числа чётные и Х>У>Z, как и /> >/> >/>.
Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 22 уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.
/>
/>
/>
/>
/>
Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).
н) /> и преобразуя – Z=2m, получились все чётные числа при m ≥1.
В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.
Х
5
10
26
37
50
65
82
101
У
3
8
24
35
48
63
80
99
Z
4
6
10
12
14
16
18
20
п) /> — то же выражение, что и в (н).
р) />
После упрощения.
/>
При m=2, 3 значения троек будут
Х 13
34 (17)
У 5
16 (8)
Z 12
30 (15)
При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.
Решение уравнения Каталана
/>
Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет дан лишь в качественной оценке. Количественный анализ принципиально не труден, но нуден.
Рассмотрим 2 варианта:
— I А — чётное число, В — нечётное число;
— II А — нечётное число, В — чётное число.
Каждый из вариантов распадается опять же на два случая:
А > В, Х < У;
А < В, Х > У.
И требуется перебрать комбинации Х, У – чётные — нечётные числа.
Итого 16 вариантов. Плюс варианты гипотезы Биля.
И если всё это обилие решать количественно, — это уже приличная работа для издания отдельной брошюры, а не публикации в формате статьи.
Вариант I.
1. А > В, Х < У Х – чётное число, У – чётное число.
Основания и показатели расписываю за один заход.
/>, где конечно же />1>/>2, а />1 < />2.
Вначале разбираемся с показателями
/>
На второй стадии пройдусь по основаниям
/>
/>
Равенство левой и правой части уравнения невозможно.
Тогда и исходное уравнение /> решений не имеет.
2. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – нечётное число.
/>
Во всех решениях вначале степень, затем основание
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
Решим полученное условие относительно А и В.
/>/>
/>
/>/>
/>
После подстановки А=В+1.
Т.е., чтобы уравнение Ах-Ву=1 существовало при заданных условиях д.б. А=В+1.
3. А > В, Х < У Х – чётное число, У – нечётное число.
/>
После преобразований
/>
/>
Далее вывод, как и в примере (1).
4. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – чётное число.
/>
/>
/>
Результат, как и в примере (2).
5. А < В, Х > У Х – чётное число, У – чётное число.
/>
/>
Нет решения, ибо это формула разности квадратов.
6. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – нечётное число.
/>
/>
/>
/>
Решение у такой формулы возможно.
7. А < В, Х > У Х – чётное число, У – нечётное число.
/>
/>
/>
Противоречий для существования данной формулы нет.
8. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – чётное число.
/>
/>
И окончательно.
/>
Запрета на существование такого уравнения не вижу, но дальнейший анализ не в этой статье.
Вариант II.
9. А > В, Х < У Х – чётное число, У – чётное число.
/>/>
Уравнение разности квадратов — тогда решений не существует.
10. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – нечётное число.
/>
/>
/>
Уравнение реальное — тогда решение есть.
11. А > В, Х < У Х – чётное число, У – нечётное число.
/>
/>
Уравнение реальное.
Пример: 32-23=1
12. А > В, Х < У Х – нечётное число, У – чётное число.
/>
/>
Решение существует.
13. А < В, Х > У Х – чётное число, У – чётное число.
/>
/>
14. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – нечётное число.
/>
/>
15. А < В, Х > У Х – чётное число, У – нечётное число.
/>
/>
16. А < В, Х > У Х – нечётное число, У – чётное число.
/>
/>(а)
Для случаев 13, 14, 15, 16 итоговое уравнение одинаковое.
Рассмотрим эти четыре случая чуть подробнее.
/>
/>, тогда
/>
/>
После подставим в уравнение (а) получим
/>, при начальном условии />.
Тогда варианты 13, 14, 15, 16 – не верны.
Из рассмотренных выше задач, при всех вариантах начальных условий, — 8 задач решений в целых числах не имеют.
Для закрепления материала предлагаю рассмотреть два заведомо не имеющих решения уравнения.
Первый пример.
Пусть: А — чётное число.
В — нечётное число.
А > В, Х > У, Х – чётное число, У – нечётное число.
Основное противоречие состоит в условии А > В, Х > У.
/>
/>,
что, конечно же, не возможно, т.к. левая часть всегда больше правой.
Второй пример.
Пусть: А — нечётное число.
В — чётное число.
продолжение--PAGE_BREAK--
А > В, Х > У, Х – чётное число, У – нечётное число.
/>
После соответствующих преобразований
/>,
что, конечно же, не возможно.
Гипотеза Биля (ГБ).
/>, где А, В, С – взаимно простые числа и Х, У, Z > 2.
Рассмотрим 2 варианта:
— I А — чётное число, В — нечётное число, С — нечётное число;
— II А — нечётное число, В — чётное число, С — нечётное число.
Строго говоря, чтобы полностью разобрать ГБ, надо рассмотреть все варианты решения уравнений.
Но дело в том, что новый метод исследования диофантовых уравнений говорит о том, что ГБ не верна, т.е. уравнение при некоторых сочетаниях А, В, С, Х, У, Z может иметь место. По этому будет рассмотрено лишь два примера, которые указывают на возможность решения уравнения.
Вариант I.
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, и А — чётное число, В — нечётное число, С — нечётное число.
Составим функциональное уравнение.
/>
Подразумевая систему функциональных уравнений, возьмём к = — />3
/>(1)
Возьмём обозначение />
/>
Уравнение (1) примет вид уравнения Каталана />
И именно из этого и следует наличие решений у уравнения ГБ.
