Реферат: Разностные схемы для уравнений параболического типа

Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

/>,/>,/>/>,(3.5)

с условием на прямойt=

/>,/>.(3.6)

Требуется найти функцию />, которая при/> и />удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при />выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение />, непрерывное вместе со своими производными

/>, i=1, 2 и />,k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде />. Для этого достаточно положить

/>

/>

Будем далее считать, что tизменяется в пределах />.В рассматриваемом случае

/>,

Г − объединение прямыхt=иt=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область /> сеточной областью />. К области /> отнесем совокупность узлов />, где

 

/>,/>,/>,

/>,/>,/>,/>.

Заменим задачу /> разностной схемой вида />. Обозначим через /> точное значение решения задачи /> в узле />, а через /> – соответствующее приближенное решение. Имеем

 

/>

/>

Для замены выражений />и />воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

--PAGE_BREAK--

/>,(3.7)

/>,(3.8)

/>,(3.9)

/>(3.10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи /> в узле />, разностной схемой />, шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

/>

 

/>

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

/>(3.11)

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

/>.

Введем обозначение

/>(3.12)

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи />:

/>,(3.13)

где разностный оператор />определяется по правилу

/>

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

/>,(3.14)

где

/>

/>

На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

/>,

где />

Аналогично, используя(3.11),(3.10),(3.14), получим

/>,

/>.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве/>возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

/>. 

Нормув/> определим правилом

/>

Пусть />, где rи s – некоторые положительные числа.

Предположим, что для />и />верны оценки

/>,/>.

Тогда легко получить

/>,(3.15)

/>.(3.16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взятьS=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу /> с погрешностью порядка Sотносительно h.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям />вычислить значения на первом слое /> . Для этого достаточно в (3.13) положить n = 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям /> можно аналогично при n = 1 вычислить значения /> и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n = 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений />, в правой части будут значения известной функции /> и />. Для вычисления значений на первом слое/>в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.

2. Устойчивость двухслойных разностных схем

Определим норму в пространстве/>по правилу

/>.

Рассмотрим явную разностную схему (3.13). Выясним, при каких значениях r,/>возможна устойчивость этой схемы.

Для доказательства устойчивости надо показать, что разностная схема однозначно разрешима и при любых

/>, />

имеет место оценка />,

гдеМ – постоянная, не зависящая от />и />и/>.

Разностная схема (3.13) – явная, и поэтому ее однозначная разрешимость очевидна.

Перепишем формулу />в виде

/>,/>,(3.17)

/>.

Пусть выполнено условие

/>или />.(3.18)

Тогда из (3.17) получим:

/>,

или

/>.(3.19)

Неравенство (3.19) означает, что при />, /> не превосходит />,тоесть />невозрастает с увеличением n.

Это свойство однородной разностной схемы принято называтьпринципом максимума. Положим в (3.19) />. Это даст

/>,

/>,

/>.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Заметим, что /> есть число, независящее от m и n. Просуммировав последние неравенства и, учитывая, что />, получим

/>(3.20)

где обозначено

/>

На основании (3.20) можно записать

/>или />.

Таким образом, разностная схема (3.13) при выполнении условия (3.18), налагаемого на/> и h, устойчива. Условие (3.18) весьма жестко, ибо из него следует, что

/>.(3.21)

Это приводит к тому, что если мы желаем сохранить устойчивость, то при вычислениях по схеме (3.13) шаг по времени/> приходится выбирать очень малым.

Обратимся теперь к разностной схеме (3.14), соответствующей шаблону, изображенному на рис. 4,

/>

Рис. 4. Неявный двухслойный шаблон

и перепишем ее в виде

/>(3.22)

Посмотрим, какие надо проделать вычисления, чтобы, используя формулы (3.22), можно было вычислить, например, значения /> на первом временном слое со значениями /> на нулевом временном слое. Положив в формулах (3.22) n=, получим:

/>(3.23)

Формулы (3.23) представляют собой бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных /> .

Решение таких систем является сложной и трудоемкой задачей, поэтому разностные схемы (3.14) неудобны для задач Коши на бесконечных отрезках и применяется редко. Однако если отрезок оси x, на котором рассматривается задача Коши, конечен, то есть />, а на прямых x=aи x=bдополнительно заданы некоторые ограничения на решение />, то разностные схемы вида (3.14) оказываются весьма эффективными. В частности, можно показать, что такие схемы являются абсолютно устойчивыми, то есть устойчивыми при любых значениях />.

Если, например, на отрезках прямых x=a и x=b, заданы условия />, />, то вид системы (3.23) существенно изменится:

/>/>(3.24)

Формулы (3.24) представляют собой систему M+1 алгебраических уравнений относительно />. Матрица этой системы трехдиагональна и ее можно решить методом прогонки. Отсюда ясно, что реализация неявных разностных схем требует больших вычислительных затрат для вычисления решения на одном временном слое, но таких слоев может быть немного из-за того, что в этом случае отсутствуют ограничения на соотношение />. Если пользоваться явной разностной схемой, то вычисление решения на следующем слое осуществляется по рекурсионному правилу и связано с минимальными вычислительными затратами, однако из-за ограничения

/> 

число временных слоев в случае явных схем может быть существенно большим по сравнению с числом временных слоев для неявных схем.

Рассмотрим теперь вопрос о сходимости схемы (3.13). Эта схема аппроксимирует задачу (3.5), (3.6) с погрешностью порядка /> и устойчива при/>. Поэтому схема (3.13), по теореме об аппроксимации и устойчивости, будет сходящейся. При этом погрешность для приближенного решения будет величиной порядка />.