Реферат: Дифференциальные уравнения
Московский авиационный институт
(государственный технический университет)
Филиал «Восход»
Кафедра МиПОИС
Курсовая работа
по курсу: Дифференциальные уравнения
Студент гр. ДА 2-40
Воронцов О. В.
Байконур 2005 г.
1. Теоретическая часть
Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:
/>
Возможны три случая:
Когда C1=C2 =0
/>
Когда
/>
/>
/>
Когда
/>
Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:
/>
Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: />, не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид />, а само уравнение: />. Полученное уравнение является однородным
2. Практическая часть
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Разделим переменные:
/>
/>
Проинтегрируем выражение:
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
/>
/>
/>
Следовательно, исходное уравнение является однородным.
Пусть
/>
Произведём замену в исходном уравнении:
/>
/>— дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Разделим переменные:
/>
Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:
/>
/>
Но />/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 3. Найти общий интеграл: />
Решение:
/>— дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному
/>
Введём новые элементы:
/>,
где h и k должны удовлетворять уравнениям:
/>откуда />
Таким образом:
/>откуда />
Подставляя это в исходное уравнение, получим
/>
Или
--PAGE_BREAK--/>
Сделаем подстановку:
/>
/>
/>
/>
/>-
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
/>
Упростим левую часть выражения
/>
1+z=A(z-1)+Bz
Z1: 1=A+B A=-1
z: 1=-A B=2
Проинтегрируем уравнение (**)
/>
/>
ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C
/>
Пропотенцируем и подставим значение z в выражение
/>
Упрощая данное выражение, получим:
/>
/>
Ответ: />
Задача 4. Найти решение задачи Коши:/>/>
Решение:
/>– линейное уравнение
Воспользуемся методом Бернулли:
/>
/>
/>
a) />
Разделим переменные:
/>
/>
Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:
/>
/>
/>
/>
б) />
Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно:
/>
Найдём значение С2
y|п/4=1/2
/>
/>
Ответ: />
Задача 5. Решить задачу Коши: />
Решение:
/>
/>
/>
/>— линейное уравнение
Воспользуемся методом интегрирующего множителя:
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 6. Найти решение задачи Коши: />, y(0)=1
Решение:
/>— уравнение Бернулли
Подёлим данное уравнение на (:y2):
/>
Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:
z=y-1/>
Следовательно:
/>
/>— линейное уравнение
Воспользуемся методом Бернулли:
/>
/>
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>
Откуда:
/>
Найдём значение С2
/>
Следовательно:/>
Ответ: />
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>
— дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
/>
/>
Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции />
/>(*)
Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:
/>
Дифференцируя полученное, имеем:
/>
Но />
Откуда:
/>
/>
/>
Следовательно:
/>
Ответ:
/>
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.
/>
Решение:
Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:
/>
Откуда />
/>
В результате получим следующий график:
/>
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку Ми обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор />с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М(6;4), a=10
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Подставляя значения функции в точке Mнайдём значение С:
/>
/>
Ответ: />
Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>— дифференциальное уравнение третьего порядка
Пусть />
Подставив в исходное уравнение, получим:
/>
/>
Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:
/>
Следовательно: />
Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:
/>
Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
Данное уравнение не содержит х в явном виде
Предположим, что /> откуда />
Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:
/>
Разделим переменные и проинтегрируем выражение:
/>
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
Но/>. Тогда />
/>
Однако: />. Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:
/>
/>
Выясним значение С2:
/>
Следовательно: />
Ответ: />
Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>— НЛДУ четвёртого порядка
Решение будет записано в виде:
/>/>
Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):
/>
Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:
k4-3k3+3k2-k=0
k1=0
k3-3k2+3k-1=0
k2=1
по методу Горнера:
1 -3 3 -1
1 1 -2 1 0
k3-2k2+1=0
k3,4=1
Общее решение будет равно:
/>
Найдём частное решение:
/>
/>
/>
/>
6A-2Ax-B=2x
/>
/>
Откуда: />
Ответ: />
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:
/>
Решение:
/>— НЛДУ с постоянными коэффициентами
Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение
/>
/>
/>
Решение НЛДУ запишется в виде:/>
Общее решение:/>
Найдём частное решение дифференциального уравнения:
/>
/>
Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты
/>
/>
/>=> />
Частное решение: />
Решение дифференциального уравнения:
/>
Ответ: />
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения
/>
Решение:
/>— НЛДУ с постоянными коэффициентами
/>/>
Общее решение
/>
Найдём частное решение: />
/>
/>
Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:
/>
/>
/>
Частное решение уравнения:
/>
/>=/>/>
Ответ:/>=/>/>
продолжение--PAGE_BREAK--
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения: />
Решение:
По определению гиперболического синуса:
/>
Найдём общее решение
/>
/>
/>
Найдём частное решение:
/>
/>/>
/>
Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 16. Решить задачу Коши:
/>, />, />
Решение:
/>— НЛДУ
Общее решение запишем в виде/>
/>
Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:
/>
/>
/>
Общее решение имеет вид: />
Найдём решение частное:
/>,
где С1 и С2– решения системы дифференциальных уравнений
/>
/>
/>
/>
По теореме Крамера:
/>
/>
Интегрируя выражения, получим:
/>
/>
/>
/>
/>
Следовательно, решение будет выглядеть так:
/>
Найдём значения С1 и С2
/>
/>
/>
/>
/>
Ответ: />
Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений
/>
Решение:
Составим матрицу системы:
/>
Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Найдём собственные векторы
1) />
/>
/>
/>
/>
/>
2) />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Запишем общее решение системы уравнений
/>
/>
/>
/>
/>
Отсюда получаем:
/>
Ответ: />
Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.
Решение:
/>
/>
Но />
/>
/>=> />
Разделим переменные:
/>
Проинтегрируем и пропотенцируем выражение:
/>
/>
Ответ: />