Вариант II.
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z, где Х, У – нечётные числа, А — нечётное число, В — чётное число, С — нечётное число.
Составим функциональное уравнение.
/>
Решая относительно основания, получим />
Проведу преобразование в показателях
/>
После упрощения.
/>
Вполне реальное уравнение, которое должно иметь место.
В настоящей работе представлен сравнительно небольшой анализ. Более серьёзным анализом займусь в зиму 2009-2010 годов.
И приведу один контр пример.
Заведомо противоречивое начальное условие – в примере (а) пусть
Х > У > Z.
Тогда в уравнении Каталана
/>, />
И тогда не может иметь место знак равенства.
Т.е. задача с заведомо неверными начальными условиями исключается сразу.
Вот почему и есть основание верить в решения в целых числах у уравнения ГБ.
Заключение
Данному алгоритму на момент появления в интернете всего два месяца. Дитё.
Что можно нарешать за два месяца? А больше я себе не могу позволить заниматься не профилирующим предметом в моей трудовой деятельности.
Напоследок хочу коснуться одной практической проблемы при решении Диофантовых уравнений данным методом.
Сколько раз можно «бить» по уравнению, представленным алгоритмом?
Можно по отношению к конкретному уравнению теоретически на единицу меньше, чем число неизвестных в данном уравнении.
Первая стадия – убираем самое меньшее неизвестное. А на второй стадии уже надо знать разницу между оставшимся самым маленьким числом, и предстоящим. Или же не зная этой разницы, вводить параметр.
Почему это происходит?
На первой стадии мы наши неизвестные приблизим к началу числовой оси. Если самое наименьшее число чётное, то оно будет находиться на позиции «два», а если не чётное – то на позиции «один».
И чтобы ещё по уравнению пройтись представленным алгоритмом, надо все неизвестные «откатить» от начала числовой оси на несколько шагов. Приведу простейший пример.
Пусть есть уравнение Х3+У3+Z3=6903
И пусть каким — то одним нам известным способом мы узнаём, что Х, У, Z – нечётные и следуют подряд.
/>
/>
Сдвигаю неизвестные на «шаг» от начала оси.
/>
/>
/>
/>
/>
У=2m+1, при m=6 У=13
Z=2m-1, при m=6 Z=11
/>
при m=6 Х=15
Данный метод позволяет данные вычисления.
Часть 2
Подход к решению уравнений
/>(1)
/>(2)
Сейчас данные уравнения, насколько мне известно, решены для n=4.
Т.е. доказано наличие для каждого из уравнений бесконечного количества сочетаний натуральных чисел a, b, c, d удовлетворяющим условиям равенств уравнений (1), (2).
Причём доказательства основаны на компьютерном поиске данных чисел. Нашли компьютерным расчётом для n=4, отлично — теперь сделайте тоже самое для n=5 и т.д., т.к. даже для n=1000 в целом проблема не будет закрыта.
Мне кажется, что есть общий подход к доказательству утверждения о существовании равенств в уравнениях (1), (2) при любых n ® ¥.
Я сомневаюсь, что мои рассуждения сойдут за доказательства, но направление, может быть, окажется верным.
I. />
Существует наличие сочетаний a, b, c, d на чётность и нечётность.
Разберу одну возможность, — пусть все числа a, b, c, d будут чётными.
А далее буду использовать алгоритм решения Диофантовых уравнений.
Составлю систему уравнений. Бумагу экономить не буду, — распишу подробно.
/>/>
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
В этих уравнениях пусть />1 > />3 > />4 > />2 – очевидное предположение.
Произведу в уравнениях системы сокращения на 2n и члены с />2 перенесу в правую часть уравнений, а члены с />3 – в левую.
Сокращением же на 2n от чётных значений a, b, c, d уравнения системы переведены в значения всего натурального ряда.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Далее используются формулы разности степеней.
/>/>+…..+/>=/>/>+…..+/>
/>/>/>+…..+/>=/>/>+…..+/>
/>/>+…..+/>=/>/>+…..+/>
/>/>+…..+/>=/>/>+…..+/>
/>/>+…..+/>=/>/>+…..+/>
Т.к. />,/>, система (4) примет вид:
/>p/>+…..+/>=f/>+…..+/>
p/>+…..+/>= f/>+…..+/>
p/>+…..+/>= f />+…..+/>
p/>+…..+/>= f/>+…..+/>
p/>+…..+/>= f/>+…..+/>
Т.е. у каждого уравнения начальной системы уравнений (3) произведено понижение формы.
Ну и конечно же доказательство надо вести не от n к n-1, а наоборот, — от n=2 поэтапно к n ® ¥.
Уравнение (2) доказывается аналогичным образом.
/>и т.д.
Мне в вышеизложенное и самому не на все 100% верится.
Поэтому я взываю к коллективному разуму.
Главное сомнение же вот в чём:
В таком разе все уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах не будут иметь, ну или не так строго, могут не иметь.
Т.к. нет понижения формы у одного из членов уравнения.
Как, например, у уравнения (2) бесконечное число сочетаний натуральных чисел a, b, c, d существует, тогда, как у уравнения
/>таких сочетаний может и не быть.
И без компьютерного расчёта, хотя бы для n=3, не обойтись, и если взять мои утверждения, и очень убедительные контрдоводы кого-либо другого.